第三章 運(yùn)算方法和運(yùn)算部件(3-1,2)

1、計(jì)算機(jī)學(xué)院 計(jì)算機(jī)組成原理計(jì)算機(jī)組成原理 武漢東湖學(xué)院武漢東湖學(xué)院本科生課程教學(xué)本科生課程教學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院 補(bǔ)碼和反碼的加減法運(yùn)算 定點(diǎn)數(shù)與浮點(diǎn)數(shù) 二進(jìn)制乘法運(yùn)算 二進(jìn)制除法運(yùn)算 浮點(diǎn)數(shù)的運(yùn)算方法 運(yùn)算器組成 數(shù)據(jù)校驗(yàn)碼 小結(jié)與練習(xí)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院（一）定點(diǎn)數(shù)加減法實(shí)現(xiàn)方案（一）定點(diǎn)數(shù)加減法實(shí)現(xiàn)方案q二進(jìn)制加法是實(shí)現(xiàn)算術(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)，采用補(bǔ)碼方案時(shí)，加減法可以用統(tǒng)一的方式處理。因此運(yùn)算器的核心也就是加法器的設(shè)計(jì)。1、補(bǔ)碼加減法運(yùn)算、補(bǔ)碼加減法運(yùn)算q法則法則1：X補(bǔ)+Y補(bǔ)X+Y補(bǔ) 兩補(bǔ)碼數(shù)相加，符號(hào)位與碼值一起參加運(yùn)算，符號(hào)位相加后如果有進(jìn)位，則該位數(shù)字舍棄。 下面分四種情況來證明上述

2、補(bǔ)碼加法公式：計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院q證明條件是：|X|1,|Y|1,|X+Y|0,Y0，則X+Y0； 兩正數(shù)相加，和一定是正數(shù)，與原碼相同。 根據(jù)補(bǔ)碼的定義可得此結(jié)論。 X補(bǔ) X Y= Y 所以，X補(bǔ)+Y補(bǔ)=X+Y =X+Y補(bǔ) (MOD 2)q例，X=+0.1001,Y=+0.0101,X+Y=? X補(bǔ) 01001 + Y補(bǔ) 00101 01110補(bǔ)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院q(2) X0,Y0或X+Y0時(shí)，2+(X+Y)2,進(jìn)位2必舍棄丟失， 又因?yàn)?X+Y)0， 所以X補(bǔ)+Y補(bǔ)=X+Y=X+Y補(bǔ) (MOD 2) 當(dāng)X+Y0時(shí)，2+(X+Y)2，又因?yàn)?X+Y)0， 所以X補(bǔ)+Y補(bǔ)=2+(X+Y)

3、=X+Y補(bǔ) (MOD 2) 計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院q例，X=+0.1011,Y= - 0.0101,X+Y=? X補(bǔ)=0.1011，Y補(bǔ)=1.1011 X補(bǔ) 0.1011 + Y補(bǔ) 1.1011 (1) 0.0110 所以，X+Y=0.0110q(3) X0，則X+Y0或X+Y0; 同(2)情況一樣。 計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院q(4) X0,Y0，則X+Y0; 兩相加的數(shù)都是負(fù)數(shù)，則其和也一定是負(fù)數(shù)。 根據(jù)補(bǔ)碼的定義可得： X補(bǔ)+Y補(bǔ)=(2+X)+(2+Y)=2+(2+X+Y)=(2+X+Y) 進(jìn)位“2”丟失。 又因?yàn)?X+Y)0 所以，X補(bǔ)+Y補(bǔ)=2+(X+Y)=X+Y補(bǔ) (MOD 2)計(jì)算機(jī)學(xué)院

4、計(jì)算機(jī)學(xué)院q例，X補(bǔ)1.0111,Y補(bǔ)1.1011 X補(bǔ) 1.0111 +Y補(bǔ) 1.1011 (1)1.0010 (符號(hào)位的進(jìn)位丟棄) 所以，(X+Y)補(bǔ)=1.0010 X+Y=0.1110由此可進(jìn)一步推理出：q法則法則2：X-Y補(bǔ)=X+(-Y)補(bǔ)X補(bǔ)+-Y補(bǔ) (MOD 2)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院 2、補(bǔ)碼定點(diǎn)加減法運(yùn)算的實(shí)現(xiàn)、補(bǔ)碼定點(diǎn)加減法運(yùn)算的實(shí)現(xiàn)qP75 圖3.1 為實(shí)現(xiàn)加法的邏輯圖q 實(shí)現(xiàn)加法時(shí)應(yīng)提供以下控制信號(hào)： AALU，BALU，+，ALUAq 實(shí)現(xiàn)減法時(shí)應(yīng)提供以下控制信號(hào)： _ AALU，BALU，ALU+1，+，ALUA 注意：y 補(bǔ)= y 補(bǔ)= y 補(bǔ) 補(bǔ)； 而y 補(bǔ) 補(bǔ)是將

