專題講座五實(shí)際應(yīng)用性問題

1、專題講座五實(shí)際應(yīng)用性問題,學(xué)生用書 P177P178)數(shù)學(xué)應(yīng)用題是指利用數(shù)學(xué)知識解決其他領(lǐng)域中的問題， 高考命題堅(jiān)持“貼近課本、 貼近生活、貼近實(shí)際”的原則，要求考生一方面要牢固掌握基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法；另一方面要善于把文字語言轉(zhuǎn)譯成數(shù)學(xué)語言，實(shí)現(xiàn)由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化函數(shù)、不等式應(yīng)用題函數(shù)應(yīng)用題經(jīng)常涉及路程、物價(jià)、產(chǎn)量等實(shí)際問題，也可涉及長度、角度、面積、體積等幾何量，解答這類問題一般要列出有關(guān)解析式，然后用函數(shù)、方程、不等式等知識解決(2015深圳模擬)某租賃公司擁有汽車100輛， 當(dāng)每輛車的月租金為3 000元時(shí)，可全部租出；當(dāng)每輛車的月租金每增加 50 元時(shí)，未租出的車將會(huì)

2、增加一輛，租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi) 150 元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi) 50 元(1)當(dāng)每輛車的月租金定為 3 600 元時(shí)，能租出多少輛車？(2)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？解(1)租金增加了 600 元，所以未租出的車有 12 輛，一共租出了 88 輛(2)設(shè)每輛車的月租金為 x 元(x3 000)，租賃公司的月收益為 y 元，則 yx100 x3 00050 x3 0005050100 x3 00050150 x250162x21 000150(x4 050)2307 050，所以當(dāng) x4 050 時(shí)，ymax307 050即每輛車的月租

3、金定為 4 050 元時(shí)，租賃公司的月收益最大為 307 050 元規(guī)律方法在解決此類問題時(shí)需注意：一要過“閱讀”關(guān)，讀懂題目，能夠概括出問題所涉及的內(nèi)容；二要過“理解關(guān)”，準(zhǔn)確理解和把握這些變量之間的關(guān)系；三要過“建模關(guān)”， 在前兩步的基礎(chǔ)上， 把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題， 建立數(shù)學(xué)模型； 四要過“解題關(guān)”，通過解決數(shù)學(xué)問題得出實(shí)際問題的結(jié)論數(shù)列應(yīng)用題數(shù)列應(yīng)用題，經(jīng)常涉及到與增長率有關(guān)的實(shí)際問題以及已知前幾個(gè)量的歸納推理問題，需要運(yùn)用等差、等比數(shù)列知識解決(2015廣東廣州模擬)流行性感冒(簡稱流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病某市今年 4 月份曾發(fā)生流感據(jù)資料統(tǒng)計(jì)，4 月 1 日，該市

4、新的流感病毒感染者有20 人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加 50 人由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳播得到控制從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者減少 30 人，到 4 月 30 日止，該市在這 30 日內(nèi)感染該病毒的患者總共有 8 670 人問 4 月幾日，該市感染此病毒的新患者人數(shù)最多？并求這一天的新患者人數(shù)解設(shè)從 4 月 1 日起第 n(nN*，1n30)日感染此病毒的新患者人數(shù)最多，則從 4月 1 日到第 n 日止，每日新患者人數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為 20，公差為 50，前 n 日的患者總?cè)藬?shù)即該數(shù)列前 n 項(xiàng)之和 Sn20nn

5、（n1）25025n25n從第 n1 日開始，至 4 月 30 日止，每日的新患者人數(shù)依次構(gòu)成另一個(gè)等差數(shù)列，這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為20(n1)503050n60，公差為30，項(xiàng)數(shù)為(30n)，(30n)日的患者總?cè)藬?shù)為T30n(30n)(50n60)（30n） （29n）2(30)(30n)(65n495)65n22 445n14 850依題意，SnT30n8 670，即(25n25n)(65n22 445n14 850)8 670化簡得 n261n5880，解得 n12 或 n491n30，n12第 12 日的新患者人數(shù)為 20(121)505704 月 12 日，該市感染此病毒的新患者人數(shù)

