函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例

1、函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例孝南高中孝南高中 羅金霞羅金霞“菊花”煙花是國(guó)慶晚會(huì)上空最璀璨壯觀的煙花之一，其施放后的軌跡呈拋物線拋物線狀狀。例例1.1.小王開(kāi)車前往天安門(mén)廣場(chǎng)參觀閱兵儀式，在到達(dá)小王開(kāi)車前往天安門(mén)廣場(chǎng)參觀閱兵儀式，在到達(dá)廣場(chǎng)前五小時(shí)的行駛速度與時(shí)間的關(guān)系如圖廣場(chǎng)前五小時(shí)的行駛速度與時(shí)間的關(guān)系如圖. .解：陰影部分的面積為解：陰影部分的面積為50 180 190 175 1=360 + + + +vt (h)5080907565(km/h)12345O例題講解 （1 1）求圖中陰影部分的）求圖中陰影部分的面積，并說(shuō)明所求面積面積，并說(shuō)明所求面積的實(shí)際含義；的實(shí)際含義；vt (h)50809

2、07565(km/h)12345Ovt (h)5080907565(km/h)12345Ovt (h)5080907565(km/h)12345Ovt (h)5080907565(km/h)12345Ovt (h)5080907565(km/h)12345Ovt (h)5080907565(km/h)12345O65 1（2 2）假設(shè)這輛車的里程表在小王假設(shè)這輛車的里程表在小王行駛這段路程前的讀數(shù)行駛這段路程前的讀數(shù)2004km2004km，試建立小王在行駛這段路程時(shí)其試建立小王在行駛這段路程時(shí)其車?yán)锍瘫碜x數(shù)車?yán)锍瘫碜x數(shù)s kms km與時(shí)間與時(shí)間t ht h的函的函數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象

3、數(shù)解析式，并作出相應(yīng)的圖象. .S=50t+2004, 0 t1,80(t-1)+2054, 1 t2,90(t-2)+2134, 2 t3,75(t-3)+2224, 3 t4,65(t-4)+2299, 4 t 5.O2000210022002300240012345ts.解：解：vt (h)5080907565(km/h)12345O（3 3）當(dāng)汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)為）當(dāng)汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)為21792179時(shí)，求行駛時(shí)間時(shí)，求行駛時(shí)間t t 解： 90(t-2)+2134=217990(t-2)+2134=2179. 得得t=2.5(t=2.5(小時(shí)）小時(shí)）例例2.人口問(wèn)題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的

4、問(wèn)題人口問(wèn)題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問(wèn)題. 認(rèn)識(shí)人口數(shù)量認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長(zhǎng)提供依據(jù)的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長(zhǎng)提供依據(jù). 早在早在1798年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人年，英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：口增長(zhǎng)模型： y=y0ert,其中其中t表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間，表示經(jīng)過(guò)的時(shí)間，y0表示表示t=0時(shí)的人口數(shù)，時(shí)的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長(zhǎng)率表示人口的年平均增長(zhǎng)率. 下表是下表是19501959年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料年我國(guó)的人口數(shù)據(jù)資料(單位：萬(wàn)人單位：萬(wàn)人) （1）如果以各年人口增長(zhǎng)率的平均值作為我國(guó)這一時(shí)期的人）如果以各年

5、人口增長(zhǎng)率的平均值作為我國(guó)這一時(shí)期的人口增長(zhǎng)率（精確到口增長(zhǎng)率（精確到0.0001），用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建），用馬爾薩斯人口增長(zhǎng)模型建立我國(guó)在這一時(shí)期的具體人口增長(zhǎng)模型，并檢驗(yàn)所得模型立我國(guó)在這一時(shí)期的具體人口增長(zhǎng)模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符；與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符；（2）如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，大約在哪一年我國(guó)的人口達(dá)到）如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，大約在哪一年我國(guó)的人口達(dá)到13億？?jī)|？年份年份1950195119521953195419551956195719581959人數(shù)人數(shù)55196563005748258796602666145662828645636599467207（1）

6、解：設(shè)19511959年的人口增長(zhǎng)率分別為r1，r2，r9.于是, 19511959年期間,我國(guó)人口的年均增長(zhǎng)率為.56300)1 (551961 r可得1951年人口增長(zhǎng)率0200.01r同理可得： .0210. 02r0229. 03r0250. 04r0197. 05r0223. 06r0276. 07r0222. 08r0184. 09r.0210. 02r0223. 06r0197. 05r.0210. 02r0223. 06r0222. 08r0197. 05r.0210. 02r0223. 06r0184. 09r0222. 08r0197. 05r.0210. 02r0223.

