計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第八章

1、1第八章第八章 曲線和曲面曲線和曲面o 提出問題提出問題 由離散點(diǎn)來(lái)近似地決定曲線和曲面，即通由離散點(diǎn)來(lái)近似地決定曲線和曲面，即通過測(cè)量或?qū)嶒?yàn)得到一系列有序點(diǎn)列，根據(jù)這些過測(cè)量或?qū)嶒?yàn)得到一系列有序點(diǎn)列，根據(jù)這些點(diǎn)列需構(gòu)造出一條光滑曲線，以直觀地反映出點(diǎn)列需構(gòu)造出一條光滑曲線，以直觀地反映出實(shí)驗(yàn)特性、變化規(guī)律和趨勢(shì)等。實(shí)驗(yàn)特性、變化規(guī)律和趨勢(shì)等。2第八章第八章 曲線和曲面曲線和曲面o 基本概念基本概念o 三次樣條三次樣條38.1 基本概念基本概念o 曲線曲面數(shù)學(xué)描述的發(fā)展曲線曲面數(shù)學(xué)描述的發(fā)展o 曲線曲面的表示要求曲線曲面的表示要求o 曲線曲面的表示曲線曲面的表示o 插值與逼近插值與逼近o 連續(xù)

2、性條件連續(xù)性條件o 樣條描述樣條描述4曲線曲面數(shù)學(xué)描述的發(fā)展曲線曲面數(shù)學(xué)描述的發(fā)展o 弗格森雙三次曲面片弗格森雙三次曲面片o 孔斯雙三次曲面片孔斯雙三次曲面片o 樣條方法樣條方法o Bezier方法方法o B樣條方法樣條方法o 有理有理Beziero 非均勻有理非均勻有理B樣條方法樣條方法5曲線曲面的表示要求曲線曲面的表示要求o 唯一性唯一性o 幾何不變性幾何不變性o 易于定界易于定界o 統(tǒng)一性統(tǒng)一性o 易于實(shí)現(xiàn)光滑連接易于實(shí)現(xiàn)光滑連接o 幾何直觀幾何直觀6曲線曲面的表示曲線曲面的表示o 參數(shù)法表示參數(shù)法表示o 參數(shù)法表示的優(yōu)點(diǎn)參數(shù)法表示的優(yōu)點(diǎn)n 點(diǎn)動(dòng)成線點(diǎn)動(dòng)成線n 通?？偸悄軌蜻x取那些具有幾

3、何不變性的參通?？偸悄軌蜻x取那些具有幾何不變性的參數(shù)曲線曲面表示形式。數(shù)曲線曲面表示形式。n 用對(duì)參數(shù)求導(dǎo)來(lái)代替斜率，避免無(wú)窮大斜率用對(duì)參數(shù)求導(dǎo)來(lái)代替斜率，避免無(wú)窮大斜率 1 , 0 )(ttpp7曲線曲面的表示曲線曲面的表示n t0,1 ，使其相應(yīng)的幾何分量是有界使其相應(yīng)的幾何分量是有界的。的。n 可對(duì)參數(shù)方程直接進(jìn)行仿射和投影變換。可對(duì)參數(shù)方程直接進(jìn)行仿射和投影變換。n 參數(shù)變化對(duì)各因變量的影響可以明顯地表參數(shù)變化對(duì)各因變量的影響可以明顯地表示出來(lái)。示出來(lái)。8插值與逼近插值與逼近o 采用模線樣板法表示和傳遞自由曲線曲面的形狀采用模線樣板法表示和傳遞自由曲線曲面的形狀稱為樣條。稱為樣條。o

4、樣條曲線是指由多項(xiàng)式曲線段連接而成的曲線，樣條曲線是指由多項(xiàng)式曲線段連接而成的曲線，在每段的邊界處滿足特定的連續(xù)條件。在每段的邊界處滿足特定的連續(xù)條件。o 樣條曲面則可以用兩組正交樣條曲線來(lái)描述。樣條曲面則可以用兩組正交樣條曲線來(lái)描述。9插值與逼近插值與逼近o 曲線曲面的擬合：當(dāng)用一組型值點(diǎn)來(lái)指定曲線曲曲線曲面的擬合：當(dāng)用一組型值點(diǎn)來(lái)指定曲線曲面的形狀時(shí)，形狀完全通過給定的型值點(diǎn)列。面的形狀時(shí)，形狀完全通過給定的型值點(diǎn)列。圖圖8.1 曲線的擬合曲線的擬合10插值與逼近插值與逼近o 曲線曲面的逼近：當(dāng)用一組控制點(diǎn)來(lái)指定曲線曲曲線曲面的逼近：當(dāng)用一組控制點(diǎn)來(lái)指定曲線曲面的形狀時(shí)，求出的形狀不必通過