6、最多，且這一天的新患者為 570 人規(guī)律方法本題主要考查了等差數(shù)列的概念和公式，考查了閱讀資料、提取信息、建立數(shù)學(xué)模型的能力以及應(yīng)用所學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力概率應(yīng)用題概率應(yīng)用題主要考查古典概型、幾何概型、互斥事件的概率某售報(bào)亭每天以每份 06 元的價(jià)格從報(bào)社購進(jìn)若干份報(bào)紙，然后以每份 1 元的價(jià)格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的報(bào)紙以每份 01 元的價(jià)格賣給廢品收購站(1)若售報(bào)亭一天購進(jìn) 280 份報(bào)紙，求當(dāng)天的利潤 y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量 x 的函數(shù)關(guān)系解析式；(2)售報(bào)亭記錄了 100 天報(bào)紙的日需求量，整理得下表：日需求量 x(份)240250260270280290300頻

7、數(shù)10201616151310假設(shè)售報(bào)亭在這 100 天內(nèi)每天都購進(jìn) 280 份報(bào)紙，求這 100 天的日平均利潤；若售報(bào)亭一天購進(jìn) 280 份報(bào)紙， 以 100 天記錄的各需求量的頻率作為各銷售量發(fā)生的概率，求當(dāng)天的利潤不超過 100 元的概率解(1)當(dāng) x280 時(shí)，y280(106)112；當(dāng) x280 時(shí)，y(106)x05(280 x)09x140綜上，y0.9x140，x280112，x280，xN*(2)這 100 天中每天利潤 76 元的有 10 天，每天利潤 85 元的有 20 天，每天利潤 94 元的有 16 天，每天利潤 103 元的有 16 天，每天利潤 112 元的有

8、 38 天所以這 100 天的日平均利潤為76108520941610316112381009868(元)利潤不超過 100 元，即當(dāng)且僅當(dāng)報(bào)紙日需求量不大于 260 份故當(dāng)天的利潤不超過 100 元的概率為 P0102016046規(guī)律方法概率知識作為一個(gè)新型的介質(zhì)，與統(tǒng)計(jì)、函數(shù)、數(shù)列等交匯是今后高考考查概率應(yīng)用的命題方向，解決此類問題的一般步驟：(1)根據(jù)題意，確定交匯類型及概型；(2)對隨機(jī)事件進(jìn)行合理分析、變所求事件為若干個(gè)互斥事件的和；(3)利用互斥事件、對立事件、古典(幾何)概型公式求解,學(xué)生用書 P179)1(2015鄭州市質(zhì)檢)每年春季在鄭州舉行的“中國鄭開國際馬拉松賽”活動(dòng)，已

9、成為最有影響力的全民健康活動(dòng)之一， 每年的參與人數(shù)不斷增多， 然而也有部分人對該活動(dòng)的實(shí)際效果提出了疑問 對此， 某新聞媒體進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)查， 在所有參與調(diào)查的人中， 持“支持”、“保留意見”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示：支持保留意見不支持男800450200女100150300(1)在所有參與調(diào)查的人中，用分層抽樣的方法抽取 n 個(gè)人，已知從持“支持”態(tài)度的人中抽取了 45 人，求 n 的值；(2)接受調(diào)查的人同時(shí)要對這項(xiàng)活動(dòng)進(jìn)行打分，其中 6 人打出的分?jǐn)?shù)如下：92，96，87，93，90，82，把這 6 個(gè)人打出的分?jǐn)?shù)看作一個(gè)總體，從中任取 2 個(gè)數(shù)，求這 2個(gè)數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對

