第3章 正弦交流電路的穩(wěn)態(tài)分析

1、Answer of homework （NO.5）n6-12 見(jiàn)課本習(xí)題答案;n6-14 見(jiàn)課本習(xí)題答案;n6-15 0.22sn2-16 見(jiàn)課本習(xí)題答案;n6-24 見(jiàn)課本習(xí)題答案;n3-1 75，i1 超前i2第 3章 正弦交流電路的穩(wěn)態(tài)分析 3.3 單 一 參 數(shù) 的 交 流 電 路3.4 復(fù) 阻 抗 、復(fù) 導(dǎo) 納 及 等 效 變 換3.2 正 弦 量 的 相 量 表 示 法3.1 正 弦 量 的 基 本 概 念3.5 正弦交流電路中的功率及功率因數(shù)3.6 正 弦 穩(wěn) 態(tài) 電 路 的 計(jì) 算3.7 串 聯(lián) 及 并 聯(lián) 電 路 的 諧 振3.8 耦 合 電 感 電 路 與 理 想 變 壓

2、器學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 正確理解正弦量的概念，牢記正弦量的三要素。 正確區(qū)分瞬時(shí)值、最大值、有效值和平均值。 深刻理解正弦量的相量表示法。 深刻理解和掌握交流電路中電阻、電容、電感 元件上的電壓、電流之間的相位關(guān)系，并能進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算。 正確區(qū)分瞬時(shí)功率、平均功率、有功功率、無(wú)功功率和視在功率，并會(huì)進(jìn)行計(jì)算。 3.1 正弦量的基本概念 若電壓、電流是時(shí)間 t 的正弦函數(shù)，稱為正弦交流電。 以電流為例，正弦量的一般解析式為：)sin()(imtIti瞬時(shí)值i(t)：時(shí)間 t不同時(shí)取值不同3.1.1 正弦量的三要素振幅Im ：正弦量變化的最大值相位 ：表示正弦量變化進(jìn)程。 t初相 ：當(dāng)t=0時(shí)的相位 叫

3、初相位角頻率：正弦量單位時(shí)間變化的弧度數(shù)（rad/s）把振幅、角頻率和初相 稱為正弦量的三要素。只有確定了三要素，正弦量才是確定的 。、mI波形如圖3.1-1所示圖 3.1-1 正弦量的波形從波形圖中也可讀出正弦量的三要素 因?yàn)檎伊棵拷?jīng)歷一個(gè)周期的時(shí)間T，相位增加2，則角頻率、周期T和頻率之間關(guān)系為： fTfT122即 、T、反映的都是正弦量變化的快慢，越大，即越大或T越小，正弦量變化越快；越小，即越小或T越大，正弦量變化越慢。 3.1.2 頻率與周期3.1.3 初相位及相位差初相位 反映正弦量的起始位置，通常在 的范圍內(nèi)取值 用正弦函數(shù)表示正弦波形時(shí)，把波形圖上原點(diǎn)前后正負(fù)T/2內(nèi)曲線由負(fù)

4、變正經(jīng)過(guò)零值的那一點(diǎn)作為正弦波的起點(diǎn)。初相角就是波形起點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的角度，于是初相角不大于 ，且波形起點(diǎn)在原點(diǎn)左側(cè) ；反之 。 00圖 3.1-2如圖3.1-2 所示，初相分別為0、662、 由圖可見(jiàn)，初相為正值的正弦量，在t=0時(shí)的值為正，起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)之左；初相為負(fù)值的正弦量，在t=0時(shí)的值為負(fù)，起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)之右。 )sin()()sin()(222111imimtItitIti,),()(2121iiiitt、初相各為、它們的相位各為 設(shè)有兩個(gè)同頻率的正弦量為 212112)()(iiiiitt把叫做它們的相位差。 正弦量的相位是隨時(shí)間變化的，但同頻率的正弦量的相位差不變，等于它們的初

5、相之差。同相：初相相等的兩個(gè)正弦量，它們的相位差為零，反相:如果 ，則兩個(gè)正弦量反相。超前：如果 ，則表示i1超前i2 012滯后：如果 ，則表示i1滯后i2 012正交：如果 ，則兩個(gè)正弦量正交21212如圖3.1-3（a）、（b）、（c）、（d）分別表示兩個(gè)正弦量同相、超前、正交、反相。圖 3.1-3 i1與i2同相、超前、正交、反相注意：（1） ，否則無(wú)法得出導(dǎo)前、之后等結(jié)論。（2）比較的正弦信號(hào)的表示方法應(yīng)相同（本書(shū)用正弦）。（3）不同頻率的正弦量相位差是隨時(shí)間變化的（本書(shū)中談到的相位差都是指同頻率之間的相位差）。， 例：某電路中 ，則他們的三要素分別為多少？有效值為多少？它們的相位差

6、為多少？Ati)30314sin(8Vtu)45314cos(90 同頻率正弦量的相位差，不隨時(shí)間變化，與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)。為了分析問(wèn)題的方便，在一些有關(guān)的同頻率正弦量中，可以選擇其中的一個(gè)初相為零的正弦量為參考，其他正弦量的初相必須與這個(gè)參考正弦量的初相比較，即以其他正弦量的初相等于它們和參考正弦量之間的相位差。在n個(gè)正弦量中，只能選擇一個(gè)為參考正弦量。 1、有效值 周期量的有效值定義為：一個(gè)周期量和一個(gè)直流量，分別作用于同一電阻，如果經(jīng)過(guò)一個(gè)周期的時(shí)間產(chǎn)生相等的熱量，則這個(gè)周期量的有效值等于這個(gè)直流量的大小。電流、電壓有效值用大寫(xiě)字母I、U表示。根據(jù)有效值的定義，則有 RTRdtIiT2

