振動與波概論

1、廣義振動廣義振動：任一物理量（如位移、電流等）在某一：任一物理量（如位移、電流等）在某一數(shù)值附近反復(fù)變化。數(shù)值附近反復(fù)變化。機械振動機械振動：物體在一定位置附近作來回往復(fù)的運動。：物體在一定位置附近作來回往復(fù)的運動。)cos(0 tAx一、彈簧振子模型一、彈簧振子模型彈簧振子彈簧振子：彈簧彈簧物體系統(tǒng)物體系統(tǒng) 平衡位置：平衡位置：彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置彈簧處于自然狀態(tài)的穩(wěn)定位置輕輕彈簧彈簧質(zhì)量忽略不計，形變滿足胡克定律質(zhì)量忽略不計，形變滿足胡克定律 物體物體可看作質(zhì)點可看作質(zhì)點 kxOmkxF 22dtxdmkx 簡諧振動簡諧振動微分方程微分方程mk 2 令令0222 xdtxd 得得)c

2、os(0tAx解解0222 dtd結(jié)論結(jié)論：單擺的小角度擺動振動是簡諧振動單擺的小角度擺動振動是簡諧振動。角頻率角頻率, ,振動的周期分別為：振動的周期分別為：glTlg22當(dāng)當(dāng) 時時 sin sinmglM mgldtdmllf222擺球?qū)[球?qū) C點的力矩點的力矩 mglM l/g 2 二、微振動的簡諧近似二、微振動的簡諧近似單擺單擺gmfTCOl其通解為：其通解為：)tcos(Ax0 0222 xdtxd 簡諧振動的微分方程簡諧振動的微分方程簡諧振動的運動學(xué)方程簡諧振動的運動學(xué)方程) 2 cos()sin(00tAtAdtdxv速度速度加速度加速度xAAdtdva20202) tcos

3、() tcos()cos()(0 tAtx) 2 cos(0tAvxAdtdva202) tcos(A：振幅振幅, 單位：單位：m)cos()(0tAtxT: 周期周期, 單位：單位：sT 2 ：圓頻率，圓頻率，單位：單位：rad / s)(0 t: 相位，相位，它是反映質(zhì)點在它是反映質(zhì)點在t時刻振動時刻振動狀態(tài)的物理量狀態(tài)的物理量。單位：單位：rad0 : 初相初相, t0 時刻的位相。時刻的位相。說明說明:1）xt曲線不是質(zhì)點曲線不是質(zhì)點運動的軌跡。運動的軌跡。2）質(zhì)點在）質(zhì)點在a、c兩時兩時刻的運動狀態(tài)（刻的運動狀態(tài)（位位移、速度移、速度）相同，）相同，因此，因此，a、c時間間時間間隔是

4、一個周期。隔是一個周期。3）一個周期內(nèi)沒有相同的運動狀態(tài)。）一個周期內(nèi)沒有相同的運動狀態(tài)。質(zhì)點的運動狀質(zhì)點的運動狀態(tài)如相同，則對應(yīng)的位相之間必相差態(tài)如相同，則對應(yīng)的位相之間必相差2或或 2的整數(shù)的整數(shù)倍。倍。abcA-A0T2Ttx即：0000sincosAvAx00022020 xvtgvxA得：由由t=0時，時，x=x0 , v=v0 (初始條件）初始條件）0)cos(0tAx例例1、勁度系數(shù)為、勁度系數(shù)為k1和和k2的兩根彈簧，與質(zhì)量為的兩根彈簧，與質(zhì)量為m的木的木塊按下圖兩種方式連接，試證明它們的振動均為諧振動，塊按下圖兩種方式連接，試證明它們的振動均為諧振動，并分別求出它們的振動周期

5、。并分別求出它們的振動周期。1km2k1km2k證證：xxxxkxk212211xkkkkxk212122xkkkkdtxdm212122221212Tmkkkk2221dtxdmxkxk2221)(dtxdmxkk5-100 17X(cm)t(s)A=10cm T=12ssradT62t=021cos0v00 0sin030例例2.一諧振動的余弦曲線如圖，求一諧振動的余弦曲線如圖，求A，和和0) 3cos(cos21tAxtAx說說明明X2與與X1的位相差：的位相差：0312 6T在位相上：在位相上： X2比比X1超前超前3在時間上：在時間上：X2比比X1超前超前6T 0t = 0Ax t+

6、 0t = tA)tcos(Ax0 oX1、2象限，投影點象限，投影點P: v0Px1A2A x1A2A x1A2A 同相同相反相反相比 超前2A1Ava0 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量b如圖如圖藍線藍線所示，所示， t+ 0=5/3求振動方程求振動方程解題思路：解題思路：作旋轉(zhuǎn)矢量圖作旋轉(zhuǎn)矢量圖4-43 42t(m) 443cos2txOX4 t=0t=1s0221t(s)X(m) 符合0222 xdtxd 符合 2xa 符合kxf 符合)cos()(0 tAtx只要符合以下條件中任意一條，質(zhì)點即作只要符合以下條件中任意一條，質(zhì)點即作簡諧振動：簡諧振動：以彈簧振子為例以彈簧振子為例諧振動系統(tǒng)的能量諧振動

7、系統(tǒng)的能量= =系統(tǒng)的系統(tǒng)的動能動能E Ek k+ +系統(tǒng)的系統(tǒng)的勢能勢能E Ep p某一時刻，諧振子速度為某一時刻，諧振子速度為v v，位移為，位移為x x)sin(0tAv)cos(0tAx221mvEk )(sin21)(sin210220222tkAtAm221kxEp )t(coskA02221 諧振動的動能和勢能諧振動的動能和勢能是時間的周期性函數(shù)是時間的周期性函數(shù)動動能能221mvEk )t(sinkA02221 勢勢能能221kxEp )t(coskA02221 情況同動能。情況同動能。pppEEE,minmax0min kE2411kAdtETETttkk 2max21kAE

