數(shù)學(xué)與思維發(fā)展的關(guān)系

1、二、數(shù)學(xué)與思維發(fā)展的關(guān)系 人類(lèi)的思維是后天形成的，思維受到各種因素的影響，并表現(xiàn)出多面性。但符合邏輯的、精密的、深刻的、聰慧的思維是每個(gè)人希望達(dá)到的最高境界之一。 數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育如此受重視，不完全是因?yàn)槠鋸V泛的用途，也不能完全從應(yīng)用的角度來(lái)看待數(shù)學(xué)。在上一講中我們說(shuō)明了數(shù)學(xué)能提供觀察世界的一般觀念和方法外，實(shí)際上數(shù)學(xué)對(duì)人的其他發(fā)展，尤其是對(duì)人的思維發(fā)展有不可或缺的作用和價(jià)值，數(shù)學(xué)是為人的更完美發(fā)展提供了良好訓(xùn)練。二、數(shù)學(xué)與思維發(fā)展的關(guān)系 人們常把數(shù)學(xué)形容為思維的體操。培根說(shuō)過(guò)，哲理使人深刻，詩(shī)歌使人聰慧，演算使人精密。其實(shí)數(shù)學(xué)不單單使人精密，數(shù)學(xué)同樣也使人深刻，使人聰慧！ 哲學(xué)、詩(shī)歌不要求每人

2、都會(huì) 數(shù)學(xué)每人必須會(huì),因?yàn)閿?shù)學(xué)能使青少年更精密、更深刻、更聰慧！ 1、歸納與完全歸納 思維的一種形式是歸納。那么歸納性質(zhì)的表征是什么呢？所謂歸納，是指通過(guò)對(duì)有限多個(gè)同類(lèi)對(duì)象的觀察分析，猜測(cè)一種共性或規(guī)律，并證明這種共性的確是正確的一種思維方法。 當(dāng)“同類(lèi)對(duì)象”為有限多個(gè)時(shí)，我們將對(duì)象一一驗(yàn)證就可獲得結(jié)論（對(duì)或錯(cuò)）；但當(dāng)“同類(lèi)對(duì)象”無(wú)法窮舉或?qū)嶋H上就是無(wú)限多時(shí)，我們?cè)械乃季S方法就無(wú)法具有說(shuō)服力了。因此必須尋找一種處理無(wú)限的思維方法.即在數(shù)學(xué)上所要求的完全歸納,確保其正確性.1、歸納與完全歸納 我們熟悉的完全歸納法數(shù)學(xué)歸納法。 我們來(lái)看一些（非完全歸納）例子。 2( )11(1)13,(2)17

3、,(3)23(,(4)31(1)0)1211111nffxxxffffnf二 項(xiàng) 式滿(mǎn) 足 ：都 是 素 數(shù) ，對(duì)那 么 是 否 可 以 下 結(jié) 語(yǔ) ：顯 然 不所 有 的 ，是 素 數(shù) ？能 。 實(shí) 際 上就 不 是 素 數(shù) 。1、歸納與完全歸納 2222( )72491( )72490(72490)72490724907249172490272490172491( )fxxxfnnnfnf對(duì) 所 有 的 ，是 素 數(shù)有 趣 的 是 二 項(xiàng) 式滿(mǎn) 足 ：當(dāng)時(shí) 都 是 素 數(shù)？， 那 么 是 否可 以 下 結(jié) 語(yǔ) ：也 不 能 。 實(shí) 際 上就 不 是 素 數(shù) 。1、歸納與完全歸納232425

4、43211(1)(1)1(1)(1)1(1)(1)(1)1(1)(1)10,1, 1nnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 在來(lái)看關(guān)于的分解式：是否可以下結(jié)論：的整系數(shù)分解式中，的系數(shù)只可能是呢？回答是否定的。1、歸納與完全歸納484746434241407221.xxxxxxxx105有一位老兄發(fā)現(xiàn)了x -1中有如下的一項(xiàng)：這說(shuō)明，考察一組對(duì)象的性質(zhì)或規(guī)律時(shí)，可能出錯(cuò)。究其原因在于對(duì)于“無(wú)窮多”的思維方式不能按照“有限多”方式來(lái)處理，否則容易出現(xiàn)問(wèn)題。這種方法通常成為不完全歸納。1、歸納與完全歸納 數(shù)學(xué)對(duì)歸納的完全性是要求十分嚴(yán)格，其意義不僅對(duì)所有的自然科學(xué)是重要的，而且對(duì)人文社會(huì)科學(xué)

