第五節(jié)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)

1、概率統(tǒng)計(jì)一一. 正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)1. 單個(gè)正態(tài)總體單個(gè)正態(tài)總體 情形情形2( ,)N 問題問題: 設(shè)設(shè) X1, Xn 是取自是取自 的樣本，的樣本， 2,X S2( ,)N 求：參數(shù)求：參數(shù) 的置信度為的置信度為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 1 (1). 當(dāng)方差當(dāng)方差 已知已知的情形的情形2 選選 的點(diǎn)估計(jì)的點(diǎn)估計(jì)( (無(wú)偏估計(jì)無(wú)偏估計(jì)) )為為 X尋找未知參尋找未知參數(shù)的一個(gè)良數(shù)的一個(gè)良好估計(jì)好估計(jì) N ( 0, 1 )，XUn 隨機(jī)變量隨機(jī)變量而且而且是樣本的均值與方差，是樣本的均值與方差，給定置信度給定置信度1 第五節(jié)第五節(jié) 正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)

2、間估計(jì) 概率統(tǒng)計(jì)U 不依賴不依賴于任何未知參數(shù)。于任何未知參數(shù)?，F(xiàn)對(duì)于給定的置信水平現(xiàn)對(duì)于給定的置信水平 (大概率大概率)， 根據(jù)根據(jù) U 的分布，確定一個(gè)區(qū)間，使得的分布，確定一個(gè)區(qū)間，使得U 取值于該區(qū)間的取值于該區(qū)間的概率為概率為 1 1故故對(duì)于給定的置信水平，對(duì)于給定的置信水平，按照標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的按照標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位點(diǎn)的定義有：分位點(diǎn)的定義有： 2|1XPzn 從中解得：從中解得：概率統(tǒng)計(jì)221P XzXznn 1 于是所求于是所求 的的置信度為置信度為 置信區(qū)間為置信區(qū)間為 ：22(,)XzXznn 也可簡(jiǎn)記為：也可簡(jiǎn)記為：2()Xzn 概率統(tǒng)計(jì)例例1. 某實(shí)驗(yàn)室測(cè)量鋁的比重某實(shí)驗(yàn)

3、室測(cè)量鋁的比重 16 次，得平均值次，得平均值2.705X ，設(shè)總體，設(shè)總體2( , 0.029 )XN （高斯已證明測(cè)量誤差是服從正態(tài)分布）（高斯已證明測(cè)量誤差是服從正態(tài)分布）求求: 的的 95% 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 解解:195% 5%, 0.050.02522zzz (10.025)1.96u20.0291.960.01416zn 由已知：由已知：查正態(tài)分布表得查正態(tài)分布表得：0.025()10.0250.975)z得：得：取統(tǒng)計(jì)量取統(tǒng)計(jì)量：(0,1)XnN 概率統(tǒng)計(jì)(2.7050.014,2.7050.014)(2.691, 2.719)即即用用 來(lái)估計(jì)來(lái)估計(jì) 值的可靠程度達(dá)到值的

4、可靠程度達(dá)到 95%的區(qū)間范圍是的區(qū)間范圍是 (2.691, 2.719) 705. 2 X(2). 方差方差 未知未知的情形的情形2 用用 去去代替代替 得統(tǒng)計(jì)量得統(tǒng)計(jì)量：2s2 (1)Xt nsn 它是不依賴于任何它是不依賴于任何未知參數(shù)的未知參數(shù)的. 95%從而從而 的的 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為：2 未知，但考慮到樣本方差是未知，但考慮到樣本方差是 的無(wú)偏估計(jì)，的無(wú)偏估計(jì)，2 概率統(tǒng)計(jì)2|(1)1XPtnSn 即：即：從中解得：從中解得：22(1)(1)1SSP XtnXtnnn 22(1),(1)SSXtnXtnnn 1 于是所求于是所求 的的置信度為置信度為 置信區(qū)間為置信區(qū)間為