8、k 機械能機械能221kAEEEpk 簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒簡諧振動系統(tǒng)機械能守恒由起始能量求振幅由起始能量求振幅kEkEA022 221kAE xtTEEpokpEE EtEk(1/4)kA2系統(tǒng)沿系統(tǒng)沿x x軸振動，勢能函數(shù)為軸振動，勢能函數(shù)為E Ep p(x)(x)，勢能曲線存在，勢能曲線存在極小值，該位置就是系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡位置。極小值，該位置就是系統(tǒng)的穩(wěn)定平衡位置。在該位置（取在該位置（取x x=0=0）附近將勢能函數(shù)作級數(shù)展開）附近將勢能函數(shù)作級數(shù)展開 20220210 x)dxEd(x)dxdE()(E)x(Expxppp微振動系統(tǒng)一般可以當(dāng)作諧振動處理微振動系統(tǒng)一般可以當(dāng)作諧振動

9、處理00 dxdExp2022210 x)dxEd()(E)x(Exppp dx)x(dEFp kxxdxEdxp022)(圖示為雙原子分子的勢能曲線圖示為雙原子分子的勢能曲線E Ep p，r r是兩原子之間是兩原子之間的距離。設(shè)其中一個原子靜止于的距離。設(shè)其中一個原子靜止于0 0點，點，r r0 0處曲線斜處曲線斜率為零，兩原子相互作用力為零，率為零，兩原子相互作用力為零，r r0 0為分子內(nèi)兩原為分子內(nèi)兩原子間的平衡距離。此時子間的平衡距離。此時E Ep p最低，分子在最低，分子在r r0 0附近做微附近做微振動，振動，此振動可以近似看做諧振動此振動可以近似看做諧振動。例例1.1.一單擺的

10、懸線長一單擺的懸線長l=1.5ml=1.5m，在頂端固定點的鉛直下，在頂端固定點的鉛直下方方0.45m0.45m處有一小釘處有一小釘, ,如圖，設(shè)兩方擺動均較小，問單如圖，設(shè)兩方擺動均較小，問單擺的左右兩方振幅之比擺的左右兩方振幅之比A A為多少？為多少？ 0.45解：解： 左右擺長分別為左右擺長分別為l1.50.451.05m, l21.5m,將單擺的擺將單擺的擺動近似看作簡諧振動，擺動過動近似看作簡諧振動，擺動過程中總機械能守恒。程中總機械能守恒。222211)A(m21)A(m21 l1221gAA得：84. 05 . 105. 1l2121lAA一、同方向、同頻率諧振動的合成一、同方向

11、、同頻率諧振動的合成合振動是簡諧振動合振動是簡諧振動, , 其頻率仍為其頻率仍為 )cos(AAAAA10202122212 221122110 cosAcosAsinAsinAtg )tcos(A)t(x1011 )tcos(A)t(x2022 )tcos(Axxxx021 質(zhì)點同時參與同方向同頻率質(zhì)點同時參與同方向同頻率的諧振動的諧振動 : :合振動合振動 : :2A1AA10 20 0 1x2xx1M2MM如如 A1=A2 , 則則 A=0,kk21021020 兩分振動相互加強兩分振動相互加強21AAA ,k)k(210121020 兩分振動相互減弱兩分振動相互減弱21AAA 分析分析

12、若兩分振動同相：若兩分振動同相：若兩分振動反相若兩分振動反相:)cos(AAAAA10202122212 合振動不是簡諧振動合振動不是簡諧振動式中式中tAtA)2cos(2)(12 tt)2cos(cos12 隨隨t 緩變緩變隨隨t 快變快變合振動可看作振幅緩變的簡諧振動合振動可看作振幅緩變的簡諧振動二二. 同方向不同頻率簡諧振動的合成同方向不同頻率簡諧振動的合成分振動分振動)tcos(Ax 11)tcos(Ax 22合振動合振動)tcos(t )cos(Ax 222121221xxx 當(dāng)當(dāng) 2 1時時,ttAx cos)( 則則：1212 拍拍 合振動忽強忽弱的現(xiàn)象合振動忽強忽弱的現(xiàn)象拍頻拍

13、頻 : : 單位時間內(nèi)強弱變化的次數(shù)單位時間內(nèi)強弱變化的次數(shù) =| 2- 1| xt tx2t tx1t t12拍122T或：*三、振動的頻譜分析三、振動的頻譜分析振動的分解振動的分解：把一個振動分解為若干個簡諧振動。：把一個振動分解為若干個簡諧振動。諧振分析諧振分析：將任一周期性振動分解為各個諧振動之和。：將任一周期性振動分解為各個諧振動之和。若周期振動的頻率為若周期振動的頻率為 : 0則各分振動的頻率為則各分振動的頻率為: 0、2 0、3 0(基頻基頻 , 二次諧頻二次諧頻 , 三次諧頻三次諧頻 , )按傅里葉級數(shù)展開按傅里葉級數(shù)展開)t(x)Tt(x 102nnn)tnsinbtncos

14、a(a)t (x T 22 方波的分解方波的分解0tx1t0 x3t0 x5t0 x1+x3+x5+x0 tsinAtsinAtsinAAx 55233222x0t一、一、 阻尼振動阻尼振動阻阻尼尼振振動動能量隨時間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。能量隨時間減小的振動稱阻尼振動或減幅振動。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系統(tǒng)克服阻力作功使振幅受到摩擦力的作用，系統(tǒng)的動能轉(zhuǎn)化為熱能。作用，系統(tǒng)的動能轉(zhuǎn)化為熱能。輻射阻尼：輻射阻尼：振動以波的形式向外傳波，使振動能量振動以波的形式向外傳波，使振動能量向周圍輻射出去。向周圍輻射出去。阻尼振動的振動方程阻尼振動的振動方程（系統(tǒng)受到