5、控制點(diǎn)列。面的形狀時(shí)，求出的形狀不必通過控制點(diǎn)列。圖圖8.2 曲線的逼近曲線的逼近11插值與逼近插值與逼近o 求給定型值點(diǎn)之間曲線上的點(diǎn)求給定型值點(diǎn)之間曲線上的點(diǎn)稱為曲線的插值。稱為曲線的插值。o 將連接有一定次序控制點(diǎn)的直將連接有一定次序控制點(diǎn)的直線序列稱為控制多邊形或特征線序列稱為控制多邊形或特征多邊形。多邊形。圖圖8.2 曲線的逼近曲線的逼近12連續(xù)性條件連續(xù)性條件o 假定參數(shù)曲線段假定參數(shù)曲線段pi以參數(shù)形式進(jìn)行描述：以參數(shù)形式進(jìn)行描述：o 參數(shù)連續(xù)性參數(shù)連續(xù)性n 0階參數(shù)連續(xù)性，記作階參數(shù)連續(xù)性，記作C0連續(xù)性，是指曲線連續(xù)性，是指曲線的幾何位置連接，即的幾何位置連接，即t ,t t

6、)(i1i0tppii)()(0)1()1(1iiiitptp13連續(xù)性條件連續(xù)性條件n 1階參數(shù)連續(xù)性，記作階參數(shù)連續(xù)性，記作C1連續(xù)性，指代表兩連續(xù)性，指代表兩個(gè)相鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處有相同的一個(gè)相鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處有相同的一階導(dǎo)數(shù)：階導(dǎo)數(shù)：)()()()(0)1()1(10)1()1(1iiiiiiiitptptptp且14連續(xù)性條件連續(xù)性條件n 2階參數(shù)連續(xù)性，記作階參數(shù)連續(xù)性，記作C2連續(xù)性，指兩個(gè)相連續(xù)性，指兩個(gè)相鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處具有相同的一階鄰曲線段的方程在相交點(diǎn)處具有相同的一階和二階導(dǎo)數(shù)。和二階導(dǎo)數(shù)。 圖圖8.3 曲線段的參數(shù)連續(xù)性曲線段的參數(shù)連續(xù)性15連續(xù)性

7、條件連續(xù)性條件o 幾何連續(xù)性幾何連續(xù)性n 0階幾何連續(xù)性，記作階幾何連續(xù)性，記作G0連續(xù)性，與連續(xù)性，與0階參階參數(shù)連續(xù)性的定義相同，滿足：數(shù)連續(xù)性的定義相同，滿足： )()(0)1()1(1iiiitptp16連續(xù)性條件連續(xù)性條件n 1階幾何連續(xù)性，記作階幾何連續(xù)性，記作G1連續(xù)性，指一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)性，指一階導(dǎo)數(shù)在相鄰段的交點(diǎn)處成比例在相鄰段的交點(diǎn)處成比例n 2階幾何連續(xù)性，記作階幾何連續(xù)性，記作G2連續(xù)性，指相鄰曲線連續(xù)性，指相鄰曲線段在交點(diǎn)處其一階和二階導(dǎo)數(shù)均成比例。段在交點(diǎn)處其一階和二階導(dǎo)數(shù)均成比例。17樣條描述樣條描述on次樣條參數(shù)多項(xiàng)式曲線的矩陣次樣條參數(shù)多項(xiàng)式曲線的矩陣0,1 t)

8、()()(011220112201122ctctctctzbtbtbtbtyatatatatxnnnnnn18樣條描述樣條描述0,1 t 1)()()()(000111GMTCTcbacbacbatttztytxtpSnnnn198.2 三次樣條三次樣條o 給定給定n+1個(gè)點(diǎn)，可得到通過每個(gè)點(diǎn)的分段三次個(gè)點(diǎn)，可得到通過每個(gè)點(diǎn)的分段三次多項(xiàng)式曲線：多項(xiàng)式曲線： 0,1 t )()()(232323zzzzyyyyxxxxdtctbtatzdtctbtatydtctbtatx20自然三次樣條自然三次樣條o 定義：給定定義：給定n+1個(gè)型值點(diǎn)，現(xiàn)通過這些點(diǎn)列構(gòu)個(gè)型值點(diǎn)，現(xiàn)通過這些點(diǎn)列構(gòu)造一條自然三次

