2001考研數(shù)二真題及解析

1、2001年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分，把答案填在題中橫線上)3x1x(1)limx1x2x2設函數(shù)yf(x)由方程e2xycos(xy)e1所確定，則曲線yf(x)在點(0,1)處的法線方程為.(3)2x3sin2xcos2xdx2(4)過點(4)過點,0且滿足關系式y(tǒng)'arcsinx21的曲線方程為a111(5)設方程1a1X21有無窮多個解，則a11aX32、選擇題(本題共5小題,每小題3分，共15分,在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,1)內(nèi)具有二階導數(shù)，f&#

2、39;(X)嚴格單調(diào)減少，且目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)1,<1,(1)設f(x)則fff(x)等于()0,x1,1,<1,0,x1,(A)0(B)1(C)門(D)f(x)<1,0,x1,1,設當x20時,(1cosx)ln(1x2)是比xsinxn高階的無窮小，xsinxn是比ex1高階的無窮小，則正整數(shù)n等于()(A)1(B)2(C)3(D)4曲線y2(x1)(x23)的拐點個數(shù)為()(A)0.(B)1.(C)2.(D)3f(1)f'(1)1,則()(A)在(1,1)和(1,1)內(nèi)均有f(x)x(B)在(1,1)和(1,1)內(nèi)均有f(x)x(C)在

3、(1,1)內(nèi),f(x)x.在(1,1)內(nèi),f(x)x.(D)在(1,1)內(nèi)，f(x)x.在(1,1)內(nèi),f(x)x.設函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導，yf(x)的圖形如右圖所示,則導函數(shù)yf(x)的圖形為/J(B)/丿fJ1j丿iV1V11三、(本題滿分6分)dx求(2x21)x21.四、(本題滿分7分)求極限limSinttxsinxxsintsinx，記此極限為f(x),求函數(shù)f(x)的間斷點并指出其類型五、(本題滿分7分)(x)是拋物線yX上任一點M(x,y)(x1)處的曲率半徑，ss(x)是該拋物線上介于點d2A(1,1)與M之間的弧長，計算3Nds2d2的值.(在直角坐標系下曲率公ds式

4、為Ky"3)(1y'2)2六、(本題滿分7分)f(x)設函數(shù)f(x)在0,)上可導,f(0)0,且其反函數(shù)為g(x)若og(t)dtx2ex,求f(x).七、(本題滿分7分)設函數(shù)f(x),g(x)滿足f(x)g(x),g(x)2exf(x)，且f(0)0,g(0)2,g(x)0rxg(x)0rxf(x)(1x)2dx八、(本題滿分9分)設L是一條平面曲線，其上任意一點P(x,y)(x0)到坐標原點的距離，恒等于該點處1的切線在y軸上的的截距，且L經(jīng)過點丄,0.2(1) 試求曲線L的方程(2) 求L位于第一象限部分的一條切線，使該切線與L以及兩坐標軸所圍圖形面積最小.九、(本

5、題滿分7分)一個半球體狀的雪堆，其體積融化的速率與半球面面積S成正比，比例常數(shù)K0.假設在融化過程中雪堆始終保持半球體狀，已知半徑為r0的雪堆在開始融化的3小時內(nèi)，融化了其體積的7,問雪堆全部融化需要多少小時？8十、(本題滿分8分)設f(x)在區(qū)間a，a(a0)上具有二階連續(xù)導數(shù)，f(0)0，(1) 寫出f(x)的帶拉格朗日余項的一階麥克勞林公式；3a(2) 證明在a，a上至少存在一點，使a3f()3f(x)dx.a、(本題滿分6分)100011已知矩陣A110,B101.且矩陣X滿足111110AXABXBAXBBXAE，其中E是3階單位陣，求X.十二、(本題滿分6分)設1,2,，4為線性方