5、：概率統(tǒng)計(jì)例例2. 確定某種溶液的化學(xué)濃度，現(xiàn)任取確定某種溶液的化學(xué)濃度，現(xiàn)任取4個(gè)樣品，測(cè)個(gè)樣品，測(cè)得樣本均值為得樣本均值為8.34%,X 樣本標(biāo)準(zhǔn)方差為：樣本標(biāo)準(zhǔn)方差為：%03. 0 s現(xiàn)溶液的化學(xué)濃度近似現(xiàn)溶液的化學(xué)濃度近似求求: 的置信度為的置信度為 95% 的置信區(qū)間的置信區(qū)間 解解:195% 5% 0.0252(1)(3)tnt %0477. 01824. 3403. 0)1(2 ntns 由已知：由已知：查查 t 分布表得分布表得：得：得： 95%從而從而 的的 的置信區(qū)間為：的置信區(qū)間為：(8.2923%, 8.3877%)3.1824取統(tǒng)計(jì)量取統(tǒng)計(jì)量： (1)Xsnt n 服

6、從正態(tài)分布服從正態(tài)分布概率統(tǒng)計(jì)問題問題:求求:方差方差 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.2 222(1)(1)nSn 解解:是是不依賴不依賴于任何未知參數(shù)的。于任何未知參數(shù)的。二二. 正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)1. 單個(gè)正態(tài)總體單個(gè)正態(tài)總體 的情形的情形2(,)N 設(shè)總體設(shè)總體 未知。未知。2,2(,),XN 本方差，給定置信度本方差，給定置信度 112,nXXX2 是總體是總體 X 的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本，是樣是樣2 2S是是 的無(wú)偏估計(jì)，且的無(wú)偏估計(jì)，且統(tǒng)計(jì)量：統(tǒng)計(jì)量：概率統(tǒng)計(jì)2221222(1)(1)(1)1nSPnn 2 故故對(duì)于給定的置信水平，對(duì)于給定的置信水平，按照按照 分

7、布的上分布的上 分分位點(diǎn)的定義有：位點(diǎn)的定義有：2222(1)|(1)1nsPn 從中解得：從中解得：1 于是于是所求所求 的的置信度為置信度為 置信區(qū)間為置信區(qū)間為2 ：概率統(tǒng)計(jì)2222122(1)(1)(,)(1)(1)nsnsnn 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差 的一個(gè)置信度為的一個(gè)置信度為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間: 1 2212211(,)(1)(1)nsnsnn 1 于是所求于是所求 的的置信度為置信度為 置信區(qū)間為置信區(qū)間為2 ：概率統(tǒng)計(jì)例例3. 分別用金球和鉑球測(cè)定引力常數(shù)分別用金球和鉑球測(cè)定引力常數(shù)(單位單位: ) 2131110 skgm設(shè)測(cè)定值總體為設(shè)測(cè)定值總體為 均為未知均為未知.22( ,

8、),N (1) 用金球測(cè)定觀察值為用金球測(cè)定觀察值為: 6.683, 6.681, 6.676, 6.678, 6.679, 6.672(2) 用鉑球測(cè)定觀察值為用鉑球測(cè)定觀察值為: 6.661, 6.661, 6.667, 6.667, 6.667, 6.664概率統(tǒng)計(jì)例例4. 求求 例例3 中的中的 (1), (2)兩種情況下，兩種情況下， 的置信度為的置信度為0.9 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.2 解解:在在(1)中中21(1)(61)(0.0003)0.000361ns 220.10.052(61)(5)11.071220.10.9512(61)(5)1.145 的置信度為的置信度為0.9的

9、置信區(qū)間為的置信區(qū)間為:2 0.0003 0.0003(,)(0.0000271, 0.000262)11.0711.145 542.71 10, 2.62 10() (1) 用金球測(cè)定觀察值為用金球測(cè)定觀察值為: 6. 683, 6. 681, 6. 676, 6. 678, 6. 679, 6. 672取統(tǒng)計(jì)量取統(tǒng)計(jì)量：222(1)(1)nSn 概率統(tǒng)計(jì)0.000036 0.000036(,)(0.0000038, 0.0000506)9.4880.711 2(1)1(51)(0.00036)0.0003651ns 220.10.052(51)(4)9.488在在(2)中中220.10.9512(51)(4)0.711 的置信度為的置信度為0