9、參數(shù)樣條曲線，要求在所有曲造一條自然三次參數(shù)樣條曲線，要求在所有曲線段的公共連接處均具有位置、一階和二階導(dǎo)線段的公共連接處均具有位置、一階和二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，即自然三次樣條具有數(shù)的連續(xù)性，即自然三次樣條具有C2連續(xù)性。連續(xù)性。o 還需要兩個(gè)附加條件才能解出方程組。還需要兩個(gè)附加條件才能解出方程組。21自然三次樣條自然三次樣條o 特點(diǎn)特點(diǎn)n 只適用于型值點(diǎn)分布比較均勻的場(chǎng)合只適用于型值點(diǎn)分布比較均勻的場(chǎng)合n 不能不能“局部控制局部控制” 22三次三次Hermite樣條樣條o 定義：假定型值點(diǎn)定義：假定型值點(diǎn)Pk和和Pk+1之間的曲線段為之間的曲線段為p(t),t0,1，給定矢量給定矢量Pk、Pk

10、+1、Rk和和Rk+1，則滿足下列條件的三次參數(shù)曲線為三次則滿足下列條件的三次參數(shù)曲線為三次Hermite樣條曲線：樣條曲線：11) 1 (,)0() 1 (,)0(kkkkRpRpPpPp23o 推導(dǎo)推導(dǎo)CTdcbatttdddcccbbbaaattttpzyxzyxzyxzyx 1 1)(232324o Mh是是Hermite矩陣矩陣。Gh是是Hermite幾何矢量幾何矢量。hhkkkkkkkkGMRRPPRRPPdcbaC111110001010012331122012301001111100025三次三次Hermite樣條樣條o 三次三次Hermite樣條曲線的方程為：樣條曲線的方程為

11、：0,1 t )(hhGMTtp0001010012331122123tttMTh26三次三次Hermite樣條樣條o 通常將通常將TMk稱為稱為Hermite基函數(shù)（或稱混合基函數(shù)（或稱混合函數(shù)，調(diào)和函數(shù)）：函數(shù)，調(diào)和函數(shù)）： )(2)(32)(132)(233232231230tttHttttHtttHtttH)()()()()(312110tHRtHRtHPtHPtpkkkk27三次三次Hermite樣條樣條圖圖8.4 Hermite基函數(shù)基函數(shù)28三次三次Hermite樣條樣條o 特點(diǎn)特點(diǎn)n 可以局部調(diào)整，因?yàn)槊總€(gè)曲線段僅依賴于端可以局部調(diào)整，因?yàn)槊總€(gè)曲線段僅依賴于端點(diǎn)約束。點(diǎn)約束。n

12、 基于基于Hermite樣條的變化形式：樣條的變化形式：Cardinal樣條和樣條和Kochanek-Bartels樣條。樣條。n Hermite曲線具有幾何不變性。曲線具有幾何不變性。298.3 Bezier曲線曲面曲線曲面o Bezier曲線的定義曲線的定義 o Bezier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)o Bezier曲線的生成曲線的生成o Bezier曲面曲面30Bezier曲線的定義曲線的定義圖圖8.5 Bezier曲線曲線31Bezier曲線的定義曲線的定義o 定義定義 o Bernstein基函數(shù)具有如下形式：基函數(shù)具有如下形式：o 注意：當(dāng)注意：當(dāng)k=0，t=0時(shí)，時(shí)，tk=1，k!=1

13、。nknkktBENPtp0,0,1 t)()(n,0,1,k 11!)(,knkknknknkttCttknkntBEN32Bezier曲線的定義曲線的定義o 一次一次Bezier曲線（曲線（n=1）10101 , 1, 0)1 ()()(kkkttPPttBENPtp33Bezier曲線的定義曲線的定義o 二次二次Bezier曲線（曲線（n=2） 1, 0)(2)2()1 (2)1 ()()(00120122022102,tPtPPtPPPPtPttPttBENPtpknkk34Bezier曲線的定義曲線的定義o 三次三次Bezier曲線（曲線（n=3） 1, 0)1 (3)1 (3)1