6、程組AX0的一個基礎解系，11t2,22t333t4,44t1,試問實數(shù)t滿足什么關系時，1,2,3,4也為AX0的一個基礎解系.2001年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學二試題解析一、填空題(1)【答案】6【詳解】01.3x、1x2X2x2lim二x1x2、廠xx1.3x、1x3x、1x.3x、1x3x、1x01x2x13x.1x3x1xlim:x1x2x1、3x.1x21x2limlimx1x2x1.3x.1xx1x2.3x.1xA221limx23xx11x12x31x113.26【答案】x-2y+2=0.ycos(xy)e1兩邊對x求導，其中y視為x的函數(shù)，得2xye2xysin(xy)

7、將x=0,y=1代入上式,得e(2y')據(jù)點斜式法線方程為：y11x,【詳解】在等式即x-2y+2=0.2xe0,即y'(0)2.xy0,即e2xy(2y')sin(xy)(yxy')故所求法線方程斜率k【答案】一8【分析】根據(jù)區(qū)域對稱性與被積函數(shù)的奇偶性：設fx在有界閉區(qū)域a,a上連續(xù)，則有aaaaaaaaaxdx2fxdx,xdx0，x為偶函數(shù)x為奇函數(shù)【詳解】由題設知2x3sin2xcos2xdx22x3sin2xcos2xdx22x3cos2xdx2sin2xcosxdx在區(qū)間,上,x3cos2x是奇函數(shù),sin2xcos2x是偶函數(shù)，故222x'

8、;cos2xdx20,2sin2xcos2xdx22sin2xcos2xdx.所以，原式2x3cosxdx2>22.o222,-sinxcosxdx22sinxcosxdx_022sin22xdx022(1cos4x)dx402cos4xd4x16011-sin4x20.4216088【答案】【詳解】yarcsinxx12.方法1:因為yarcsinxyy'arcsinx，所以原方程y'arcsinxJ1x2寫為yarcsinx1，兩邊直接積分，得yarcsinxxc.y1可改ic，解得c1又由y（-）0代入上式，有0arcsinx21故所求曲線方程為yarcsinxx.

9、2方法2:將原方程寫成一階線性方程的標準形式11W=2y.1xarcsinxarcsinx由一階線性微分方程宜PxyQx通解公式:dxPxdxf(x)eCPxdxQxedx這里Px1arcsinx1dx1xarcsinx，代入上式得:1earcsinx1dxL2.1xarcsinxdxdarcsinxarcsinx1earcsinxdarcsinxarcsinxdxInarcsinxeC1Inarcsinexdxarcsinx1CarcsinxdxCxarcsinxarcsinxarcsinxarcsinx-.故曲線方程為:21又由灼）0,解得C1yarcsinxx2a11:1/一11a：21

10、,3仃A1a1:1”1a1:1互換11a：2a11:111a:2利用初等行變換化增廣矩陣為階梯形,有1行的（-1）,（-a）倍【答案】-2【詳解】方法1：【答案】-2【詳解】方法1：方法2：設A是mn矩陣,方程組Axb有無窮多解r(A)r（A）n,則方程組1x111有無窮多解r（A）r(A)3.從而有A0,即12111a0,(a2)(a1)21x21行提出（a2）(a2)=(-1)1+1(a2)0分別加到2,3行01a21a：12a11a:22行加到3行0a11a-300(1a)(a2匸2(2a)由非齊次線性方程組有無窮多解的充要條件:設A是mn矩陣,方程組Axb有無窮多解r(A)r(A)n.

11、可見,只有當a=-2時才有秩r(A)r(A)23，對應方113aa:程組有無窮多個解.則,a1或a2.當a1時,111:1111:1A11仁11行(1)分別加到2,行000：011仁2000：3可見r(A)1r(A)2,原方程組無解當a2時，有21仁1112A12仁11,行互換12仁1112J221仁1112；2112；22行1行03331行2加到3行033丨3211:10333112：2112：23行+2行033丨32行(3)011：1000:0000:0可知，r(A)r(A)23,故當a2時,原方程組有無窮多解二、選擇題1,x1，所以在整個定義域內(nèi)0,x11,x1，所以在整個定義域內(nèi)0,x

