第九章彎曲剛度

1、第九章第九章 彎曲剛度彎曲剛度一、彎曲變形與位移一、彎曲變形與位移二、小撓度微分方程及其積分二、小撓度微分方程及其積分四、彎曲剛度計算四、彎曲剛度計算五、簡單靜不定梁五、簡單靜不定梁三、變形疊加原理三、變形疊加原理一、彎曲變形與位移一、彎曲變形與位移 在平面彎曲的情況下，梁的軸線彎曲成平面曲在平面彎曲的情況下，梁的軸線彎曲成平面曲線，梁的橫截面變形后仍然為平面，與梁的軸線垂線，梁的橫截面變形后仍然為平面，與梁的軸線垂直。由于彎曲變形使梁的橫截面發(fā)生位置改變，稱直。由于彎曲變形使梁的橫截面發(fā)生位置改變，稱為位移。梁的位移包括三部分：為位移。梁的位移包括三部分： 橫截面形心處垂直于軸線方向的位移，

2、稱為橫截面形心處垂直于軸線方向的位移，稱為撓撓度度； 變形后橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過變形后橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為的角度，稱為轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角； 橫截面形心沿軸線方向的位移，成為橫截面形心沿軸線方向的位移，成為軸向位移軸向位移。1 1、變形和撓度有關(guān)概念、變形和撓度有關(guān)概念2 2、彎曲變形的撓度曲線、彎曲變形的撓度曲線 在彈性范圍內(nèi)，梁的軸線在彎曲變形在彈性范圍內(nèi)，梁的軸線在彎曲變形變成一條連續(xù)光滑的曲線，稱為變成一條連續(xù)光滑的曲線，稱為彈性曲線彈性曲線或撓度曲線?；驌隙惹€。 撓度曲線上某一點的曲率半徑與這一撓度曲線上某一點的曲率半徑與這一點橫截面上的彎矩、彎曲剛度的

3、關(guān)系：點橫截面上的彎矩、彎曲剛度的關(guān)系：EIM1 在小變形情況下，在小變形情況下，軸向位移軸向位移與撓度相與撓度相比為高階小量，通常不考慮。比為高階小量，通常不考慮。x)(x)(xx)(x 如圖：撓度如圖：撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系與轉(zhuǎn)角的關(guān)系tandxd小變形情況下：小變形情況下：tandxd撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：撓度方程撓度方程二、小撓度微分方程及其積分二、小撓度微分方程及其積分MNTAxyo1 1、弧微分、弧微分)(xf函數(shù)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間（a,b）上上連續(xù)可導(dǎo)。在曲線上取一連續(xù)可導(dǎo)。在曲線上取一點點A(x0，y0)作為基點，對于作為基點，對于曲線上任意一點曲線上任意一點M(

4、x，y)，規(guī)定：規(guī)定： 曲線的正向為曲線的正向為x增大的增大的方向；方向；MAs)(xfs 是是x的單調(diào)增函數(shù)的單調(diào)增函數(shù))(xfs 的導(dǎo)數(shù)與微分：的導(dǎo)數(shù)與微分：MNTAxyo)(xfx0 xxx)(yyxxN，為曲線上另為曲線上另 一點，一點，NMs有：有：222222222221xyMNNMxyxMNNMxMNMNNMxNMxs2221xyMNNMs得：得：當(dāng)：當(dāng)：MNx，0yxyMNNMxMN02lim1lim，dxyds21)(xfs 是是x的單調(diào)增函數(shù)的單調(diào)增函數(shù)由于：由于：弧微分公式弧微分公式2 2、曲率的定義、曲率的定義描述曲線局部彎曲程度的量描述曲線局部彎曲程度的量)(xfxy

5、MMos如圖：如圖：切線的轉(zhuǎn)角為，MMMMs則弧段則弧段s的平均曲率：的平均曲率：sK點點M處的曲率：處的曲率：dsdsKs0lim設(shè)設(shè))(xfy 二階可導(dǎo)，有：二階可導(dǎo)，有：tan yy arctandxyydxyd21)(arctan dxyds21由：由：23222)1(11yydxydxyydsdK 當(dāng)當(dāng)yKy ，有：1EIM13 3、小撓度微分方程及其積分、小撓度微分方程及其積分dxddxddsdK122dxddxd221dxdEIMdxd22yKEIM 1方法一：方法一：方法二：方法二：EIMdxd22撓度曲線近似微分方程。撓度曲線近似微分方程。EIMdxd22式中的正負號與坐標(biāo)取

