專題：基本不等式常見題型歸納(教師版)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題函數(shù)常見題型歸納三個不等式關系： （1）a，bR，a2b22ab，當且僅當ab時取等號 （2）a，bR，ab2，當且僅當ab時取等號 （3）a，bR，()2，當且僅當ab時取等號上述三個不等關系揭示了a2b2 ，ab ，ab三者間的不等關系其中，基本不等式及其變形：a，bR，ab2(或ab()2)，當且僅當ab時取等號，所以當和為定值時，可求積的最值；當積為定值是，可求和的最值利用基本不等式求最值：一正、二定、三等號【題型一】利用拼湊法構造不等關系【典例1】（揚州市20152016學年度第一學期期末·11）已知且，則的最小值為 .【解析】且，解得或，即練

2、習：1（南京市、鹽城市2015屆高三年級第一次模擬·10）若實數(shù)滿足，且，則的最小值為 解析：由log2x+log2y=1可得log2xy=1=log22，則有xy=2，那么=（xy）+2=4，當且僅當（xy）=，即x=+1，y=1時等號成立，故的最小值為42.（蘇北四市（徐州、淮安、連云港、宿遷）2017屆高三上學期期末）若實數(shù)滿足，則的最小值為 3.（無錫市2017屆高三上學期期末）已知，且，則的最小值為 .【典例2】（南京市2015屆高三年級第三次模擬·12）已知x，y為正實數(shù)，則的最大值為 解析：由于=1+=1+1+=，當且僅當4=，即y=2x時等號成立【典例3】若

3、正數(shù)、滿足,則的最小值為_.解析：由,得,解得(當且僅當且,即時,取等號).變式：1.若,且滿足,則的最大值為_.解析：因為,所以由,解得(當且僅當且,即時,取等號).2.設，則的最小值為_ 43.設，則的最大值為_ 4.（蘇北四市（淮安、宿遷、連云港、徐州）2017屆高三上學期期中）已知正數(shù)，滿足，則的最小值為 【題型二】含條件的最值求法【典例4】（蘇州市2017屆高三上期末調(diào)研測試）已知正數(shù)滿足，則的最小值為 練習1（江蘇省鎮(zhèn)江市高三數(shù)學期末·14）已知正數(shù)滿足，則的最小值為 .解析：對于正數(shù)x，y，由于+=1，則知x>1，y>1，那么+=（+）（1+1）=（+）（+

4、）（+）2=25，當且僅當·=·時等號成立2.（20132014學年度蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學情況調(diào)查（一）·11）已知正數(shù)滿足，則的最小值為 解析：，當且僅當時，取等號故答案為：93（南通市2015屆高三第一次調(diào)研測試·12）已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點，如下圖所示，則的最小值為 .解析：由題可得a+b=3，且a>1，那么+=（a1+b）（+）=（4+1）（2+5）=，當且僅當=時等號成立4（江蘇省蘇北四市2015屆高三第一次模擬考試·12）己知a，b為正數(shù)，且直線 與直線 互相平行，則2a+3b的最小值為_【解析】由于直線ax+by6=0與直線2

5、x+（b3）y+5=0互相平行，則有=，即3a+2b=ab，那么2a+3b=（2a+3b）·=（2a+3b）（+）=+132+13=25，當且僅當=，即a=b時等號成立5.常數(shù)a，b和正變量x，y滿足ab16，.若x2y的最小值為64，則ab_.答案：64；(考查基本不等式的應用).6.已知正實數(shù)滿足，則的最大值為 答案：【題型三】代入消元法【典例5】（蘇州市2016屆高三調(diào)研測試·14）已知，則的最小值為 解析：由得 ，令 則當且僅當 即 等號成立練習1（江蘇省揚州市2015屆高三上學期期末·12）設實數(shù)x，y滿足x22xy10，則x2y2的最小值是 解析：由x

6、22xy10可得y=，那么x2y2= x2=x2+2=，當且僅當x2=，即x4=時等號成立 2（蘇州市2014屆高三調(diào)研測試·13）已知正實數(shù)x，y滿足，則x + y 的最小值為 解析：正實數(shù)x，y滿足xy+2x+y=4，（0x2）x+y=x+=（x+1）+3，當且僅當時取等號x+y的最小值為故答案為：3（南通市2014屆高三第三次調(diào)研測試·9）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為 解析：正實數(shù)x，y滿足（x1）（y+1）=16，x+y=，當且僅當y=3，（x=5）時取等號x+y的最小值為8故答案為：84.（揚州市2017屆高三上學期期中）若，且，則使得取得最小值的實數(shù)= 。5.設