15、弱介質(zhì)阻力而衰減）（系統(tǒng)受到弱介質(zhì)阻力而衰減）振子動力學(xué)方程振子動力學(xué)方程22dtxdmdtdxkx 振子受阻力振子受阻力dtdxvfr022022 xdtdxdtxd mk 0 系統(tǒng)固有角頻率系統(tǒng)固有角頻率m2 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù)弱介質(zhì)阻力是指振子運動速度較低時，弱介質(zhì)阻力是指振子運動速度較低時，介質(zhì)對物體的阻力僅與速度的一次方成正比介質(zhì)對物體的阻力僅與速度的一次方成正比 阻力系數(shù)阻力系數(shù)t弱阻尼弱阻尼)(tx弱阻尼弱阻尼 每一周期內(nèi)損失的能量越小，振幅衰減越慢，每一周期內(nèi)損失的能量越小，振幅衰減越慢，阻尼振動的準(zhǔn)周期越接近于諧振動的固有周期阻尼振動的準(zhǔn)周期越接近于諧振動的固有周期。0 )co

16、s(00teAxt220 0220222 T阻尼振動的準(zhǔn)周期阻尼振動的準(zhǔn)周期振幅振幅 按指數(shù)衰減按指數(shù)衰減teA0臨界阻尼臨界阻尼t(yī))(tx臨界阻尼臨界阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運動，而是較快地系統(tǒng)不作往復(fù)運動，而是較快地回到平衡位置并停下來回到平衡位置并停下來0 te )tcc(x 21過阻尼過阻尼t(yī))(tx過阻尼過阻尼系統(tǒng)不作往復(fù)運動，而是非常緩系統(tǒng)不作往復(fù)運動，而是非常緩慢地回到平衡位置慢地回到平衡位置0 t )(t )(ececx20220221 二、二、 受迫振動受迫振動受迫振動受迫振動 振動系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動。振動系統(tǒng)在周期性外力作用下的振動。弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動力作用下的受迫振

17、動的方程弱阻尼諧振子系統(tǒng)在策動力作用下的受迫振動的方程ptcosFtddxkxtdxdm022 tpcosfxtddxtdxd 20222 令令mk 0 周期性外力周期性外力策動力策動力ptcosFF0 m2mFf00穩(wěn)定解穩(wěn)定解)ptcos(Ax (1)頻率頻率: 等于策動力的頻率等于策動力的頻率 p(2)振幅振幅:2/122222004)(ppfA(3)初相初相:2202pptg 特點特點:穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按簡諧振動的規(guī)律變化穩(wěn)態(tài)時的受迫振動按簡諧振動的規(guī)律變化)ptcos(A)t(coseAxt 00阻尼振動阻尼振動簡諧振動簡諧振動三、共振三、共振在一定條件下在一定條件下, 振幅出現(xiàn)極大

18、值振幅出現(xiàn)極大值, 振動劇烈的現(xiàn)象。振動劇烈的現(xiàn)象。1、位移共振、位移共振(1)共振頻率共振頻率 :2202 rp(2)共振振幅共振振幅 :22002 fAr2、速度共振、速度共振能量共振能量共振一定條件下一定條件下, 速度振幅極大的現(xiàn)象。速度振幅極大的現(xiàn)象。速度共振時，速度與速度共振時，速度與策動力同相，一周期策動力同相，一周期內(nèi)策動力總作正功，內(nèi)策動力總作正功，此時向系統(tǒng)輸入的能此時向系統(tǒng)輸入的能量最大。量最大。 0 rp 20fvmr )ptsin(pAv 22222004p)p(pfpAvm 不能用線性微分方程描述的振動稱為不能用線性微分方程描述的振動稱為非線性振動非線性振動。1、內(nèi)在

19、的非線性因素、內(nèi)在的非線性因素發(fā)生非線性振動的原因：發(fā)生非線性振動的原因：振動系統(tǒng)內(nèi)部出現(xiàn)非線性回復(fù)力振動系統(tǒng)內(nèi)部出現(xiàn)非線性回復(fù)力振動系統(tǒng)的參量不能保持常數(shù)振動系統(tǒng)的參量不能保持常數(shù)，如漏擺、蕩秋千。如漏擺、蕩秋千。*4-6 非線性振動簡介非線性振動簡介一、一、 非線性振動概述非線性振動概述單擺（或復(fù)擺）單擺（或復(fù)擺）的回復(fù)力矩的回復(fù)力矩)!(mglM 5353 自激振動自激振動1、外在的非線性影響、外在的非線性影響非線性阻尼的影響非線性阻尼的影響策動力為位移或速度的非線性函數(shù)策動力為位移或速度的非線性函數(shù)如如33221vkvkvkfr 如如)v ,v ,v ,x,x,x(FF3232 線性振

20、動與非線性振動的最大區(qū)別：線性振動與非線性振動的最大區(qū)別：線性振動滿足疊加原理線性振動滿足疊加原理非線性振動不滿足疊加原理非線性振動不滿足疊加原理近似簡化、圖解、計算機處理近似簡化、圖解、計算機處理研究方法：研究方法：微擾法微擾法二、二、 非線性振動研究的方法及意義非線性振動研究的方法及意義相平面法相平面法聲波、水波、電磁波聲波、水波、電磁波都是物理學(xué)中常見的波。波都是物理學(xué)中常見的波。波既可以是運動狀態(tài)的傳遞而非物質(zhì)的自身運動，既可以是運動狀態(tài)的傳遞而非物質(zhì)的自身運動，也可以是物質(zhì)本身的運動結(jié)果，甚至把波直接看也可以是物質(zhì)本身的運動結(jié)果，甚至把波直接看作一種粒子。作一種粒子。各種類型的波有其