5、 y 補(bǔ)連同符號(hào)位一起“求反加1”。q (Y)補(bǔ)：Y用補(bǔ)碼表示-(Y)補(bǔ)：對(duì)Y求補(bǔ) 計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院 3. 補(bǔ)碼加減法運(yùn)算的溢出判斷方法補(bǔ)碼加減法運(yùn)算的溢出判斷方法q由于機(jī)器數(shù)的位數(shù)通常是給定的且是有限的（如16位字長(zhǎng)，32位字長(zhǎng)等），因此，數(shù)的表示范圍一定是有限的，若兩數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算的結(jié)果超出給定的允許取值范圍，就會(huì)產(chǎn)生溢出。q例，X=+0.1011,Y=+0.1001,X+Y=? X補(bǔ) 0.1011 + Y補(bǔ) 0.1001 1.0100q此時(shí)，兩個(gè)正數(shù)相加的結(jié)果成為負(fù)數(shù)（符號(hào)為1），這顯然是錯(cuò)誤的，原因是產(chǎn)生了溢出。計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院q又如，X=0.1101,Y=0.1011,X+Y

6、=? X補(bǔ) 1.0011 + Y補(bǔ) 1.0101 0.1000q兩個(gè)負(fù)數(shù)相加的結(jié)果成為正數(shù)（符號(hào)為0），這同樣是錯(cuò)誤的，原因也是產(chǎn)生了溢出。q為判斷溢出是否產(chǎn)生，可以采用兩種檢測(cè)方法。 1) 雙符號(hào)位檢測(cè) 2) 單符號(hào)位檢測(cè)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院 方法方法1）：變形補(bǔ)碼（雙符號(hào)位）檢測(cè)）：變形補(bǔ)碼（雙符號(hào)位）檢測(cè)q方法：方法：每個(gè)操作數(shù)在運(yùn)算時(shí)都采用兩個(gè)符號(hào)位，正數(shù)用00表示，負(fù)數(shù)用11表示，兩個(gè)符號(hào)位與碼值一起參加運(yùn)算；若運(yùn)算結(jié)果的兩個(gè)符號(hào)位的代碼不一致時(shí)表示溢出，兩個(gè)符號(hào)位代碼一致時(shí)，表示沒有溢出。q這種變形的補(bǔ)碼表示，又稱模4補(bǔ)碼表示方法，其定義為： X= X 0=X1 4+X -1=X0

7、計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院q例1，X=+0.1011,Y=+0.1101，用模4補(bǔ)碼運(yùn)算判斷x+y是否溢出 X補(bǔ) 00.1011 + Y補(bǔ) 00.1101 （溢出時(shí)最高符號(hào)位永遠(yuǎn)是正確符號(hào)） 01.1000 符號(hào)位代碼01，表示正溢出，表明運(yùn)算結(jié)果是大于允許取值范圍的正數(shù)。q例2，X=-0.1011,Y=-0.1100，用模4補(bǔ)碼運(yùn)算判斷x+y是否溢出？ X補(bǔ) 11.0101 + Y補(bǔ) 11.0100 10.1001 符號(hào)位代碼10，表示負(fù)溢出，表明運(yùn)算結(jié)果是負(fù)數(shù)，其絕對(duì)值大于允許取值范圍。計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院 方法方法2：?jiǎn)畏?hào)位檢測(cè)：?jiǎn)畏?hào)位檢測(cè)q方法：方法：當(dāng)同符號(hào)數(shù)相加運(yùn)算而結(jié)果的符號(hào)與操作

