概率統(tǒng)計(jì)2013級(jí)軟工網(wǎng)絡(luò)內(nèi)招5習(xí)題課

1、第五章第五章 大數(shù)定律及中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理習(xí)習(xí) 題題 課課二、主要內(nèi)容二、主要內(nèi)容三、典型例題三、典型例題一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn)重點(diǎn) 中心極限定理及其運(yùn)用中心極限定理及其運(yùn)用. 2.難點(diǎn)難點(diǎn) 證明隨機(jī)變量服從大數(shù)定律證明隨機(jī)變量服從大數(shù)定律. 大數(shù)定律大數(shù)定律 二、主要內(nèi)容二、主要內(nèi)容中心極限定理中心極限定理 定定理理一一定定理理二二 定定理理三三 定理一的另一種表示定理一的另一種表示 定定理理一一定定理理二二 定定理理三三 切比雪夫定理的特殊情況切比雪夫定理的特殊情況有有數(shù)數(shù)則對(duì)于任意正則對(duì)于任意正的算術(shù)平均的算術(shù)平均個(gè)隨機(jī)變量個(gè)隨機(jī)

2、變量作前作前和方差：和方差：且具有相同的數(shù)學(xué)期望且具有相同的數(shù)學(xué)期望相互獨(dú)立相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 ,1), 2, 1()(,)( ,1221 nkkkknXnXnkXDXEXXX. 11lim|lim1 nkknnXnPXP定理一的另一種表示定理一的另一種表示. , 1 ), 2, 1()(,)(, , , , 1221 PnkkkknXXnXkXDXEXXX即即依概率收斂于依概率收斂于則序列則序列和方差：和方差：且具有相同的數(shù)學(xué)期望且具有相同的數(shù)學(xué)期望相互獨(dú)立相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量伯努利大數(shù)定理伯努利大數(shù)定理有有則對(duì)于任意正數(shù)則對(duì)于任意正數(shù)率率在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概在每次試驗(yàn)中發(fā)

3、生的概是事件是事件的次數(shù)的次數(shù)發(fā)生發(fā)生次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件是是設(shè)設(shè) , , , ApAnnA. 0lim1lim pnnPpnnPAnAn或或辛欽定理辛欽定理), 2 , 1( )( , , , , 21 kXEXXXkn 且具有數(shù)學(xué)期望且具有數(shù)學(xué)期望服從同一分布服從同一分布相互獨(dú)立相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量有有則對(duì)于任意正數(shù)則對(duì)于任意正數(shù), . 11lim1 nkknXnP獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理則隨機(jī)變量之和的則隨機(jī)變量之和的和方差：和方差：且具有數(shù)學(xué)期望且具有數(shù)學(xué)期望同一分布同一分布服從服從相互獨(dú)立相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量), 2 , 1

4、(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn 的分布函數(shù)的分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化變量標(biāo)準(zhǔn)化變量 nkknkknkknXDXEXY111滿足滿足對(duì)于任意對(duì)于任意 xxFn)( xtxt).(de2122 xnnXPxFnkknnn 1lim)(lim李雅普諾夫定理李雅普諾夫定理, 0|1,), 2 , 1(0)(,)(,122122221 nkkknnkknkkkknXEBnBkXDXEXXX 時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)若存在正數(shù)若存在正數(shù)記記和方差：和方差：們具有數(shù)學(xué)期望們具有數(shù)學(xué)期望它它相互獨(dú)立相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量 nkknkknkknXDXEXZ

5、111nnkknkkBX 11 滿足滿足對(duì)于任意對(duì)于任意的分布函數(shù)的分布函數(shù)xxFn)( xBXPxFnnkknkknnn11lim)(lim xtxt).(de2122 棣莫弗拉普拉斯定理棣莫弗拉普拉斯定理恒有恒有對(duì)于任意對(duì)于任意則則的二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量,)10(,), 2 , 1(xppnnn xtnntxpnpnpP.de21)1(lim22 三、典型例題三、典型例題 解解.指出其分布參數(shù)指出其分布參數(shù) , , 21獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布因?yàn)橐驗(yàn)閚XXX , , 22221也獨(dú)立同分布也獨(dú)立同分布所以所以nXXX例例1的簡(jiǎn)單隨機(jī)的簡(jiǎn)單隨機(jī)是來(lái)自總體是

6、來(lái)自總體假設(shè)假設(shè)XXXXn , 21 ,樣本樣本 4). 3, 2,1,()( kXEkk 已知已知:證明證明充分充分當(dāng)當(dāng) n ,大時(shí)大時(shí), 1 12近似服從正態(tài)分布近似服從正態(tài)分布隨機(jī)變量隨機(jī)變量 niinXnZ并并,)( 22 iXE且且,)()()(2242242 iiiEXXEXD根據(jù)根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理知知)(224122 nnXVniin)(11224122 nXnnii)(12242 nZn的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. , 充分大時(shí)充分大時(shí)故當(dāng)故當(dāng)n,近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布nV , 充分大時(shí)充分大時(shí)從而當(dāng)從而

7、當(dāng)n )(12224近似服從近似服從 nnVnZ . , 22422的正態(tài)分布的正態(tài)分布參數(shù)為參數(shù)為n , )10, 0( 2NX假設(shè)測(cè)量的隨機(jī)誤差假設(shè)測(cè)量的隨機(jī)誤差解解的概的概值大于值大于為每次測(cè)量誤差的絕對(duì)為每次測(cè)量誤差的絕對(duì)設(shè)設(shè) 6 .19 p6 .19 XPp 106 .1910XP例例2. )975. 0 ,(效數(shù)字效數(shù)字要求小數(shù)點(diǎn)后取兩位有要求小數(shù)點(diǎn)后取兩位有的近似值的近似值 ,19.6 的概率的概率絕對(duì)值大于絕對(duì)值大于 ,100 次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中在在試求試求 并利用泊松分布求出并利用泊松分布求出 3次測(cè)量誤差的次測(cè)量誤差的至少有至少有)96. 1(,率率 96. 110XP,05. 0)96. 1(22 6 .19100 出現(xiàn)出現(xiàn)次獨(dú)立測(cè)量中事件次獨(dú)立測(cè)量中事件為為設(shè)設(shè) Xk , 05. 0 ,100 的二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為則則 pnk3 kP 故故31 kP05. 095. 010095. 0199100 96. 1102XP,的次數(shù)的次數(shù)29