12、1f(x)0或f(x)1,所以f(x)1,(1)【答案】(B)【詳解】因為f(x)于是ff(x)1,從而fff(x)【答案】(B)【詳解】根據(jù)高階無窮小的定義：如果lim0，就說是比高階的無窮小，由題設當x0時,(1cosx)ln(1x2)是比xsinxn高階的無窮小，所以13xlimgrX0xnlim1x3x02(1cosx)ln(1x)12xx等價lim等價x0xx從而n應滿足n2；2又由xsinxn是比(elim0xsinx1)高階的無窮小，所以根據(jù)高階無窮小的定義有:nxsinxlim2等價limx0©X1X0x2limxn1，從而n應滿足n2x0綜上，故正整數(shù)n2，故選(B

13、)【答案】(C)22【詳解】y(x1)(x3),所以y2(x1)(x3)22(x1)2(x3)4(x1)(x2)(x3)y4(x2)(x3)(x1)(x3)(X1)(x2)42X5x6x24x32X3x2243x12x11y46x1224x2令y0,即3x212x110,因為判別式:b24ac1224311120所以y0有兩個不相等的實根，且y23221221110,所以兩個實根不為2,因此在使y0這兩點處，三階導數(shù)y0,(般地，若x00,且fxd0，則點x°,fX。一定是曲線yfx的拐點),因此曲線有兩個拐點，故選(C)或根據(jù)y43x212x11是一條拋物線，且與x軸有兩個不相同的

14、交點，所以在兩個交點的左右y符號不相同，滿足拐點的定義，因此選(C)【詳解】方法1：令Fxf(x)x,則Fxf(X)11f(X)f1由于f'(x)嚴格單調(diào)減少，因此當X(1,1)時,f(x)f1,則Fxf(x)f10；當x(1,1)1時,f(X)f1,則FXf(x)f10，且在x1處F1f(1)f10,(4)【答案】(A)根據(jù)判定極值的第一充分條件：設函數(shù)f(X)在X。處連續(xù)，且在x0的某去心領域內(nèi)可導,若XXo,Xo時,f(x)0,而XXo,Xo時,f(x)0,則f(x)在Xo處取得極大值，知Fx在X1處取極大值，即在在(1,1)和(1,1)內(nèi)均有FxF10,也即f(x)x.故選(A

15、)方法2:排除法，取f(x)方法2:排除法，取f(x)x，則f(x)2x112x3,f(x)20,所以滿足題設在區(qū)間(1,1)內(nèi)具有二階導數(shù)，f'(x)嚴格單調(diào)減少，且2x1xx,因此可以排除2seSudu2(2tanu1)secudu2(2tanu1)cosudu(2sin2u(2cosu1)cosucos2udu2sin2ucos2ucosuf(1)f'(1)1,當x1時或x1時,均有f(X)(B)、(C)、(D)，選(A)【答案】(D)【詳解】從題設圖形可見，在y軸的左側，曲線yf(x)是嚴格單調(diào)增加的，因此當x0時,一定有f'(x)0,對應/(3)>(丿丿

16、(C)r/、/丿X_/r11yf(x)圖形必在x軸的上方，由此可排除(A),(C)；又yf(x)的圖形在y軸右側靠近y軸部分是單調(diào)增,所以在這一段內(nèi)一定有f'(x)0,對應yf(x)圖形必在x軸的上方，進一步可排除(B)，故正確答案為(D).三【詳解】作積分變量變換，令xtanu,則dxse£udu,sec2udu(2tan2u1)tan2u1cosudu222sinucosucosududsinu22sinu1sinu1tanusinuarctan(sinu)arctan(sinu)胡1tan2uCtanux四【分析】應先求出f（x）的表達式，再討論它的間斷點，首先明確間斷

17、點的類型分為兩大類：第一類間斷點和第二類間斷點，第一類間斷點又可分為：可去間斷點（左右極限存在且相等的間斷點）和跳躍間斷點（左右極限存在但不相等的間斷點）；第二類間斷點又可分為：無窮間斷點（有一個極限為無窮的間斷點）和振蕩間斷點（極限值在某個區(qū)間變動無限多次）.XimtsintsinxxsintsinxInlimetxxsintsintsinxsinxxsintInsintsinxsinxlimetxlimln竺1txsintsinxsinxnsimx11Insinxsinxlimlntxsintsinxsintsinxsinxlimtxxsintsinxsintsinxsinxxxsinxs