7、02 則周期電流的有效值為TdtTIi0213.1.3 正弦電流、電壓的有效值2、正弦量的有效值對(duì)于正弦電流，設(shè))sin()(imtItiIImmmTmTimTimTIItTIdttTIdttI707.0222)(2cos12)(202020221sin同理: mmUUU707.021正弦量的最大值與有效值之間存在著 的關(guān)系2jeAA AA 3.2 正正 弦弦 量量 的的 相相 量量 表表 示示 法法 3.2.1 復(fù)數(shù)及其運(yùn)算規(guī)律 圖3.2-1代數(shù)式：指數(shù)式：極坐標(biāo)式j(luò)baAAArgA1、復(fù)數(shù)及其表示（1）復(fù)數(shù)：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，定義 為復(fù)數(shù)。其中j稱為虛數(shù)單位：j2=-1 （2）表示向量圖

8、表示（見(jiàn)圖3.2-1）：實(shí)部： a虛部：b模：輻角：jbaAcosAa sinAb 22baAabarctan例：代數(shù)式與極坐標(biāo)式互換36236sin236cos2j6 . 028 . 02j2 . 16 . 1j1 .265 .18j5 .181 .26arctan) 1 .26() 5 .18(2267.549 .31jbaAjAAeAAjsincosjeAAabbajbaAarctan22（2）各種表示間的相互轉(zhuǎn)換2、復(fù)數(shù)運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)相等：兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，其實(shí)部和虛部分別相等A1A2=（a1+jb1）(a2+jb2) =(a1a2)+j(b1b2) 即：若A1=a1+jb1 A2=a2+

9、jb2 A1=A2則：a1=a2 b1=b2（2）加減運(yùn)算：兩個(gè)復(fù)數(shù)相加（或相減）時(shí)，將實(shí)部與實(shí)部相加（或相減），虛部與虛部相加（或相減）。即：（3）乘除運(yùn)算：此運(yùn)算用指數(shù)式或極坐標(biāo)式進(jìn)行較簡(jiǎn)單，作乘除運(yùn)算時(shí)，分別把模進(jìn)行乘除，輻角進(jìn)行加減。即若：2222211111rjbaArjbaA2121)(2121212121rrerrererAAjjj2121212121rrererjjAA（4）旋轉(zhuǎn)因子 任何一個(gè)復(fù)數(shù)A乘以 等于把復(fù)數(shù)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 度，所以稱 為旋轉(zhuǎn)因子。je1jejeje90jej1jejej23.2.2 正 弦 量 的 相 量 表 示法 （2）相量與正弦量的關(guān)系：一一對(duì)應(yīng)關(guān)系

10、把這個(gè)復(fù)數(shù) 分別稱為正弦量的有效值相量和振幅相量。特別應(yīng)該注意，相量與正弦量之間只具有對(duì)應(yīng)關(guān)系，而不是相等的關(guān)系。 .2,IIIeImji也可表示成：.2UUUeUmju或mUU.和（1）相量表示:用復(fù)數(shù)來(lái)表示正弦量.復(fù)數(shù)的模和幅角分別等于正弦量的幅值和初相位例 : 已知 u1=141sin(t+60o)V ，u 2 =70.7sin(t-45o)V 。求： 求相量 ；(2) 求兩電壓之和的瞬時(shí)值 u(t) （3） 畫(huà)出相量圖 21UU和VjeUVjeUjj)35.3535.35(504550427 .70)6 .8650(1006010032141452601解（1）（3）相量的表示方法：可

11、以用復(fù)數(shù)表示方法的任意一種（4）相量的運(yùn)算：可以用復(fù)數(shù)運(yùn)算的任何一種（2）VttuejjUUUj)31sin(255.99)(55.993155.99)35.3535.35()6 .8650(3121（3） 相量圖如圖3.2-2所示圖 3.2-2例：已知：Ati)150314sin(231Atti)60314sin(210)(2求：)()()(21tititi3.2.3、基爾霍夫定律的相量形式1223)(uutu1223UUU33330sin630cos66301jjeUj（1） KCL的相量形式 0I 0U（2）KVL的相量形式例：已知圖3.2-3中 Vttu)30sin(26)(1Vttu

12、)60sin(24)(2求 并畫(huà)相量圖。)(23tu圖3.2-3解：由KVL得：寫(xiě)成相量形式為：32260sin460cos44602jjeUj例：已知下圖中 Atti)9 .36314sin(5)(1Atti)1 .53314sin(10)(2)(ti求：VtgjjjU93.41673. 9196. 7464. 6464. 6196. 7464. 6196. 732233312223Vttu)93.41sin(2673. 9)(23圖3.2-4相量圖如圖3.2-4所示。3.3 單一參數(shù)的交流電路 在交流電路中，電壓和電流是變動(dòng)的，是時(shí)間的函數(shù)。電路元件不僅有耗能元件的電阻，而且有儲(chǔ)能元件電感

13、和電容。下面分別討論它們的伏安關(guān)系式（即VAR）的相量形式及在正弦交流電路中的功率。3.3.1 電阻元件中的正弦交流電 （1） 或（2）頻率相等（3）初相位相等 比較得電阻元件上正弦電流與電壓的相量關(guān)系為：IRU設(shè)電流、電壓為關(guān)聯(lián)參考方向如圖3.3-1，解析式為：)sin(umtUu)sin(imtIiummUU對(duì)應(yīng)相量immII對(duì)應(yīng)相量根據(jù)歐姆定律得出電流與電壓的瞬時(shí)值關(guān)系為：)sin(imtRIRiu)sin(umtU比較得電阻元件上正弦電流與電壓的三要素的關(guān)系為：mmRIUmIR一一對(duì)應(yīng)mU一一對(duì)應(yīng)mmIRURIU 圖3.3-1圖 3.3-2 電阻元件的電壓、電流相量及波形圖電阻元件上電

14、壓、電流相量、波形圖如圖3.3-2所示。3.3.2 電感中的正弦電流 （1） 或（2）頻率相等（3） 比較得電感元件上正弦電流與電壓的相量關(guān)系為：設(shè)電流、電壓為關(guān)聯(lián)參考方向如圖3.3-3，解析式為：)sin(umtUu)sin(imtIiummUU對(duì)應(yīng)相量immII對(duì)應(yīng)相量根據(jù)電感元件上電流與電壓的瞬時(shí)值關(guān)系得：)sin(umtU比較得電感元件上正弦電流與電壓的三要素的關(guān)系為：mU一一對(duì)應(yīng)ILjUdtdiLu dttIdLim)sin()cos(imtLI)90sin(imtLImmLIULIU90iummILjUmILj一一對(duì)應(yīng)圖3.3-3圖 3.3-4 電感元件的波形、相量圖 電感元件中電