6、向相關(guān)。式中的正負號與坐標(biāo)取向相關(guān)。對于等截面梁，對上式進行不定積分，得：對于等截面梁，對上式進行不定積分，得：轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程：CdxxMEIdxdEIl)(撓度方程：撓度方程：DCxdxdxxMEIll)(4 4、積分常數(shù)的確定、約束條件及連續(xù)條件、積分常數(shù)的確定、約束條件及連續(xù)條件 在上面的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程中，積分常數(shù)在上面的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程中，積分常數(shù)由梁的約束條件和連續(xù)條件確定。由梁的約束條件和連續(xù)條件確定。 約束條件約束條件是指約束對撓度和轉(zhuǎn)角的限制，也是指約束對撓度和轉(zhuǎn)角的限制，也稱邊界條件。稱邊界條件。常見約束條件：常見約束條件：在固定鉸鏈支座和輥軸支座處，有：在固定鉸鏈

7、支座和輥軸支座處，有：0在固定端處，有：在固定端處，有：00和 連續(xù)條件是指在梁的彈性范圍內(nèi)，其軸線彎曲變連續(xù)條件是指在梁的彈性范圍內(nèi)，其軸線彎曲變形為一條連續(xù)光滑曲線，因此在集中力、集中力偶以形為一條連續(xù)光滑曲線，因此在集中力、集中力偶以及分布載荷的間斷處，兩側(cè)的撓度和轉(zhuǎn)角相等。及分布載荷的間斷處，兩側(cè)的撓度和轉(zhuǎn)角相等。x)(xaPlCABPlaFBPlalFAAC段彎矩方程：段彎矩方程：axPxlalxM0)()(1；BC段彎矩方程：段彎矩方程：lxaPxllaxM；)()(2palalMCABC點的撓度和轉(zhuǎn)角相等。點的撓度和轉(zhuǎn)角相等。P214，例題，例題8-1PxlalxMdxdEI)(

8、1212axpxlalxM0)(1；1212)(ClxalPEIlxaPxllaxM；)()(2PaxlPaPxllaxMdxdEI)()(22222223226DxCxPaxlPaEI11316)(DxClxalPEI2222CPaxxlPaEI0A01D：lx 0B03222lPaDlC：0 x212221PaCC23216)(DPaaCC21：ax 22322CPalPaEI123122CPalPaEI1134166DaCPalPaEI2234226DaCPalPaEI根據(jù)邊界條件和連續(xù)條件可求出積分常數(shù)。根據(jù)邊界條件和連續(xù)條件可求出積分常數(shù)。例：已知梁的抗彎剛度例：已知梁的抗彎剛度EI

9、EI，求圖示簡支梁在均布，求圖示簡支梁在均布載荷載荷q q作用下的轉(zhuǎn)角方程和撓度曲線方程，并確作用下的轉(zhuǎn)角方程和撓度曲線方程，并確定最大轉(zhuǎn)角和撓度。定最大轉(zhuǎn)角和撓度。xqABl解：解：2BqlFFAqxqlFqxqlFyqqi20202022)(02)(0 xqxqlxMqxdxxqlxMMxi222212qxxqldxdEICxqxqlEI3264DCxxqxqlEI432412有：有：由邊界條件：由邊界條件：0A：lx 0B：0 x0D0241244DCllqql243qlC轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程：撓度曲線方程：撓度曲線方程：)2464(1332qlxqxqlEI)242412(1343xql

10、xqxqlEI最大轉(zhuǎn)角為最大轉(zhuǎn)角為A和和B處：處：最大撓度發(fā)生在中間：最大撓度發(fā)生在中間：EIqlBAMax243EIqlMax38454三、變形疊加原理三、變形疊加原理桿件變形：桿件變形：其軸線為一光滑連續(xù)曲線；其軸線為一光滑連續(xù)曲線；位移是桿件變形累加的結(jié)果；位移是桿件變形累加的結(jié)果；小變形下力的作用是獨立的。小變形下力的作用是獨立的。疊加原理：疊加原理：，1313 工程中將典型載荷作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角表達式工程中將典型載荷作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角表達式制成表，撓度表。制成表，撓度表。多個載荷作用時，分解為各載荷單多個載荷作用時，分解為各載荷單獨作用狀態(tài)，根據(jù)撓度表查得相應(yīng)撓度和轉(zhuǎn)角，再進獨作

11、用狀態(tài)，根據(jù)撓度表查得相應(yīng)撓度和轉(zhuǎn)角，再進行疊加，可得綜合作用結(jié)果。行疊加，可得綜合作用結(jié)果。 P220，例題，例題8-3xqABxqABxABxqAB四、彎曲剛度計算四、彎曲剛度計算 maxmax彎曲剛度條件彎曲剛度條件: : rad:,單位許用轉(zhuǎn)角許用撓度 計算變形計算變形 校核剛度校核剛度 確定最大載荷確定最大載荷 五、簡單靜不定梁五、簡單靜不定梁靜不定靜不定：約束數(shù)量超過方程數(shù)量。約束數(shù)量超過方程數(shù)量。變形協(xié)調(diào)方程：位移或變形之間的幾何關(guān)系變形協(xié)調(diào)方程：位移或變形之間的幾何關(guān)系物理方程物理方程：力與位移或變形之間的關(guān)系力與位移或變形之間的關(guān)系平面匯交力系：兩個獨立方程，只能求解兩個未知

