簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題（課堂PPT）

1、1551ABCOxy2 二元一次不等式二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角在平面直角坐標(biāo)系中表示坐標(biāo)系中表示 _ 確定區(qū)域步驟：確定區(qū)域步驟： _、_若若C0，則，則 _、_.直線定界直線定界特殊點(diǎn)定域特殊點(diǎn)定域原點(diǎn)定域原點(diǎn)定域直線定界直線定界 直線直線Ax+By+C=0某一側(cè)所某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域。有點(diǎn)組成的平面區(qū)域。二元一次不等式表示的區(qū)域及判定方法：二元一次不等式表示的區(qū)域及判定方法： 知識(shí)回顧：知識(shí)回顧：3 某工廠用某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品甲產(chǎn)品使用使用4個(gè)個(gè)A配件耗時(shí)配件耗時(shí)1h，每生產(chǎn)一，每生產(chǎn)一件件

2、乙產(chǎn)品乙產(chǎn)品使用使用4個(gè)個(gè)B配件耗時(shí)配件耗時(shí)2h，該廠每天最多可從，該廠每天最多可從配件廠獲得配件廠獲得16個(gè)個(gè)A配件和配件和12個(gè)個(gè)B配件，按每天工作配件，按每天工作8h計(jì)算，該廠所有可能的計(jì)算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排日生產(chǎn)安排是什么？是什么？A配件配件（個(gè)）（個(gè)）B配件配件（個(gè)）（個(gè)）耗時(shí)（耗時(shí)（h)甲產(chǎn)品甲產(chǎn)品乙產(chǎn)品乙產(chǎn)品限限 制制414216812一、實(shí)際問題一、實(shí)際問題4設(shè)設(shè)甲、乙甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件件，由已知條件可，由已知條件可得二元一次不等式組得二元一次不等式組2y84x164y12x0y0 x284300 xyxyxy5將不等式組表示成平面上的區(qū)域，

3、圖中的陰影部分中的將不等式組表示成平面上的區(qū)域，圖中的陰影部分中的整點(diǎn)整點(diǎn)（坐標(biāo)為整數(shù)坐標(biāo)為整數(shù)）就代表所有）就代表所有可能可能的日生產(chǎn)安排。的日生產(chǎn)安排。yx4843ox+2y=8x=4y=3284300 xyxyxy6提出新問題：提出新問題： 若生產(chǎn)一件若生產(chǎn)一件甲甲產(chǎn)品獲利產(chǎn)品獲利2萬(wàn)元萬(wàn)元，生產(chǎn)，生產(chǎn)一件一件乙乙產(chǎn)品獲利產(chǎn)品獲利3萬(wàn)元萬(wàn)元，采用那種生產(chǎn)安排，采用那種生產(chǎn)安排利潤(rùn)最大利潤(rùn)最大？A配件配件（個(gè)）（個(gè)）B配件配件（個(gè)）（個(gè)）耗時(shí)（耗時(shí)（h) 利潤(rùn)（萬(wàn)元）利潤(rùn)（萬(wàn)元）甲產(chǎn)品甲產(chǎn)品41乙產(chǎn)品乙產(chǎn)品42限限 制制161282萬(wàn)元萬(wàn)元3萬(wàn)元萬(wàn)元7yx4843oM設(shè)工廠獲得的利潤(rùn)為設(shè)工

4、廠獲得的利潤(rùn)為z，則，則z2x3y 把把z2x3y變形為變形為 233zyx 23它表示斜率為它表示斜率為 在在y軸上的截距為軸上的截距為 的直的直線。線。3z當(dāng)當(dāng)z變化時(shí)，可以得變化時(shí)，可以得到到一族互相平行一族互相平行的的直線。直線。2x+3y=0令令z=0,作直線作直線2x+3y=08由上圖可以看出，當(dāng)經(jīng)過直線由上圖可以看出，當(dāng)經(jīng)過直線x=4x=4與直線與直線x+2y-8=0 x+2y-8=0的的交點(diǎn)交點(diǎn)M M（4 4，2 2）時(shí)，截距時(shí)，截距 的值最大，最大值為的值最大，最大值為 ，3z143這時(shí)這時(shí)2x+3y=14.所以，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品所以，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品件，乙產(chǎn)品2件時(shí)

5、，工廠可獲得最大利潤(rùn)件時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn)14萬(wàn)元萬(wàn)元。yx4843oM（4, 2）( Zmax=2x+3y=24+32=14 )9二、基本概念二、基本概念yx4843o把求最大值或求最小值的函數(shù)稱為把求最大值或求最小值的函數(shù)稱為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)，因?yàn)樗?，因?yàn)樗顷P(guān)于變量關(guān)于變量x、y的的一次一次解析式，又稱解析式，又稱線性目標(biāo)函數(shù)。線性目標(biāo)函數(shù)。 滿足線性約束的解滿足線性約束的解（x x，y y）叫做）叫做可行解?？尚薪?。在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。線性規(guī)劃問題。一組關(guān)于變量一組關(guān)于變量

