第一章數(shù)值計(jì)算中的誤差

1、 計(jì)算方法0 緒論 任課教師：白巍v及格線：60v考試重點(diǎn)所有重點(diǎn)都在課堂上，無一遺漏考前不提供重點(diǎn)匯編和往年試卷v怎樣通過考試：認(rèn)認(rèn)真真學(xué)習(xí)v考試時間：第10周周三（1105）14:00-16:00v課堂紀(jì)律：無故缺課3次取消考試資格v聯(lián)系方qq:176849452；航宇館501寫在前面的話提綱挈領(lǐng)v什么是計(jì)算方法；v計(jì)算方法是做什么的；v計(jì)算方法的學(xué)科特點(diǎn)；v誤差的來源；v絕對誤差、絕對誤差限、相對誤差、相對誤差限，有效數(shù)字位數(shù)等相關(guān)概念；v數(shù)值運(yùn)算中應(yīng)注意的事項(xiàng)。“計(jì)算方法計(jì)算方法”：研究在計(jì)算機(jī)上解決數(shù)學(xué)問題的理論和數(shù)值方法數(shù)值算法的構(gòu)造:u計(jì)算公式和算法步驟

2、算法的理論分析：u誤差分析、收斂性、穩(wěn)定性等別名u數(shù)值分析u科學(xué)與工程計(jì)算什么是計(jì)算方法? 提問：計(jì)算方法是做什么用的？提問：計(jì)算方法是做什么用的？數(shù)值數(shù)值分析分析輸入復(fù)雜問題或運(yùn)算輸入復(fù)雜問題或運(yùn)算.),(,)(,ln,xfdxddxxfbxAxaxbax 計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)近似解近似解科學(xué)計(jì)算的重要性科學(xué)計(jì)算的重要性科學(xué)計(jì)算是工程實(shí)踐的重要工具科學(xué)計(jì)算是繼理論與實(shí)驗(yàn)后另一科學(xué)研 究手段Chapter 1 Introduction計(jì)算方法的學(xué)科特點(diǎn)計(jì)算方法的學(xué)科特點(diǎn)實(shí)用性實(shí)用性 理論性理論性 實(shí)踐性實(shí)踐性1 1 面向計(jì)算機(jī)，根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)提供可行的有效算法；面向計(jì)算機(jī)，根據(jù)計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)提供可行的

3、有效算法；2 2 有可靠的理論分析有可靠的理論分析: :算法的收斂性、穩(wěn)定性和誤差分析；算法的收斂性、穩(wěn)定性和誤差分析；3 3 有好的計(jì)算復(fù)雜性有好的計(jì)算復(fù)雜性: :時間和空間復(fù)雜性；時間和空間復(fù)雜性；4 4 有充分的數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明算法的有效性。有充分的數(shù)值實(shí)驗(yàn)證明算法的有效性。近似替近似替代代離散化離散化遞推化遞推化構(gòu)造數(shù)值算法的基本思想構(gòu)造數(shù)值算法的基本思想實(shí)用性 理論性 實(shí)踐性v數(shù)值方法的內(nèi)涵：理論可靠：穩(wěn)定性，收斂性計(jì)算復(fù)雜性好：計(jì)算時間，迭代次數(shù)，存儲開銷能在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)：有限可操作性v本書討論的數(shù)值計(jì)算方法一般是近似方法。v數(shù)值計(jì)算方法是研究常見的基本數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法及其相關(guān)理論的

