第二章信號(hào)檢測與估計(jì)理論(1)

1、2022-3-2512022-3-252第二章第二章 信號(hào)檢測與估計(jì)理論的基礎(chǔ)知識(shí)信號(hào)檢測與估計(jì)理論的基礎(chǔ)知識(shí)主要內(nèi)容主要內(nèi)容 隨機(jī)變量、隨機(jī)矢量及其統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)變量、隨機(jī)矢量及其統(tǒng)計(jì)描述 隨機(jī)過程及其統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過程及其統(tǒng)計(jì)描述 復(fù)隨機(jī)過程及其統(tǒng)計(jì)描述復(fù)隨機(jī)過程及其統(tǒng)計(jì)描述 線性系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)過程的響應(yīng)線性系統(tǒng)對(duì)隨機(jī)過程的響應(yīng) 高斯噪聲、白噪聲和有色噪聲高斯噪聲、白噪聲和有色噪聲 信號(hào)和隨機(jī)參量信號(hào)及其統(tǒng)計(jì)描述信號(hào)和隨機(jī)參量信號(hào)及其統(tǒng)計(jì)描述 窄帶高斯噪聲及其統(tǒng)計(jì)特性窄帶高斯噪聲及其統(tǒng)計(jì)特性 信號(hào)加窄帶高斯噪聲及其統(tǒng)計(jì)特性信號(hào)加窄帶高斯噪聲及其統(tǒng)計(jì)特性2022-3-253曾經(jīng)的考試題2022-3-

2、254第一章模型第一章模型 1 1 信號(hào)的隨機(jī)性及其統(tǒng)計(jì)處理方法信號(hào)的隨機(jī)性及其統(tǒng)計(jì)處理方法 或或 是待處理的隨機(jī)信號(hào)。是待處理的隨機(jī)信號(hào)。 統(tǒng)計(jì)處理方法，主要體現(xiàn)在如下三個(gè)方面：統(tǒng)計(jì)處理方法，主要體現(xiàn)在如下三個(gè)方面： 統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)信號(hào)：概率密度函數(shù)，統(tǒng)計(jì)平均量，功率譜密度等；統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)信號(hào)：概率密度函數(shù)，統(tǒng)計(jì)平均量，功率譜密度等； 統(tǒng)計(jì)意義上的最佳處理統(tǒng)計(jì)意義上的最佳處理滿足指標(biāo)要求的處理；滿足指標(biāo)要求的處理； 統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)處理結(jié)果由概率，平均代價(jià)，平均錯(cuò)誤概率，均方誤差等統(tǒng)計(jì)處理結(jié)果由概率，平均代價(jià)，平均錯(cuò)誤概率，均方誤差等統(tǒng)計(jì)量來評(píng)價(jià)。量來評(píng)價(jià)。 x t = s t +n t x

3、ts tn t； x t2022-3-2552.2.基本概率公式基本概率公式乘法公式乘法公式 ，設(shè)，設(shè)A,BA,B是隨機(jī)事件是隨機(jī)事件 全概率公式，設(shè)全概率公式，設(shè)B Bi i是完備不相容事件是完備不相容事件,Bi,Bi是樣本空間的一個(gè)分割是樣本空間的一個(gè)分割()(|) ( )(|) ( )P ABP A B P BP B A P A事件相乘事件相乘同同時(shí)發(fā)生時(shí)發(fā)生()( ) (|) (|)P ABCP A P B A P C ABiiB 完備：為必然事件（一定發(fā)生）ijB B 不相容：，不可能同時(shí)發(fā)生2022-3-256 證明：證明： ( )(|) ()iiiiiAB AP AP A B P

4、 B111( ) (|)() (|)P A P BAP B P A B ( ) (|)() (|)MMMP A P BAP BP A B( )() (|)|)iiiiiP BPAAP B P A B( )() (|)iiiP AP B P A B(|)1iiP BA 2022-3-257 貝葉斯公式貝葉斯公式( (BayesBayes) ) A A 假設(shè)袋子里面有假設(shè)袋子里面有N N個(gè)白球，個(gè)白球，M M個(gè)黑球，你伸手進(jìn)個(gè)黑球，你伸手進(jìn)去摸一把，摸出黑球的概率是多大。去摸一把，摸出黑球的概率是多大。 B B 如果我們事先并不知道袋子里面黑白球的比例，如果我們事先并不知道袋子里面黑白球的比例，而