15、壓、電流的波形、相量圖如圖3.3-4所示。可以看出，電感上電流滯后電壓為90。ILjU 通常把XL=L定義為電感元件的感抗，它是電壓有效值與電流有效值的比值,對(duì)于一定的電感L，當(dāng)頻率越高時(shí)，其所呈現(xiàn)的抗感越大，反之越小。在直流情況下，頻率為零，XL=0，電感相當(dāng)于短路。IXLIUL 3.3.3 電容中的正弦電流電容中的正弦電流 （1） 或（2）頻率相等（3） 比較得電容元件上正弦電流與電壓的相量關(guān)系為：設(shè)電流、電壓為關(guān)聯(lián)參考方向如圖3.3-5 ，解析式為：)sin(umtUu)sin(imtIiummUU對(duì)應(yīng)相量immII對(duì)應(yīng)相量根據(jù)電容元件上電流與電壓的瞬時(shí)值關(guān)系得：比較得電容元件上正弦電流

16、與電壓的三要素的關(guān)系為：dtduCi dttUdCum)sin()cos(umtCU)90sin(umtCU)sin(imtImmICU1ICU190uimmICjU1ICjU1mUCj一一對(duì)應(yīng)mI一一對(duì)應(yīng)圖3.3-5圖 3.3-6 電容元件的波形、相量圖 以上表明電容電流超前電容電壓90，可以用相量圖或波形圖清楚地說(shuō)明。如圖3.3-6所示。通常把 定義為電容的容抗。IXICUC1ICjU1CXC1例：圖 3.3-7中已知R=3 ,C=0.125F, ，求電流 并畫(huà)相量圖。tus2sin212)(ti解：寫(xiě)出各已知量的相量形式：VUsm0212CXC1125. 021 4根據(jù)電阻元件上電流與電

17、壓的相量關(guān)系得：根據(jù)電容元件上電流與電壓的相量關(guān)系得：根據(jù)KCL的相量形式得：smCmUCjIRUIsmRm30212A024smCUXj1021241901A9023Aj23A24CmRmmIII2324jA9 .3625Atti)9 .362sin(25)(圖 3.3-7相量圖如圖3.3-8所示.圖3.3-8例：下圖中已知R=100，C=5F,L=0.3H,Ati)45sin(22srad /103求各元件兩端的電壓uuuuCLR,。解：寫(xiě)出各已知量的相量模型：AI452LXL3 . 0103 300CXC163105101 200根據(jù)各元件上電流與電壓的相量關(guān)系得：IRUR452100V

18、45200IjXULL452300jV45600IjXUCC452200jV135400根據(jù)KVL的相量形式得：CLRUUUU1354004560045200220022002300230021002100jjjV2200tVusin400VtuR)45sin(2200VtuL)45sin(2600VtuC)135sin(24003.4 復(fù) 阻 抗 、 復(fù) 導(dǎo) 納及等效變換1、阻抗：（1）定義：無(wú)源二端電路，端口電壓相量與電流相量之比定義為阻抗。并用Z表示,如圖 3.4-1所示圖 3.4-1（2）公式： 或IUZmmIUZ2、各獨(dú)立元件的阻抗：電阻：電感：電容：RIUZRRRLjjXIUZLL

19、LLCjjXIUZCCCC13.4.1 RLC電路的串聯(lián)、復(fù)阻抗3、RLC串聯(lián)電路的阻抗RLC串聯(lián)電路如圖3.4-2(a)所示： 3.4-2(b)是RLC串聯(lián)電路的相量模型CLRUUUUCCLLRIjXIjXIRIjXjXRCL)(IUZIIjXjXRCL)(CLjXjXR)(CLXXjR圖 3.4-2根據(jù)相量形式的KVL得:圖 3.4-2ZjCLeZjXRXXjRZ)(所以RLC串聯(lián)電路的阻抗)(iuiujjjeIUIeUeIUZ 式中 Z 稱為阻抗的模，其中X=XL-XC稱為電抗，電抗和阻抗的單位都是歐姆。 稱為阻抗角，它等于電壓超前電流的相位角.22XRIUZZRXXarctgRXarc

20、tgCLiuZ當(dāng)XLXC ， 0 時(shí),電路呈感性，電壓超前于電流一個(gè) 角;當(dāng)XLXC ， 0 時(shí),電路呈容性，電壓滯后于電流一個(gè) 角;當(dāng)XL=XC， =0時(shí)，電路呈阻性，電壓與電流同相位，此時(shí)電路處于串聯(lián)諧振狀態(tài).ZZZZZ4、阻抗角與阻抗模例：在RLC串聯(lián)電路中，已知R=30 , C =40F，L=127mH ， ，求電流 及各元件兩端的電壓 。 并畫(huà)相量圖。 Vtu)20314sin(2220)(tiCLRuuu,解：寫(xiě)出各已知量的相量模型：VU20220LXL310127314 40CXC1610403141 80串聯(lián)電路的阻抗為：Z)(CLXXjR)8040(30j4030j3040a

21、rctan4030225350IZU535020220A734 . 4串聯(lián)電路的電流為：圖 3.4-3各元件兩端的電壓為：IRUR734 . 430V73132LLLIjXU734 . 440901V163176CCCIjXU734 . 480901V17352Ati)73314sin(24 . 4VtuR)73314sin(2132VtuC)17314sin(2352VtuL)163314sin(21765、RLC串聯(lián)電路的相量圖阻抗： Z阻抗模：22XRZ阻抗角：RXarctan阻抗三角形：電壓三角形：ZRXR0CLXXX0ZR0CLXXX0ZCLRUUUU0CLXUUU設(shè)：0II則：VU