10、值都不超過 05 的概率解：(1)所有參與調(diào)查的人數(shù)為 8001004501502003002 000，由分層抽樣知：n459002 000100(2)總體平均數(shù) x9.29.68.79.39.08.2690，從這 6 個(gè)數(shù)中任取 2 個(gè)的所有可能取法為：(92，96)、(92，87)、(92，93)、(92，90)、(92，82)、(96，87)、(96，93)、(96，90)、(96，82)、(87，93)、(87，90)、(87，82)、(93，90)、(93，82)、(90，82)，共計(jì) 15 種由|x90|05 知，當(dāng)所取的 2 個(gè)數(shù)都在85，95內(nèi)時(shí)符合題意，即(9 2，87)、(

11、92，93)、(92，90)、(87，93)、(87，90)、(93，90)符合，共計(jì) 6 種，所以所求概率 P615252 (2015東北四市聯(lián)考) 在海島A上有一座海拔1 km的山峰， 山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P 有一艘輪船按一固定方向做勻速直線航行，上午 1100 時(shí)，測得此船在島北偏東 15、俯角為 30的 B 處，到 1110 時(shí)，又測得該船在島北偏西 45，俯角為 60的 C 處(1)求船的航行速度；(2)求船從 B 到 C 的行駛過程中與觀察站 P 的最短距離解：(1)設(shè)船速為 x km/h，則 BCx6km在 RtPAB 中，PBA 與俯角相等為 30，AB1tan 30 3同理，在

12、 RtPCA 中，AC1tan 6033在ACB 中，CAB154560，由余弦定理得BC（ 3）23322 333cos 60213，x62132 21(km/h)，船的航行速度為 2 21 km/h(2)法一：作 ADBC 于點(diǎn) D(圖略)，當(dāng)船行駛到點(diǎn) D 時(shí)，AD 最小，從而 PD 最小此時(shí)，ADABACsin 60BC333322133147P在行駛過程中與觀察站 P 的最短距離為25914km法二：由(1)知在ACB 中，由正弦定理ACsin BBCsin 60，sin B33322132114作 ADBC 于點(diǎn) D(圖略)，當(dāng)船行駛到點(diǎn) D 時(shí)，AD 最

13、小，從而 PD 最小此時(shí)，ADABsin B 321143147P在行駛過程中與觀察站 P 的最短距離為25914km3(2015福建福州模擬)某種商品原來每件售價(jià)為 25 元，年銷售 8 萬件(1)據(jù)市場調(diào)查，若價(jià)格每提高 1 元，銷售量將相應(yīng)減少 2 000 件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？(2)為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量，公司決定明年對該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和營銷策略改革，并提高定價(jià)到 x 元公司擬投入16(x2600)萬元作為技改費(fèi)用，投入 50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入15x 萬元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用試問：當(dāng)該商品明年的銷

14、售量 a至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時(shí)， 才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)商品的每件定價(jià)解：(1)設(shè)每件定價(jià)為 t 元，依題意，有(8t25102)t258，整理得 t265t1 0000，解得 25t40要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為 40 元(2)依題意，x25 時(shí)，不等式 ax2585016(x2600)15x 有解，等價(jià)于 x25 時(shí)，a150 x16x15有解，150 x16x2150 x16x10(當(dāng)且僅當(dāng) x30 時(shí)，等號成立)，a102當(dāng)該商品明年的銷售量 a 至少應(yīng)達(dá)到 10 2 萬件時(shí)， 才可能使明年的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為 30 元4某臺(tái)商到大陸一創(chuàng)業(yè)園投資 72 萬美元建起一座蔬菜加工廠，第一年投入各種經(jīng)費(fèi)12 萬美元，以后每年增加 4 萬美元，每年銷售蔬菜收入 50 萬美元，設(shè) f(n)表示前 n 年的純收入(f(n)前 n 年的總收入前 n 年的總支出投資額)(1)從第幾年開始獲取純利潤？(2)若干年后，該臺(tái)商為開發(fā)新項(xiàng)目，有兩種處理方案：年平均利潤最大時(shí)，以 48 萬美元出售該廠；純利潤總和最大時(shí)，以 16 萬美元出售該廠問哪種方案較合算？解：由題意知，每年投入的經(jīng)費(fèi)是以 12 為首項(xiàng)，4 為公差的等差數(shù)列則 f(n)50n12nn（n1）247