12、數(shù)平面匯交力系：兩個獨立方程，只能求解兩個未知數(shù)0iM0)(00iOyxFMFF平面力偶系：一個獨立方程，只能求解一個未知數(shù)平面力偶系：一個獨立方程，只能求解一個未知數(shù)00yxFF平面任意力系：三個獨立方程，只能求解三個未知數(shù)平面任意力系：三個獨立方程，只能求解三個未知數(shù)當(dāng)獨立方程數(shù)當(dāng)獨立方程數(shù) 未知數(shù)數(shù)量未知數(shù)數(shù)量：靜定問題靜定問題當(dāng)獨立方程數(shù)當(dāng)獨立方程數(shù) 未知數(shù)數(shù)量未知數(shù)數(shù)量：靜不定問題，超靜定問題靜不定問題，超靜定問題物體系統(tǒng)平衡的特點：物體系統(tǒng)平衡的特點：平衡系統(tǒng)中的每個單體（構(gòu)件）也是平衡的；平衡系統(tǒng)中的每個單體（構(gòu)件）也是平衡的； 平衡系統(tǒng)中每個單體（構(gòu)件）可以列出平衡系統(tǒng)中每個單

13、體（構(gòu)件）可以列出3個獨立個獨立平衡方程，整個系統(tǒng)可以有平衡方程，整個系統(tǒng)可以有3 n個方程。（設(shè)系統(tǒng)中個方程。（設(shè)系統(tǒng)中有有n個物體）個物體） 面接觸約束限制面接觸約束限制2個自由度；個自由度； 線和點接觸限制線和點接觸限制1個自由度。個自由度。 約束限制構(gòu)件的自由度，構(gòu)件在空間有約束限制構(gòu)件的自由度，構(gòu)件在空間有6個自由個自由度，平面有度，平面有3個自由度。個自由度。在平面情況下：在平面情況下：關(guān)于靜不定的次數(shù)：關(guān)于靜不定的次數(shù)：靜不定的次數(shù)，即多余約束的數(shù)量靜不定的次數(shù)，即多余約束的數(shù)量獨立方程數(shù)：獨立方程數(shù)：3個個約束數(shù)（未知力個數(shù)）：約束數(shù)（未知力個數(shù)）：3個個獨立方程數(shù)：獨立方程數(shù)

14、：3個個約束數(shù)（未知力個數(shù)）：約束數(shù)（未知力個數(shù)）：4個個物體系統(tǒng)的自由度數(shù)：物體系統(tǒng)的自由度數(shù)：HLPPnF23 當(dāng)當(dāng)物體系統(tǒng)的自由度數(shù)物體系統(tǒng)的自由度數(shù)F0，為靜不定系統(tǒng)，為靜不定系統(tǒng)，F(xiàn)即為物體系統(tǒng)的即為物體系統(tǒng)的靜不定的次數(shù)。靜不定的次數(shù)。P222，例題，例題8-4xqAC2l2lB 如圖：已知均布載荷集度如圖：已知均布載荷集度q=15N/mm，l=4m，梁為圓截梁為圓截面，直徑面，直徑d=100mm，材料的許，材料的許用應(yīng)力用應(yīng)力 =100MPa，校核該，校核該梁是否安全。梁是否安全。解：該梁有多余約束，為一次靜不定問題，受力如圖解：該梁有多余約束，為一次靜不定問題，受力如圖xqAC

15、BCFAxFAyFBF將將C處約束解除，以處約束解除，以FC取代取代力平衡方程：力平衡方程：02121:00:00:0qllFlFMqlFFFFFFBAyCCBAyyiAxxixqAC2l2lB變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：梁在梁在C處的撓度必須為零。處的撓度必須為零。由疊加原理：由疊加原理：0)()(CccCFqxqAC2l2lBxAC2l2lBCF再根據(jù)疊加原理，其中：再根據(jù)疊加原理，其中：)()()(21qqqcccEIqlllEIqllllllllEIlqqc3847)8345(48)22(4)23(42242)(433221EIqllEIlqlqBc3842124)21(21)(432

16、EIlFllllEIlFFCCCc12)32(2412)(32xqAC2l2lBxqAC2l2lBEIqlEIqlEIqlqqqccc38463843847)()()(444210)()(CccCFq由由038461243EIqlEIlFCqlFC163qlFB85qlFAy163xqACBCFAyFBF求求AB段彎矩：段彎矩：x210121163)(0163)(:0qxqlxxMqxdxqlxxMMxi0163)(1qxqlxMlx163lx163當(dāng)當(dāng)mkNxM22. 410153291691015214341015163)(3331求求BC段彎矩：段彎矩：22202165211613)(0)21(85163)(:0qlqxqlxxMqxdxlxqlqlxxMMxilx1613當(dāng)當(dāng)mkNxM22. 4161015165