32立體幾何中向量方法1

1、12 利用向量可證明利用向量可證明四點(diǎn)共面、線線平行、四點(diǎn)共面、線線平行、線面平行、線線垂直、線面垂直線面平行、線線垂直、線面垂直等問(wèn)題，等問(wèn)題，其方法是通過(guò)其方法是通過(guò)向量的運(yùn)算向量的運(yùn)算來(lái)判斷，這是數(shù)來(lái)判斷，這是數(shù)形結(jié)合的典型問(wèn)題形結(jié)合的典型問(wèn)題. .3 例例1 1 在正方體在正方體ACAC1 1中，中，E E, ,F F分別是分別是BBBB1 1, ,CDCD的中點(diǎn)，求證：平面的中點(diǎn)，求證：平面AEDAED平面平面A A1 1FDFD1.1.ABCDA1B1C1D1EFxyz4評(píng)述：評(píng)述： 此題用綜合推理的方法不易入手此題用綜合推理的方法不易入手. . 用向量代數(shù)用向量代數(shù)的方法則先證明

2、線線垂直，再由線線垂直來(lái)的方法則先證明線線垂直，再由線線垂直來(lái)證明線面垂直，從而證得面面垂直證明線面垂直，從而證得面面垂直. .證明面面證明面面垂直的原理是一致的，只不過(guò)是證明的手段垂直的原理是一致的，只不過(guò)是證明的手段不同不同. . 利用向量解幾何題的一般方法是：把線段或利用向量解幾何題的一般方法是：把線段或角轉(zhuǎn)化為向量表示，并用已知向量表示未知角轉(zhuǎn)化為向量表示，并用已知向量表示未知向量，通過(guò)向量運(yùn)算去計(jì)算或證明向量，通過(guò)向量運(yùn)算去計(jì)算或證明. .5 利用向量可以進(jìn)行求線線角、線利用向量可以進(jìn)行求線線角、線面角、面面角，關(guān)鍵是進(jìn)行向量的計(jì)面角、面面角，關(guān)鍵是進(jìn)行向量的計(jì)算算. .6 例例2

3、2 空間四邊形空間四邊形ABCD中，中，AB=BC=CD, ABBC，BCCD，AB與與CD成成60600 0角，求角，求AD與與BC所成的角所成的角. .7 注意異面直線所成的角與異面直線上兩向量注意異面直線所成的角與異面直線上兩向量夾角的關(guān)系：相等或互補(bǔ)夾角的關(guān)系：相等或互補(bǔ). 求異面直線所成的角的關(guān)鍵是求異面直線上求異面直線所成的角的關(guān)鍵是求異面直線上兩向量的數(shù)量積，而要求兩向量的數(shù)量積，兩向量的數(shù)量積，而要求兩向量的數(shù)量積，必須把所求向量用空間的一組基向量來(lái)表示，必須把所求向量用空間的一組基向量來(lái)表示，本題正遵循了這一規(guī)律本題正遵循了這一規(guī)律. 本題多次運(yùn)用了封閉回路本題多次運(yùn)用了封閉

4、回路.評(píng)述：評(píng)述：8 如果向量如果向量n的基線與平面的基線與平面垂直垂直, ,則則向量向量n叫做平面叫做平面的的法向量法向量或說(shuō)向量或說(shuō)向量n與與平面平面正交正交. . 平面平面的一個(gè)法向量垂直于與平面的一個(gè)法向量垂直于與平面共面的所有向量共面的所有向量一個(gè)平面的所有法向量互相平行一個(gè)平面的所有法向量互相平行. .直線與平面垂直的判定定理直線與平面垂直的判定定理: : 如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線垂直垂直, ,那么這條直線垂直于這個(gè)平面那么這條直線垂直于這個(gè)平面. .9 已知已知a, ,b是平面是平面內(nèi)的兩條相交直線內(nèi)的兩條相交直線, ,且直且直線線n,

5、 ,n. .求證求證: :n. . 證明:設(shè)m是內(nèi)的任一條直線,在n,a,b,m上分別取非零向量n,a,b,m.因?yàn)閍和b相交,由共面向量定理可知,存在唯一的數(shù)對(duì)(x,y)使m=xa+yb,nm=xna+ynb由已知條件由已知條件, ,可以推知可以推知na=0,=0, nb=0.=0.因此因此nm=0,=0,得得nm. 因?yàn)橹本€因?yàn)橹本€n垂直于平面垂直于平面內(nèi)的任一直線內(nèi)的任一直線, ,所以直線垂直于平面所以直線垂直于平面. .10 設(shè)設(shè)A是空間任一點(diǎn)是空間任一點(diǎn), , n為空間任一非零向?yàn)榭臻g任一非零向量量, ,適合條件適合條件AMn=0. =0. 的點(diǎn)的點(diǎn)M M 構(gòu)成什么樣的圖形構(gòu)成什么樣