14、()()()()()()(3322120333 , 323 , 213 , 103 , 030,tPtPttPttPtPtBENPtBENPtBENPtBENtBENPtpknkk 1, 000010033036313311)(321023tGMTPPPPttttpbebe35Bezier曲線的定義曲線的定義OtB0,3(t)B3,3(t)B1,3(t)B2,3(t)圖圖8.6 三次三次Bezier曲線的四個(gè)曲線的四個(gè)Bezier基函數(shù)基函數(shù)36Bezier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)o 端點(diǎn)端點(diǎn)0, 11, 000, )0()0()0( )0()0(PBENPBENPBENPBENPpnnnnnnk

15、nkknnnnnnnknkkPBENPBENPBENPBENPp ) 1 () 1 () 1 ( ) 1 () 1 (, 11, 000,37Bezier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)o 一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù))()()1 ()!) 1(!)!1()1 ()!1() 1()!1()!1()1)()1 ()!( !)(1,1, 1)1()1()1(111,tBENtBENnttknknnttknknnttknttkknkntBENnknkknkknkkknknknk38Bezier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)nknkkknnnnnnnknknkktBENPPntBENPPtBENPPtBENPPntBENtBENPnt

16、p11, 111, 111, 1121, 00101,1, 1)()()()(.)()()()()()()()()0()() 1 ()()0()()0(111, 110111, 11nnnknkkknknkkkPPnBENPPnpPPnBENPPnp39Bezier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)o 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)n Bezier曲線在起始點(diǎn)和終止點(diǎn)處的二階導(dǎo)曲線在起始點(diǎn)和終止點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)分別取決于最開始和最后的三個(gè)控制點(diǎn)。數(shù)分別取決于最開始和最后的三個(gè)控制點(diǎn)。)()(1() 1 ()()(1()0(112 0112 nnnnPPPPnnpPPPPnnp40Bezier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)o 對(duì)稱性對(duì)

17、稱性 保持控制多邊形的頂點(diǎn)位置不變，僅僅把保持控制多邊形的頂點(diǎn)位置不變，僅僅把它們的順序顛倒一下，將下標(biāo)為它們的順序顛倒一下，將下標(biāo)為k的控制點(diǎn)的控制點(diǎn)Pk改為下標(biāo)為改為下標(biāo)為n-k的控制點(diǎn)的控制點(diǎn)Pn-k時(shí)，曲線保持不時(shí)，曲線保持不變，只是走向相反而已。變，只是走向相反而已。41Bezier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)o 凸包性凸包性o Bezier曲線各點(diǎn)均落在控制多邊形各頂點(diǎn)構(gòu)成曲線各點(diǎn)均落在控制多邊形各頂點(diǎn)構(gòu)成的凸包之中。的凸包之中。o Bezier曲線的凸包性保證了曲線隨控制點(diǎn)平穩(wěn)曲線的凸包性保證了曲線隨控制點(diǎn)平穩(wěn)前進(jìn)而不會(huì)振蕩。前進(jìn)而不會(huì)振蕩。0)1 ()!( !)(,knknkttknk

18、ntBENnknknknknkttttknkntBEN00,1)1()1 ()!( !)(42Bezier曲線的性質(zhì)曲線的性質(zhì)o 幾何不變性幾何不變性o 差變減少性差變減少性o 控制頂點(diǎn)變化對(duì)曲線形狀的影響控制頂點(diǎn)變化對(duì)曲線形狀的影響43Bezier曲線的生成曲線的生成o 繪制一段繪制一段Bezier曲線曲線knCnknknknCknkn11)!( !nknkknknkknknkktBENztzttBENytytBENxtx0,0,0,)()( 1, 0)()()()(44Bezier曲線的生成曲線的生成o Bezier曲線的拼接：曲線的拼接：如何保證連接處具有如何保證連接處具有G1和和G2連

19、續(xù)性。連續(xù)性。n 在兩段三次在兩段三次Bezier曲線間得到曲線間得到G1連續(xù)性連續(xù)性)(3)0()(3) 1 (012231QQpPPp為實(shí)現(xiàn)為實(shí)現(xiàn)G1連續(xù)，則有：連續(xù)，則有：) 1 ()0(12pp)(2301PPQQ45Bezier曲線的生成曲線的生成n 在兩段三次在兩段三次Bezier曲線間得到曲線間得到G2連續(xù)性連續(xù)性)2()2() 1 ()0(32121012PPPQQQpp 圖圖8.7 兩段三次兩段三次Bezier曲線的連接曲線的連接46Bezier曲面曲面o 定義定義 1 , 0 1 , 0),()()(),(00,vuvBENuBENPvupminjnjmijiBENi,m(

