復(fù)變函數(shù)第10講

1、1復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)第第10講講24 洛朗級數(shù)3一個以z0為中心的圓域內(nèi)解析的函數(shù)f(z), 可以在該圓域內(nèi)展開成z-z0的冪級數(shù). 如果f(z)在z0處不解析, 則在z0的鄰域內(nèi)就不能用z-z0的冪級數(shù)來表示. 但是這種情況在實(shí)際問題中卻經(jīng)常遇到. 因此, 在本節(jié)中將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)的級數(shù)表示法.4討論下列形式的級數(shù):) 1 . 4 . 4(,)()()()()(001010100-nnnnnnnzzczzcczzczzczzc)3 . 4 . 4)(.)()()()2 . 4 . 4)()()()(010110001000負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分-nnnnnnnnnnzzc

2、zzczzczzczzcczzc可將其分為兩部分考慮5只有在正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)都收斂才認(rèn)為(4.4.1)式收斂于它們的和.正冪項(xiàng)是一冪級數(shù), 設(shè)它的收斂半徑為R2, 對負(fù)冪項(xiàng), 如果令z=(z-z0)-1, 就得到這是z的冪級數(shù), 設(shè)收斂半徑為R, 令R1=1/R, 則當(dāng)|z-z0|R1時, zR, (4.4.4)收斂即(4.4.3)收斂,因此, 只有在R1|z-z0|R2的圓環(huán)域, 級數(shù)(4.4.1)才收斂. )4 . 4 . 4( ,)(221110-zzzccczzcnnnnnn6z0R1R27例如級數(shù).|.|.|,|, 1)(01101處處發(fā)散時原級數(shù)當(dāng)收斂圓環(huán)域時原級數(shù)在所以當(dāng)時收斂則當(dāng)

3、而正冪項(xiàng)級數(shù)時收斂即當(dāng)中的負(fù)冪項(xiàng)級數(shù)為復(fù)常數(shù)與babzababzbzazzazazababzzannnnnnnnnnnnnn8冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的許多性質(zhì), 級數(shù)(4.4.1)在收斂圓環(huán)域內(nèi)也具有. 例如, 可以證明, 級數(shù)(4.4.1)在收斂域內(nèi)其和函數(shù)是解析的, 而且可以逐項(xiàng)求積和逐項(xiàng)求導(dǎo).現(xiàn)在反問, 在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能夠展開成級數(shù)?先看下例.9.1|0)(,.11111)1 (1)(,1|0.1| 1|01|0,10)1 (1)(2數(shù)的內(nèi)是可以展開為級在由此可見的情形先研究內(nèi)都是解析的及在圓環(huán)域但都不解析及在函數(shù)-zzfzzzzzzzzzfzzzzzzzzfn10其次,在圓環(huán)域

4、:0|z-1|1內(nèi)也可以展開為級數(shù):-1212)1 ()1 ()1 (1)1 ()1 ()1 ()1 (1 11)1 (1111)1 (1)(nnzzzzzzzzzzzzzf111Oxy12定理 設(shè)f(z)在圓環(huán)域R1|z-z0|R2內(nèi)解析, 則), 2, 1, 0(.d)()(21)()(100-nzficzzczfCnnnnnzzz其中C為在圓環(huán)域內(nèi)繞z0的任何一條正向簡單閉曲線.13證 設(shè)z為圓環(huán)域內(nèi)的任一點(diǎn), 在圓環(huán)域內(nèi)作以z0為中心的正向圓周K1與K2, K2的半徑R大于K1的半徑r, 且使z在K1與K2之間.R1R2zrK1zRK2zz014由柯西積分公式得-00100022)()

5、()(21)(21,. 1,)(21)(21)(2212nnKnKKKzzdzfidzfizzzKzKdzfidzfizfzzzzzzzzzzzzzz可以推得和泰勒展開式一樣內(nèi)在上在對第一個積分15,)()(1)()(1111. 1,.d)(211010101000000122-nnnnnnKzzzzzzzzzzzzzzzKzKzfizzzzzzzzz因此的外部在點(diǎn)上在由于第二個積分1610,|.d)()()(21)(),()(d)()(21d)(2100001011010111- -qzzrzzzqzzfzizRzRzzzfizfiKNnnnNNNnnKnK則令其中zzzzzzzzzz17因

6、此有, 0)(lim, 0lim.| )(|.1221d| )(|21| )(|111100001- zRqKzfMqqMrqrMszzzzfzRNNNNNNnnKnnN所以因?yàn)樯系淖畲笾翟谑莦zz18)7 . 4 . 4(), 2 , 1( ,d)()(21)6 . 4 . 4(), 2 , 1 , 0( ,d)()(21)5 . 4 . 4(,)()()()(12101001000-nzficnzficzzczzczzczfKnnKnnnnnnnnnnnzzzzzz因此19級數(shù)(4.4.5)的系數(shù)由不同的式子(4.4.6)與(4.4.7) 表出. 如果在圓環(huán)域內(nèi)取繞z0的任何一條正向簡單閉