5、是閉著眼睛摸出一個(gè)（或好幾個(gè)）球，觀察這些取出而是閉著眼睛摸出一個(gè)（或好幾個(gè)）球，觀察這些取出來的球的顏色之后，那么我們可以就此對(duì)袋子里面的黑來的球的顏色之后，那么我們可以就此對(duì)袋子里面的黑白球的比例作出什么樣的推測。白球的比例作出什么樣的推測。 我們往往只能知道從里面取出來的球是什么顏色，我們往往只能知道從里面取出來的球是什么顏色，而并不能直接看到袋子里面實(shí)際的情況。而并不能直接看到袋子里面實(shí)際的情況。 2022-3-258 貝葉斯公式貝葉斯公式( (BayesBayes) ) 1. 1. 算出各種不同猜測的可能性大小。算出各種不同猜測的可能性大小。 2. 2. 算出最靠譜的猜測是什么。算出

6、最靠譜的猜測是什么。 第一個(gè)就是計(jì)算特定猜測的后驗(yàn)概率，對(duì)于連第一個(gè)就是計(jì)算特定猜測的后驗(yàn)概率，對(duì)于連續(xù)的猜測空間則是計(jì)算猜測的概率密度函數(shù)。續(xù)的猜測空間則是計(jì)算猜測的概率密度函數(shù)。 第二個(gè)則是所謂的模型比較，模型比較如果不第二個(gè)則是所謂的模型比較，模型比較如果不考慮先驗(yàn)概率的話就是最大似然方法?？紤]先驗(yàn)概率的話就是最大似然方法。2022-3-259 貝葉斯公式貝葉斯公式( (BayesBayes) ) 一所學(xué)校里面有一所學(xué)校里面有 60% 60% 的男生，的男生，40% 40% 的女生。男生總是穿的女生。男生總是穿長褲，女生則一半穿長褲一半穿裙子。有了這些信息之長褲，女生則一半穿長褲一半穿裙

7、子。有了這些信息之后我們可以容易地計(jì)算后我們可以容易地計(jì)算“隨機(jī)選取一個(gè)學(xué)生，他（她）隨機(jī)選取一個(gè)學(xué)生，他（她）穿長褲的概率和穿裙子的概率是多大穿長褲的概率和穿裙子的概率是多大”，這個(gè)就是前面，這個(gè)就是前面說的說的“正向概率正向概率”的計(jì)算。的計(jì)算。 然而，假設(shè)你走在校園中，迎面走來一個(gè)穿長褲的學(xué)生然而，假設(shè)你走在校園中，迎面走來一個(gè)穿長褲的學(xué)生（很不幸的是你高度近似，你只看得見他（她）穿的是（很不幸的是你高度近似，你只看得見他（她）穿的是否長褲，而無法確定他（她）的性別），你能夠推斷出否長褲，而無法確定他（她）的性別），你能夠推斷出他（她）是男生的概率是多大嗎？這里假設(shè)求是女生的他（她）是男

8、生的概率是多大嗎？這里假設(shè)求是女生的概率，即穿長褲的女生。概率，即穿長褲的女生。2022-3-2510 貝葉斯公式貝葉斯公式( (BayesBayes) ) 問題進(jìn)一步簡化：問題進(jìn)一步簡化： 你在校園里面隨機(jī)游走，遇到了你在校園里面隨機(jī)游走，遇到了 N N 個(gè)穿長個(gè)穿長褲的人（仍然假設(shè)你無法直接觀察到他們的性褲的人（仍然假設(shè)你無法直接觀察到他們的性別），問這別），問這 N N 個(gè)人里面有多少個(gè)女生多少個(gè)男個(gè)人里面有多少個(gè)女生多少個(gè)男生。生。 2022-3-2511 貝葉斯公式貝葉斯公式( (BayesBayes) ) U U * * P(GirlP(Girl) ) * * P(Pants|Gi

9、rlP(Pants|Girl) / U ) / U * * P(BoyP(Boy) ) * * P(Pants|BoyP(Pants|Boy) ) + U + U * * P(GirlP(Girl) ) * * P(Pants|GirlP(Pants|Girl) ) 。 容易發(fā)現(xiàn)這里校園內(nèi)人的總數(shù)是無關(guān)的，可以消去。于是得到容易發(fā)現(xiàn)這里校園內(nèi)人的總數(shù)是無關(guān)的，可以消去。于是得到 P(Girl|PantsP(Girl|Pants) = ) = P(GirlP(Girl) ) * * P(Pants|GirlP(Pants|Girl) / ) / P(BoyP(Boy) ) * * P(Pants