4、一門數(shù)學(xué)分支，數(shù)值代數(shù)數(shù)值微分與積分微分方程數(shù)值解課程的主要目的v為實(shí)際問題而提供的一種為實(shí)際問題而提供的一種計(jì)算工具計(jì)算工具，故同學(xué)們的任，故同學(xué)們的任務(wù)就是學(xué)習(xí)、掌握并利用這個工具。務(wù)就是學(xué)習(xí)、掌握并利用這個工具。v培養(yǎng)學(xué)生基本的和必要的培養(yǎng)學(xué)生基本的和必要的數(shù)值計(jì)算數(shù)值計(jì)算方面的知識；方面的知識；v在學(xué)完微積分、線性代數(shù)之后繼續(xù)提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知在學(xué)完微積分、線性代數(shù)之后繼續(xù)提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識，解決識，解決數(shù)值計(jì)算問題數(shù)值計(jì)算問題的能力。的能力。 計(jì)算機(jī)軟、硬件的發(fā)展為數(shù)值方法的實(shí)現(xiàn)提供環(huán)境，也促進(jìn)它的快速發(fā)展。計(jì)算機(jī)軟、硬件的發(fā)展為數(shù)值方法的實(shí)現(xiàn)提供環(huán)境，也促進(jìn)它的快速發(fā)展。 計(jì)算方法1 誤

5、差 任課教師：白巍1 引言v誤差的一般概念v函數(shù)的數(shù)值逼近：以簡單的函數(shù)（如多項(xiàng)式）去近似一個復(fù)雜的函數(shù)，包括插值法、數(shù)據(jù)擬合法； v數(shù)值積分與數(shù)值微分；v非線性方程的數(shù)值解法；v數(shù)值代數(shù)線性代數(shù)方程組的解法矩陣的特征值問題 v常微分方程數(shù)值解法（3）解線性代數(shù)方程組：）解線性代數(shù)方程組： 11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xa xba xa xa xb （4）求積分：）求積分：10sin xdxx 舉例：舉例：（1）求）求 的正實(shí)根；的正實(shí)根；29sinxx （2）求一階微分方程初值問題：）求一階微分方程初值問題：( , ), (0)1

6、dyf x yydx 其中：其中： 2( , )sin9f x yxx 的解，的解，1 引言數(shù)值解法：即求某個數(shù)學(xué)問題的解答（近似解答），它是以數(shù)值的數(shù)值解法：即求某個數(shù)學(xué)問題的解答（近似解答），它是以數(shù)值的形式體現(xiàn)出來形式體現(xiàn)出來.2 誤差的種類與來源 1、模型誤差、模型誤差 2、觀測誤差、觀測誤差 3、截?cái)嗾`差、截?cái)嗾`差 4、舍入誤差、舍入誤差過失誤差（疏忽誤差）：計(jì)算者粗心大意產(chǎn)生的，可以避免；過失誤差（疏忽誤差）：計(jì)算者粗心大意產(chǎn)生的，可以避免；非過失誤差：無法避免的。非過失誤差：無法避免的。2.1 模型誤差模型誤差 用數(shù)學(xué)模型來描述具體的物理現(xiàn)象時，往往要忽用數(shù)學(xué)模型來描述具體的物理

7、現(xiàn)象時，往往要忽略許多次要因素，把模型略許多次要因素，把模型“簡單化簡單化”、“理想理想化化”，因此模型本身就包含有誤差，這種誤差稱，因此模型本身就包含有誤差，這種誤差稱為模型誤差。為模型誤差。2 誤差的種類與來源模型誤差例題模型誤差例題v例我們用例我們用 ，（，（ 為重力加速度）為重力加速度） 來描述物體自由下落時距離與時間的關(guān)系設(shè)自來描述物體自由下落時距離與時間的關(guān)系設(shè)自由落體在時間由落體在時間 時的實(shí)際下落距離為時的實(shí)際下落距離為 ，則，則 就是就是 “模型誤差模型誤差”。ts21( )2s tgtgt( )tss t2 誤差的種類與來源2.2 觀測誤差觀測誤差v在數(shù)學(xué)模型中總要包含一些