21、特殊性，但也有普遍的共性，各種類型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，例如，聲波需要介質(zhì)才能傳播，電磁波卻可在真例如，聲波需要介質(zhì)才能傳播，電磁波卻可在真空中傳播，至于光波有時可以直接把它看作?？罩袀鞑ィ劣诠獠ㄓ袝r可以直接把它看作粒子子光子的運動（光的波粒二相性）。光子的運動（光的波粒二相性）。一、機械波產(chǎn)生的條件一、機械波產(chǎn)生的條件如果波動中使介質(zhì)各部分振動的回復(fù)力是彈性力，如果波動中使介質(zhì)各部分振動的回復(fù)力是彈性力，則稱為則稱為彈性波彈性波。1 1、有作機械振動的物體，即、有作機械振動的物體，即波源波源2 2、有連續(xù)的、有連續(xù)的介質(zhì)介質(zhì)波動是振動狀態(tài)的傳播，是能量的傳波動是振動狀態(tài)的傳播，

22、是能量的傳播播 ，而不是質(zhì)點的傳播。，而不是質(zhì)點的傳播。后面質(zhì)點的振動規(guī)律與前面質(zhì)點的振后面質(zhì)點的振動規(guī)律與前面質(zhì)點的振動規(guī)律相同，只是位相上有一個落后。動規(guī)律相同，只是位相上有一個落后。二、橫波和縱波二、橫波和縱波橫波橫波振動方向與傳播方向垂直，如電磁波振動方向與傳播方向垂直，如電磁波縱波縱波振動方向與傳播方向相同，如聲波。振動方向與傳播方向相同，如聲波。0t4 /Tt2/Tt 43 /Tt Tt 45 /Tt 橫波在介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)中產(chǎn)生橫波在介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)中產(chǎn)生切變切變，只能在，只能在固體固體中傳播。中傳播。縱波在介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)中產(chǎn)生縱波在介質(zhì)中傳播時，介質(zhì)中產(chǎn)生容變?nèi)葑儯茉?/p>

23、，能在固體固體、液體液體、氣體氣體中傳播。中傳播。結(jié)論結(jié)論：機械波向外傳播的是波源（及各質(zhì)機械波向外傳播的是波源（及各質(zhì)點）的振動狀態(tài)和能量。點）的振動狀態(tài)和能量。三、波線和波面三、波線和波面波場波場-波傳播到的空間。波傳播到的空間。波面波面-波場中同一時刻振動位相相同的點的曲面。波場中同一時刻振動位相相同的點的曲面。波前（波陣面）波前（波陣面）-某時刻波源最初的振動狀態(tài)傳到某時刻波源最初的振動狀態(tài)傳到的波面。的波面。波線（波射線）波線（波射線）-代表波的傳播方向的射線。代表波的傳播方向的射線。四、簡諧波四、簡諧波波源以及介質(zhì)中各質(zhì)點的振動都是諧振動。波源以及介質(zhì)中各質(zhì)點的振動都是諧振動。任何

24、復(fù)雜的波都可以看成若干個簡諧波疊加而成任何復(fù)雜的波都可以看成若干個簡諧波疊加而成。 各向同性均勻介質(zhì)中，波線恒與波面垂直，沿各向同性均勻介質(zhì)中，波線恒與波面垂直，沿波線方向各質(zhì)點的振動相位依次落后。波線方向各質(zhì)點的振動相位依次落后。波線波線波面波面波面波面波線波線平面波平面波球面波球面波波面波面波線波線波線波線波波面面1、波長波長同一時刻，兩個相鄰的相位差為同一時刻，兩個相鄰的相位差為2 的振動的振動質(zhì)點間的距離質(zhì)點間的距離。波源完成一次全振動，波傳播的距離。波源完成一次全振動，波傳播的距離等于一個波長。等于一個波長。 3、頻率頻率 單位時間內(nèi)質(zhì)點振動的次數(shù)。單位時間內(nèi)質(zhì)點振動的次數(shù)。T12、

25、波的周期波的周期T 波傳過一個波長的時間，也就是波傳過一個波長的時間，也就是波源完成一次全振動所需的時間。波源完成一次全振動所需的時間。五、波長波長、波的、波的周期周期和和頻率頻率 波速波速2T在波動過程中，某一在波動過程中，某一振動狀態(tài)振動狀態(tài)在單位時間內(nèi)傳播的在單位時間內(nèi)傳播的距離。距離。波速由介質(zhì)的波速由介質(zhì)的彈性性質(zhì)彈性性質(zhì)和和慣性性質(zhì)慣性性質(zhì)決定。決定。4、波速：、波速： 式中：式中：F為弦線和柔繩中的張力，為弦線和柔繩中的張力， 為密度。為密度。 例例：橫波在弦線和柔繩中的傳播速度：橫波在弦線和柔繩中的傳播速度：Fu Tu一、平面簡諧波的波動方程一、平面簡諧波的波動方程平面簡諧波平

