新教材新人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)精品學(xué)案：2.1等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

1、新教材新人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)精品學(xué)案：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)新教材新人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)精品學(xué)案21等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)1會(huì)用不等式(組)表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系2掌握不等式的有關(guān)性質(zhì)3能利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)或式的大小比較或不等式證明1兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較如果ab是正數(shù)，那么a>b；如果ab等于零，那么ab；如果ab是負(fù)數(shù)，那么a<b.反過(guò)來(lái)也對(duì)這個(gè)基本事實(shí)可以表示為：a>bab>0，abab0，a<bab<0.從上述基本事實(shí)可知，要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小2等式的基本性質(zhì)性質(zhì)1如果ab，那么ba；性質(zhì)2如果ab，bc，

2、那么ac；性質(zhì)3如果ab，那么a±cb±c；性質(zhì)4如果ab，那么acbc；性質(zhì)5如果ab，c0，那么.3不等式的性質(zhì)(1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>bb<a.(2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>ca>c.(3)如果a>b，那么ac>bc.(4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)如果a>b，c>d，那么ac>bd.(6)如果a>b>0，c&g

3、t;d>0，那么ac>bd.(7)如果a>b>0，那么an>bn(nN，n2)溫馨提示：(1)在應(yīng)用不等式時(shí)，一定要搞清它們成立的前提條件，不可強(qiáng)化或弱化成立的條件(2)要注意每條性質(zhì)是否具有可逆性1若a>b，且ab>0，則與的大小關(guān)系如何？答案因?yàn)閍b>0，所以a與b同號(hào)而，又a>b，所以ba<0.所以<0，即<2判斷正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)ab是成立的充要條件()(2)若a>b，則ac>bc一定成立()(3)若ac>bd，則a>b，c>d.()(4)同向不等式相

4、加與相乘的條件是一致的()答案(1)×(2)×(3)×(4)×題型一用不等式(組)表示不等關(guān)系【典例1】商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元銷售，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采用提高售價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法增加利潤(rùn)已知這種商品的售價(jià)每提高1元，銷售量就可能相應(yīng)減少10件若把提價(jià)后的商品售價(jià)設(shè)為x元，怎樣用不等式表示每天的利潤(rùn)不低于300元？思路導(dǎo)引根據(jù)“利潤(rùn)銷售量×單件利潤(rùn)”，把利潤(rùn)用x表示出來(lái)，“不低于”即“大于或等于”，可列出不等式解若提價(jià)后商品的售價(jià)為x元，則銷售量減少×10件，因此，每天的利潤(rùn)為(x8)10010(x10)元

5、，則“每天的利潤(rùn)不低于300元”可以表示為不等式(x8)10010(x10)300.在用不等式(組)表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系時(shí)，先通過(guò)審題，設(shè)出未知量，找出其中的不等關(guān)系，再將不等關(guān)系用不等式表示出來(lái)，即得不等式或不等式組針對(duì)訓(xùn)練1如圖所示的兩種廣告牌，其中圖1是由兩個(gè)等腰直角三角形構(gòu)成的，圖2是一個(gè)矩形，則這兩個(gè)廣告牌面積的大小關(guān)系可用含字母a，b(ab)的不等式表示為_答案(a2b2)>ab2你有過(guò)乘坐火車的經(jīng)歷嗎？火車站售票處有規(guī)定：兒童身高不足 m的免票，身高 m的兒童火車票為半價(jià)，身高超過(guò) m的兒童買全價(jià)票你能用不等式表示這些規(guī)定嗎？解設(shè)身高為h m，文字表述身高不足 m身高在

6、 m間身高超過(guò) m符號(hào)表示h<hh>票價(jià)免費(fèi)半價(jià)票全價(jià)票題型二數(shù)(式)的大小比較【典例2】比較下列各組中兩個(gè)代數(shù)式的大?。?1)x23與3x；(2)已知a，b均為正數(shù)，且ab，比較a3b3與a2bab2的大小思路導(dǎo)引我們知道，ab>0a>b，ab<0a<b.因此，若要比較兩式的大小，只需作差與0作比較即可解(1)(x23)3xx23x32>0，x23>3x.(2)(a3b3)(a2bab2)a3b3a2bab2a2(ab)b2(ab)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)a>0，b>0且ab，(ab)2>0，ab>0.(a