7、 06r0229. 03r0184. 09r0222. 08r0197. 05r.0210. 02r0223. 06r0250. 04r0229. 03r0184. 09r0222. 08r0197. 05r.0210. 02r0223. 06r0276. 07r0250. 04r0229. 03r0184. 09r0222. 08r0197. 05r.0210. 02r0223. 06r0229. 03r.0210. 02r0250. 04r0229. 03r.0210. 02r0197. 05r0250. 04r0229. 03r.0210. 02r0223. 06r0197. 05r02

8、50. 04r0229. 03r.0210. 02r0276. 07r0223. 06r0197. 05r0250. 04r0229. 03r.0210. 02r0222. 08r0276. 07r0223. 06r0197. 05r0250. 04r0229. 03r.0210. 02r0184. 09r0222. 08r0276. 07r0223. 06r0197. 05r0250. 04r0229. 03r.0210. 02r0229. 03r.0210. 02r0250. 04r0229. 03r.0210. 02r0197. 05r0250. 04r0229. 03r.0210. 0

9、2r0223. 06r0197. 05r0250. 04r0229. 03r.0210. 02r0276. 07r0223. 06r0197. 05r0250. 04r0229. 03r.0210. 02r0222. 08r0276. 07r0223. 06r0197. 05r0250. 04r0229. 03r.0210. 02r0184. 09r0222. 08r0276. 07r0223. 06r0197. 05r0250. 04r0229. 03r.0210. 02r0221. 09)(921rrrr年份年份195019511952195319541955195619571958195

10、9人數(shù)人數(shù)55196563005748258796602666145662828645636599467207 19511959年的人口增長(zhǎng)模型為年的人口增長(zhǎng)模型為.,551960221. 0Nteyt ty1234567895000055000600006500070000O.解：將解：將y=130000代入代入,551960221. 0tey 得得 t 38.76 所以，如果按表的所以，如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，大約在增長(zhǎng)趨勢(shì)，大約在1950年后的年后的39年年（即（即1989年）我國(guó)年）我國(guó)的人口就已達(dá)到的人口就已達(dá)到13億。億。（2）如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，大約）如果按表的增長(zhǎng)趨勢(shì)，大約在哪一年

11、我國(guó)的人口達(dá)到在哪一年我國(guó)的人口達(dá)到13億？?jī)|？v點(diǎn)評(píng)點(diǎn)評(píng)：通過(guò)例通過(guò)例2的學(xué)習(xí)學(xué)生應(yīng)學(xué)會(huì)根據(jù)給定的函數(shù)的學(xué)習(xí)學(xué)生應(yīng)學(xué)會(huì)根據(jù)給定的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，并能夠驗(yàn)證問(wèn)題中的數(shù)據(jù)與所模型解決實(shí)際問(wèn)題，并能夠驗(yàn)證問(wèn)題中的數(shù)據(jù)與所提供的數(shù)學(xué)模型是否吻合，同時(shí)能夠利用模型進(jìn)行提供的數(shù)學(xué)模型是否吻合，同時(shí)能夠利用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。預(yù)測(cè)。自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型：自然狀態(tài)下的人口增長(zhǎng)模型： y=y0ert1 1、已知、已知16501650年世界人口為年世界人口為5 5億，當(dāng)時(shí)人口的年增長(zhǎng)率億，當(dāng)時(shí)人口的年增長(zhǎng)率為為0.3%0.3%；19701970年世界人口為年世界人口為36 36 億，當(dāng)時(shí)人口的年增億，當(dāng)時(shí)人