7、實數(shù)x、y滿足x2xy10，則xy的取值范圍是_6.已知，且，求的最大值為_【題型四】換元法【典例6】（南京市、鹽城市2016屆高三年級第二次模擬考試·13）已知函數(shù)f(x)ax2xb(a，b均為正數(shù))，不等式f(x)0的解集記為P，集合Qx|2tx2t若對于任意正數(shù)t，PQÆ，則的最大值是 【解析】由題意可知任意正數(shù)t，集合Qx|2tx2t，構成的集合的交集為，即，令，當且僅當，等號成立，或（舍）故則的最大值是2（2016年江蘇省淮安、宿遷、連云港、徐州高考數(shù)學一模試卷·14）已知正數(shù)a，b，c滿足b+ca，則+的最小值為解法一：正數(shù)a，b，c滿足b+ca，+=

8、（+）+=+當且僅當=時取等號故答案為：解法二：由 得，令，則，所以，當且僅當時等號成立故的最小值為練習1（江蘇省南京市2016屆高三第三次模擬·14）若實數(shù)x，y滿足2x2xyy21，則的最大值為 解析：由2x2xyy21可得，令，則，代入得，令，則，當且僅當時取等號，故的最大值為2設是正實數(shù),且,則的最小值是_.解:設,則, 所以= . 因為 所以. 3.若實數(shù)x，y滿足2x2xyy21，則的最大值為 4（江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)2016屆高三數(shù)學教學情況調(diào)查數(shù)學試題（一）·14）若實數(shù)滿足，則當取得最大值時，的值為 5 .解析：當時，取最大值8，取得最大值，解得，故.【題

9、型五】判別式法【典例7】南通市2015屆高三第三次調(diào)研測試14已知正實數(shù)x，y滿足，則xy的取值范圍為 【解析】設，則，代入得：，由，解得，即xy的取值范圍為.練習1. （泰州市2016屆高三第一次模擬·13）若正實數(shù)滿足，則的最大值為 【解析】令，則，因此，當時，因此的最大值為2.設，則的最大值為_ 變式1（江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2016屆高三教學情況調(diào)研（二）數(shù)學試題·14）在平面直角坐標系中，設點，若不等式對任意實數(shù)都成立，則實數(shù)的最大值是 解析：由題意得：，對任意實數(shù)都成立，因此，即對任意實數(shù)都成立，即，對任意實數(shù)都成立，即，即，實數(shù)的最大值是【方法技巧】不等式恒成立常

10、用的方法有判別式法、分離參數(shù)法、換主元法判別式法：將所求問題可轉(zhuǎn)化為二次不等式，則可考慮應用判別式法解題。一般地，對于二次函數(shù),有1）對恒成立2）對恒成立分離變量法：若所給的不等式能通過恒等變形使參數(shù)與主元分離于不等式兩端，從而問題轉(zhuǎn)化為求主元函數(shù)的最值，進而求出參數(shù)范圍。這種方法本質(zhì)也還是求最值。一般地有：1）恒成立2）恒成立確定主元法：如果把已知取值范圍的變量作為主元，把要求取值范圍的變量看作參數(shù)，則可簡化解題過程。2（南京市2014屆高三年級第三次模擬·14）設二次函數(shù)（為常數(shù)）的導函數(shù)為對任意，不等式恒成立，則的最大值為 解析：，對任意，不等式恒成立，恒成立，即恒成立，故，且，即，故，故答案為：【題型六】分離參數(shù)法【典例8】（2013-2014學年江蘇省鎮(zhèn)江市高三（上）期末·14）已知x0，y0，若不等式x3+y3kxy（x+y）恒成立，則實數(shù)k的最大值為_ 解析x0，y0，不等式x3+y3kxy（x+y）可化為，x2xy+y2kxy，即，由基本不等式得，k21=1，實數(shù)k的最大值為1，故答案為：1練習1（江蘇省蘇北三市2016屆最后一次模擬·3）已知對滿足的任意正實數(shù)，都有，則實數(shù)的取值范圍為 .解析：，而，因此即實數(shù)的取值范圍為2若不等式x22xya(x2y2)對于一切正數(shù)x，y恒