8、數(shù)的符號(hào)不一致時(shí)，表示溢出；相加運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)與操作數(shù)的符號(hào)相同時(shí)沒有溢出。（當(dāng)加數(shù)和被加數(shù)符號(hào)不同時(shí)，相加的結(jié)果絕對(duì)不會(huì)溢出）q例1，X=+0.1001,Y=+0.1110 例2，X=-0.1010 Y=-0.1011 X補(bǔ) 0.1001 (X)補(bǔ) 1.0110 + Y補(bǔ) 0.1110 (Y)補(bǔ) 1.0101 1.0111 0.1011 結(jié)果產(chǎn)生正溢出。 結(jié)果負(fù)溢出計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院q4. 反碼的加減法運(yùn)算q兩個(gè)數(shù)的反碼相加運(yùn)算時(shí)，符號(hào)位的進(jìn)位不能丟掉，而要將它加到和數(shù)的最低位，這稱為“循環(huán)進(jìn)位”。q例1. X=0.1001 y=-0.0110 求X+Y=?q 解：X反 = 01001 Y

9、反 = 11001q 01001q +） 11000q 1 00010 q +） 1 - 00011-(X+Y)反=0.0011-計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院q例2. X=-0.0101 Y=-0.1000 求X+Y=?q解：X反=11010 Y反=10111q 1 1010q +） 1 0111q (1)1 0001q +） 1q 1 0010q (X+Y)反=1.0010= - 0.1101-計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院二、定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)二、定點(diǎn)數(shù)和浮點(diǎn)數(shù)1、定點(diǎn)數(shù)、定點(diǎn)數(shù) 1）定點(diǎn)小數(shù)）定點(diǎn)小數(shù)q表示方法：表示方法：小數(shù)點(diǎn)固定在最高數(shù)值位與符號(hào)位之間，小數(shù)點(diǎn)不用明確表示出來。任何一個(gè)小數(shù)都可以被寫成：

10、N=Ns.N-1N-2N-m 其中，符號(hào)位用0表示正號(hào)，用1表示負(fù)號(hào)，后面m位表示該小數(shù)的數(shù)值。定點(diǎn)小數(shù)的值的范圍很小，對(duì)用m+1個(gè)二進(jìn)制位表示的小數(shù)，其值的范圍|N|=1-2-m ，即小于1的純小數(shù)。數(shù)符數(shù)符 數(shù)數(shù) 據(jù)據(jù)小數(shù)點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院 2）定點(diǎn)整數(shù)）定點(diǎn)整數(shù)q表示方法：表示方法：小數(shù)點(diǎn)固定在數(shù)值最低位右邊的一種數(shù)據(jù)，最小的數(shù)為1。具有帶符號(hào)和不帶符號(hào)的兩類。q帶符號(hào)的整數(shù)：N=NsNnNn-1.N2N1N0 對(duì)于n+1位二進(jìn)制整數(shù)，其值范圍為|N|=2n -1q不帶符號(hào)的整數(shù)：N=NnNn-1.N2N1N0 對(duì)于n+1為的二進(jìn)制整數(shù)，其值范圍為0=N=2n+1-1 數(shù)符 數(shù)

11、 據(jù) (整數(shù)) 小數(shù)點(diǎn)計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院2、浮點(diǎn)數(shù)、浮點(diǎn)數(shù)q表示方法：表示方法：任意一個(gè)二進(jìn)制數(shù)通過移動(dòng)小數(shù)點(diǎn)的位置表示成階碼和尾數(shù)兩部分，類似科學(xué)計(jì)算法。 N=2N=2E ES S 其中，E為N的階碼，有符號(hào)的整數(shù)；S為N的尾數(shù)，數(shù)值的有效部分，一般取二進(jìn)制定點(diǎn)純小數(shù)形式。q例，1011101B = 2 2+7 +7 0.10111010.1011101 101.1101B = 2 2+3+30.10111010.1011101 0.01011101B= 2 2-1-10.10111010.1011101 計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院q浮點(diǎn)數(shù)的一般格式：浮點(diǎn)數(shù)的一般格式： E0 E1En S0 S

12、1.Sm 階符 階碼 尾符 尾數(shù)或者為：M0 E M 尾符 階 碼 尾 數(shù)q例，例，101.1101= 2 2+3+30.10111010.1011101 = =0.1011101 0.1011101 2 2+3+3 其浮點(diǎn)數(shù)形式為：0011 11011101 階碼 尾數(shù)（原碼）計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院q階碼的表示：q階碼可用原碼或補(bǔ)碼表示，但一般用移碼表示；q尾數(shù)的表示：q尾數(shù)可用原碼或補(bǔ)碼表示，單一般用補(bǔ)碼表示。計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院q移碼的概念：移碼的概念： 移碼又稱增碼，它的表示方法： 1.數(shù)值部分與補(bǔ)碼表示相同； 2.符號(hào)表示與補(bǔ)碼表示相反，即正數(shù)用1表示，負(fù)數(shù)用 0表示。 因此： 把x補(bǔ)