6、的圖形? ?AnM2M1MAMn=0.我們用上式表述通過(guò)空間一點(diǎn)并且與一個(gè)向量我們用上式表述通過(guò)空間一點(diǎn)并且與一個(gè)向量垂直的平面垂直的平面. .通常稱(chēng)為一個(gè)通常稱(chēng)為一個(gè)平面的向量表示平面的向量表示. .設(shè)設(shè)n1 1, ,n2 2分別是平面分別是平面, ,的法向量的法向量, ,則容易得到則容易得到討論：討論：/(或重合或重合) n1/n2 n1n2 n1n2=011例例3 3 已知點(diǎn)已知點(diǎn)A A( (a,0,0),0,0),B B(0,(0,b b,0),0),C C(0,0,(0,0,c c),),求平面求平面ABCABC的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量. .( , , ) (, ,0)0n ABx

7、y za bax by 0,.0axbyaayx zxaxczbc由解得設(shè)平面設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為的一個(gè)法向量為 n=(x,y,z),則則解解: : 由已知得由已知得AB=OB-OA=(-a,b,0) )不妨令不妨令x=bc則則y=ac, ,z= =ab.OABzyCxnAC=OC-OA=(-a,0,c)( , , ) (,0, )0n ACx y zacax cz 因此因此, ,可取可取n=(bc,ac,ab)為平面為平面ABCABC的一個(gè)法向量的一個(gè)法向量. .12 空間距離是一種重要的幾何量，利空間距離是一種重要的幾何量，利用常規(guī)方法求距離，需要較強(qiáng)的轉(zhuǎn)化用常規(guī)方法求距離，需要較強(qiáng)

8、的轉(zhuǎn)化能力，而用向量法則相對(duì)簡(jiǎn)單能力，而用向量法則相對(duì)簡(jiǎn)單. .13 例例4 4 正方體正方體ACAC1 1棱長(zhǎng)為棱長(zhǎng)為1 1，求平面，求平面ADAD1 1C C與平與平面面A A1 1BCBC1 1的距離的距離. .A1B1C1D1ABCDxyz14評(píng)述：評(píng)述：此此題用找公垂線的方法比較難下手，用向題用找公垂線的方法比較難下手，用向量代數(shù)的方法則簡(jiǎn)捷、高效，顯示了向量量代數(shù)的方法則簡(jiǎn)捷、高效，顯示了向量代數(shù)方法在解決立體幾何問(wèn)題的優(yōu)越性代數(shù)方法在解決立體幾何問(wèn)題的優(yōu)越性.平行平面間的距離可轉(zhuǎn)化為直線到平面的平行平面間的距離可轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離或再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離距離或再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面

9、的距離.15 ACBDACABBDAB 0 0已已知知二二面面角角 - - - 為為1 12 20 0 ，且且，= = = =1 1. .A AB BA AB BA AC CB BD D(1)求求CD的長(zhǎng)的長(zhǎng).(2)CD與與AB所成的角所成的角.16ABCDA1B1C1D1 正方體正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，P 為為DD1的中的中點(diǎn)，點(diǎn)，O1，O2，O3分別是平面分別是平面A1B1C1D1，平面，平面BB1C1C，平面，平面ABCD的的中心中心. （1）求證：）求證：B1O3PA.O3PxyzO2O117ABCDA1B1C1D1 正方體正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，P 為為DD1的點(diǎn)，的點(diǎn)，O1，O2，O3分別是平面分別是平面A1B1C1D1，平面，平面BB1C1C，平面，平面ABCD的中心的中心.O3Pxyz （2）求異面直線）求異面直線PO3與與O1O2成的角成的角.O2O118 本堂課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是用向量代數(shù)的方本堂課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是用向量代數(shù)的方法解決立體幾何問(wèn)題，但在學(xué)習(xí)中應(yīng)法解決立體幾何問(wèn)題，但在學(xué)習(xí)中應(yīng)把幾何綜合推理與向量代數(shù)運(yùn)算推