10、|BoyP(Pants|Boy) + ) + P(GirlP(Girl) ) * * P(Pants|GirlP(Pants|Girl) P(B|A) = P(AB) / P(A) P(B|A) = P(AB) / P(A) 其實(shí)這個(gè)就等于：其實(shí)這個(gè)就等于： P(B|A) P(B|A) * * P(A) = P(AB) P(A) = P(AB)概率論只是把常識(shí)用數(shù)學(xué)公式表達(dá)了出來概率論只是把常識(shí)用數(shù)學(xué)公式表達(dá)了出來 拉普拉斯。 2022-3-2512 貝葉斯公式貝葉斯公式( (BayesBayes) ) 例子：用戶輸入：例子：用戶輸入：thewthew ，那么他到底是想輸入，那么他到底是想輸入

11、 the the ，還是想輸入，還是想輸入 thaw thaw ？到底哪個(gè)猜測可能性更大呢？到底哪個(gè)猜測可能性更大呢？ 2022-3-2513|( )|iiiP A BP BAP BP A,|( )iiP B AP BAP A證明：|iijjijP A BP BP BAP A BP B 貝葉斯公式貝葉斯公式( (BayesBayes) ) 若事件若事件A A只能與兩兩互不相容的事件只能與兩兩互不相容的事件BiBi之一發(fā)生之一發(fā)生|iiijjjP A BP BP BAP A BP B P A分母2022-3-25142.1 引言12( )( )( ) 0( )()( ) 0.TMx ts tn

12、ttTx ts tn ttT 待處理的信號(hào)模型；，是隨機(jī)信號(hào)，但是其統(tǒng)計(jì)特性都非常有規(guī)律，因此是隨機(jī)信號(hào)，但是其統(tǒng)計(jì)特性都非常有規(guī)律，因此選擇用概率論，數(shù)理統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)過程等工具來描述選擇用概率論，數(shù)理統(tǒng)計(jì)、隨機(jī)過程等工具來描述. .2022-3-25152.1 隨機(jī)變量、隨機(jī)矢量及其統(tǒng)計(jì)描述FP（ ， ， ）2.2.1 2.2.1 隨機(jī)變量的基本概念隨機(jī)變量的基本概念1 1 概率空間：概率空間：在科爾莫戈羅夫的概率公理化結(jié)構(gòu)中，稱在科爾莫戈羅夫的概率公理化結(jié)構(gòu)中，稱為概率空間，為概率空間， 為樣本空間，為樣本空間，F(xiàn)為事件域，為事件域，P為概率。為概率。a a 樣本空間表示隨機(jī)試驗(yàn)所有出現(xiàn)的可

13、能結(jié)果，其中試驗(yàn)的某一個(gè)結(jié)樣本空間表示隨機(jī)試驗(yàn)所有出現(xiàn)的可能結(jié)果，其中試驗(yàn)的某一個(gè)結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，樣本空間中的某個(gè)子集稱為事件。果稱為樣本點(diǎn)，樣本空間中的某個(gè)子集稱為事件。 Fb設(shè) 是樣本空間， 是由 的一些子集構(gòu)成的集合，如果滿足以下三條nnn;( ) AFAF(iii) AFAFAFFii（i）若事件，則若事件，n=1,2.,則或者2022-3-2516c APA對(duì)于隨機(jī)事件 ，如果滿足如下三條，則稱 （ ）為概率ii=1i=1( )0,AF(2) P(3) A,1,2,.PAPAP AF iii（1）對(duì)一切；（ ）1；若事件，且兩兩互不相容，則 （）=2022-3-25172 2 隨機(jī)變

14、量隨機(jī)變量FP( ), ( ),( )FPRxxxFx 設(shè)（ ， ， ）,、是定義在 上的單值實(shí)函數(shù)，對(duì) xR,集合則稱為概率空間（ ， ， ）上的一個(gè)隨機(jī)變量。定義域?yàn)椋褐涤驗(yàn)椋? , ( )FPP ( ) ( ) ( )P ( ) 0 P ( ) 0ixxxxxxxxx 因此，它必然滿足以下兩個(gè)條件（對(duì)集合是（ ， ， ）一個(gè)事件，并 有確定的（ii） 事件和的概率等于0； 12341()X3()X2()X4()XR:XR 2022-3-25182.2.2 2.2.2 隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)( (pdfpdf) )2F ( ) ( )P ( )F ( ),( )F,F

