微積分吳傳生版高等數(shù)學課件

1、第七章向量代數(shù)現(xiàn)空間解析幾何第七章向量代數(shù)現(xiàn)空間解析幾何第一節(jié)第一節(jié) 空間直角坐標系空間直角坐標系xyz由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個空間直角坐標系. 坐標原點 坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過空間一定點 o ,o 坐標面面xoy面yozzox面1. 1. 空間直角坐標系的基本概念空間直角坐標系的基本概念第一節(jié)第一節(jié) 空間直角坐標系空間直角坐標系xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標系共有空間直角坐標系共有八個卦限八個卦限練習：在空間直角坐標系中，指出練習：在空間直角坐標系中，指出下列各點在哪個卦限？下列各點在哪個卦限？(1,2,3),A( 2, 3, 4),

2、C ( 2,3,4),B (2,3, 4),D( 1,3, 7),M (6, 9, 5),N( 1, 6,4),P (1, 6,4),Pxyzo在直角坐標系下 11坐標軸上的點 P, Q , R ;坐標面上的點 A , B , C點點 M特殊點的坐標 :有序數(shù)組),(zyx)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(稱為點 M 的坐標坐標)原點 O(0,0,0) ;rM坐標軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo例1 求點 關(guān)于(1) 面;(2) 軸; ),(cb

3、ayozx(3)坐標原點; (4)點 對稱點的坐標.),(000zyx(1)(3)(4),(000zyx(2),(000zyx),(000zyx)2 ,2 ,2(000zcybxa101010000,222xxyyzzyz設(shè)對稱點的坐標為設(shè)對稱點的坐標為111( ,)x y z1010100,0,0222xxyyzzx101010,222xxyyzzabc設(shè)設(shè)),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點點xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 2. 2. 空間

4、兩點間的距離空間兩點間的距離,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為特殊地：若兩點分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M例例 1 1 求證以求證以)1 , 3 , 4(1M、)2 , 1 , 7(2M、)3 , 2 , 5(3M三點為頂點的三角形是一個等腰三角形三點為頂點的三角形是一個等腰三角形.解解 221MM,14)12()31()47(222 232MM, 6)23()12()75(222 21

5、3MM, 6)31()23()54(222 32MM,13MM 原結(jié)論成立原結(jié)論成立.例例 2 2 設(shè)設(shè)P在在x軸軸上上，它它到到)3 ,2, 0(1P的的距距離離為為到到點點)1, 1 , 0(2 P的的距距離離的的兩兩倍倍，求求點點P的的坐坐標標.解解設(shè)設(shè)P點坐標為點坐標為),0 , 0 ,(x因為因為P在在x軸上，軸上， 1PP 22232 x,112 x 2PP 22211 x, 22 x 1PP,22PP112 x222 x, 1 x所求點為所求點為).0 , 0 , 1(),0 , 0 , 1( 維實空間維實空間niRxxxxRinn, 2 , 1,| ),(21.2222211n

6、nxyxyxyPQ兩點兩點 和和),(21nxxxP),(21nyyyQ的距離的距離練習題練習題1.在空間直角坐標系中，指出下列在空間直角坐標系中，指出下列各點在哪個卦限？各點在哪個卦限？, )3 , 2, 1( A, )4, 3 , 2( B, )4, 3, 2( C. )1 , 3, 2( D解答解答 A:; B:; C:; D:;E：；F F：( 2,3,1).E ( 1,2, 3).F 2( 3 , 2 ,1)_,_pxoyyozzoxxyz、點關(guān)于平面的對稱點是，關(guān)于平面的對稱點是關(guān)于平面的對稱點是，關(guān)于軸的對稱點是，關(guān)于軸的對稱點是，關(guān)于軸的對稱點是； 2、(-3,2,1),(3,

7、2,-1),(-3,-2,-1), (-3,-2,1),(3,2,1),(3,-2,-1)； 求到兩定點A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點的222)3()2() 1(zyx07262zyx化簡得即說明說明: 動點軌跡為線段 AB 的垂直平分面.引例引例: :顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程, 不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.222)4() 1()2(zyx解解: :設(shè)軌跡上的動點為, ),(zyxM,BMAM 則軌跡方程. 3. 3. 曲面方程的概念曲面方程的概念定義1. 0),(zyxF如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:(1) 曲面 S

8、 上的任意點的坐標都滿足此方程 則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形圖形.兩個基本問題兩個基本問題 : :(1) 已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2) 不在曲面 S 上的點的坐標不滿足此方程 求曲面方程.(2) 已知方程時 , 研究它所表示的幾何形狀( 必要時需作圖 ). SzyxO故所求方程為例1. 求動點到定點),(zyxM),(0000zyxM方程. 特別,當M0在原點時,球面方程為解解: 設(shè)軌跡上動點為RMM0即依題意距離為 R 的軌跡MOxyz0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzy

9、yxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx例例2. 研究方程042222yxzyx解解: : 配方得5, )0, 2, 1(0M可見此方程表示一個球面說明說明: :如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面. . 表示怎樣半徑為0)(222GFzEyDxzyxA球心為 一個球面球面, 或點點 , 或虛軌跡虛軌跡.5)2() 1(222zyx空間曲線可視為兩曲面的交線, 其一般方程為方程組0),(0),(zyxGzyxF2SL0),(zyxF0),(zyxG1S例如例如,方程組632122zxyx表示圓柱面與平面的交線 C. xzy1OC24. 4. 空間曲線方程的概念空間曲線方程的概念又如,方程組表示上半球面與圓