20、u)與與BENj,n(v)是是Bernstein基函數(shù)基函數(shù) 47Bezier曲面曲面48Bezier曲面曲面o 雙三次雙三次Bezier曲面曲面(m=n=3) 1 , 0 1 , 0),()()(),(30303 ,3 ,vuvBENuBENPvupijjiji圖圖8.8 雙三次雙三次Bezier曲面及其控制網(wǎng)格曲面及其控制網(wǎng)格49Bezier曲面曲面TTbebeVPMUMvup),(3 , 32, 31 , 30, 33 , 22, 21 , 20, 23 , 12, 11 , 10, 13 , 02, 01 , 00, 0232300010033036313311,1PPPPPPPPPP

21、PPPPPPPMvvvVuuuUbe50Bezier曲面的性質(zhì)曲面的性質(zhì)o 控制網(wǎng)格的四個(gè)角點(diǎn)正好是控制網(wǎng)格的四個(gè)角點(diǎn)正好是Bezier曲面的四個(gè)曲面的四個(gè)角點(diǎn)。角點(diǎn)。o 控制網(wǎng)格最外一圈頂點(diǎn)定義控制網(wǎng)格最外一圈頂點(diǎn)定義Bezier曲面的四條曲面的四條邊界，這四條邊界均為邊界，這四條邊界均為Bezier曲線。曲線。o 幾何不變性、對(duì)稱性、凸包性等。幾何不變性、對(duì)稱性、凸包性等。51Bezier曲面的拼接曲面的拼接o 0階連續(xù)性只要求階連續(xù)性只要求在邊界上匹配控制點(diǎn)；在邊界上匹配控制點(diǎn)；o 1階連續(xù)性則要求在邊界曲線上的任何一點(diǎn)，階連續(xù)性則要求在邊界曲線上的任何一點(diǎn)，兩個(gè)曲面片跨越邊界的切線矢量

22、應(yīng)該共線，而兩個(gè)曲面片跨越邊界的切線矢量應(yīng)該共線，而且兩切線矢量的長(zhǎng)度之比為常數(shù)。且兩切線矢量的長(zhǎng)度之比為常數(shù)。52Bezier曲面的拼接曲面的拼接圖圖8.9 Bezier曲面片的拼接曲面片的拼接538.4 B樣條曲線曲面樣條曲線曲面o B樣條曲線樣條曲線o B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)o B樣條曲面樣條曲面54B樣條曲線樣條曲線o Bezier曲線的不足曲線的不足n 控制多邊形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)決定了控制多邊形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)決定了Bezier曲線曲線的階數(shù)，且當(dāng)頂點(diǎn)個(gè)數(shù)較大時(shí)，控制多邊形的階數(shù)，且當(dāng)頂點(diǎn)個(gè)數(shù)較大時(shí)，控制多邊形對(duì)曲線的控制將會(huì)減弱；對(duì)曲線的控制將會(huì)減弱；n 不能作局部修改，任何一個(gè)控制點(diǎn)

23、位置的變不能作局部修改，任何一個(gè)控制點(diǎn)位置的變化對(duì)整條曲線都有影響。化對(duì)整條曲線都有影響。55B樣條曲線樣條曲線o 定義定義n de Boor點(diǎn)點(diǎn)n B樣條控制多邊形樣條控制多邊形n B樣條基函數(shù)樣條基函數(shù)nkk,mk(t)BPp(t)056B樣條曲線樣條曲線o 參數(shù)說明參數(shù)說明n m是曲線的階數(shù)，是曲線的階數(shù)，(m-1)為為B樣條曲線的次樣條曲線的次數(shù)，曲線在連接點(diǎn)處具有數(shù)，曲線在連接點(diǎn)處具有(m-2)階連續(xù)。階連續(xù)。 tBtttttBtttttBttttBmkkmkmkmkkmkkmkkk1, 111,1,1k1 ,)( 0 1)(其它若57B樣條曲線樣條曲線n tk是節(jié)點(diǎn)值，是節(jié)點(diǎn)值，T