18、inxsintlimetxxsintInlimxInsintx所以f(x)sinxsinxtxsintesinxsinxesinx由f(x)xesinx的表達式，可以看出自變量x應滿足sinx0，從而xk，k0,1，2,當x0時，亠lim亠“l(fā)imf(x)limesinxex0sinxe2,為f（x）的第二類間斷點（無窮間斷點）AAyjx,有y',y,拋物線在點M（x,y）處的曲率半徑2Jx4x3e,x0x0所以x0為f（x）的第一類間斷點（左右極限相等，又進一步可知是可去間斷點）;對于非零整數(shù)k,xlimf(x)limesinxxkxkexlimxsinxsinx0五【解答】由若已知

19、平面曲線AMs：12xdx,其中fx根據(jù)上述結論因此y"的顯式3223(X)丄(1y'2)2K,則弧長為32l(4x1)12在a,b有連續(xù)的導數(shù).，所以拋物線上AM的弧長1ddsx1A(4x11)22914x36x9f(x)2x六【詳解】f(x)的反函數(shù)是g(x),根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)有g(f(x)X,og(t)dtx2ex兩邊對x求導有f(x)0g(t)dt2xxegfxf(x)x2xxe2xe又g(f(x)X,所以xf(x)x2ex2xexf(x)xex2ex,x(0,)兩邊積分f(x)dxxex2exdxf(x)xexdx2exdxf(x)xdex2exf(x)分部xexe

20、xdx2exf(x)xexex2exCf(x)xexexC.由于題設f(x)在0,)上可導，所以在x0處連續(xù)，故YYf0limf(x)limxeeC1C0,0x0所以C1汙是f(x)xexex1,x0,)七【詳解】由f(x)七【詳解】由f(x)g(x),g(x)2exf(x)，得f(x)g(x)2exf(x)，即f(x)f(x)2ex此為二階常系數(shù)線性非齊次方程，且右端呈巳xe型(其中巳x2,1),對應的齊次方程為f(x)f(x)0,特征方程為r20,對應的特征值為于是齊次方程的通解為:cosxC2sinx,因為1r，所以設特解為yaex(a為實數(shù)),xae,代入f(x)f(x)2ex,aex

21、aex2ex,所以a2,即a1，從而特解非齊次方程的通解為xC1cosxC2sinx又f(0)0,所以,f0C1cos0C2sinO又f(0)0,所以,f0C1cos0C2sinOx又,fxGsinxC2cosxe,f0g(0)2,所以,f0C1sinOC2cos0所以,f0C1sinOC2cos0e0C2C21,所以原方程的解為:xsinxxcosxe以下計算積分，有兩個方法:以下計算積分，有兩個方法:方法1：凹01x(1g(x)1x0(1x)2f(x)g(x)f(x)10(1八。先dx方法2:f(x)1x0g(x)g(x)f()f(0)sincose1101f(x)(1x)2dxg(x)d

22、xxf(0)dxx0f(x)dxf(x)ddx1xgxf(x)。警f(x)1x0。黑dxf(x)1x0f()f(0)sincose1101f(0)八【詳解】設曲線L過點P（x,y）的切線方程為YyYxyy，即它在y軸上的截距為xyy，根據(jù)兩點x,y,x0,y0距離公式dxx2yy°$，所以原點到點P（x，y）jrqq的距離為.xy，由題設P（x，y）（x0）到坐標原點的距離恒等于該點處的切線在上的截距，所以:xyy,x2(x0),此為一階齊次方程duux-dx積分得J(xx，按規(guī)范方法解之xu210)，命yux，貝y3udxx屯'.廠dxxdu，代入，方程變?yōu)?dxduu2_