26、面簡諧波簡諧波的波面是平面。簡諧波的波面是平面。( (可當(dāng)作一維簡諧波研究）可當(dāng)作一維簡諧波研究）一平面簡諧波在理想介質(zhì)中沿一平面簡諧波在理想介質(zhì)中沿x x軸正向傳播，軸正向傳播，x x軸即為某一波線軸即為某一波線設(shè)原點振動表達式設(shè)原點振動表達式：tcosAy 0 xypuOxy y表示該處質(zhì)點偏離平衡位置的表示該處質(zhì)點偏離平衡位置的位移位移x x為為p p點在點在x x軸的坐標(biāo)軸的坐標(biāo)p點的振動方程：點的振動方程：)uxt(cosAy t 時刻時刻p處質(zhì)點的振動狀態(tài)重復(fù)處質(zhì)點的振動狀態(tài)重復(fù)uxt 時刻時刻O處質(zhì)點的振動狀態(tài)處質(zhì)點的振動狀態(tài)xypuOxO點振動狀態(tài)傳到點振動狀態(tài)傳到p點需用點需

27、用 uxt 沿沿x軸正向傳播軸正向傳播的平面簡諧波的波動方程的平面簡諧波的波動方程ux 沿著波傳播方向，各質(zhì)點的振動依次落后于波源振動沿著波傳播方向，各質(zhì)點的振動依次落后于波源振動為為p點的振動落后與原點振動的時間點的振動落后與原點振動的時間沿沿x軸負向傳播軸負向傳播的的平面簡諧波的波動方程平面簡諧波的波動方程)uxt(cosAy )tcos(Ay00 若波源（原點）振動初位相不為零若波源（原點）振動初位相不為零2cos0 xtAy22cos0 xtAy)(2cos0 xutAy)(cos0 xutkA)(cos0uxtAy則則 2 k波矢波矢，表示在，表示在2 長度內(nèi)所具有的完整波的長度內(nèi)所

28、具有的完整波的數(shù)目。數(shù)目。2TuT22利用二、波動方程的物理意義二、波動方程的物理意義0 )uxt (cosAy1、如果給定、如果給定x，即，即x=x0yOtTTx0處質(zhì)點的振動初相為處質(zhì)點的振動初相為002 x 02 x為為x0處質(zhì)點落后于原點的位相處質(zhì)點落后于原點的位相為為x0處質(zhì)點的振動方程處質(zhì)點的振動方程則則y=y(t)xtcos(A)t(y002 若若x0= 則則 x0處質(zhì)點落后于原點的位相為處質(zhì)點落后于原點的位相為2 是波在空間上的周期性的標(biāo)志是波在空間上的周期性的標(biāo)志2、如果給定、如果給定t，即，即t=t0 則則y=y(x) 221212xxx 00 )uxt (cosAy表示給

29、定時刻波線上各質(zhì)表示給定時刻波線上各質(zhì)點在同一時刻的位移分布點在同一時刻的位移分布，即給定了，即給定了t0 時刻的波形時刻的波形同一波線上任意兩點的振動位相差同一波線上任意兩點的振動位相差XYOux1x2 21212Tt)tt( 同一質(zhì)點在相鄰兩時刻的振動位相差同一質(zhì)點在相鄰兩時刻的振動位相差T是波在時間上的是波在時間上的周期性的標(biāo)志周期性的標(biāo)志3.如如x,t 均變化均變化y=y(x,t)包含了不同時刻的波形包含了不同時刻的波形0 )uxt (cosA)x( yxyuOxtt tx )(cos),(0utuxttAttxxyt時刻的波形方程時刻的波形方程t+ t時刻的波形方程時刻的波形方程0

30、)uxtt (cosA)x( yt時刻時刻,x處的某個振動狀態(tài)經(jīng)過處的某個振動狀態(tài)經(jīng)過 t ，傳播了，傳播了 x的距離的距離0 )uxt (cosA),(),(txyttxxy在時間在時間 t內(nèi)內(nèi)整個波形整個波形沿波的沿波的傳播方向傳播方向平移平移了一段距離了一段距離 x行波行波),(),(txyttxxyxyuOxtt tx 討論各質(zhì)點在給定時刻的振動方向討論各質(zhì)點在給定時刻的振動方向 tuyxuO t時刻時刻 t+ 時刻時刻 t例例1：沿：沿X軸正方向傳播的平面簡諧波、在軸正方向傳播的平面簡諧波、在 t=0 時刻的波時刻的波形如圖，問（形如圖，問（1）原點）原點O的初相及的初相及P點的初相

31、各為多大？點的初相各為多大？（2）已知）已知A及及 ，寫出波動方程，寫出波動方程。uXy0p解題思路：解題思路：YOOAPA20P2)(cos uxtAyp)2 cos(tAyo思考思考:1、求、求O、P兩點之間的位相差。兩點之間的位相差。2、若上圖為、若上圖為t=2s時刻的波形圖，重新討論上面各問題。時刻的波形圖，重新討論上面各問題。YOuXyOp思考思考:1、求、求O、P兩點之間的位相差。兩點之間的位相差。2、若上圖為、若上圖為t=2s時刻的波形圖，重新討論上面各問題。時刻的波形圖，重新討論上面各問題。)(cosouxtAy22s2 ot時時，22)(cosuxtAy2P 22 o例例2：

32、一平面簡諧波某時刻的波形圖如下，則：一平面簡諧波某時刻的波形圖如下，則OP之間之間的距離為多少厘米。的距離為多少厘米。Xy0p2320cm解題思路：解題思路：cmcm 40202YO設(shè)波向右傳播（設(shè)波向右傳播（P點落后于點落后于O點點)3226OP 2cmOP340PAOA62cos0 xtAyO點位相點位相60 tP點位相點位相220 xt例例3：如圖，已知：如圖，已知 P 點的振動方程：點的振動方程： 寫出波動方程。寫出波動方程。)cos(tAyPyXpuOx)(cosuxtAy(2 cos）xtAy或或例例4：如：如圖，已知圖，已知 P 點的振動方程：點的振動方程： 寫出波動方程。寫出波