24、（t0，t1，tnm）構(gòu)成）構(gòu)成了了m1次次B樣條函數(shù)的節(jié)點(diǎn)矢量。樣條函數(shù)的節(jié)點(diǎn)矢量。o 節(jié)點(diǎn)矢量分為三種類型：均勻的，開放均勻的節(jié)點(diǎn)矢量分為三種類型：均勻的，開放均勻的和非均勻的。和非均勻的。58B樣條曲線樣條曲線o 均勻周期性均勻周期性B樣條曲線樣條曲線 當(dāng)節(jié)點(diǎn)沿參數(shù)軸均勻等距分布，即當(dāng)節(jié)點(diǎn)沿參數(shù)軸均勻等距分布，即tk+1tk=常數(shù)時(shí)，所生成的曲線稱為均勻常數(shù)時(shí)，所生成的曲線稱為均勻B樣條曲線。樣條曲線。)2()()(, 2, 1,ttBttBtBmkmkmk)()(, 0,tktBtBmmk59B樣條曲線樣條曲線o 均勻二次（三階）均勻二次（三階）B樣條曲線樣條曲線 取取n=3，m=3，

25、則則n+m=6，不妨設(shè)節(jié)不妨設(shè)節(jié)點(diǎn)矢量為：點(diǎn)矢量為：T=(0,1,2,3,4,5,6)： tBmtmktBmkttBktktBmkmkmkk1, 11,1 ,11)(其它 01 1)(60B樣條曲線樣條曲線32 )3(2121 )3)(1(21)2(2110 21 )(223 , 0ttttttttttB43 )4(2132 )4)(2(21)3)(1(2121 ) 1(21)(223 , 1ttttttttttB61B樣條曲線樣條曲線54 )5(2143 )5)(3(21)4)(2(2132 )2(21)(223 , 2ttttttttttB65 )6(2154 )6)(4(21)5)(3(

26、2143 ) 3(21)(223 , 3ttttttttttB62B樣條曲線樣條曲線圖圖8.10 四段二次四段二次(三階三階)均勻均勻B樣條基函數(shù)樣條基函數(shù)63B樣條曲線樣條曲線o 曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)值：曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)值：o 均勻二次均勻二次B樣條曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：樣條曲線起點(diǎn)和終點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：)(21)(),(21)(3210PPendpPPstartp2301)(,)(PPendpPPstartp64B樣條曲線樣條曲線o 對(duì)于由任意數(shù)目的控制點(diǎn)構(gòu)造的二次均勻周對(duì)于由任意數(shù)目的控制點(diǎn)構(gòu)造的二次均勻周期性期性B樣條曲線來(lái)說，曲線的起始點(diǎn)位于頭樣條曲線來(lái)說，曲線的起始點(diǎn)位于頭兩個(gè)控制點(diǎn)之間，

27、終止點(diǎn)位于最后兩個(gè)控制兩個(gè)控制點(diǎn)之間，終止點(diǎn)位于最后兩個(gè)控制點(diǎn)之間。點(diǎn)之間。o 對(duì)于高次多項(xiàng)式，起點(diǎn)和終點(diǎn)是對(duì)于高次多項(xiàng)式，起點(diǎn)和終點(diǎn)是m1個(gè)控個(gè)控制點(diǎn)的加權(quán)平均值點(diǎn)。若某一控制點(diǎn)出現(xiàn)多制點(diǎn)的加權(quán)平均值點(diǎn)。若某一控制點(diǎn)出現(xiàn)多次，樣條曲線會(huì)更加接近該點(diǎn)。次，樣條曲線會(huì)更加接近該點(diǎn)。65B樣條曲線樣條曲線o 三次周期性三次周期性B樣條曲線樣條曲線 取取m=4，n=3，節(jié)點(diǎn)矢量為：節(jié)點(diǎn)矢量為：T=(0,1,2,3,4,5,6,7)： 43)4(6132 )2()4(61) 1)(3)(4(61)3(6121 ) 1)(4(61) 1)(3(61)2(611061 ) 1(34)(3)( 322223

28、3 , 03 , 04, 0tttttttttttttttttttttBttBttB66B樣條曲線樣條曲線0,1) t 61)() 1333(61)()463(61)() 133(61)(34, 3234, 2234, 1234, 0ttBttttBtttBttttB67B樣條曲線樣條曲線0,1) t 0141030303631331611)(3210233210434241400,BB,nkmkkGMTPPPPtttPPPP(t)B(t)B(t)B(t)BBPtp68B樣條曲線樣條曲線o 三次周期性三次周期性B樣條曲線的邊界條件樣條曲線的邊界條件)(21) 1 ()(21)0()4(61)