15、()()(2) ( )F()( )(3) ( )xxxxxxxxxxxxF xF xF xF x 121 在 中，組成事件的元素隨 的不同取值而變化，因此，的概率取決于 的值，用F(x)表示 (x)=P稱為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，其具有以下性質(zhì)（1） (x)是單調(diào)不減的函數(shù)，即若x x 則x是左連續(xù)函數(shù)，即x0 ；F()lim( )0;F( )lim( )1xxF xF x 滿足如下關(guān)系：1 1分布函數(shù)分布函數(shù)(CDF)(CDF)2022-3-2519201200110,F()(),.lim()( ) ( )()() ()()()F()Flim()lim( )nnnnnnnnnnnF xxxxxx

16、F xF xF xF xP xxF xF xF xF xF xF x 121即若x x 則x因此 只須證明對(duì)于一單調(diào)上升的數(shù)列成立即可因?yàn)樗?(x-0)=可以看出分布函數(shù)證明:因?yàn)橐呀?jīng)證明了 (x)的單調(diào)性,的三個(gè)基本性質(zhì),正好對(duì)應(yīng)概率的三個(gè)基本性質(zhì).(2)( )F()( )F xF x是左連續(xù)函數(shù)，即x-0 ；分布函數(shù)左連續(xù)的證明教材分布函數(shù)左連續(xù)的證明教材p9p9 2022-3-25202112( )F( ),F( )(1) F(2) , ( )0,(3) 1(4) G( )xxxxxxxpx p xxP xxx 12設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為如果對(duì) 的一階導(dǎo)數(shù)存在，即dF(x) （x）

17、=dx（x）=p(z)dz對(duì)所有p(x)dx隨機(jī)變量在區(qū)間(x ,x )在量子力學(xué)中，粒子在某個(gè)區(qū)域 的出現(xiàn)是通過概率來描的概率p(x述的，)d若以x表22Gdxdydz示粒子的波函數(shù)，則即為密度函數(shù)，就表示該粒子在區(qū)域 出現(xiàn)的概率。2 2 概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)( (pdfpdf) )2022-3-2521能能斯特斯特洛倫茲洛倫茲維恩、居里夫人、龐加萊維恩、居里夫人、龐加萊普朗克普朗克盧瑟福盧瑟福朗之萬朗之萬M德布羅意德布羅意1911年年10月月30日第日第一次索爾維會(huì)議一次索爾維會(huì)議索末菲索末菲昂內(nèi)斯昂內(nèi)斯金斯金斯最最明亮的一顆星明亮的一顆星2022-3-25221927年第五次索爾維會(huì)

18、議年第五次索爾維會(huì)議2022-3-2523玻爾與愛因斯坦的論戰(zhàn)：玻爾與愛因斯坦的論戰(zhàn)：1927年第五次索爾維會(huì)議年第五次索爾維會(huì)議愛因斯坦愛因斯坦洛倫茲洛倫茲居里夫人居里夫人普郎克普郎克郎之萬郎之萬狄拉克狄拉克薛定諤薛定諤德布羅意德布羅意泡利泡利海森伯海森伯玻恩玻恩玻爾玻爾德拜德拜布拉格布拉格埃侖費(fèi)斯特埃侖費(fèi)斯特布里淵布里淵康普頓康普頓2022-3-252419051905年，愛因斯坦，年，愛因斯坦， 2626歲（光量子理論）歲（光量子理論）19131913年，玻爾，年，玻爾， 2828歲（氫原子理論）歲（氫原子理論）19231923年，德布羅意，年，德布羅意， 3131歲（相波）歲（相波）1

19、9251925年，海森伯，年，海森伯， 2424歲（不確定關(guān)系）歲（不確定關(guān)系）19251925年，泡利，年，泡利， 2525歲（不相容原理）歲（不相容原理）19271927年，狄拉克，年，狄拉克， 2525歲（相對(duì)論量子力學(xué)）歲（相對(duì)論量子力學(xué)）19251925年，薛定諤，年，薛定諤， 3636歲（薛定諤方程）歲（薛定諤方程）19251925年，烏侖貝克年，烏侖貝克 2525歲歲 古茲密特，古茲密特， 2323歲（電子自旋）歲（電子自旋）19261926年，費(fèi)米，年，費(fèi)米， 2525歲（量子統(tǒng)計(jì)）歲（量子統(tǒng)計(jì)）光陰迅逝光陰迅逝風(fēng)華難駐風(fēng)華難駐轉(zhuǎn)瞬即過而立年轉(zhuǎn)瞬即過而立年空悲切空悲切狄拉克狄拉