33、動方程。)cos(tAyPyXpuOx)(cosuxtAy(2 cos）xtAy或或例例5:一平面簡諧波以波速一平面簡諧波以波速u=0.5m/s沿沿x軸負方向軸負方向傳播傳播, t=2s時刻的波形如圖所示時刻的波形如圖所示, 求波動方程。求波動方程。x(m)y(m)o0.512u解：解：設(shè)波動方程為設(shè)波動方程為:)2cos(xtAy由圖可得由圖可得: =2m, A=0.5m =2= 2 u/ = /2)xt2cos(5 . 0)x2t2cos(5 . 0y YOv02322)22cos(5 . 0 xty2)(cos0222 uxtAty222022221)(costyuuxtuAxy 222

34、221tyuxy *三、平面波的波動微分方程三、平面波的波動微分方程沿沿x方向傳播的平面方向傳播的平面波動微分方程波動微分方程0 )uxt (cosAy求求t 的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)求求x的二階導(dǎo)數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)一、波的能量和能量密度一、波的能量和能量密度 波不僅是振動狀態(tài)的傳播，而且也是伴隨著振波不僅是振動狀態(tài)的傳播，而且也是伴隨著振動能量的傳播。動能量的傳播。有一平面簡諧波有一平面簡諧波0 )uxt (cosAy質(zhì)量為質(zhì)量為在在x處取一體積元處取一體積元dVdVdm 質(zhì)點的振動速度質(zhì)點的振動速度 0 )uxt(sinAtyv體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點動能為體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點動能為dmvdEk221 dVux

35、tA)(sin210222 體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點的彈性勢能為體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點的彈性勢能為dV)uxt (sinAdEp210222 體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點的總能量為：體積元內(nèi)媒質(zhì)質(zhì)點的總能量為：pkdEdEdE dV)uxt (sinA0222 1）在波動的傳播過程中，）在波動的傳播過程中，任意時刻的任意時刻的動能動能和和勢能勢能不僅不僅大小相等大小相等而且而且相位相同相位相同，這不同于孤立振動系統(tǒng)。，這不同于孤立振動系統(tǒng)。2）在波傳動過程中，）在波傳動過程中，任意體積元的能量任意體積元的能量dE在做周期性在做周期性變化，波動的過程實際上也是能量傳播的過程變化，波動的過程實際上也是能量傳播的過程。 能量

36、能量 極小極小能量能量極大極大彈性勢能與媒質(zhì)元的彈性勢能與媒質(zhì)元的相對形變量的平方相對形變量的平方成正比，成正比，也就是與波形圖上的也就是與波形圖上的斜率平方斜率平方成正比。成正比。能量密度能量密度 單位體積介質(zhì)中所具有的波的能量。單位體積介質(zhì)中所具有的波的能量。)(sin)(0222uxtAdVdEtw平均能量密度平均能量密度 一個周期內(nèi)能量密度的平均值。一個周期內(nèi)能量密度的平均值。2221 Aw dt)uxt(sinATwdtTw T T11022020 dV)uxt (sinAdE0222 此式適用于各種彈性波此式適用于各種彈性波能流能流:單位時間內(nèi)通過介質(zhì)中某一單位時間內(nèi)通過介質(zhì)中某一

37、 截面的能量。截面的能量。二、波的二、波的能流能流和和能流密度能流密度 wuSp平均能流平均能流：在一個周期內(nèi)能流的平均值。在一個周期內(nèi)能流的平均值。SuwpuuS# 如果如果S是任意的截面，此時上式應(yīng)改為：是任意的截面，此時上式應(yīng)改為：Suwp# 也適用于球面波也適用于球面波 單位：單位：W能流密度（波的強度能流密度（波的強度 I）：通過垂直于波速方向的通過垂直于波速方向的單單位面積位面積的平均能流。的平均能流。uAuwSPI2221uAI2221波強是波強是矢量矢量，其方向與波速方向相同。，其方向與波速方向相同。波強是與振幅的波強是與振幅的平方平方成正比，其單位是成正比，其單位是W/m2。

38、能流能流 電流電流 能量能量 電量電量 能流密度能流密度 電流密度電流密度 例：如圖，某一點波源發(fā)射功率為例：如圖，某一點波源發(fā)射功率為40瓦，求球面波上單位面積通過的平均瓦，求球面波上單位面積通過的平均能流。能流。r=1m解：解：)(40 Wp)/(10r422mWPI（1 1）在）在均勻不吸收能量均勻不吸收能量的介質(zhì)中傳播的平面波在行的介質(zhì)中傳播的平面波在行 進方向上進方向上振幅不變振幅不變。221121SuwSuw PP證明證明：因為：因為 所以在單位時間內(nèi)通過所以在單位時間內(nèi)通過 和和 面的能量應(yīng)該相等面的能量應(yīng)該相等1S2SSSS 2122221212SuA21SuA21 21AA

39、u1S2S所以平面波振幅相等。所以平面波振幅相等。 2224 rS2211rArA;4211rS1r2r設(shè)距波源單位距離的振幅為設(shè)距波源單位距離的振幅為A，則，則距波源距波源 r 處的振幅為處的振幅為rA（2）球面波振幅與它離波源的距離成反比）球面波振幅與它離波源的距離成反比。22221212 21uSA21uSA21PP*三、波的吸收三、波的吸收波在實際介質(zhì)中，由于波動能量總有一部分會被介波在實際介質(zhì)中，由于波動能量總有一部分會被介質(zhì)吸收，波的機械能不斷減少，波強亦逐漸減弱。質(zhì)吸收，波的機械能不斷減少，波強亦逐漸減弱。是介質(zhì)的吸收系數(shù)波強的衰減規(guī)律：波強的衰減規(guī)律：xeII 20 處波的強度