22、IRURR0VUIjXULLL9090CCCUIjXUZCLjXjXRjXR RU0CLXUUUURU0CLXUUUU相量圖3.4.2 RLC電路的并聯(lián)、復(fù)導(dǎo)納 1、導(dǎo)納：（1）定義：無(wú)源二端電路，端口電流相量與電壓相量之比定義為導(dǎo)納。并用Y表示,如圖 3.4-5所示（2）公式： 或UIYmmUIY2、各獨(dú)立元件的導(dǎo)納：電阻：電感：電容：GRUIYRRR1LLLLjBLjUIY1CCCCjBCjUIY圖 3.4-5稱為電導(dǎo)RG1稱為感納LLXLB11稱為容納CCXCB1 對(duì)于如圖圖 3.4-6所示R、L、C并聯(lián)電路，根據(jù)相量形式得KCL，得到：CLRIIIIUBBjGUjBUjBUGCjULj

23、URUICLCLCLR)()(1圖 3.4-6 RLC并聯(lián)電路3、RLC并聯(lián)電路的等效導(dǎo)鈉并聯(lián)電路的等效導(dǎo)鈉：YCLYjBGBBjGY)(其中B=BL-BC稱為電納。2222)(BGBBGYCL)arctan()arctan(GBGBBCLY導(dǎo)鈉模：導(dǎo)鈉角：zuiYmmjjjjZUIUIYeYeUIUeIeUIYYuiui,1.)(所以由于 無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)既可以用一個(gè)復(fù)阻抗來(lái)等效也可以用一個(gè)復(fù)導(dǎo)納來(lái)等效，對(duì)于同一電路，阻抗與導(dǎo)納互為倒數(shù)。 3.4.3 復(fù)阻抗與復(fù)導(dǎo)納的等效變換 若已知阻抗Z=R+jX則等效阻抗為Z=Re+jXe則等效導(dǎo)納為Y=Ge-jBe其中22XRRGe等效電導(dǎo)：22XRXBe

24、等效電納：若已知導(dǎo)納Y=G-jB其中22BGGRe等效電阻：22BGBXe等效電抗：3.5 正 弦交流電路中的功率及功率因數(shù)設(shè)流過(guò)電阻元件的電流為 iR (t)=Im sint A其電阻兩端電壓為 uR(t)=Im R sint =Um sint V則在關(guān)聯(lián)參考方向下，瞬時(shí)功率為3.5.1 R、L、C元件的功率和能量元件的功率和能量pR(t)= u(t) i(t)=2URIRsin2t =URIR（1-cos2t）W 由于cos2t1,故此 pR（t）=URIR（1-cos2t）0 電阻元件的瞬時(shí)功率是以兩倍于電壓的頻率變化的，而且pR（t）0，說(shuō)明電阻元件是耗能元件。 其瞬時(shí)功率的波形圖如3

25、.5-1所示1 、電阻元件的功率、電阻元件的功率圖 3.5-1 電阻元件的瞬時(shí)功率電阻的平均功率RURIIUdttIUIUTdttpTPRRRTRRRRTR22002cos1)(1可見(jiàn)對(duì)于電阻元件，平均功率的計(jì)算公式與直流電路相似。在關(guān)聯(lián)參考方向下，設(shè)流過(guò)電感元件的電流為VtUVtXItuLLLL)2sin(2)2sin(2)( tAItiLLsin22、電感元件的功率電感元件的功率 其瞬時(shí)功率為: 則電感電壓為： 上式表明，電感元件的瞬時(shí)功率也是以兩倍于電壓的頻率變化的；且pL(t)的值可正可負(fù)，其波形圖如圖3.5-2所示。圖3.5-2 電感元件的瞬時(shí)功率tIUttIUtitutpLLLLL

26、LL2sinsin)2sin(2)()()(02sin1)(100tdtIUTdttpTpLTLTLL 從圖上看出，當(dāng)uL(t)、iL(t)都為正值時(shí)或都為負(fù)值時(shí)，pL(t)為正，說(shuō)明此時(shí)電感吸收電能并轉(zhuǎn)化為磁場(chǎng)能量?jī)?chǔ)存起來(lái)；反之，當(dāng)pL(t) 為負(fù)時(shí)，電感元件向外釋放能量。 pL(t) 的值正負(fù)交替，說(shuō)明電感元件與外電路不斷地進(jìn)行著能量的交換。電感消耗的平均功率為： 電感消耗的平均功率為零，說(shuō)明電感元件不消耗功率，只是與外界交換能量。 tAIticcsin2)(VtUVtXItuCccc)2sin(2)2sin(2)(在電壓、電流為關(guān)聯(lián)參考方向下，設(shè)流過(guò)電容元件的電流為: 則電容電壓為 ：

27、其瞬時(shí)功率為：tIUttIUtitutpccccccc2sinsin)2sin(2)()()(3電容元件的功率電容元件的功率 uc (t)、ic(t)、pc(t)的波形如圖3.5-3所示。圖 3.5-3 電容元件的瞬時(shí)功率 從圖上看出，pc(t)、與pL(t)波形圖相似，電容元件只與外界交換能量而不消耗能量。TccTcdttIUTdttpTp000)2sin(1)(1電容的平均功率也為零，即： 電感元件以磁場(chǎng)能量與外界進(jìn)行能量交換，電容元件是以電場(chǎng)能量與外界進(jìn)行能量交換。 3.5.2 二端電路的功率1、瞬時(shí)功率在圖3.5-4所示二端電路中，設(shè)電流i(t)及端口電壓u(t)在關(guān)聯(lián)參考方向下，分別

28、為：VtUtuAtItiui)sin(2)()sin(2)(則二端電路的瞬時(shí)功率為： 圖 3.5-4)2cos()cos()sin(2)sin(2)()()(iuiuiutUItItUtitutp 上式表明，二端電路的瞬時(shí)功率由兩部分組成，第一項(xiàng)為常量，第二項(xiàng)是兩倍于電壓角頻率而變化的正弦量。從圖上看出，u(t)或i(t)為零時(shí)，p(t)為零；當(dāng)二者同號(hào)時(shí)，p(t)為正，電路吸收功率；二者異號(hào)時(shí)，p(t)為負(fù)，電路放出功率，圖上陰影面積說(shuō)明，一個(gè)周期內(nèi)電路吸收的能量比釋放的能量多，說(shuō)明電路有能量的消耗。瞬時(shí)功率的波形如圖3.5-5所示圖3.5-52、有功功率（也叫平均功率）和功率因素 ZiuT