8、觀測數(shù)據(jù)，這些觀測在數(shù)學(xué)模型中總要包含一些觀測數(shù)據(jù)，這些觀測數(shù)據(jù)受工具、方法、觀測者的主觀因素、不可預(yù)數(shù)據(jù)受工具、方法、觀測者的主觀因素、不可預(yù)料的隨機(jī)干擾等影響必然帶入誤差，這種誤差稱料的隨機(jī)干擾等影響必然帶入誤差，這種誤差稱為觀測誤差。為觀測誤差。2 誤差的種類與來源觀測誤差例題觀測誤差例題v例例2 設(shè)一根鋁棒在溫度設(shè)一根鋁棒在溫度 時的實(shí)際長度為時的實(shí)際長度為 ， 在在 時的實(shí)際長度為時的實(shí)際長度為 ，用，用 來表示鋁棒在溫來表示鋁棒在溫度為度為 時的長度計(jì)算值，并建立數(shù)學(xué)模型：時的長度計(jì)算值，并建立數(shù)學(xué)模型： ，v其中其中 是實(shí)驗(yàn)觀測到的常數(shù)：是實(shí)驗(yàn)觀測到的常數(shù)：v則稱則稱 為為“模型

9、誤差模型誤差”， 是是 的的“觀測觀測誤差誤差”。tLt0t 0Ltlt0(1)tlLt5(2.38 0.01) 10cttLl50.01 102 誤差的種類與來源2.3 截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差v在解決實(shí)際問題時，數(shù)學(xué)模型常常難于直接求解，在解決實(shí)際問題時，數(shù)學(xué)模型常常難于直接求解，往往要近似代替，其近似解與精確解之間的誤差往往要近似代替，其近似解與精確解之間的誤差稱為截?cái)嗾`差。稱為截?cái)嗾`差。2 誤差的種類與來源截?cái)嗾`差例題截?cái)嗾`差例題v例例3 求求 時，可將時，可將 展開為級數(shù)形式：展開為級數(shù)形式：在實(shí)際計(jì)算時，我們只取前面有限項(xiàng)（例如在實(shí)際計(jì)算時，我們只取前面有限項(xiàng)（例如 項(xiàng)）項(xiàng)）計(jì)算部分和計(jì)算

10、部分和 作為作為 的值必然產(chǎn)生誤差，其誤的值必然產(chǎn)生誤差，其誤差為：差為：這個誤差就是這個誤差就是“截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差”。212!nxxxexnn2()12 !nnxxSxxn1()(1)!nneRxxn0 x在 與 之間21.2nxxxexn xexexe( )nSx2 誤差的種類與來源2.4 舍入誤差舍入誤差 在計(jì)算時總是只能取有限位有效數(shù)字進(jìn)行計(jì)算而在計(jì)算時總是只能取有限位有效數(shù)字進(jìn)行計(jì)算而引起，初始參數(shù)與中間結(jié)果都必須進(jìn)行四舍五入，引起，初始參數(shù)與中間結(jié)果都必須進(jìn)行四舍五入，這個誤差稱為舍入誤差。這個誤差稱為舍入誤差。2 誤差的種類與來源舍入誤差例題舍入誤差例題 例例4 ， ， 等，在計(jì)

11、算機(jī)上運(yùn)算時只能用有限等，在計(jì)算機(jī)上運(yùn)算時只能用有限位小數(shù)，如果取小數(shù)點(diǎn)后四位數(shù)字，則位小數(shù)，如果取小數(shù)點(diǎn)后四位數(shù)字，則 ， ， ，就是就是“舍入誤差舍入誤差 ”3.141592621.4142135610 .3 3 3 3313.14160.000074l21.414220.000013l 310.33330.0000333l 2 誤差的種類與來源2.5 誤差來源分析誤差來源分析總之，誤差一般來自模型誤差、觀測誤差、截?cái)嗾`差、舍入誤差。總之，誤差一般來自模型誤差、觀測誤差、截?cái)嗾`差、舍入誤差。 在計(jì)算方法課程中，不分析模型誤差；觀測誤差作為初始舍入誤在計(jì)算方法課程中，不分析模型誤差；觀測誤差