7、3b3)(a2bab2)>0，即a3b3>a2bab2.作差法比較兩個(gè)數(shù)大小的步驟及變形方法(1)作差法比較的步驟：作差變形定號(hào)結(jié)論(2)變形的方法：因式分解；配方；通分；分母或分子有理化；分類討論針對(duì)訓(xùn)練3已知x，y均為正數(shù)，設(shè)m，n，比較m和n的大小解mn.又x，y均為正數(shù)，x>0，y>0，xy>0，xy>0，(xy)20.mn0，即mn(當(dāng)xy時(shí)，等號(hào)成立)4設(shè)x，y，zR，比較5x2y2z2與2xy4x2z2的大小解5x2y2z2(2xy4x2z2)4x24x1x22xyy2z22z1(2x1)2(xy)2(z1)20，5x2y2z22xy4x2z2

8、，當(dāng)且僅當(dāng)xy且z1時(shí)取等號(hào).題型三利用不等式的性質(zhì)判斷或證明不等式【典例3】(1)對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，給出下列命題：若a>b，則ac2>bc2；若a<b<0，則a2>ab>b2；若a>b，則a2>b2；若a<b<0，則>.其中正確命題的序號(hào)是_(2)已知a>b，e>f，c>0.求證：fac<ebc.思路導(dǎo)引(1)直接利用不等式的基本性質(zhì)判斷；(2)首先由性質(zhì)4得到bc>ac，再由性質(zhì)5證明解析(1)對(duì)于c20，只有c0時(shí)才成立，不正確；對(duì)于，a<b<0a2>ab；a<b&l

9、t;0ab>b2，正確；對(duì)于，若0>a>b，則a2<b2，如1>2，但(1)2<(2)2，不正確；對(duì)于，a<b<0，a>b>0，(a)2>(b)2，即a2>b2.又ab>0，>0，a2·>b2·，>，正確(2)證明：a>b，c>0，ac>bc，ac<bc.f<e，fac<ebc.答案(1)(2)見(jiàn)解析(1)利用不等式判斷正誤的2種方法直接法：對(duì)于說(shuō)法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)證明；對(duì)于說(shuō)法錯(cuò)誤的只需舉出一個(gè)反例即可特殊值法：注意取值一定要遵

10、循三個(gè)原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算；三是所取的值要有代表性(2)利用不等式的性質(zhì)證明不等式的注意事項(xiàng)利用不等式的性質(zhì)及其推論可以證明一些不等式解決此類問(wèn)題一定要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)、記熟不等式的性質(zhì)并注意在解題中靈活準(zhǔn)確地加以應(yīng)用應(yīng)用不等式的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)注意緊扣不等式的性質(zhì)成立的條件，且不可省略條件或跳步推導(dǎo)，更不能隨意構(gòu)造性質(zhì)與法則針對(duì)訓(xùn)練5若bcad0，bd>0.求證：.證明bcad0，adbc，bd>0，11，.6若a>b>0，c<d<0，e<0，求證：>.證明c<d<0，c>d>0，又

11、a>b>0，ac>bd>0，則(ac)2>(bd)2>0，即<.又e<0，>.題型四利用不等式的性質(zhì)求取值范圍【典例4】已知1<a<4,2<b<8.試求2a3b與ab的取值范圍思路導(dǎo)引欲求ab的范圍，應(yīng)先求b的范圍，再利用不等式的性質(zhì)求解解1<a<4,2<b<8，2<2a<8,6<3b<248<2a3b<32.2<b<8，8<b<2.又1<a<4，1(8)<a(b)<4(2)，即7<ab<2.故8&

12、lt;2a3b<32，7<ab<2.變式(1)在本例條件下，求的取值范圍(2)若本例改為：已知1ab5，1ab3，求3a2b的范圍解(1)2<b<8，<<，又1<a<4，<<2.(2)設(shè)xab，yab，則a，b，1x5，1y3，3a2bxy.又x，y，2xy10.即23a2b10.同向不等式具有可加性與可乘性，但是不能相減或相除，應(yīng)用時(shí)，要充分利用所給條件進(jìn)行適當(dāng)變形來(lái)求范圍，注意變形的等價(jià)性針對(duì)訓(xùn)練7已知<，求、的取值范圍解<，<，<.兩式相加得<<.<，<，兩式相加得<.