5、也是重要的。借鑒數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)格性，可以大大提高社會(huì)科學(xué)學(xué)科的科學(xué)性。以例帶證的方法屬于不完全歸納，顯然不能令人信服。目前許多社會(huì)科學(xué)學(xué)科還是按照這種方式來(lái)解釋其命題，科學(xué)性顯然要遭到質(zhì)疑。 社會(huì)科學(xué)； 實(shí)驗(yàn)學(xué)科；我們說(shuō)過(guò),進(jìn)行歸納時(shí)應(yīng)注意歸納的完全性,然而,全面地說(shuō)應(yīng)注意完全性與不完全性的關(guān)系。沒(méi)有不完全的歸納命題，就不可能有完全性的證明行為。 事實(shí)上，不完全歸納是發(fā)現(xiàn)的開(kāi)始，是創(chuàng)造的開(kāi)始，是十分珍貴的思維形式之一。事實(shí)是，兒童從小就有歸納的經(jīng)歷，1-2歲語(yǔ)言符號(hào)就在迅速增加，第二信號(hào)系統(tǒng)在迅速擴(kuò)張。其所以能這樣，原因之一就是首先他們接受歸納，并且能接受歸納。2、邏輯思維的代表：演繹 當(dāng)歸納具

6、有完全性時(shí)，其方法可以說(shuō)屬于邏輯的范疇了。邏輯思維的代表之一是演繹思維。 演義思維最早來(lái)自幾何學(xué)，其影響之廣泛使得人們特別看重演繹科學(xué)的地位。實(shí)際上，一門(mén)學(xué)科是否為成熟的是以它是否已形成一套演繹體系（公理體系）為標(biāo)志的。 數(shù)學(xué)的這一特點(diǎn)是與它極強(qiáng)的邏輯性和抽象性緊密聯(lián)系在一起的。2、邏輯思維的代表：演繹抽象：強(qiáng)抽象 弱抽象。任意四邊形凸四邊形梯形平行四邊形矩形菱形正方形2、邏輯思維的代表：演繹例子：函數(shù)概念的演變過(guò)程。17世紀(jì)：冪函數(shù)（多項(xiàng)式）的代名詞。18世紀(jì)：表達(dá)式（初等函數(shù)）。歐拉給出了y=f(x)的表示。初等函數(shù)非初等函數(shù)（級(jí)數(shù)、積分表示）解析表達(dá)式（一個(gè)式子）分段函數(shù)（偽函數(shù)，柯西引

7、入了“對(duì)應(yīng)”術(shù)語(yǔ)，但還是解析式子）Dirichlet函數(shù)： Dirichlet函數(shù)不但從表達(dá)式上突破了解析式的限制，而且還對(duì)“凡函數(shù)至少在一點(diǎn)連續(xù)”提出了挑戰(zhàn)。0( )xD xx當(dāng) 為無(wú)理數(shù)時(shí)1當(dāng) 為無(wú)理數(shù)時(shí)2、邏輯思維的代表：演繹雖然這個(gè)表達(dá)式是認(rèn)為構(gòu)造的，帶有主觀性質(zhì)，但它卻推動(dòng)了人們對(duì)函數(shù)本質(zhì)的客觀認(rèn)識(shí)。這也反映了認(rèn)識(shí)論中的基本內(nèi)涵。主觀判斷主觀事物一定要小心，不要把主觀臆相混同于主觀構(gòu)想?？茖W(xué)需要主觀構(gòu)想的。2( )lim(lim(cos!) ).nmnD xmx但是2、邏輯思維的代表：演繹Dirichlet函數(shù)對(duì)應(yīng)規(guī)則（何為對(duì)應(yīng)？）有序?qū)Γ▁,y） （新概念）集合函數(shù)（泛函）廣義函數(shù)