12、作為初始舍入誤差；截?cái)嗾`差是主要討論對象，是計(jì)算中誤差的主要部分。差；截?cái)嗾`差是主要討論對象，是計(jì)算中誤差的主要部分。 在各種算法中，通過數(shù)學(xué)方法可推導(dǎo)出截?cái)嗾`差限的公式；舍入在各種算法中，通過數(shù)學(xué)方法可推導(dǎo)出截?cái)嗾`差限的公式；舍入誤差產(chǎn)生往往有很大的隨機(jī)性，討論比較困難，在問題本身呈現(xiàn)病態(tài)誤差產(chǎn)生往往有很大的隨機(jī)性，討論比較困難，在問題本身呈現(xiàn)病態(tài)或不穩(wěn)定時，它可能成為計(jì)算中誤差的主要部分?；虿环€(wěn)定時，它可能成為計(jì)算中誤差的主要部分。誤差分析是一門專門的學(xué)科，經(jīng)過訓(xùn)練的計(jì)算工作者，當(dāng)發(fā)現(xiàn)計(jì)誤差分析是一門專門的學(xué)科，經(jīng)過訓(xùn)練的計(jì)算工作者，當(dāng)發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果與實(shí)際不符時，應(yīng)當(dāng)能找出誤差的來源，并采取

13、相應(yīng)的措施加算結(jié)果與實(shí)際不符時，應(yīng)當(dāng)能找出誤差的來源，并采取相應(yīng)的措施加以改進(jìn)，甚至對模型進(jìn)行修改。以改進(jìn)，甚至對模型進(jìn)行修改。2 誤差的種類與來源v誤差、誤差限、有效數(shù)字誤差、誤差限、有效數(shù)字v相對誤差及與有效數(shù)字的聯(lián)系相對誤差及與有效數(shù)字的聯(lián)系v算術(shù)運(yùn)算的誤差和相對誤差算術(shù)運(yùn)算的誤差和相對誤差3 誤差理論誤差的概念誤差的概念 定義定義1.1 設(shè)設(shè) 為準(zhǔn)確值，為準(zhǔn)確值， 為為 的一個近似值，的一個近似值，稱稱 為為 近似值的絕對誤差，簡稱誤差。近似值的絕對誤差，簡稱誤差。 誤差是有量綱的量，量綱同誤差是有量綱的量，量綱同 ，它可正可負(fù)。，它可正可負(fù)。*xx*x*xxxx3 誤差理論 當(dāng)絕對誤

14、差為正時，近似值偏大，叫強(qiáng)近似值；當(dāng)絕對誤差為正時，近似值偏大，叫強(qiáng)近似值； 當(dāng)絕對誤差為負(fù)時，近似值偏小，則稱弱近似值。當(dāng)絕對誤差為負(fù)時，近似值偏小，則稱弱近似值。絕對誤差限絕對誤差限 通常我們并不知道準(zhǔn)確值通常我們并不知道準(zhǔn)確值 ，也不能算出誤差，也不能算出誤差的準(zhǔn)確值，但能根據(jù)測量工具或計(jì)算情況估計(jì)出的準(zhǔn)確值，但能根據(jù)測量工具或計(jì)算情況估計(jì)出誤差的絕對值的上限，這個上限稱為近似值誤差的絕對值的上限，這個上限稱為近似值 的誤差限。記為的誤差限。記為 。 在工程中常記為：在工程中常記為： ( )*xxx*xxx*x3 誤差理論絕對誤差限例題v例例5 我們用一把毫米刻度的米尺來測量桌子的長我們

