質(zhì)數(shù)和合數(shù)教學(xué)案例

1、質(zhì)數(shù)和合數(shù)教學(xué)案例本周我上了一節(jié)教學(xué)常規(guī)視導(dǎo)課，是小學(xué)數(shù)學(xué)第10冊的質(zhì)數(shù)和合數(shù)。【片斷一】課前，我問學(xué)生：“今天我們在教室上課與往日有什么不同嗎？”“來了三位客人老師?！鄙R答?！笆堑模课煌瑢W(xué)都表現(xiàn)出了最佳的精神狀態(tài)。好的，你能根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)將我們教室內(nèi)所有的師生進(jìn)行分類嗎？”生：“可以根據(jù)老師和學(xué)生的區(qū)別分為兩類，就是所有的老師為一類，所有的學(xué)生為一類?！鄙骸翱梢愿鶕?jù)性別來分類，所有男的為一類，所有女的為一類?！鄙骸翱梢愿鶕?jù)是否戴眼鏡來分類，戴眼鏡的人為一類，不戴的為一類。”生：“可以把聽課的老師分為一類，把我們自己班的同學(xué)和任老師分為一類。”生：“可以按小組來分類，第一組為一類，第二

2、組為一類，第三組為一類?！边€有很多雙小手示意要發(fā)言?！皠偛胚@幾位同學(xué)的分類都有一定的道理，有自己的分類標(biāo)準(zhǔn)，是可以的。下面我想請你簡潔地、最好就用一句話來解決一個(gè)問題?！薄凹偃缬腥苏f我們教室內(nèi)的人全部都是男的。你如何跟他反駁？”我發(fā)問?！拔揖椭钢鴦①徽f她是女的，就可以說明他說的這句話是錯(cuò)的?！眲⑿切侵钢约旱耐勒f，引起全班同學(xué)大笑?！皠⑿切钦f的有道理嗎？”“可以的，只要指出有一個(gè)不是男的，就能證明那句話是錯(cuò)的?！庇袑W(xué)生解釋給其他同學(xué)聽?！酒瑪喽骸俊扒懊嫖覀儗W(xué)習(xí)了約數(shù)和倍數(shù)的有關(guān)知識，你能有序地寫出一個(gè)數(shù)的所有的約數(shù)嗎？”我把“所有的”三個(gè)字加重了音說，目的是為了強(qiáng)調(diào)，不漏寫約數(shù)。很快，大家

3、都寫好了112這12個(gè)數(shù)的所有的約數(shù)，我把其中一個(gè)同學(xué)寫的展示出來了：1的約數(shù)：17的約數(shù)：1、72的約數(shù)：1、28的約數(shù)：1、2、4、83的約數(shù)：1、39的約數(shù)：1、3、94的約數(shù)：1、2、410的約數(shù)：1、2、5、105的約數(shù)：1、511的約數(shù)：1、116的約數(shù)：1、2、3、612的約數(shù)：1、2、3、4、6、12“你能根據(jù)約數(shù)的個(gè)數(shù)來將這12個(gè)數(shù)進(jìn)行分類嗎？”我強(qiáng)調(diào)了“約數(shù)的個(gè)數(shù)”這幾個(gè)字。生：“我想把這12個(gè)數(shù)分成這樣幾類，1有一個(gè)約數(shù)為一類，2、3、5、7、11各有兩個(gè)約數(shù)為一類，4、9各有三個(gè)約數(shù)為一類，6、8、10各有四個(gè)約數(shù)為一類，12有六個(gè)約數(shù)為一類。即約數(shù)個(gè)數(shù)相同的各為一類。