20、克（Paul Dirac 1902-1984 ）2022-3-2525( )dF xp xdx 實(shí)際上,有時(shí)候獲得（ ）比較困難.2.2.3 2.2.3 隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)平均量隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)平均量1 1 隨機(jī)變量的均值隨機(jī)變量的均值( )( ), ( )( ) ( ) xxE xxpxpdx dxE axbabfp x設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的為則其統(tǒng)計(jì)均值定義為 隨機(jī)變量函數(shù)的均值隨機(jī)變量函數(shù)的均值2022-3-25262 2 隨機(jī)變量的矩隨機(jī)變量的矩 數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差( (混合中心矩混合中心矩) )等都是隨機(jī)變量等都是隨機(jī)變量的最常用的數(shù)字特征，它們都是某種矩，矩是最廣泛使

21、用的的最常用的數(shù)字特征，它們都是某種矩，矩是最廣泛使用的一種數(shù)字特征，在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中占有重要地位。最常一種數(shù)字特征，在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中占有重要地位。最常用的矩有兩種：用的矩有兩種：原點(diǎn)矩和中心矩原點(diǎn)矩和中心矩。2022-3-25272 2 隨機(jī)變量的矩隨機(jī)變量的矩原點(diǎn)矩原點(diǎn)矩0 0階原點(diǎn)矩，階原點(diǎn)矩，1 1階原點(diǎn)矩，階原點(diǎn)矩，2 2階原點(diǎn)矩稱之為均方值階原點(diǎn)矩稱之為均方值隨機(jī)變量的矩隨機(jī)變量的矩中心矩中心矩2022-3-25282 2 隨機(jī)變量的矩隨機(jī)變量的矩 原點(diǎn)矩和中心距之間的關(guān)系原點(diǎn)矩和中心距之間的關(guān)系2022-3-2529切比雪夫不等式在切比雪夫不等式在數(shù)學(xué)上解釋數(shù)學(xué)上解釋了了

22、方差能刻畫方差能刻畫隨機(jī)變量隨機(jī)變量取值的取值的離散程度離散程度，即方差越小，即方差越小，X X偏離其數(shù)學(xué)期望偏離其數(shù)學(xué)期望的概率越小，從而取值集中的概率越小，從而取值集中在附近。在附近。1設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量具具有有數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望方方差差則則對(duì)對(duì)于于任任意意正正數(shù)數(shù)不不等等式式成成立立引引理理1 1222XE(x)= ,D(x)= ,P x - 0，則稱則稱x服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的正態(tài)分布的正態(tài)分布. 222022-3-2538(1) p(x)(1) p(x)0, ( )1p x dx(2)(2)圖 2.2高斯分布隨機(jī)變量的pdf曲線（x0） 2022-3-2539 正態(tài)分布正態(tài)分

23、布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)),(2N正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于 對(duì)稱的對(duì)稱的鐘形曲線鐘形曲線. .特點(diǎn)是特點(diǎn)是“兩頭小，中間大，左右對(duì)稱兩頭小，中間大，左右對(duì)稱”. .2022-3-2540 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形決定了圖形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點(diǎn)的圖形特點(diǎn)),(2 N2022-3-2541 這說明曲線這說明曲線 p p( (x x) )向左右伸展時(shí)，越來越向左右伸展時(shí)，越來越貼近貼近x x軸。即軸。即p p( (x x) )以以x x軸為漸近線。軸為漸近線。 22()21( ),2xp xe

24、x 當(dāng)當(dāng)xx 時(shí)，時(shí)，p p( (x x) )0 0, ,2022-3-2542用求導(dǎo)的方法可以證明，用求導(dǎo)的方法可以證明，22()21( ),2xp xex 為為p (x)的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。的兩個(gè)拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)。x = 2022-3-2543標(biāo)準(zhǔn)高斯分布標(biāo)準(zhǔn)高斯分布221,( ),2uxxup ueu 22()21( ),2xp xex 2022-3-2544練習(xí)題練習(xí)題 若證明2022-3-2545標(biāo)準(zhǔn)高斯分布的一維累積分布函數(shù)和右尾積分標(biāo)準(zhǔn)高斯分布的一維累積分布函數(shù)和右尾積分201 21(u)()exp22( )xdux0 x( )p xx0 x（）0 x21 201(u)()exp22