29、iuiuTUIUIdttUIUITdttpTpcos)cos()2cos()cos(1)(100式中 稱為二端電路的功率因素，功率因素的值取決于電壓與電流之間的相位差 ， 也叫功率因素角。 Z有功功率：瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值iuz當(dāng) 時(shí)， ，電壓與電流正交，單口網(wǎng)絡(luò)不吸收有功功率；當(dāng) ， 時(shí)，電壓與電流同相，此時(shí)等效成一個(gè)電阻，單端口網(wǎng)絡(luò)吸收功率。一般情況下 。2/Z0cosZ0Z1cosZ1cos0Z 對(duì)RLC串聯(lián)電路（其電壓、電流的相量關(guān)系如圖3.5-6所示）有功功率：圖3.5-6RZIUUIPcosZcosZ3、 無(wú)功功率、視在功率和復(fù)功率無(wú)功功率、視在功率和復(fù)功率 （1）無(wú)功功率

30、：反映一端口網(wǎng)絡(luò)與電源間進(jìn)行能量交換的程度。用Q表示，定義ZUIQsin（2）視在功率：通常將二端電路電壓和電流有效值的乘積稱為，用S表示，即 S=UIPQarctgUIQPSSUIQSUIPZZZZZ22sinsincoscos（3）P、Q、S之間的關(guān)系 功率三角形： 工程上為了計(jì)算方便，把有功功率作為實(shí)部，無(wú)功功率作為虛部，組成復(fù)數(shù)，稱為復(fù)功率，用 表示復(fù)功率，即有功功率、無(wú)功功率、視在功率的單位分別用瓦（W）、乏（var）、伏安（V.A）以示區(qū)別。SIUIUUIUIjUIjUIUIjQPSiuiu )sin(cossincos（4）復(fù)功率例：在RLC串聯(lián)電路中已知R=30 , C =40

31、F,L=127mH ，Vtu)20314sin(2220)(ti，求電流，有功功率、無(wú)功功率、視在功率及功率因素解：寫(xiě)出各已知量的相量模型：VU20220LXL310127314 40CXC1610403141 80串聯(lián)電路的阻抗為：Z)(CLXXjR)8040(30j5350IZU535020220A734 . 4串聯(lián)電路的電流為：cosUIP )53cos(4 . 4220W8 .580sinUIQ )53sin(4 . 4220Var4 .774UIS 4 . 4220VA9686 . 0)53cos(cosAti)73314sin(24 . 4 3.5.3 正弦穩(wěn)態(tài)電路的最大功率傳輸

32、如圖3.5-7所示，交流電源的電壓為 ，其內(nèi)阻抗為Zs=Rs+jxs，負(fù)載阻抗ZL=RL+jXL ,電路中電流為： SU)()(LsLsSLsSXXjRRUZZUI電流有效值為： 圖 3.5-722)()(LsLssXXRRUI負(fù)載吸收的功率為： LLsLssLLRXXRRURIP2222)()(負(fù)載獲取最大功率的條件為：時(shí)，當(dāng)：0LLsLdRdPXX負(fù)載能獲取最大功率*SLSLSLZZRRXX即此時(shí)最大功率為： SSmSSLRURUP421422max 3.5.4 功率因數(shù)的提高 1、意義：根據(jù)：ZUIPcos（1）當(dāng)視在功率額定時(shí)。提高功率因數(shù)可以提高電源設(shè)備的利用率（2）在額定電壓下向負(fù)

33、載輸送一定的有功功率時(shí)，可以減少線路的功率損耗2、方法：根據(jù)：Q=QL-QC，)tan(tan12UPC圖3.5-8 實(shí)際電路中大部分負(fù)載是感性的，常用在感性負(fù)載兩端并聯(lián)補(bǔ)償電容的方法（如圖圖3.5-8）來(lái)提高功率因數(shù)3、計(jì)算：并聯(lián)補(bǔ)償電容的計(jì)算方法為：額定功率額定電壓補(bǔ)償前功率因數(shù)角補(bǔ)償后功率因數(shù)角3.6 正弦穩(wěn)態(tài)電路的計(jì)算3.6.1 相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)的主要步驟1、畫(huà)出電路的相量模型2、根據(jù)KCL、KVL和元件的VCR相量形式，建立電路方程或?qū)懗鱿鄳?yīng)公式，并求解得到電壓電流的相量表達(dá)式。3、根據(jù)計(jì)算得到的電壓相量和電流相量，寫(xiě)出相應(yīng)的瞬時(shí)值表達(dá)式3.6.2 阻抗串聯(lián)和并聯(lián)電路分析1、多阻抗

34、的串聯(lián)nZZZZ21n個(gè)阻抗串聯(lián)組成的單口網(wǎng)絡(luò)，就端口特性來(lái)說(shuō)，等效與一個(gè)阻抗，如圖3.6-1所示，其等效阻抗等于各串聯(lián)阻抗之和，圖3.6-1 2、導(dǎo)納并聯(lián)nYYYY21n個(gè)導(dǎo)納并聯(lián)組成的單口網(wǎng)絡(luò)，就端口特性來(lái)說(shuō)，等效與一個(gè)導(dǎo)納，如圖3.6-2所示，其等效導(dǎo)納等于各并聯(lián)導(dǎo)納之和，圖3.6-2例：圖3.6-3中已知tVuS1000sin210試求電流LCiii,圖3.6-3例：下圖中已知tVuS1000sin210， 試求電流LCiii,。解：寫(xiě)出各已知量的相量模型：VsU010LXL31000 k3CXC16103110001 k3RL串聯(lián)支路的阻抗為：電容C所在支電路的阻抗為：電路的等效阻抗

35、為：1ZCjXLjXR 1)33(jk45232Z3jk9032121ZZZZRZ) 3() 33(90345231jj345291kj )34(k9 .365電路的電流為：IZUS9 .365010mA9 .362IZZZIL212IZZZIC2119 .362333903jj9 .3623334523jjmA1 .532mA9 .81223.6.3 一般正弦穩(wěn)態(tài)電路分析例：求圖3.6-4中的電壓u1和u2。 在一般正弦穩(wěn)態(tài)電路分析中，前面直流電路的分析方法（包括回路電流法、節(jié)點(diǎn)電壓法、戴維南定理等）仍然適用，但交流電路中要用復(fù)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。所以首先要畫(huà)出電路的相量模型，然后根據(jù)基本定律（ ）