13、又<，<0，<0.課堂歸納小結(jié)1作差法比較大小的一般步驟第一步：作差；第二步：變形，常采用配方、因式分解等恒等變形手段，將“差”化成“積”；第三步：定號(hào)，就是確定是大于0，等于0，還是小于0(不確定的要分情況討論)最后得結(jié)論概括為“三步一結(jié)論”，這里的“定號(hào)”是目的，“變形”是關(guān)鍵2在利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行證明、判斷或者推理過(guò)程中，要注意性質(zhì)成立的條件，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的情況，要特別注意同向不等式相乘的條件為同為正.1下列說(shuō)法正確的為()A若，則xyB若x21，則x1C若xy，則D若x<y，則x2<y2解析，且x0，y0，兩邊同乘以xy，得xy.答案A2

14、設(shè)a，b為非零實(shí)數(shù)，若a<b，則下列不等式成立的是()Aa2<b2Bab2<a2bC<D<解析用a1，b1，試之，易排除A，D.再取a1，b2，易排除B.答案C3下列命題中正確的個(gè)數(shù)是()若a>b，b0，則>1；若a>b，且ac>bd，則c>d；若a>b，且ac>bd，則c>d.A0 B1 C2 D3解析若a2，b1，則不符合；取a10，b2，c1，d3，雖然滿足a>b且ac>bd，但不滿足c>d，故錯(cuò)；當(dāng)a2，b3，取c1，d2，則不成立答案A4若x2或y1，Mx2y24x2y，N5，則M與N的大

15、小關(guān)系為_解析x2或y1，MNx2y24x2y5(x2)2(y1)2>0，M>N.答案M>N5若1a3,1b2，則ab的范圍為_解析1a3，2b1，3ab2.答案3ab2課后作業(yè)(十)復(fù)習(xí)鞏固一、選擇題1李輝準(zhǔn)備用自己節(jié)省的零花錢買一臺(tái)學(xué)習(xí)機(jī)，他現(xiàn)在已存60元計(jì)劃從現(xiàn)在起以后每個(gè)月節(jié)省30元，直到他至少有400元設(shè)x個(gè)月后他至少有400元，則可以用于計(jì)算所需要的月數(shù)x的不等式是()A30x60400 B30x60400C30x60400 D30x40400解析x月后他至少有400元，可表示成30x60400.答案B2已知a>b，c>d，且c，d不為0，那么下列不等

16、式一定成立的是()Aad>bcBac>bdCac>bdDac>bd解析由a>b，c>d得ac>bd，故選C.答案C3設(shè)a3x2x1，b2x2x，則()Aa>bBa<bCabDab解析ab(3x2x1)(2x2x)x22x1(x1)20，ab.答案C4已知：a，b，c，dR，則下列命題中必成立的是()A若a>b，c>b，則a>cB若a>b，則ca<cbC若a>b，c<d，則>D若a2>b2，則a<b解析選項(xiàng)A，若a4，b2，c5，顯然不成立；選項(xiàng)C不滿足倒數(shù)不等式的條件，如a>

17、b>0，c<0<d時(shí)，不成立；選項(xiàng)D只有a>b>0時(shí)才可以否則如a1，b0時(shí)不成立，故選B.答案B5若1<<<1，則下列各式中恒成立的是()A2<<0 B2<<1C1<<0 D1<<1解析由1<<1，1<<1，得1<<1，2<<2.又<，故知2<<0.答案A二、填空題6武廣鐵路上，高速列車跑出了350 km/h的高速度，但這個(gè)速度的2倍再加上100 km/h，還超不過(guò)波音飛機(jī)的最低時(shí)速，可這個(gè)速度已經(jīng)超過(guò)了普通客車的3倍，設(shè)高速列車速

18、度為v1，波音飛機(jī)速度為v2，普通客車速度為v3.則三種交通工具速度的不等關(guān)系分別為_答案2v1100v2，v1>3v37若xR，則與的大小關(guān)系為_解析0，.答案8已知不等式：a<0<b；b<a<0；b<0<a；0<b<a；b<a且ab>0；a<b且ab<0.其中能使<成立的是_解析因?yàn)?lt;<0ba與ab異號(hào)，然后再逐個(gè)進(jìn)行驗(yàn)證，可知都能使<.答案三、解答題9若a>0，b>0，求證：ab.證明ab(ab).(ab)20恒成立，且a>0，b>0，ab>0，ab>0.0.ab.10已知12<a<60,15<b<36，求ab，的取值范圍解15<b<36，36<b<15，1236<ab<6015.24<ab<45.又<<，<<.<<