25、( ) 1( )xduQ x x2022-3-2546例:data=normrnd (0,1,30,1);p=capaplot(data,-2,2)p =0.97932022-3-2547在指定的界線之間畫正態(tài)密度曲線在指定的界線之間畫正態(tài)密度曲線p=p=normspec(specs,mu,sigmanormspec(specs,mu,sigma) ) %specs%specs指定界線，指定界線，mumu、sigmasigma為正態(tài)分布參數(shù)，為正態(tài)分布參數(shù)，p p為樣本落在為樣本落在上、下界之間的概率。上、下界之間的概率。例例:p=normspec(10 Inf,11.5,1.25);p=0.

26、8849:p=normspec(10 Inf,11.5,1.25);p=0.88492022-3-2548則稱則稱 x 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的單邊帶單邊帶指數(shù)分布指數(shù)分布.若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量x x具有概率密度具有概率密度0( ),000 xexp xx常簡記為常簡記為 xE( ) .3 3 指數(shù)分布隨機(jī)變量指數(shù)分布隨機(jī)變量分布函數(shù)為：分布函數(shù)為： . 0, 0, 0,1)(xxexFx 2022-3-254900( )1.xxp x dxedxe p(x)p(x)0, 221 1 xx其 均 值 和 方 差 分 別 為2022-3-2550若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量x x具有概率密度具有概率密

27、度| |( )02xp xe2220; xx其 均 值 和 方 差 分 別 為2022-3-25513 3 指數(shù)分布隨機(jī)變量指數(shù)分布隨機(jī)變量圖圖2.62.6單單/ /雙邊指數(shù)分布隨機(jī)變量的雙邊指數(shù)分布隨機(jī)變量的PDFPDF曲線（曲線（0 0）2022-3-2552 4 4 瑞利分布隨機(jī)變量瑞利分布隨機(jī)變量(1)(1)高斯過程通過窄帶線性系統(tǒng)后成為窄帶高斯過程，其包絡(luò)高斯過程通過窄帶線性系統(tǒng)后成為窄帶高斯過程，其包絡(luò)的分布屬于瑞利分布；的分布屬于瑞利分布；(2)(2)信號(hào)在信道中傳輸，其幅度的衰落通常也認(rèn)為服從瑞利分信號(hào)在信道中傳輸，其幅度的衰落通常也認(rèn)為服從瑞利分布。布。則稱則稱x x服從服從

28、瑞利瑞利分布分布. .若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量x x具有概率密度具有概率密度22220( )00 xxexp xx2222121212,(0,),(0,),.xxxxNxNxx式中且與相互獨(dú)立2022-3-25532022-3-2554 瑞利分布是最常見的用于描述平坦衰落信號(hào)接瑞利分布是最常見的用于描述平坦衰落信號(hào)接收包絡(luò)或獨(dú)立多徑分量接受包絡(luò)統(tǒng)計(jì)時(shí)變特性的一收包絡(luò)或獨(dú)立多徑分量接受包絡(luò)統(tǒng)計(jì)時(shí)變特性的一種分布類型。兩個(gè)正交高斯噪聲信號(hào)之和的包絡(luò)服種分布類型。兩個(gè)正交高斯噪聲信號(hào)之和的包絡(luò)服從瑞利分布。從瑞利分布。 4 4 瑞利分布隨機(jī)變量瑞利分布隨機(jī)變量圖圖2.8 2.8 瑞利分布隨機(jī)變量的瑞利分