29、1 ()4(61)0(1302321210PPpPPpPPPpPPPp圖圖8.11 四個(gè)控制點(diǎn)的三次周期性四個(gè)控制點(diǎn)的三次周期性B樣條曲線樣條曲線69B樣條曲線樣條曲線o 開放均勻開放均勻B樣條曲線樣條曲線 節(jié)點(diǎn)矢量可以這樣定義：節(jié)點(diǎn)矢量可以這樣定義：令令L=n-m，從從0開始，按開始，按titi+1排列。排列。2mn),.,1,1,2,.,0,.,0(TmmkkkkmLimLimmiLmiti021070B樣條曲線樣條曲線o 開放均勻的二次（三階）開放均勻的二次（三階）B樣條曲線樣條曲線 假設(shè)假設(shè)m=3，n=4，節(jié)點(diǎn)矢量為：節(jié)點(diǎn)矢量為：T=(t0 ,t1,tn+m) =(t0 ,t1, t2

30、, t3, t4, t5, t6, t7) =(0,0,0,1,2, 3,3,3)。 21 )2(2110 )34(21)(10 )1 ()(23 , 123 , 0ttttttBtttB71B樣條曲線樣條曲線32 )2()( 32 )3)(53(2121 ) 1(21)(32 )3(2121 )3)(1(21)2(2110 21)(23 , 423 , 3223 , 2tttBttttttBttttttttttB72B樣條曲線樣條曲線圖圖8.12 開放均勻的二次開放均勻的二次B樣條基函數(shù)樣條基函數(shù)73B樣條曲線樣條曲線o 非均勻非均勻B樣條曲線樣條曲線 圖圖8.13 非均勻非均勻B樣條曲線的

31、基函數(shù)樣條曲線的基函數(shù)74B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)o 局部支柱性局部支柱性 B樣條的基函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，其重要樣條的基函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，其重要特征是在參數(shù)變化范圍內(nèi)，每個(gè)基函數(shù)在特征是在參數(shù)變化范圍內(nèi)，每個(gè)基函數(shù)在tk到到tk+m的子區(qū)間內(nèi)函數(shù)值不為零，在其余區(qū)的子區(qū)間內(nèi)函數(shù)值不為零，在其余區(qū)間內(nèi)均為零，通常也將該特征稱為局部支柱間內(nèi)均為零，通常也將該特征稱為局部支柱性。性。 75B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)圖圖8.14 B樣條曲線的局部支柱性樣條曲線的局部支柱性76B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)o B樣條的凸組合性質(zhì)樣條的凸組合性質(zhì) B樣條的凸組合性和樣條的凸組合性和B樣條基函數(shù)

32、的數(shù)樣條基函數(shù)的數(shù)值均大于或等于值均大于或等于0保證了保證了B樣條曲線的凸包樣條曲線的凸包性，即性，即B樣條曲線必處在控制多邊形所形成樣條曲線必處在控制多邊形所形成的凸包之內(nèi)。的凸包之內(nèi)。 t ,t t 1)(1n1 -m0,nkmktB77B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)圖圖8.15 B樣條曲線與樣條曲線與Bezier曲線的凸包性比較曲線的凸包性比較78B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)o 連續(xù)性連續(xù)性n 若一節(jié)點(diǎn)矢量中節(jié)點(diǎn)均不相同，則若一節(jié)點(diǎn)矢量中節(jié)點(diǎn)均不相同，則m階（階（m-1次）次）B樣條曲線在節(jié)點(diǎn)處為樣條曲線在節(jié)點(diǎn)處為m-2階連續(xù)。階連續(xù)。n B樣條曲線基函數(shù)的次數(shù)樣條曲線基函數(shù)的次數(shù)與控