12、口的年增長(zhǎng)率為長(zhǎng)率為2.1%2.1%（1 1）用馬爾薩斯人口模型計(jì)算，什么時(shí)候世界人口）用馬爾薩斯人口模型計(jì)算，什么時(shí)候世界人口是是16501650年的年的2 2倍？什么時(shí)候世界人口是倍？什么時(shí)候世界人口是19701970年的年的2 2倍？倍？（2 2）實(shí)際上，）實(shí)際上，18501850年以前世界人口就超過(guò)了年以前世界人口就超過(guò)了1010億；而億；而20032003年世界人口還沒(méi)有達(dá)到年世界人口還沒(méi)有達(dá)到72 72 億。你對(duì)同樣的模型得億。你對(duì)同樣的模型得出的兩個(gè)結(jié)果有什么看法？出的兩個(gè)結(jié)果有什么看法？令令y=10, e0.003t=2，0.003t=ln2，t 231所以，所以，1881年世

13、界人口約為年世界人口約為1650 年的年的2倍。倍。同理可知，同理可知，2003年世界人口數(shù)約為年世界人口數(shù)約為1970年的年的2 倍。倍。課堂練習(xí)課堂練習(xí)解：由題意得，解：由題意得，y=5e0.003t (t N)解：根據(jù)實(shí)際情況，對(duì)解：根據(jù)實(shí)際情況，對(duì)1650年得到的結(jié)年得到的結(jié)論，公式中的增長(zhǎng)速度要小于實(shí)際的增論，公式中的增長(zhǎng)速度要小于實(shí)際的增長(zhǎng)速度，而長(zhǎng)速度，而1970年得到的結(jié)論，公式中年得到的結(jié)論，公式中的增長(zhǎng)速度要大于實(shí)際的增長(zhǎng)速度，可的增長(zhǎng)速度要大于實(shí)際的增長(zhǎng)速度，可見(jiàn)，近幾十年，各國(guó)為控制人口的增長(zhǎng)見(jiàn)，近幾十年，各國(guó)為控制人口的增長(zhǎng)而采取了一定的措施，已經(jīng)有一定成效。而采取了

14、一定的措施，已經(jīng)有一定成效。v2.2.電信局為了滿足客戶不同需要，設(shè)有電信局為了滿足客戶不同需要，設(shè)有A A、B B兩種兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案應(yīng)付話費(fèi)（元）與通話時(shí)優(yōu)惠方案，這兩種方案應(yīng)付話費(fèi)（元）與通話時(shí)間（分鐘）之間關(guān)系如圖所示（其中間（分鐘）之間關(guān)系如圖所示（其中MNCDMNCD）。）。v（1 1）分別求出方案）分別求出方案A A、B B應(yīng)付話費(fèi)（元）與通話時(shí)應(yīng)付話費(fèi)（元）與通話時(shí)間間x x（分鐘）的函數(shù)表達(dá)式（分鐘）的函數(shù)表達(dá)式f(xf(x) )和和g(xg(x) )；v（2 2）假如你是一位電信局推銷人員，你是如何幫）假如你是一位電信局推銷人員，你是如何幫助客戶選擇助客戶選擇A A

15、、B B、兩種優(yōu)惠方案？并說(shuō)明理由。、兩種優(yōu)惠方案？并說(shuō)明理由。v解：（解：（1 1）先列出兩種優(yōu)惠方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析）先列出兩種優(yōu)惠方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式：式：v當(dāng)客戶通話時(shí)間為當(dāng)客戶通話時(shí)間為200200分鐘時(shí)，兩種方案均可；分鐘時(shí)，兩種方案均可；v當(dāng)客戶通話時(shí)間為當(dāng)客戶通話時(shí)間為0 x0 x200200分鐘，分鐘，g(xg(x) ) f(xf(x) )，故選擇方案故選擇方案A A；v當(dāng)客戶通話時(shí)間為當(dāng)客戶通話時(shí)間為x x200200分鐘時(shí)，分鐘時(shí)，g(xg(x) )f(xf(x) )，故選方案故選方案B B。小結(jié)：v用函數(shù)知識(shí)解應(yīng)用題的方法步驟：用函數(shù)知識(shí)解應(yīng)用題的方法步驟：v(1)(1)正確地將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，這是解應(yīng)正確地將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，這是解應(yīng)用題的關(guān)鍵，用題的關(guān)鍵， 轉(zhuǎn)化來(lái)源于對(duì)已知條件的綜合分析，轉(zhuǎn)化來(lái)源于對(duì)已知條件的綜合分析，歸納與抽象，并與熟知的函數(shù)模型相比較，以確定歸納與抽象，并與熟知的函數(shù)模型相比較，以確定函數(shù)模型的種類。函數(shù)模型的種類。v(2)(2)用