29、布隨機(jī)變量的PDFPDF曲線（曲線（2 2=1=1）2022-3-255522 24 2xx瑞 利 分 布 的 均 值 和 方 差 分 別 為 高斯過程通過窄帶線性系統(tǒng)后成為窄帶高斯過程，其包高斯過程通過窄帶線性系統(tǒng)后成為窄帶高斯過程，其包絡(luò)的分布屬于瑞利分布；絡(luò)的分布屬于瑞利分布； 信號(hào)在信道中傳輸，其幅度的衰落通常也認(rèn)為服從瑞利信號(hào)在信道中傳輸，其幅度的衰落通常也認(rèn)為服從瑞利分布。分布。2022-3-25565 5 廣義瑞利分布隨機(jī)變量廣義瑞利分布隨機(jī)變量( (也稱萊斯分布也稱萊斯分布) )正弦信號(hào)加窄帶高斯過程其包絡(luò)的分布就服從廣義瑞利分布。設(shè)正弦信號(hào)的幅度為a,相位 在 之間均勻分布，

30、高斯過程的均值為0，方差為(,) 2I0是第一類零階修改鄭貝塞爾函數(shù)（Bessel function）2022-3-25575 5 廣義瑞利分布隨機(jī)變量廣義瑞利分布隨機(jī)變量 如果令如果令 , 則得到歸一化的廣義瑞利則得到歸一化的廣義瑞利分布的概率密度函數(shù)為分布的概率密度函數(shù)為/ux/da圖圖2.92.9廣義瑞利分布隨機(jī)變量的廣義瑞利分布隨機(jī)變量的PDFPDF曲線（曲線（2 2=1=1）2022-3-25585 5 廣義瑞利分布隨機(jī)變量廣義瑞利分布隨機(jī)變量廣義瑞利分布隨機(jī)變量的各階矩由下式給出廣義瑞利分布隨機(jī)變量的各階矩由下式給出)()(mmxxEr 為輸入功率信噪比，為輸入功率信噪比，1F1為

31、庫默爾函數(shù)，亦稱合流為庫默爾函數(shù)，亦稱合流超幾何函數(shù)超幾何函數(shù)222/da2022-3-25596 6 三角對(duì)稱分布隨機(jī)變量三角對(duì)稱分布隨機(jī)變量圖圖2.4 2.4 三角對(duì)稱分布三角對(duì)稱分布圖2.5三角對(duì)稱分布2022-3-25602.2.5 2.2.5 隨機(jī)矢量及其統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)矢量及其統(tǒng)計(jì)描述 主主 要要 內(nèi)內(nèi) 容容1 1 隨機(jī)矢量的概念隨機(jī)矢量的概念2 2 隨機(jī)矢量的概率密度函數(shù)隨機(jī)矢量的概率密度函數(shù)3 3 均值矢量和協(xié)方差矩陣均值矢量和協(xié)方差矩陣4 4 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性和獨(dú)立同分布統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性和獨(dú)立同分布5 5 聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量2022-3-25611 1 隨機(jī)矢量的概念隨機(jī)矢量的

32、概念12NT12NFP( ),( ),.( ). .N( )( ),( ),.( )Nxxxr vxxxx設(shè)（ ， ， ）為一概率空間,為N個(gè)則由這 個(gè)隨機(jī)變量構(gòu)成的矢量，稱為 維隨機(jī)矢量。2 2 隨機(jī)矢量的分布函數(shù)隨機(jī)矢量的分布函數(shù)T12N112212N1122( )( ),( ),.( )( ),( ),.( ),NF( )( ,.)( ),( ),.( )NNNNxxxxxxxxxxxF x xxP xx xxxx給定,同時(shí)考慮事件的概率 則定義 維隨機(jī)矢量的N維累積分布函數(shù)為2022-3-25623 3 隨機(jī)矢量的概率密度函數(shù)隨機(jī)矢量的概率密度函數(shù)121212( )(1,2.,),(,

33、.) ( )(,.).kNNNF xx kNNNpdfF x xxp xp x xxx xx 如果對(duì)的 階混合偏導(dǎo)數(shù)存在 則有維聯(lián)合4 4 均值矢量和協(xié)方差矩陣均值矢量和協(xié)方差矩陣12NT12NTx( )( ),( ),.( ) ( )(,.)( ),1kxxxxkxxxxE xE xkN給定,則均值矢量定義為均值矢量均值矢量2022-3-25634 4 均值矢量和協(xié)方差矩陣均值矢量和協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣定義為協(xié)方差矩陣定義為1 11 212 12 2212( ( )( ( ) .NNNNNNTxxxx xx xx xx xx xx xx xx xx xCE xxccccccccc如果如果xj