23、1xduu1dxIn1u2Incxu1u2Cx把u乂代入上式，得x22xyC.由題設曲線經(jīng)過點(2)由(1)知y程為：Y1x242,0，代入得-，故所求方程為:2-2y2,即yx2，則y2xXx2x,點P(x,y)P，分別令0,Y1X,4x2，所以在點P處的切線方0，解得在y軸,x軸上的截距分別為21工x1x2一和428x此切線與兩坐標軸圍成的三角形面積為:Ax1-x2228x464x4x2由于該曲線在第一象限中與兩坐標軸所圍成的面積為定值，記S)，于是題中所要求的面積為：SxAxS0丄4x21$S。,64x求最值點時與無關,以下按微分學的辦法求最值點164x4x2S028x4x2164x24

24、x21228x4x2x64x24x24x2112x2164x2丄，當0x126彳時，SX0；當xf時，SX0,根據(jù)極值存在的第一充分條件:設函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，且在x0的某去心領域內(nèi)可導,若xx0,X°時，f(x)時,f(x)0,則f(x)在x0處取得極大值，知:x仝是Sx在x60處的唯一極小值點，即最小值點，于是所求切線方程為:Y1_23頁X，即Y仝X1466633九【詳解】方法1：半球形雪堆在時刻t時設其半徑為r,則半球體積232Vr，側面積S2r.由題3設體積融化的速率與半球面面積S成正比,知：dVkS,dt由于r是t的函數(shù),dV2r32r2dr,代入上式，得：2r2dr

25、kS,即dtdt3dtdt-Jr2r2一k2r2從而drkdt,rt0r0.dtt00積分得rktc,把rt0r0代入得cr0,所以rktr0.又半徑為r°的雪堆在開始融化的3小時內(nèi)，融化了其體積的-,即87 1vt3VV-V0,其中V表示t0時的v以v的公式代入上式，為82將ktr0代入上式，兩邊約去亍，得:3131ktr°r°,即卩ktr°r°82從而求得：k15,-F是rktr01-r°tr°r01-，當t6時r0,雪融化666宀完.方法2:半球形雪堆在時刻t時設其半徑為r,則半球體積V-r3,側面積S2r2,聯(lián)立23

26、2r,S2r3V消去r，得:S318V23-J/由題設體積融化的速率與半球面面積S成正比，知：kS,從而推知dtdVdtkVl8V2,Vt0V。分離變量dV2Jk3tc,把Vt0V0代入,c3V03,V311所以,3V33V3k3百t.又由Vt3Vo7 133-Vo丄Vo,代入上式V。33Vo38 823V33Vo3k318t3V。3；3曽318t1113Vo32Vo3t.命V0,解得：t6,即雪堆全部融化需6小時.十【應用定理】閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理：設f(x)在a,b上連續(xù),f(a)f(b),則對f(a)與f(b)之間的任何數(shù)必存在c(acb),使得f(c)【詳解】(1)麥克勞林公式其

27、實就是泰勒公式中，把函數(shù)在零點展開.f(x)的拉格朗日余項一階麥克勞林公式為:f(x)f(0)f(0)x2f()x2f(0)x2其中位于0和x為端點的開區(qū)間內(nèi)，xa,a.方法1：將f(x)從a到a積分af(x)dxaf(0)xdx3f()x2dx.a從而有af(0)xdxf(0)aaxdxaf(0)a1af(x)dxa2a()x2dx.因f(x)在a,a上連續(xù)，故有f(x)在a,a上存在最大值，最小值m(由閉),即mminfa,a(x),Mmaxf(a,a易得mf(x)M,xa,a.因此aaf(x)dx1a2af()x2dx同理aaf(x)dx丄a2af()x2dx因此3amf(x)dxM.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值和最小值a由連續(xù)函數(shù)介值定理知，存在1m2ax2dxa3x2dxa13ma3a,a，使af(x)dx，即aa3f()3aaf(x)dx.Ma33x方法2:觀察要證的式子,做變限函數(shù)：F(x)f(t)dt,易得F(0)0,xF(x)f(x)f(x)(變限積分求導)F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)F(x)f(x)f(x)f(x)f(x)則有F(0)f(0)f(0)000