4、”生：“我是把約數(shù)的個(gè)數(shù)為奇數(shù)的分為一類，個(gè)數(shù)為偶數(shù)的分為一類，即1、4、9為一類，2、3、5、6、7、8、10、11、12為一類?！鄙骸拔沂前?、2、3、4、5、7、9、11分為一類，6、8、10、12分為一類的，因?yàn)榈谝活悢?shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)都是3個(gè)或3個(gè)以下的，而另一類數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)都是3個(gè)以上的?！鄙骸拔沂前?、2、3、5、7、11分為一類，4、6、8、9、10、12分為一類的，因?yàn)榈谝活悢?shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)都是1個(gè)或2個(gè)的，而另一類數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)都是2個(gè)以上的。”生：“我是這樣分的，1分為一類，2、3、5、7、11分為一類，4、6、8、9、10、12分為一類的。因?yàn)?既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)；2、3

5、、5、7、11是質(zhì)數(shù)，它們只有兩個(gè)約數(shù)；4、6、8、9、10、12是合數(shù)，它們有三個(gè)或三個(gè)以上的約數(shù)?！薄八贾蕾|(zhì)數(shù)和合數(shù)了，一定是課前作了很好的預(yù)習(xí)，預(yù)習(xí)也是搞好學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)?！蔽疫叞鍟百|(zhì)數(shù)”、“合數(shù)”，邊表揚(yáng)生，“那么質(zhì)數(shù)和合數(shù)到底長得是什么樣的呢？我們繼續(xù)研究?！贝藭r(shí)，由師生共同直接從質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念入手，再次深入研究其約數(shù)個(gè)數(shù)的不同特征。【片斷三】“前面，我們按照一個(gè)數(shù)是否能被2整除可以把自然數(shù)分為兩類，奇數(shù)和偶數(shù)。今天我們能否重新給自然數(shù)分類呢？”說著，我在黑板上板書了“自然數(shù)”三個(gè)字，并在下面畫了一個(gè)橢圓。生：“可以分為質(zhì)數(shù)和合數(shù)兩類?！鄙骸安粚Γ€要再加上1才行！”生：“

6、我也同意把自然數(shù)分為三類，就是1、質(zhì)數(shù)和合數(shù)。”她把“1”畫在一個(gè)小小的圈里（上圖），“為什么把1畫在這個(gè)小小的圈里呢？”我不解地問?！耙?yàn)橹挥??。　彼唤獾乜粗??！澳阌X得1只有一個(gè)，是嗎？”女孩點(diǎn)點(diǎn)頭?！?雖然這一類只有一個(gè)，可它也是一類啊，對不對？是一類就應(yīng)該享有平等的權(quán)利，是嗎？”我問大家。“是的?！比w同學(xué)作答?！澳俏覀兛梢赃@樣來表示嗎？”（如圖）?！翱梢?。”“那你們再來猜猜看，在非零自然數(shù)中是質(zhì)數(shù)多還是合數(shù)多？”“因?yàn)橘|(zhì)數(shù)和合數(shù)都有無限多個(gè)，所以應(yīng)該畫一樣的?！薄酒瑪嗨摹吭谧寣W(xué)生動(dòng)手制作100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表時(shí)，我先讓學(xué)生說出自己的制作步驟，然后才動(dòng)手制作，等制作完成時(shí)，我問：“我

7、們在把2、3、5、7的倍數(shù)劃去后，還要不要繼續(xù)劃去8的倍數(shù)、9的倍數(shù)、10的倍數(shù)？”生：“不需要再繼續(xù)劃去8的倍數(shù)了，在前面劃去2的倍數(shù)時(shí)，已經(jīng)把8的倍數(shù)都劃去，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)如果是8的倍數(shù)，它肯定也是2的倍數(shù)?！鄙骸巴瑯拥览?，也不需要再繼續(xù)劃去10的倍數(shù)了?！薄澳?的倍數(shù)呢？”我接著問。生：“也不需要再繼續(xù)劃去9的倍數(shù)了，在前面劃去3的倍數(shù)時(shí)，已經(jīng)把9的倍數(shù)都劃去，因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)如果是9的倍數(shù)，它肯定也是3的倍數(shù)?！薄皩Γ沁@樣的。那么我們在制作100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表時(shí)，當(dāng)7的倍數(shù)劃完后，一直要?jiǎng)澋侥膫€(gè)數(shù)的倍數(shù)為止呢？”生：“就到7的倍數(shù)劃完后就可以了，因?yàn)?后面的一個(gè)質(zhì)數(shù)是11，11乘11是121，