34、與與xk互不相關(guān)，互不相關(guān)， , 協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣 變?yōu)閷?duì)角矩陣變?yōu)閷?duì)角矩陣jkxC2022-3-25645 5 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性和獨(dú)立同分布統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性和獨(dú)立同分布T12N12N12N( )( ),( ),.( )NNp( ,.)=p( ) (). ().kxxxxx xxxp xp x給定,如果對(duì)任意1和所有的x(),其維聯(lián)合概率密度函數(shù)能夠表示為,則稱隨機(jī)變量之間是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立統(tǒng)計(jì)獨(dú)立獨(dú)立同分布獨(dú)立同分布12N( ),( ),.( )Npdf,( )N.xxxx在統(tǒng)計(jì)獨(dú)立條件下，如果所有的隨機(jī)變量,對(duì)全部的 都有相同的一維則稱為具有獨(dú)立同分布的 維隨機(jī)矢量2022-3-25655

35、5 聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量T12N12N1 122NNN( )( ),( ),.( ),.,( )( ).( ),( )( )N.Tkxxxxaa aaa xa xa xxx設(shè)有維隨機(jī)矢量,對(duì)任意非零常值矢量當(dāng)且僅當(dāng)滿足是高斯隨機(jī)變量時(shí) 稱為聯(lián)合高斯隨機(jī)變量,是維聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量1Txx/2N( ),11( )exp( ( )( ( ) 2(2 )|xNxxp xxCxC維聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量的概率密度函數(shù)完全由均值矢量和協(xié)方差矩陣決定 其定義為2022-3-2566(1)N( )( )kxx維聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量的每一個(gè)分量都服從一維高斯分布;N N維聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量的三條主要性質(zhì)維聯(lián)合高

36、斯隨機(jī)矢量的三條主要性質(zhì)說明：說明：N N維聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量的邊緣分布仍是高斯分維聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量的邊緣分布仍是高斯分布的，所以，也可以這樣定義布的，所以，也可以這樣定義N N維聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量維聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量的定義：的定義：如果如果N N維隨機(jī)矢量的每一個(gè)分量都是時(shí)服從維隨機(jī)矢量的每一個(gè)分量都是時(shí)服從高斯分布的，則稱其為高斯分布的，則稱其為N N維聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量。維聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量。2022-3-2567TNN,C ,M N( )( ),M.AAC AxxAyAxxx(2) 維聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量的線性變換仍然是聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量,稱為聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量的線性變換不變性.設(shè) 維聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量的

37、均值為協(xié)方差矩陣為為任意常值非零矩陣，則是服從 維聯(lián)合高斯分布的隨機(jī)矢量其均值矢量為，協(xié)方差矩陣為N N維聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量的三條主要性質(zhì)維聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量的三條主要性質(zhì)2022-3-2568教材教材P19 P19 例例2.2.12.2.1T1234x1211234( )( ),( ),( ) ( )632134322110 ,23431233( ),( )( )y( )(2( ),( )2( ),( )( )y( )TxTxxxxCxxxxxxxx設(shè)四維聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量，,的均值矢量和協(xié)方差矩陣分別為試求二維隨機(jī)矢量的分布，若的線性變換為求的分布。2022-3-2569(3)N( ).x維聯(lián)合

38、高斯隨機(jī)矢量的各分量之間的互不相關(guān)性與相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性的等價(jià)性N N維聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量的三條主要性質(zhì)維聯(lián)合高斯隨機(jī)矢量的三條主要性質(zhì)說明說明 之間，若相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，一定互不相關(guān)；若互不相關(guān)，也相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。之間，若相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，一定互不相關(guān)；若互不相關(guān)，也相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。( )x例：例：mu1=-1,2; Sigma2=1 1; 1 3; % mu1=-1,2; Sigma2=1 1; 1 3; % 輸入均值向量和協(xié)方差矩陣輸入均值向量和協(xié)方差矩陣X,Y=meshgrid(-3:0.1:1,-2:0.1:4); X,Y=meshgrid(-3:0.1:1,-2:0.1:4); xyxy=X(:) Y(:); % =X(:) Y(:); % 產(chǎn)產(chǎn)生網(wǎng)格數(shù)據(jù)并處理生網(wǎng)格數(shù)據(jù)并處理( (兩列兩列25012501* *2 2 ）p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2); p=mvnpdf(xy,mu1,Sigma2); % % 求取聯(lián)合概率密度求取聯(lián)合概率密度P=P=reshape(p,size(Xreshape(p,size(X); ); % % Change size(2501Change size(2501* *1 16161* *41)41)sur