36、及電路的分析方法用相量建立復(fù)代數(shù)方程，解出變量的相量。再將求出的相量轉(zhuǎn)換成正弦量。IZUIU, 0, 0圖3.6-4解：該電路已畫(huà)出相量圖，用節(jié)點(diǎn)電壓法最方便。11S2n 12 n1 11 iuGuG22S 2n 22 n1 21 iuGuG兩個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)的一般方程為：寫(xiě)成相量形式為11S212 111 IUYUY22S2 22 1 21 IUYUY1)10151()1015110151(21UjjUjjj) 5 . 0()1015110151()10151(2 1 jUjjjUjj代入已知量得：化簡(jiǎn)得：11 . 0) 2 . 02 . 0 (21UjUj5 . 0) 1 . 01 . 0 (1

37、 . 02 1 jUjUjVtu)63sin(223. 21Vtu)117sin(247. 42 轉(zhuǎn)換成瞬時(shí)表達(dá)式為：由克萊姆法則解得：VjjjjjjjjojjjU6323. 22101. 0) 1 . 01 . 0)(2 . 02 . 0 (05. 01 . 01 . 01 . 01 . 01 . 01 . 02 . 02 .1 . 01 . 05 . 01 . 011VjjjjjjjjjjojjjU11747. 44201. 0) 1 . 01 . 0)(2 . 02 . 0(1 . 05 . 0) 2 . 02 . 0(1 . 01 . 01 . 01 . 02 . 02 .5 . 01

38、 . 012 . 02 . 02 例：圖3.6-6（a）中，已知 ， 求： （1）若Z4=7，則流過(guò)Z4的電流i多大。(2)若Z4可變。則Z4為多大時(shí)可取得最大功率？最大功率為多大？tVus10sin2100AtiS)210sin(22解：此題用戴維南定理來(lái)解。首先畫(huà)出電路的相量模型。Z4支路斷開(kāi)，求余下電路的戴維南等效電路：AIVUSS22,0100)2010(210101jjZ) 45 (025. 010152jjZ電路的相量模型圖3.6-6（b）所示圖3.6-6（a）先求等效電阻：82. 116. 723.1439. 7)452010(10)452010(10)()(2132130jjj

39、jjZZRZZRZ圖3.6-6（b）VjjRRZZUUUSOCS1625100010162501003321單獨(dú)作用時(shí)：再用疊加定理求開(kāi)路電壓：VjjjjRIRZZZUISOCS1625100809021625104533212 ）（單獨(dú)作用時(shí)：開(kāi)路電壓：VjjUUUOCOCOC 33.2754.361625100801000戴維南等效電路如圖（3.6-6(c)）：3.6-6(c)(1)電流i的相量為：AjZZUICO65.3456. 282. 116. 7733.2754.3604Atti)65.3410sin(256. 2)(圖3.6-6（b）根據(jù)最大功率傳輸定理得：Z4= Z*0 = 7

40、.16-j1.82時(shí)可取得最大功率最大功率為WRUPOCL62.4616.7454.364202max說(shuō)明：當(dāng)負(fù)載是純電阻時(shí)，獲得最大功率的條件是：ZL= Z0 最大功率為：)(202maxLOCLRRUP例：圖3.6-5中已知 。求電流i1 (t)和i2 (t) 。圖3.6-5AtiAti)3 .5610sin(277. 2)7 .2910sin(224. 13231VtuS)10sin(21035.1 1、諧振條件：jXRXXjRZCL)(zZ諧振現(xiàn)象：含有電容器和電感的線性無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)在激勵(lì)為某一頻率時(shí)，端口電流和端口電壓同相的現(xiàn)象。3.7.1 串聯(lián)諧振的條件和特征串聯(lián)諧振電路的阻抗IU

41、ZSiuSIUiuSIUzZ0CLXXX諧振頻率：LCf210LC10應(yīng)用：3.7 串聯(lián)及并聯(lián)電路的諧振2、諧振特征（1）阻抗特征：RXXXXRXXjRZCLCLCL002002000arctan)()(R阻抗最小且為純電阻。特征阻抗： 諧振時(shí)的感抗或容抗。LXL00CXC001CL001CLCCL（2）電流特征：00ZUISzuSZUzuSZUuSRURUIS0uiiI0電流最大且與端口電壓同相（3）電壓特征：0LU00LXI jLRUjS0SURLj0CRUjS01SURCj01SURjSURj電感兩端的電壓和電容兩端的電壓大小相等，相位相反，其大小為電源電壓的Q倍。0CU00CXI jS

42、UjQSUjQ品質(zhì)因數(shù)Q：特征阻抗與電路中純電阻的比值。SCLQUUU000RURI0RRUSSU電阻上電壓與整個(gè)諧振電路兩端的電壓相等。（4）功率特征：無(wú)功功率：sin0UIQ 0有功功率 ：cos0UIP 0IUR0IUS諧振時(shí)，電源只向電阻提供有功功率。諧振時(shí)，電源不向電路提供無(wú)功功率。（5）能量特征：0CU00CXI j)90sin(2sin20000tUutIiCc則設(shè)tCUCuWtLILiWCCL022202202cos21sin21202002)(LICICCUC222SCCLCMLMUCQCUWWWWW諧振時(shí)，電場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量的最大值相等諧振時(shí)，在一定外加電壓下，電磁能量與電

43、路的品質(zhì)因數(shù)的平方成正比SUjQ例：在RLC串聯(lián)電路中已知R=1k , C =400F,L=1mH ，求諧振時(shí)的頻率f0、回路的特征阻抗和品質(zhì)因素Q各為多少？LCf210解：諧振頻率為：631040010114. 321Hz61096. 7MHz96. 7L0Lf02361011096. 714. 32k50QR15050特征阻抗為：品質(zhì)因素為：頻率特性：（1）阻抗與導(dǎo)納的頻率特性復(fù)阻抗的模值隨頻率變化的關(guān)系稱為幅頻特性。阻抗角隨頻率的變化特性。 不同R值（Q值不同）時(shí)，電流的諧振曲線： 電流與頻率的關(guān)系曲線稱為電流諧振曲線。（2）電流的諧振曲線：22)(CLXXRZ電路中的電流、電壓、阻抗、