6、x、y的的一次一次不等式，稱為不等式，稱為線性約束條件。線性約束條件。 由所有可行解組成由所有可行解組成的集合叫做的集合叫做可行域?？尚杏?。 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個(gè)問題的做這個(gè)問題的最優(yōu)解。最優(yōu)解?？尚杏蚩尚杏蚩尚薪饪尚薪庾顑?yōu)解最優(yōu)解10使使z=2x+y取得取得最大值最大值的可行解為的可行解為 ，且最大值為且最大值為 ；課堂練習(xí)課堂練習(xí)1.已知二元一次不等式組已知二元一次不等式組x-y0 x+y-10y-1（1）畫出不等式組所表示的平面區(qū)域；）畫出不等式組所表示的平面區(qū)域；滿足滿足 的的解解(x,y)都叫做都叫做可行解可行解；z=2x

7、+y 叫做叫做 ；（2）設(shè)）設(shè)z=2x+y，則式中變量，則式中變量x,y滿足的二元一滿足的二元一次不等式組叫做次不等式組叫做x,y的的 ；y=-1x-y=0 x+y=12x+y=0(-1,-1) (2,-1)使使z=2x+y取得取得最小值最小值的可行解的可行解 ，且最小值為且最小值為 ；這兩個(gè)這兩個(gè)取得取得最值最值可行解可行解都叫做問題的都叫做問題的 。線性約束條件線性約束條件線性目標(biāo)函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)線性約束條件線性約束條件(2,-1)(-1,-1)3-3最優(yōu)解最優(yōu)解xy01111例例1、營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提、營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供供0.075kg的

8、碳水化合物，的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，的蛋白質(zhì)，0.06kg的的脂肪，脂肪，1kg食物食物A含有含有0.105kg碳水化合物，碳水化合物，0.07kg蛋白蛋白質(zhì)，質(zhì)，0.14kg脂肪，花費(fèi)脂肪，花費(fèi)28元；而元；而1 kg食物食物B含有含有0.105kg碳水化合物，碳水化合物，0.14kg蛋白質(zhì)，蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費(fèi)脂肪，花費(fèi)21元。元。為了滿足營(yíng)養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最為了滿足營(yíng)養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，需要同時(shí)食用食物低，需要同時(shí)食用食物A和食物和食物B多少多少kg？食物kg碳水化合物kg蛋白質(zhì)/kg脂肪kgA0.1050.070.14B0

9、.1050.140.07分析：將已知數(shù)據(jù)列成表格分析：將已知數(shù)據(jù)列成表格三、例題講解三、例題講解12解：設(shè)每天食用解：設(shè)每天食用xkg食物食物A，ykg食物食物B，總成本為，總成本為z，那么那么0.1050.1050.0750.070.140.060.140.070.0600 xyxyxyxy目標(biāo)函數(shù)為：目標(biāo)函數(shù)為：z28x21y作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域7757146147600 xyxyxyxy13把目標(biāo)函數(shù)把目標(biāo)函數(shù)z28x21y 變形為變形為xyo5/75/76/73/73/76/74321zyx 它表示斜率為它表示斜率

10、為隨隨z變化的一組平行直變化的一組平行直線系線系34 是直線在是直線在y軸上軸上的截距，當(dāng)截距最的截距，當(dāng)截距最小時(shí)，小時(shí)，z的值最小。的值最小。21zM 如圖可見，當(dāng)直線如圖可見，當(dāng)直線z28x21y 經(jīng)過可經(jīng)過可行域上的點(diǎn)行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距時(shí)，截距最小，即最小，即z最小。最小。14M點(diǎn)是兩條直線的交點(diǎn)，解方程組點(diǎn)是兩條直線的交點(diǎn)，解方程組6714577yxyx得得M點(diǎn)的坐標(biāo)為：點(diǎn)的坐標(biāo)為：7471yx所以所以zmin28x21y16 由此可知，每天食用食物由此可知，每天食用食物A143g，食物，食物B約約571g，能夠滿足日常飲食要求，又使花費(fèi)最低，能夠滿足日常飲食要求，又使花費(fèi)最低，最

11、低成本為最低成本為16元。元。15解線性規(guī)劃問題的步驟：解線性規(guī)劃問題的步驟： （2 2）移移：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行：在線性目標(biāo)函數(shù)所表示的一組平行線中，利用平移的方法找出與可行域線中，利用平移的方法找出與可行域有公共有公共點(diǎn)且縱截距最大或最小點(diǎn)且縱截距最大或最小的直線；的直線； （3 3）求求：通過解方程組求出最優(yōu)解；：通過解方程組求出最優(yōu)解； （4 4）答答：作出答案。：作出答案。 （1 1）畫畫：畫出線性約束條件所表示的：畫出線性約束條件所表示的可行域可行域；16課堂練習(xí)課堂練習(xí)2：設(shè)設(shè)z=2x-y，式中變量，式中變量x，y滿足下列條件滿足下列條件求求z的最大值和最小值的最大值

12、和最小值.xyO034 yx02553 yx1x的截距軸上在表示直線yzxyz2A)2 , 5(AB)522, 1 (CC4335251xyxyx min22122 155z max2 5212z 17兩個(gè)結(jié)論：兩個(gè)結(jié)論：1、線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲狄话阍诳?、線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲狄话阍诳尚杏虻男杏虻捻旤c(diǎn)頂點(diǎn)處取得，也可能在處取得，也可能在邊界處邊界處取得。取得。2、求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析、求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義幾何意義 在在 y 軸上的截距或其相反數(shù)。軸上的截距或其相反數(shù)。18課后練習(xí)課后練習(xí)1:已知目標(biāo)函數(shù)已知目標(biāo)函數(shù)z=2x+y，且變