7、曲線C, 則根據(jù)閉路變形原理, 這兩個式子可用一個式子來表示:)8 . 4 . 4(), 2, 1, 0( ,d)()(2110-nzficCnnzzz20Cz0R1R221(4.4.5)稱為函數(shù)f(z)在以z0為中心的圓環(huán)域:R1|z-z0|R2內(nèi)的洛朗(Laurent)展開式, 它右端的級數(shù)稱為f(z)在此圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù). 級數(shù)中正整次冪和負(fù)整次冪分別稱為洛朗級數(shù)的解析部分和主要部分.)8 . 4 . 4( ), 2, 1, 0( ,d)()(21)5 . 4 . 4(,)()(100-nzficzzczfCnnnnnzzz22一個在某圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開為含有正,負(fù)冪項(xiàng)的級數(shù)是唯一

8、的, 這個級數(shù)就是f(z)的洛朗級數(shù).事實(shí)上, 假定f(z)在圓環(huán)域R1|z-z0|R2內(nèi)用某種方法展成了由正負(fù)冪項(xiàng)組成的級數(shù):-nnnnnnzafCCzzazf)()(,)()(00zzz則上一點(diǎn)為條正向簡單閉曲線為圓環(huán)域內(nèi)任何并設(shè)23以(z-z0)-p-1去乘上式兩邊, 這里p為任一整數(shù), 并沿C沿分, 得), 2, 1, 0( ,d)()(212d)(d)()(101010-pzfiaiazazfCpppnCpnnCpzzzzzzzz從而這就是(4.4.8)-nnnzaf)()(0zz24用(4.4.8)計算cn要求環(huán)積分, 過于麻煩, 因此一般不用. 一般是根據(jù)由正負(fù)整次冪項(xiàng)組成的級數(shù)

9、的唯一性, 可以用別的方法, 特別是代數(shù)運(yùn)算, 代換, 求導(dǎo)和積分等方法去展開, 以求得洛朗級數(shù)的展開式.例如:)|0(,! 41! 312111)! 4! 321 (1e2243222zzzzzzzzzzzz25例1 函數(shù) 在圓環(huán)域i)0|z|1;ii)1|z|2;iii)2|z|+;內(nèi)是處處解析的, 試把f(z)在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù).)2)(1(1)(-zzzfxyO1xyO12xyO226解 先把f(z)用部分分式表示:.87432122121)1 (2112111)(1|0i).2111)(2222-zzzzzzzzzfzzzzf內(nèi)在27ii) 在1|z|2內(nèi).842111122

10、121)111 (12112111112111)(21222-zzzzzzzzzzzzzzzzfnn28iii) 在2|z|+內(nèi).731)421 (1)111 (1211111112111)(43222-zzzzzzzzzzzzzzzzf29例2 把函數(shù).|0e)(13內(nèi)展開成洛朗級數(shù)在zzzfz.! 41! 31! 2)! 41! 31! 2111 (e! 3! 21e2343231332zzzzzzzzzznzzzzznz解 因有3031還應(yīng)注意, 給定了函數(shù)f(z)與復(fù)平面內(nèi)一點(diǎn)z0以后, 由于這個函數(shù)可以在以z0為中心的(由奇點(diǎn)隔開的)不同圓環(huán)域內(nèi)解析, 因而在各個不同的圓環(huán)域中有不同

11、的洛朗展開式(包括泰勒展開式作為它的特例). 我們不要把這種情形與洛朗展開式的唯一性相混淆. 我們知道, 所謂洛朗展開式的唯一性, 是指函數(shù)在某一個給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式是唯一的. 另外, 在展開式的收斂圓環(huán)域的內(nèi)圓周上有f(z)的奇點(diǎn), 外圓周上也有f(z)的奇點(diǎn), 或者外圓周的半徑為無窮大.32例如函數(shù)12( )()if zz zi-在復(fù)平面內(nèi)有兩個奇點(diǎn): z=0與z-i, 分別在以i為中心的圓周: |z-i|=1與|z-i|=2上.O-ii33因此, f(z)在以i為中心的圓環(huán)域(包括圓域)內(nèi)的展開式有三個:1)在|z-i|1中的泰勒展開式;2)在1|z-i|2中的洛朗展開式;3)在2|z-i|+中的洛朗展開式;O-ii34在公式(4.4.8)中, 令n-1, 得11( )d2Ccf zzi-或1( )d2Cf zzic-其中C為圓環(huán)域R1|z-z0|R2內(nèi)的任何一條簡單閉曲線, f(z)