8、121都超過100了，所以到7的倍數(shù)劃完后剩下的數(shù)就都是質(zhì)數(shù)了?！薄舅伎肌可鲜鏊膫€(gè)片斷的處理，我認(rèn)為基本上突破了質(zhì)數(shù)和合數(shù)這一課時(shí)的關(guān)鍵和難點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)了使學(xué)生理解和掌握質(zhì)數(shù)和合數(shù)的意義這一目標(biāo)，同時(shí)在這個(gè)過程中也實(shí)現(xiàn)了對學(xué)生滲透某些數(shù)學(xué)思想的任務(wù)，如集合的思想、分類的思想、極限的思想等等。片斷一是課前談話，看似普通，實(shí)則用意深刻，因?yàn)檫@是片斷二的鋪墊之作，沒有片斷一的伏筆，就不會有片斷二中對112這12個(gè)數(shù)的分類的深刻和有意義。因?yàn)槠瑪喽袑?2個(gè)數(shù)的分類是充分的，所以學(xué)生對于質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念的形成也是牢固的，有意義的，可建構(gòu)的，有“原形”的。實(shí)則上對于質(zhì)數(shù)和合數(shù)的區(qū)分，是基于對這個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)

9、數(shù)的區(qū)分的，而這個(gè)對約數(shù)個(gè)數(shù)的分類的歷程又是豐富的，是源自學(xué)生已有認(rèn)知基礎(chǔ)的，從已有認(rèn)知到質(zhì)數(shù)概念的建立，這也是一個(gè)思維的節(jié)點(diǎn)，必要的、充分的對于約數(shù)個(gè)數(shù)的分類則是有效激活這一節(jié)點(diǎn)的重要環(huán)節(jié)。片斷三重在解決兩個(gè)問題，一個(gè)是“1”在非零自然數(shù)的這一次分類中到底占有幾席之地？一個(gè)是“質(zhì)數(shù)”和“合數(shù)”兩者中誰的個(gè)數(shù)更多？第一問題學(xué)生可以絲毫不經(jīng)思考地把“1”圈在一個(gè)很小的圈里，這是學(xué)生真實(shí)的想法，因?yàn)椤?”就只有一個(gè)數(shù)，而質(zhì)數(shù)和合數(shù)有那么多，就應(yīng)該在那個(gè)集合里畫一個(gè)小小的圈?？墒菑姆诸惖慕嵌瘸霭l(fā)，盡管“1”只有一個(gè)數(shù)，質(zhì)數(shù)和合數(shù)各有那么多，可“1”在這里它也代表著一類，類與類之間應(yīng)該是平等的，各有自己的特征，所以把非零自然數(shù)的分類作了上述處理（如圖）。第二個(gè)問題中，學(xué)生從112這12個(gè)數(shù)的分類中可以明顯地感覺到，質(zhì)數(shù)少于合數(shù)，于是大多數(shù)人認(rèn)為質(zhì)數(shù)少，合數(shù)多。那么教師就要借助于“自然數(shù)個(gè)數(shù)、有沒有最大自然數(shù)”等學(xué)生的已有認(rèn)識進(jìn)行有效的遷移，逐漸浸潤“極限”的思想，讓學(xué)生在朦朧中感覺兩者皆為無限多。在這里，教師就要打碎學(xué)生初步的、原生態(tài)的固有思維習(xí)慣，把它調(diào)整到數(shù)學(xué)的、合理的、有挑戰(zhàn)性的思維平臺上來，這是又一次思維水平的提升。片斷四處理的是一個(gè)問題