40、和分別是、xxxII 00*四、聲壓、聲強和聲強級四、聲壓、聲強和聲強級聲壓聲壓：介質(zhì)中有聲波傳播時的壓力與無聲波時的：介質(zhì)中有聲波傳播時的壓力與無聲波時的 靜壓力之間的壓差。靜壓力之間的壓差。平面簡諧波，聲壓振幅為平面簡諧波，聲壓振幅為 uApm Hz 200002021221010 mWmW010IIlogIL )Bel(單單位位：貝貝爾爾引起人聽覺的聲波有引起人聽覺的聲波有頻率范圍頻率范圍和和聲強范圍聲強范圍測測定定聲聲強強的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)212010 mWI聲強級聲強級01010IIlogIL )dB(單單位位：分分貝貝人耳對響度的主觀感覺由聲強級和頻率共同決定人耳對響度的主觀感覺由聲強級

41、和頻率共同決定2222121 uAupIm 聲強聲強：聲波的能流密度。：聲波的能流密度。頻率越高越容易獲得較大的聲壓和聲強頻率越高越容易獲得較大的聲壓和聲強一、一、 惠更斯原理惠更斯原理：波陣面上的每一點，都是發(fā)射子：波陣面上的每一點，都是發(fā)射子波的新波源，其后波的新波源，其后 任意時刻，這些子波的包絡(luò)面就是任意時刻，這些子波的包絡(luò)面就是新的波陣面。新的波陣面。S2tu S1用惠更用惠更斯原理斯原理解釋波解釋波的傳播的傳播行為行為惠更斯原理解釋波的衍射：惠更斯原理解釋波的衍射：如你家在大山后如你家在大山后, ,聽廣播和看電聽廣播和看電視哪個更容易視哪個更容易? (? (若廣播臺、電若廣播臺、電

42、視臺都在山前側(cè)視臺都在山前側(cè)) )狹縫（障狹縫（障礙）線度越礙）線度越接近波的波接近波的波長衍射現(xiàn)象長衍射現(xiàn)象越明顯。越明顯。二、波的疊加二、波的疊加 各列波在相遇前和相遇后都保持原來的特性（頻各列波在相遇前和相遇后都保持原來的特性（頻率、波長、振動方向、傳播方向等）不變，與各率、波長、振動方向、傳播方向等）不變，與各波單獨傳播時一樣，而在相遇處各質(zhì)點的振動則波單獨傳播時一樣，而在相遇處各質(zhì)點的振動則是各列波在該處激起的振動的合成。是各列波在該處激起的振動的合成。波傳播的波傳播的獨立性原理獨立性原理或波的或波的疊加原理疊加原理：說明說明： 振動的疊加僅發(fā)生在單一質(zhì)點上振動的疊加僅發(fā)生在單一質(zhì)點

43、上 波的疊加發(fā)生在兩波相遇范圍內(nèi)的許多質(zhì)點上波的疊加發(fā)生在兩波相遇范圍內(nèi)的許多質(zhì)點上能分辨不同的聲音正是這個原因能分辨不同的聲音正是這個原因能分辨不同的聲音正是這個原因；疊加能分辨不同的聲音正是這個原因；疊加原理的重要性在于可以將任一復(fù)雜的波原理的重要性在于可以將任一復(fù)雜的波分解為簡諧波的組合。分解為簡諧波的組合。兩列波若兩列波若頻率相同頻率相同、振動方向相同振動方向相同、在相遇點的、在相遇點的位相相位相相同或位相差恒定同或位相差恒定，則合成波場中會出現(xiàn)某些點的振動始，則合成波場中會出現(xiàn)某些點的振動始終加強，另一點的振動始終減弱（或完全抵消），這種終加強，另一點的振動始終減弱（或完全抵消），這

44、種現(xiàn)象稱為現(xiàn)象稱為波的干涉波的干涉。相干條件相干條件1r2r1S2Sp恒定的相位差恒定的相位差振動方向相同振動方向相同兩波源具有兩波源具有滿足相干條件的波源稱為滿足相干條件的波源稱為相干波源相干波源。三、波的干涉三、波的干涉相同的頻率相同的頻率傳播到傳播到p點引起的振動分別為：點引起的振動分別為： )tcos(Ay101010 )tcos(Ay202020 在在p點的振動為同點的振動為同方向同頻率振動方向同頻率振動的合成。的合成。設(shè)有兩個相干波源設(shè)有兩個相干波源S1和和S2發(fā)出的簡諧波在空間發(fā)出的簡諧波在空間p點相遇。點相遇。 合成振動為：合成振動為：)cos(021tAyyy1r2r1S2S

45、p)rtcos(Ay110112 )rtcos(Ay220222 cos22122212AAAAA其中：其中：)rr()(1210202 由于波的強度正比于振幅的平方，所以合振動的強度為：由于波的強度正比于振幅的平方，所以合振動的強度為： cos22121IIIII )tcos(Ay0 對空間不同的位置，都有恒定的對空間不同的位置，都有恒定的，因而合強，因而合強度在空間形成穩(wěn)定的分布，即有度在空間形成穩(wěn)定的分布，即有干涉現(xiàn)象干涉現(xiàn)象。 )rsin(A)rcos(A)rsin(A)rsin(Atan 220211012202110102222 其中：其中：,.,kkrr3210 22121020

46、 ）（21maxAAAA 2121max2IIIIII ,.,k)k()rr()(3210122121020 |21minAAAA 2121min2IIIIII 相長干涉的條件相長干涉的條件：相消干涉的條件相消干涉的條件： cos22122212AAAAA cos22121IIIII 當(dāng)當(dāng)兩相干波源為同相波源兩相干波源為同相波源時，相干條件寫為時，相干條件寫為,.3 , 2 , 1 , 0,12 kkrr ,.3 , 2 , 1 , 0,2) 12(12 kkrr 相長干涉相長干涉相消干涉相消干涉 稱為波程差稱為波程差波的非相干疊加波的非相干疊加21III SS2S1產(chǎn)生相干波源的一種方法產(chǎn)生