44、導(dǎo)納等隨頻率而變化的關(guān)系稱為頻率特性。電流、電壓與頻率的關(guān)系曲線稱為諧振曲線。諧振曲線：幅頻特性：22)1(CLR相頻特性：RCLRX1arctanarctan22)1(CLRUIS20020)(11QII3.7.2串聯(lián)諧振電路的諧振曲線（3）串聯(lián)諧振電路的通頻帶1）通頻帶的概念：把電流諧振曲線上021II 所對(duì)應(yīng)的頻率范圍稱為該回路的通頻帶B。2）通頻帶B與品質(zhì)因素Q的關(guān)系:QfB0 通頻帶B與品質(zhì)因素Q成反比，Q值愈大，諧振曲線愈尖銳，通頻帶愈窄，回路的選擇性愈好。1、諧振條件：LC10LCf2102、諧振特征：（1）阻抗最大（2）電壓最大（3）電流特征：000QIIILC3、并聯(lián)諧振電路

45、的諧振曲線和通頻帶（1）電壓的幅頻特性曲線和相頻特性曲線（2）并聯(lián)諧振回路的通頻帶20020)(11QUU)(arctan00QQfB03.7.3并聯(lián)電路的諧振3.8.1 耦合電感元件及伏安特性自感現(xiàn)象：當(dāng)通過(guò)電感線圈的電流變化時(shí)，在其自身產(chǎn)生感生電壓的現(xiàn)象，產(chǎn)生的電壓稱為自感電壓。伏安關(guān)系：iLdtduLdtdiLILjUL對(duì)正弦量：3.8 耦合電感電路與理想變壓器（關(guān)聯(lián)參考方向）像這種一個(gè)線圈的磁通與另一個(gè)線圈相交鏈的現(xiàn)象，稱為磁耦合，即互感。21 和12 稱為耦合磁通或互感磁通。圖 3.8-1 耦合電感1、互感現(xiàn)象： 由于一個(gè)線圈中的電流變化在另一個(gè)線圈中產(chǎn)生感生電壓的現(xiàn)象，稱為互感現(xiàn)象

46、，產(chǎn)生的電壓叫互感電壓。12121iM21212iM定義互感系數(shù)： 因?yàn)?111 ，1222 ，線圈1的自感磁鏈與互感磁鏈分別為11 =N111，12=N112；線圈2的自感磁鏈與互感磁鏈分別為22=N222，21=N221 。 可以證明：M21=M12=M21LLM 定義耦合系數(shù)K21LLMK 0K1，K值越大，說(shuō)明兩個(gè)線圈之間耦合越緊，當(dāng)K=1時(shí)，稱全耦合，當(dāng)K=0時(shí)，說(shuō)明兩線圈沒(méi)有耦合。所以可以得出圖 3.8-1中: 21112111MiiL12221222MiiL2、 耦合電感元件的電壓、電流關(guān)系 由電磁感應(yīng)定律dtdiMdtdiLdtdu21111dtdiMdtdiLdtdu1222

47、2 式中 、 分別為線圈1、2的自感電壓， 、 分別為線圈1、2的互感電壓。 dtdiL11dtdiL22dtdiM2dtdiM1dtdiMdtdiLdtdu21111dtdiMdtdiLdtdu12222如果自感磁通與互感磁通的方向相反，即磁通相消，如圖3.8-2所示，耦合電感的電壓、電流關(guān)系方程式為：圖 3.8-2 耦合電感3.8.2 同名端同名端 1、 同名端的規(guī)定：具有磁耦合的兩線圈，當(dāng)電流分別從兩線圈各自的某端同時(shí)流入（或流出）時(shí)，若兩者產(chǎn)生的磁通相助，則這兩端叫作互感線圈的同名端，用黑點(diǎn)“”或星號(hào)“*”作標(biāo)記。 例如，圖3.8-3，判斷電流從兩個(gè)線圈的“*”標(biāo)記端流入時(shí)，磁通的方向

48、。圖 3.8-3 同 名 端圖 3.8-4（ a）（ b）(c)(d)例如，寫(xiě)出圖3.8-4中耦合線圈的伏安關(guān)系2、同名端判斷方法： 如圖 3.8-5當(dāng)開(kāi)關(guān)突然閉合時(shí)，如果電壓表的指針正向偏轉(zhuǎn)，則表示接電壓表正極性端鈕與電源的正極性端為一對(duì)同名端。即這里1和3為一對(duì)同名端。如電壓表的指針?lè)聪蚱D(zhuǎn)，則端鈕1與端鈕4為同名端。圖 3.8-53.8.3 耦合電感的串聯(lián)分析 耦合電感的串聯(lián)有兩種方式順接和反接。順接串聯(lián)就是異名端相接，如圖 3.8-6（a）所示。 由此可知，順接串聯(lián)的耦合電感可以用一個(gè)等效電感L來(lái)代替，如圖 3.8-6（b）所示，等效電感L=L1+L2+2M圖 3.8-6 耦合電感順接

49、串聯(lián)dtdiMdtdiLdtdiMdtdiLuuu2121dtdiLdtdiMLL221因?yàn)轫樈哟?lián)耦合電感的電流從同名端流入，且電流相等所以dtdiMdtdiLdtdiMdtdiLuuu2121圖 3.8-7 耦合電感的反接串聯(lián) 由此可知，反接串聯(lián)的耦合電感可以用一個(gè)等效電感L代替如圖3.8-7(b) ，等效 電 感 L 的 值L=L1+L2-2M dtdiLdtdiMLL221 耦合電感的另一種串聯(lián)方式是反接串聯(lián)。反接串聯(lián)是同名端相接，如圖3.8-7(a)所示，因?yàn)榉唇哟?lián)耦合電感的電流從異名端流入，且電流相等所以1、互感線圈的同名端連在一起 如圖 3.8-8（a）所示，為三支路共一節(jié)點(diǎn)、