8、（函數(shù)）.上述過(guò)程實(shí)際上就是演繹思維弱抽象的例子.2、邏輯思維的代表：演繹再以函數(shù)為例給出強(qiáng)抽象的例子.連續(xù)性問(wèn)題解決后,出現(xiàn)了可微性問(wèn)題.f(x)=|x|是連續(xù)但在0點(diǎn)不可微的例子. 問(wèn)題:連續(xù)函數(shù)至少有一個(gè)可微點(diǎn)? Weiestrauss構(gòu)造了一個(gè)處處連續(xù)但處處不可微的例子, 這個(gè)例子讓數(shù)學(xué)家驚嘆:直觀似乎告訴我們不可能有這種函數(shù),直觀欺騙了我們.03( )cos(), 01,1.2nnnf xbaxabab 是奇數(shù)，2、邏輯思維的代表：演繹函數(shù)連續(xù)函數(shù)不可微函數(shù)處處連續(xù)處處不可微函數(shù)。 強(qiáng)抽象過(guò)程。但抽象性依然很強(qiáng)。 數(shù)學(xué)的抽象方法很多，需要學(xué)習(xí)和實(shí)踐逐步加深了解，在你領(lǐng)會(huì)的同時(shí)，抽象思

9、維能力就得到了加強(qiáng)和提高。需要說(shuō)明的是，邏輯思維是抽象思維，但抽象思維不一定是邏輯的。數(shù)學(xué)的邏輯性特點(diǎn)使得數(shù)學(xué)訓(xùn)練直接有利于發(fā)展人的邏輯思維，其作用特別突出。最能表現(xiàn)這一點(diǎn)的當(dāng)屬公理方法的作用。一門(mén)學(xué)科實(shí)現(xiàn)公理化的標(biāo)志是：一、它有一套基本術(shù)語(yǔ)或原始概念；二、它有一組基本命題或原始命題或公理；三、其它的概念全由原始概念出發(fā)予以定義其他的命題全由公理出發(fā)予以推理論證。數(shù)學(xué)的分支學(xué)科都是建立在公理化基礎(chǔ)上，其它學(xué)科（力學(xué)、物理學(xué)、哲學(xué)、倫理學(xué)等）的許多分支也利用了公理方法。力圖建立自己學(xué)科的演繹體系，提高邏輯化水平和科學(xué)化水平。數(shù)學(xué)公理化方法的影響已經(jīng)超出數(shù)學(xué)范圍而進(jìn)入其它自然科學(xué)領(lǐng)域和人文科學(xué)領(lǐng)域

10、，數(shù)學(xué)的公理思想使數(shù)學(xué)作為文化具有更實(shí)際的意義。這是由公理化本身的優(yōu)點(diǎn)所決定的。公理化不僅使數(shù)學(xué)本身的內(nèi)在統(tǒng)一性、和諧性得到充分的揭示，而且有利于人們更清晰地從微觀到宏觀看到數(shù)學(xué)世界；不僅使人更易認(rèn)識(shí)世界，而且為數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造提供必要的啟示和工具；對(duì)人自身邏輯思維的發(fā)展起極為積極的推動(dòng)作用。它的論證過(guò)程是“到了底”的，因而能使人確信不疑，其邏輯線(xiàn)索如此清晰、如此嚴(yán)謹(jǐn)，這種“窮根究底”的思想風(fēng)格正是哲學(xué)的思想風(fēng)格由此亦可看到數(shù)學(xué)在如何體現(xiàn)人的精神！ 公理化和演繹屬于收斂性思維，它對(duì)于思維的條理化、系統(tǒng)化是必需的，使思維更健康。然而，它不能使思維更活潑。如果過(guò)分強(qiáng)調(diào)公理的作用，只重視演繹訓(xùn)練，也會(huì)帶來(lái)不良后果，數(shù)學(xué)教育令人擔(dān)憂(yōu)的現(xiàn)狀也恰在這里。過(guò)分地集中于收斂性思維，忽視了發(fā)散性思維。 對(duì)人的發(fā)散性思維起積極作用的一般有這樣幾種形式：三、其它三、其它n直觀、直感 數(shù)學(xué)是忌諱直觀的。但是，忌諱的不應(yīng)該是直觀，而是把直觀的結(jié)果當(dāng)最后的結(jié)論，忌諱的是受直觀的欺騙。直觀能力、觀察能力、洞察能力，也是重要的創(chuàng)造能力之一。應(yīng)當(dāng)在直觀、聯(lián)想等活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題并積極地進(jìn)行思考。 舉例：四色問(wèn)題 任一凸多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F和邊數(shù)E之間的關(guān)系：F+V-E=2三、其它n直覺(jué) 直覺(jué)是指對(duì)事物直接的覺(jué)察、領(lǐng)悟甚至是印象 數(shù)學(xué)直覺(jué)則是指對(duì)數(shù)學(xué)