47、相干波源的一種方法例例 位于位于A A、B B兩點的兩個波源，振幅相等，頻率都是兩點的兩個波源，振幅相等，頻率都是100100赫茲，相位差為赫茲，相位差為 ，其，其A A、B B相距相距3030米，波速為米，波速為400400米米/ /秒，秒，求求:A:A、B B連線之間因相干干涉而靜止的各點的位置。連線之間因相干干涉而靜止的各點的位置。解：如圖所示，取解：如圖所示，取A A點為坐標(biāo)原點，點為坐標(biāo)原點，A A、B B聯(lián)線為聯(lián)線為X X軸軸BAXxm30 x30O因為兩波同頻率，同振幅，因為兩波同頻率，同振幅，同方向振動，所以相干為靜同方向振動，所以相干為靜止的點滿足：止的點滿足：)(2)(12

48、1020rr ) 12()30(2kxx,.2, 1, 0 kkx 230mu4 因為因為：,.2, 1, 0215 kkxmx29,27,25,.9 ,7 , 5 , 3 , 11,3,5,7,9,11,13,1529,27,25,23,21,19,17,15xxkx 230BAXxm30 x30O一、駐波方程一、駐波方程)xtcos(Ay 21 )xtcos(Ay 22 txAyyycos2cos221txAycos)(xAxA2cos2)(駐波是兩列駐波是兩列振幅、頻率相同振幅、頻率相同，但，但傳播方向相反傳播方向相反的簡的簡諧波的疊加。諧波的疊加。),(),(xtytuxtty函數(shù)不滿

49、足函數(shù)不滿足它不是行波它不是行波它表示各點都在作它表示各點都在作簡諧振動簡諧振動，各點振動的頻率相，各點振動的頻率相同，是原來波的頻率。但各點同，是原來波的頻率。但各點振幅振幅隨位置的不同隨位置的不同而不同。而不同。駐波的駐波的特點特點：不是振動的傳播，而是媒質(zhì)中各質(zhì)點都：不是振動的傳播，而是媒質(zhì)中各質(zhì)點都作穩(wěn)定的振動。作穩(wěn)定的振動。txAtxAycos)(cos2cos2駐駐 波波 的的 形形 成成tcos)x(Ay 12cos x xAxA2cos2)( 振幅最大，波腹AxA2)( kx 2,kkx2102 02cos x振幅最小，波節(jié)0)(xA )k(x212 ,k)k(x210221

50、1、波腹與波節(jié)、波腹與波節(jié) 駐波振幅分布特點駐波振幅分布特點二、駐波的特點二、駐波的特點相鄰波腹間的距離為：相鄰波腹間的距離為：221 k|kx相鄰波節(jié)間的距離為：相鄰波節(jié)間的距離為：2 x相鄰波腹與波節(jié)間的距離為：相鄰波腹與波節(jié)間的距離為： 4 因此可用測量波腹間的距離，來確定波長。因此可用測量波腹間的距離，來確定波長。,kkx2102 波波腹腹,k)k(x210221 波波節(jié)節(jié)txAy cos2cos2 2、駐波的位相的分布特點、駐波的位相的分布特點 時間部分提供的相位對于所有的時間部分提供的相位對于所有的 x是相同的，而空是相同的，而空間變化帶來的相位是不同的。間變化帶來的相位是不同的。

51、在在波節(jié)兩側(cè)點的振動相位相反波節(jié)兩側(cè)點的振動相位相反。同時達到反向最大或。同時達到反向最大或同時達到反向最小。速度方向相反。同時達到反向最小。速度方向相反。兩個兩個波節(jié)之間的點其振動相位相同波節(jié)之間的點其振動相位相同。同時達到最大或。同時達到最大或同時達到最小。速度方向相同。同時達到最小。速度方向相同。當(dāng)波當(dāng)波從波疏媒質(zhì)垂直入射到從波疏媒質(zhì)垂直入射到波密媒質(zhì)波密媒質(zhì)界面上反射時，界面上反射時，有有半波損失半波損失，形成的駐波在界，形成的駐波在界面處是面處是波節(jié)波節(jié)。三、半波損失三、半波損失入射波在反射時發(fā)生反相位的現(xiàn)象稱為半波損失。入射波在反射時發(fā)生反相位的現(xiàn)象稱為半波損失。折射率較大的媒質(zhì)稱

52、為折射率較大的媒質(zhì)稱為波密媒質(zhì)波密媒質(zhì)；折射率較小的媒質(zhì)稱為折射率較小的媒質(zhì)稱為波疏媒質(zhì)波疏媒質(zhì).有半波損失有半波損失無半波損失無半波損失當(dāng)波當(dāng)波從波密媒質(zhì)垂直入射到波從波密媒質(zhì)垂直入射到波疏媒質(zhì)疏媒質(zhì)界面上反射時，界面上反射時，無半波無半波損失損失，界面處出現(xiàn)，界面處出現(xiàn)波腹波腹。Tunlun,.3 , 2 , 1,2,.3 , 2 , 1,2nnlu,.3 , 2 , 1,2nnl在繩長為在繩長為l 的繩上形成駐波的波長必須滿足下列條件：的繩上形成駐波的波長必須滿足下列條件：*四、簡正模式（或本征振動）四、簡正模式（或本征振動）即弦線上形成的駐波波長、頻率均不連續(xù)。這些頻率即弦線上形成的駐波波長、頻率均不連續(xù)。這些頻率稱為弦振動的稱為弦振動的本征頻率本征頻率，對應(yīng)的振動方式稱為該系