50、其中有兩條支路存在互感的電路，由圖可知，L1的b端與L2的d端是同名端且連接在一起，可以等效為圖 3.8-8（b）所示的互感線圈的T型去耦等效電路。3.8.4 耦合電感的T型型分析 圖 3.8-8同名端相連的T型去耦等效電路 dtdiMdtdiLu2111dtdiMdtdiLu1222將以上兩式經(jīng)數(shù)學(xué)變換，可得dtiidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu2111211111dtiidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu2122122222 畫(huà)出兩式T型等效電路如圖 3.8-8（b）所示。在圖（b）中因有3個(gè)電感相互間無(wú)互感，它們的自感系數(shù)分別為L(zhǎng)1-M

51、、L2-M和M，又連接成T型結(jié)構(gòu)形式，所以稱之為互感線圈的T型去耦等效電路。 兩線圈上的電壓分別為 2、互感線圈的異名端連接在一起 圖 3.8-9(a) 中，兩線圈上的電壓分別為 ：dtdiMdtdiLu2111dtdiMdtdiLu1222圖 3.8-9（b） 異名端相連的T型去耦等效電路 將以上兩式經(jīng)數(shù)學(xué)變換，可得 dtiidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu2111211111dtiidMdtdiMLdtdiMdtdiMdtdiMdtdiLu2122122222畫(huà)得T型等效電路如圖3.8-9 (b) 所示：MLLMLLMLMLMLMLML2212212121 MLL

52、MLLMLMLMLMLML2212212121圖 3.8-10 兩個(gè)耦和電感的并聯(lián) 利用上述等效電路，可以得出如圖 3.8-10(a) 和(c) 所示的耦合電感并聯(lián)的去耦等效電路，分別如圖3.8-10 (b) 和 (d) 所示。由圖 (b) (d)應(yīng)用無(wú)互感的電感串、并聯(lián)關(guān)系，可以得到同名端、異名端連接時(shí)耦合電感并聯(lián)的等效電感為 耦合電感中有電阻時(shí)等效關(guān)系如圖3.8-11所示：圖3.8-113.8.5 空芯變壓器 所謂空芯變壓器是由兩個(gè)繞在非鐵磁材料制成的芯子上并且具有互感的線圈組成的，其耦合系數(shù)較小，屬于松耦合。 設(shè)空芯變壓器電路如圖3.8-12所示，其中R!、R2分別為變壓器初、次級(jí)繞組的

53、電阻，RL為負(fù)載電阻，設(shè)uS為正弦輸入電壓。 圖3.8-12圖3.8-13變壓器的相量模型如圖3.8-13所示SUIMjILjR211102221IRLjRIMjL或?qū)憺椋篠UIZIZ2121110222121IZIZ。3.8-13空心變壓器相量模型圖變壓器的相量模型如圖3.8-13所示，列出回路方程為：Z11= R1+jL1 稱為初級(jí)回路自阻抗；Z22=R2 +jL2+RL 稱為次級(jí)回路自阻抗；Z12=Z21=jM 稱為初次級(jí)回路互阻抗式中：11122211211211222112222211211221210ZZUZZZZUZZZZUZZZZZZZUISSSS222112112221112

54、2ZZUZZZZUZZISS 求得的初級(jí)、次級(jí)電流相量分別為 ： (1)(2)有(1)式得：次極回路接負(fù)載后對(duì)初級(jí)回路的影響相當(dāng)與在初級(jí)回路中串聯(lián)一個(gè)阻抗Z1，這個(gè)阻抗稱為副邊在原邊的反射阻抗。22222221121ZMZZZZ由電源端看進(jìn)去的等效電路，也就是初級(jí)等效電路應(yīng)如圖3.8-14所示。當(dāng)我們只需要求解初級(jí)電流時(shí)，可利用這一等效電路迅速求得結(jié)果。 圖3.8-14 初級(jí)等效電路輸入阻抗：由電源端看進(jìn)去的阻抗為： ZZIUZSi111由此可見(jiàn)，輸入阻抗由兩部分組成：即初級(jí)回路的自阻抗及次級(jí)回路在初級(jí)回路的反映阻抗 。有(2)式得：初級(jí)回路對(duì)次級(jí)回路的影響相當(dāng)與在次級(jí)回路中接入等效電壓源US

55、 及串聯(lián)一個(gè)等效阻抗Z2。SSUZZU11121121122ZZZZ次級(jí)回路的等效如圖3.8-15所示。當(dāng)我們只需要求解次級(jí)電流時(shí)，可利用這一等效電路迅速求得結(jié)果。 圖3.8-153.8.6 理想變壓器理想變壓器 理想變壓器是鐵芯變壓器的理想化模型，它的唯一參數(shù)只是一個(gè)稱之為變比的常數(shù)n，而不是L1、L2、 M等參數(shù)，理想變壓器滿足以下3個(gè)理想條件：(1) 耦合系數(shù)K=1，即為全耦合；(2) 自感系數(shù)L1、L2為無(wú)窮大，但L1/L2為常數(shù)。(3) 無(wú)任何損耗，這意味著繞線圈的金屬導(dǎo)線無(wú) 任何電阻，做芯的鐵磁材料的磁導(dǎo)率無(wú)窮大.1、 理想變壓器電壓變換特性理想變壓器電壓變換特性 圖3.8-16 (a) 所示的鐵芯變壓器，其初、次級(jí)匝數(shù)分別為N1和N2，可判定a、c為同名端，設(shè)i1、i2分別從同名端流入（屬磁通相助），設(shè)初、次級(jí)電壓u1、u2與各自線圈上的電流 i1、i2為關(guān)聯(lián)參考方向。圖3.8-16 變壓器示意圖及其模型 由于為全耦合，則線圈的互感磁通必等于自感磁通，即 21=11，12=22，穿過(guò)初、次級(jí)線圈的磁通相同，即圖3.8-16 變壓器示意圖及其模型 11+12=11+22= 22+21=22+11= 上式中稱為主磁通。初、次級(jí)線圈交鏈的磁鏈1、2分別為對(duì)1、2求導(dǎo)，得初、次級(jí)電壓分別為 dtdNdtdu111dtdNdtdu22