13、的符號(hào)位取反即得x移。q 或?qū)⒀a(bǔ)碼表示的符號(hào)位上增加1就是移碼，因此移碼又稱增碼。 q見P80 例3.30計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院q移碼的特點(diǎn)：移碼的特點(diǎn)： (1) 最高位為符號(hào)位，1表示正，0表示負(fù)。 (2) 零的移碼是唯一的，即：0補(bǔ)=0補(bǔ)=10.0。 (3) 用移碼表示便于比較數(shù)的大小，移碼大真值就大，移碼小 真值就小。 (4)移碼表示浮點(diǎn)數(shù)階碼時(shí)如為全0則是最小的負(fù)數(shù)，在處理時(shí)作機(jī)器零（即整個(gè)浮點(diǎn)數(shù)為零)處理。計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院q浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化：浮點(diǎn)數(shù)的規(guī)格化： 浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算后必須化成規(guī)格化形式。q (1) 對(duì)于原碼尾數(shù)來說，應(yīng)該使最高數(shù)字位S1=1，如果不是1，且尾數(shù)不是全0時(shí)就要向左移

14、動(dòng)尾數(shù)直到S1=1，階碼相應(yīng)地變化，以便保證N值不變。q(2) 如果尾數(shù)是補(bǔ)碼，當(dāng)N是正數(shù)時(shí) S1必須是1；N是負(fù)數(shù)時(shí)S1必須是0才是規(guī)格化形式（尾數(shù)最高位與尾數(shù)符號(hào)不同）。計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院q浮點(diǎn)數(shù)表示的優(yōu)點(diǎn)：浮點(diǎn)數(shù)表示的優(yōu)點(diǎn)： (1) 浮點(diǎn)數(shù)表示的數(shù)據(jù)范圍比定點(diǎn)數(shù)大； (2) 運(yùn)算過程中隨時(shí)可對(duì)中間結(jié)果進(jìn)行規(guī)格化處理，不易丟失有效數(shù)字。qIEEE 754標(biāo)準(zhǔn)的浮點(diǎn)數(shù)格式：標(biāo)準(zhǔn)的浮點(diǎn)數(shù)格式： 符號(hào)位 階碼 尾數(shù) 總位數(shù) 短浮點(diǎn)數(shù) 1 8 23 32 長(zhǎng)浮點(diǎn)數(shù) 1 11 52 64 臨時(shí)浮點(diǎn)數(shù) 1 15 64 80計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院q浮點(diǎn)數(shù)的表示范圍： 例1：設(shè)浮點(diǎn)數(shù)階碼為P+1位(含1位

15、符號(hào))，用移碼表示； 尾數(shù)為m+1位(含1位符號(hào))，用補(bǔ)碼表示，基數(shù)為2。q 則該浮點(diǎn)數(shù)規(guī)格化的表示范圍是：q 最小正數(shù) 2 2 最大正數(shù):(1- 2 ) 2 最小負(fù)數(shù)：-12 最大負(fù)數(shù)：-(2 +2 ) 2 (為什么?)-1-2P-m(2 -1)P(2 -1)P-m-1-2P_0計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院q上例中，若浮點(diǎn)數(shù)的基數(shù)是16，則表數(shù)范圍是(設(shè)K=m/4):q 最小正數(shù)：16 16q 最大正數(shù)：(1-16 ) 16q 最小負(fù)數(shù)：-116q 最大負(fù)數(shù): - (16 +16 ) 16-1-2P-k(2 -1)P(2 -1)P-1-k-2P計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院q 標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定q 1.基數(shù)（指尾數(shù)的基數(shù)）= 2q 2.尾數(shù)用原碼表示；q 3.階碼用移嗎表示；q 4.尾數(shù)的最高有效位隱藏表示（即不表示）。q 因尾數(shù)用原碼表示，規(guī)格化時(shí)最高位一定為1，q 表示時(shí)不表示，但在計(jì)算時(shí)要在最高位補(bǔ)加上q 隱藏的1.這樣做可以讓尾數(shù)多表示一位，從而q 使精度增加了！計(jì)算機(jī)學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院q例題 練習(xí)3.11q按下列有求設(shè)計(jì)一個(gè)盡可能短的浮點(diǎn)數(shù)格式：q1） 數(shù)據(jù)范圍1.010q2）有效數(shù)字為