15、用一把毫米刻度的米尺來測量桌子的長度度 ，讀出的長度為，讀出的長度為 ， 是是 的近似值，由于米尺的精度知道，它的的近似值，由于米尺的精度知道，它的誤差限為誤差限為0.5mm，則有，則有*12350.51234.51235.51234.5,1235.512350.5xxxmmxxxmm即這表明 在區(qū)間內(nèi)，寫成*1235xmm*xxx3 誤差理論相對誤差相對誤差v定義誤差與精確值的比值定義誤差與精確值的比值 稱作近似值稱作近似值 的相對誤差，記作。相對誤差的相對誤差，記作。相對誤差是無量綱的量，常用百分比表示，它可正可負(fù)。是無量綱的量，常用百分比表示，它可正可負(fù)。( )*( )rxxxxxx*x

16、r3 誤差理論相對誤差限相對誤差限v相對誤差也不能準(zhǔn)確計(jì)算，而是用相對誤差限來相對誤差也不能準(zhǔn)確計(jì)算，而是用相對誤差限來估計(jì)的：估計(jì)的： 就是相對誤差限就是相對誤差限*rxxx3 誤差理論*( )( )rxxx另一個定義相對誤差限相對誤差限3 誤差理論*11( )( )( )rrxxxxx2*1 ( )xx x 21( )1( )rrxx 2*( )( )2( )rrrxxx( )2rx相對誤差限例題相對誤差限例題稱兩堆蘋果，第一堆稱兩堆蘋果，第一堆 ，誤差為，誤差為 ；第二；第二堆為堆為 ，誤差為，誤差為 ，雖然后者的誤差限比前者，雖然后者的誤差限比前者大，但不能簡單地認(rèn)為前者精確，還必須注

17、意到大，但不能簡單地認(rèn)為前者精確，還必須注意到該數(shù)本身的大小。該數(shù)本身的大小。 相對誤差分別為：相對誤差分別為：顯然，稱第一堆蘋果的相對誤差大。顯然，稱第一堆蘋果的相對誤差大。100kg9kg2kg1kg110%10r22%100r3 誤差理論有效數(shù)字位數(shù)有效數(shù)字位數(shù)v定義：如果近似值定義：如果近似值 的絕對誤差限的絕對誤差限 是某一位數(shù)是某一位數(shù)字的半個單位，我們就說字的半個單位，我們就說 準(zhǔn)確到該位，從這一準(zhǔn)確到該位，從這一位起直到前面的第一位非零數(shù)字為止的所有數(shù)字位起直到前面的第一位非零數(shù)字為止的所有數(shù)字稱為稱為 的有效數(shù)字。的有效數(shù)字。*x*x*x4 有效數(shù)字及其與誤差的關(guān)系有效數(shù)字位

18、數(shù)(續(xù))413.1416102513.14159102則說則說x* 近似表示近似表示 x 準(zhǔn)確到小數(shù)后第準(zhǔn)確到小數(shù)后第n位，并從這第位，并從這第n位起位起直到最左邊的非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都稱為直到最左邊的非零數(shù)字之間的一切數(shù)字都稱為，并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為并把有效數(shù)字的位數(shù)稱為。定義：定義：如果如果*1102nxx由上述定義由上述定義3.140.0015926有效數(shù)位為有效數(shù)位為3位位3.14160.0000074 有效數(shù)位為有效數(shù)位為5位位3.14150.0000926有效數(shù)位為有效數(shù)位為4位位4 有效數(shù)字及其與誤差的關(guān)系有效數(shù)字位數(shù)例題0.034039*0.0342*0.03403*0.

