2021年高考數學全國3卷第23題的多種解法與推廣(1)

1、當且僅當(z一1)t一1=(Y+1)t一1=(z+1)t一1=0，即菇一1=Y+1=z+1時，等號成立故(菇一1)2+(y+1)2+(彳+1)2的最小值為÷所以=4(戈一1)+(Y+1)+(z+1)24(戈一1)2+(Y+1)2+(z+1)2×30，且口(戈一1)2+(y+1)2+(z+1)2了1(戈+)，+z+設戈一1=亨+僅，y+l=了2+p，z+1=季+7，1)2因為z+Y+彳=1，所以(z一1)2+(y+1)2+(彳+1)2÷(1+1)2所以(戈一1)2+(y+1)2+(孑+1)2=(了2+馴2一生+(了2+3)2+(了2+y)2=了4+(a2+礦+y2)

2、+了4(a。3。f13 x+y+z，=： 。+盧+y)=了4+(a2+JB2+72)了4氣x2了1解得： y 2一了lz，戈一1=Rcosolco夠2一了Y+1=Rsinacos3，0cto，21T)，盧o，1T)所以當且僅當戈=÷，y=一÷，z=一÷時，(戈一o彳+1=Rsin31)2+(y+1)2+(z+1)2取最小值導評注：此題構造的函數，也可以寫成如下形式： g(t)=3t22(z一1)+(Y+1)+(z+1)t+(戈一1)2+(Y+1)2+(z+1)2解法3：(均值不等式法)因為戈，YR，剮在c。印sin(僅+詈)+si邶R(厄c。啦+sin3)=所以(

3、戈一1)2+(Y+1)22(菇一1)(Y+1)，(D同理：(Y+1)2+(彳+1)22(y+1)(彳+1)，即R jL一 三3 sin(3+9)3(z+1)2+(菇一1)22(z+1)(戈一1)所以尺2了4，即(石一1)2+()，+1)2+(z+1)2以上三式相加，得：2(戈一1)2+(Y+1)2+(z+1)22(石一1)(Y÷+1)+2(Y+1)(z+1)+2(彳+1)(菇一1)，當且僅當、同時取等號，即菇一1=Y+1故(戈一1)2+()，+1)2+(z+1)2的最小值為手=彳+1時，等號成立解法6：(Cauchy不等式)痢窮舞斡嘲·14·因為算+Y+彳=1，所

4、以(菇一1)+(Y+1)+(：+取一組數據為算一1，Y+1，：4-1且滿足菇+Y 4-z=1)=21，那么它們的平均數為由Cauchy不等式，得：i=了1(菇一1)+(，+1)+(z+1)=÷(菇+(菇一1)2+(Y+1)2+(z+1)2(12+12+12)(菇一1)·1+(Y+1)·1+(：+1)·1 2，Y+z+1)2虧·當且僅當戈一1=Y+1=z+1時等號成立即3(髫一1)2+(Y+1)2+(z+1)222所以這組數據的方差為s2=了1(菇一1一互)2+(，+I一；)2+(z+I一；)2所以(算一1)2+()，+1)2+(z+1)2T4以

5、下同解法1=÷(菇一1)2+(y+1)2+(。+1)2-i2=一'解法7：(利用平面與球面的位置關系21)設(菇一'如(菇一1)2+(Y+1)2+(z+I)2一(÷)201)2+(Y+1)2+(z+1)2=R2，那么它表示球心為C(1，一1，一1)，半徑為R的球所以(菇一1)2+(y+1)2+(：+1)2了4 因為菇+Y+石=1表示一個平面，所以點(戈，y,z)表示平面菇+Y+z=1與球C的公共點，那么球心C到故(戈一1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值為爭平面菇+Y+z=1的距離小于或等于球半徑，即2攤產叢皇三1二嬰R通過類比，我們不難得到此題的一般

6、形式：12+12+l 2推廣：設戈l，菇2， ，筇。R(rtN，且，l2)，那么菇l所以尺去，即砰了4，亦即(菇-1)2+(，“)2 +并2+菇。=1，貝4(x，-口1)2+(戈：-口2)2+·+(Xn-On)2÷(口。+(2+1)2i4+口2+口。一1)2故(菇一1)2+()，+1)2+(z+1)2的最小值為睪證明：因為菇l+戈2+4-x。=1，解法8：(向量法)設m=(菇一1，Y+1，z+1)，n=所以(戈l一口I)4-(石2一口2)+ 4-(菇。一口。)=1 (1，1，1)，m與廳的夾角為o(o0仃)，那么I m l=一(口l+口2+ +口。)砍i1F萬百可，I靠l-

7、萬，由Cauchy不等式，得：xl一口1)2+(戈2一a2)2+(x。一口。)2(12+m·一=(戈一1)·1+(Y+1)·l+(彳+1)·1=12+12)筇+Y+z+1=2凼為m·n=I m I I n I cosO，(髫l一口I)·1+(髫2一口2)·1+ +(菇。一口。)所以I m·n II m I I n I，即·12，2以i1F丐了萬T可·萬即，l(筇I一口1)2+(菇2一口2 2+(戈。一an)21一(口l+口2+an)2所以(菇一1)2+()，+1)2+(z+1)2_4所以(戈l一

8、口1)2+(戈2一口2)2+ +(戈。一an)2故(菇一1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值為睪÷(口。+口：+·+一1)2解法9：(利用方差的非負性)二、對第(2)小題的解答·15·對于第(2)小題，在求不等式(x一2)2+(y1)2掉任何一個考點，更不能考哪就講哪+(z一口)：導左邊的最小值時，完全可以采用第(1)2復習應前掛后聯(lián)，打通知識壁壘在復習前面的知識時，應把后面相關聯(lián)的知識揉在一起復習，講清它小題的九種方法這里筆者只采用Cauchy不等式進們的聯(lián)系，打通知識之間的壁壘，融會貫穿，而在復習 行求解后面的知識時，要對前面相關知識進行點撥、

9、提醒一解：因為戈+Y+z=1，所以(戈一2)+(，一1)+(戈下，防止學生遺忘一口)=一2一口3復習應做到“跳一跳，摘得到在復習過程中，由Cauchy不等式，得：要學習猴子摘桃子的方法，“跳一跳，摘得到就是平(菇一2)2+(Y1)2+(zo)2(12+12+12)時復習時，老師講解的例題，給學生設計的練習和考題(菇一2)·1+(，一1)·1+(：一口)·12，當且僅的難度要適當略高于高考，這樣才能使學生站得高，看 當戈一2=Yl=z一口時等號成立得遠遇到像今年高考這樣偏難的題目，學生就不會喊即3(戈一2)2+(，一1)2+(z一口)2(一2一難了口1 2所以(x一2)：+(y-1)2+z-a)：掣 4復習要注意訓練學生的心理素質在平時復習考試中，試題難易程度、排列順序不能一成不變，要隨時加以改變，每次應有所不同，這樣可以使學生心理產為掣所以(菇一2)2+(Y一1)2+(彳一口)2的最小值生起伏，調節(jié)學生心態(tài)在平時考試的時候，如有必要，也可以適當人為制造一點緊張氣氛，訓練學生的心理由題意知：絲弓叢÷，解之，得：口一3或口 素質和臨場應變能力參考文獻：一11劉紹學普通高中課程標準實驗教科書數學三、對今后高考復習的啟示(A版)選修44M北京：人民教育出版