同濟大學第六版高等數學上下冊課后習題答案(8)

1、.習題8-3 1. 求下列函數的全微分: (1); 解 . (2); 解 . (3) ; 解 因為 , , 所以 . (4)u=xyz. 解 因為 , , , 所以 . 2. 求函數z=ln(1+x2+y2)當x=1, y=2時的全微分. 解 因為 , , , , 所以 . 3. 求函數當x=2, y=1, Dx=0.1, Dy=-0.2時的全增量和全微分. 解 因為 , , 所以, 當x=2, y=1, Dx=0.1, Dy=-0.2時, , . 4. 求函數z=exy當x=1, y=1, Dx=0.15, Dy=0.1時的全微分. 解 因為 所以, 當x=1, y=1, Dx=0.15,

2、Dy=0.1時, . *5. 計算的近似值. 解 設, 由于 , 所以取x=1, y=2, Dx=0.02, Dy=-0.03可得 . *6. 計算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693). 解 設z=xy, 由于 , 所以取x=2, y=1, Dx=-0.03, Dy=0.05可得 (1.97)1.05»2-0.03+2ln2×0.05+1.97+0.0693 »2.093. *7. 已知邊長為x=6m與y=8m的矩形, 如果x邊增加5cm而y邊減少10cm,問這個矩形的對角線的近似變化怎樣？ 解 矩形的對角線為, , 當x=6, y=8, Dx=0.

3、05, Dy=-0.1時, . 這個矩形的對角線大約減少5cm. *8. 設有一無蓋圓柱形容器, 容器的壁與底的厚度均為0.1cm, 內高為20cm,內半徑為4厘米, 求容器外殼體積的近似值. 解 圓柱體的體積公式為V=pR2h, DV»dV=2pRhDR+pR2Dh,當R=4, h=20, DR=Dh=0.1時, DV»2´3.14´4´20´0.1+3.14´42´0.1»55.3(cm3), 這個容器外殼的體積大約是55.3cm3. *9. 設有直角三角形, 測得其兩腰的長分別為7±0.1

4、cm和24±0.1cm, 試求利用上述二值來計算斜邊長度時的絕對誤差. 解 設兩直角邊的長度分別為x和y, 則斜邊的長度為. . 令x=7, y=24, |Dx|£0.1, |Dy|£0.1, 則得斜邊長度z的絕對誤差約為 cm. *10. 測得一塊三角形土地的兩邊長分別為63±0.1m和78±0.1m,這兩邊的夾角為60°±1°, 試求三角形面積的近似值, 并求其絕對誤差和相對誤差. 解 設三角形的兩邊長為x和y, 它們的夾角z, 為則三角形面積為. . 令x=63, y=78, , |dx|=0.1, |dy|=0.1, , 則 , , , 所以三角形面積的近似值為2127.82m2, 絕對誤差為27.55m2, 相對誤差為1.29%. *11. 利用全微分證明: 兩數之和的絕對誤差等于它們各自的絕對誤差之和. 證明 設u=x+y, 則 . 所以兩數之和的絕對誤差|Du|等于它們各自的絕對誤差|Dx|與|Dy|的和. *12. 利用全微分證明: 乘積的相對誤差等于各因子的相對誤差之和; 商