19、034044xxxx例：設(shè)，那么取2位，有效數(shù)字位數(shù)為 位；取3位，有效數(shù)字位數(shù)為 位；取4位，有效數(shù)字位數(shù)為 位；4 有效數(shù)字及其與誤差的關(guān)系 有效數(shù)字有效數(shù)字 相對誤差限相對誤差限4 有效數(shù)字及其與誤差的關(guān)系 相對誤差限相對誤差限 有效數(shù)字有效數(shù)字例題分析 例若例若 是是 的具有六位有效數(shù)字的的具有六位有效數(shù)字的近似值，那么它的誤差限是：近似值，那么它的誤差限是： 若若 是是 的具有五位有效數(shù)字的近似的具有五位有效數(shù)字的近似值，則誤差限是：值，則誤差限是： *3587.64x xx4 6211*101022xx2 5711*101022xx *0.0023156x 4 有效數(shù)字及其與誤差的

20、關(guān)系 1 1、避免兩個相近的數(shù)相減；、避免兩個相近的數(shù)相減； 2 2、避免除數(shù)絕對值遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對值的除法；、避免除數(shù)絕對值遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對值的除法； 3 3、要防止大數(shù)、要防止大數(shù)“吃掉吃掉”小數(shù)；小數(shù)； 4 4、盡可能減少運(yùn)算次數(shù)；、盡可能減少運(yùn)算次數(shù)； 5 5、要設(shè)法控制誤差的傳播。、要設(shè)法控制誤差的傳播。在近似計(jì)算中應(yīng)該注意的事項(xiàng)在近似計(jì)算中應(yīng)該注意的事項(xiàng)5 誤差的傳播與估計(jì)避免兩個相近的數(shù)相減11()( )nniiiixx*111()( )nniririniiiixxxx*121212*1212()( )()rrrxxxxxxxxxx*121212*1212()()()rrrxxx

21、xxxxxxx避免兩個相近的數(shù)相減l弊端：有效數(shù)字減少求解方程01162xx638,63821xx937.763 0627. 06381063. 063811xx避免兩個相近的數(shù)相減21 cos2sin ( / 2)xx0 x21xx 2121logloglogxxxx1xxxxx111l幾個小技巧避免除數(shù)絕對值遠(yuǎn)小于被除數(shù)絕對值的除法例：用單精度計(jì)算例：用單精度計(jì)算 的根。的根。010)110(992 xx精確解為精確解為110291 x,x 算法算法1 1：利用求根公式利用求根公式aacbbx242 在計(jì)算機(jī)內(nèi)，在計(jì)算機(jī)內(nèi)，109存為存為0.1 1010，1存為存為0.1 101。做加法時

22、，做加法時，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即1 的指數(shù)部分須變?yōu)榈闹笖?shù)部分須變?yōu)?010，則：，則：1 = 0.0000000001 1010，取，取單精度時就成為：單精度時就成為： 109+1=0.10000000 1010+0.00000000 1010=0.10000000 1010大數(shù)大數(shù)吃吃小數(shù)小數(shù)024,102422921 aacbbxaacbbx避免大數(shù)吃小數(shù)減少運(yùn)算次數(shù)直接算：(n+1)n/2次乘法，n次加法12210( )(.().)nnnP xa xaxaxaxa xa秦九韶算法秦九韶算法1247 (又稱為又稱

23、為Horner算法算法1819)：n次乘法，n次加法0111.)(axaxaxaxPnnnn6 算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法的數(shù)值穩(wěn)定性一個算法，如果在執(zhí)行它的過程中舍入誤差在一定條件下可以得到控制（或者說初始誤差和舍入誤差的增長不影響產(chǎn)生可靠的結(jié)果），則稱它是數(shù)值穩(wěn)定的，否則稱該算法數(shù)值不穩(wěn)定。數(shù)值穩(wěn)定截?cái)嗾`差小控制誤差的傳播例：例：蝴蝶效應(yīng)蝴蝶效應(yīng) 一只南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的蝴蝶，一只南美洲亞馬遜河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可以在兩周以后引起德州的一場龍卷偶爾扇動幾下翅膀，可以在兩周以后引起德州的一場龍卷風(fēng)風(fēng)！AT以上是一個以上是一個病態(tài)問題病態(tài)問題 /* ill-posed problem*/關(guān)于本身是病態(tài)的問題，我們還是留給數(shù)學(xué)家去頭