33、制頂點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)。與控制頂點(diǎn)個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)。n 重節(jié)點(diǎn)問題重節(jié)點(diǎn)問題 圖圖8.16 具有重節(jié)點(diǎn)的三次具有重節(jié)點(diǎn)的三次B樣條樣條79B樣條曲線的性質(zhì)樣條曲線的性質(zhì)o 導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)o 幾何不變性幾何不變性o 變差減少性變差減少性nkmkkmkkktBttPPmtp11n1 -m1,11t ,t t)() 1()(80B樣條曲面樣條曲面o 定義定義n 控制頂點(diǎn)、控制網(wǎng)格（特征網(wǎng)格）、控制頂點(diǎn)、控制網(wǎng)格（特征網(wǎng)格）、B樣條基樣條基函數(shù)。函數(shù)。n B樣條曲面具有與樣條曲面具有與B樣條曲線相同的局部支柱樣條曲線相同的局部支柱性、凸包性、連續(xù)性、幾何不變性等性質(zhì)。性、凸包性、連續(xù)性、幾何不變性等性質(zhì)。112222112

34、100,)()(),(nknkmkmkkkvBuBPvup818.5 有理樣條曲線曲面有理樣條曲線曲面o NURBS曲線曲面的定義曲線曲面的定義o 有理基函數(shù)的性質(zhì)有理基函數(shù)的性質(zhì)o NURBS曲線曲面的特點(diǎn)曲線曲面的特點(diǎn)82NURBS曲線曲面的定義曲線曲面的定義o 定義定義nkmkknkmkkktBwtBPwtp0,0,)()()(83NURBS曲線曲面的定義曲線曲面的定義o 例：假定用定義在三個(gè)控制頂點(diǎn)和開放均勻的例：假定用定義在三個(gè)控制頂點(diǎn)和開放均勻的節(jié)點(diǎn)矢量上的二次（三階）節(jié)點(diǎn)矢量上的二次（三階）B樣條函數(shù)來(lái)擬合，樣條函數(shù)來(lái)擬合，于是，于是，T=(0,0,0,1,1,1)，取權(quán)函數(shù)為：

35、取權(quán)函數(shù)為：10 11120rrrwww84NURBS曲線曲面的定義曲線曲面的定義o 則有理則有理B樣條的表達(dá)式為：樣條的表達(dá)式為：)(3 , 2)(3 , 1)(3 , 0)(3 , 22)(3 , 11)(3 , 0011)(ttttttBBrrBBPBPrrBPtp85NURBS曲線曲面的定義曲線曲面的定義o 然后取不同的然后取不同的r值得到各種二次曲線：值得到各種二次曲線：圖圖8.17 由不同有理樣條權(quán)因由不同有理樣條權(quán)因子生成的二次曲線段子生成的二次曲線段圖圖8.18 由有理樣條函數(shù)生成由有理樣條函數(shù)生成的第一象限上的圓弧的第一象限上的圓弧86NURBS曲線曲面的定義曲線曲面的定義o

36、 NURBS曲面可由下面的有理參數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)曲面可由下面的有理參數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)表示：表示：112222112111222211212100,00,)()()()(),(nknkmkmkkknknkmkmkkkkkvBuBwvBuBPwvup87NURBS曲線曲面的性質(zhì)曲線曲面的性質(zhì)o NURBS曲面可由下面的有理參數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)曲面可由下面的有理參數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)表示：表示：njmjjmkkmknkmkktBwtBwtRtRPtp0,0,)()()()()(88NURBS曲線曲面的性質(zhì)曲線曲面的性質(zhì)o 普遍性普遍性o 局部性局部性o 凸包性凸包性o 可微性可微性o 權(quán)因子權(quán)因子89NURBS曲線曲面的

37、特點(diǎn)曲線曲面的特點(diǎn)o 既為自由型曲線曲面也為初等曲線曲面的精確既為自由型曲線曲面也為初等曲線曲面的精確表示與設(shè)計(jì)提供了一個(gè)公共的數(shù)學(xué)形式，因此，表示與設(shè)計(jì)提供了一個(gè)公共的數(shù)學(xué)形式，因此，一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)據(jù)庫(kù)就能夠存儲(chǔ)這兩類形狀信息。一個(gè)統(tǒng)一的數(shù)據(jù)庫(kù)就能夠存儲(chǔ)這兩類形狀信息。o 為了修改曲線曲面的形狀，既可以借助調(diào)整控為了修改曲線曲面的形狀，既可以借助調(diào)整控制頂點(diǎn)，又可以利用權(quán)因子，因而具有較大的制頂點(diǎn)，又可以利用權(quán)因子，因而具有較大的靈活性。靈活性。90NURBS曲線曲面的特點(diǎn)曲線曲面的特點(diǎn)o 計(jì)算穩(wěn)定且速度快。計(jì)算穩(wěn)定且速度快。o NURBS有明確的幾何解釋，使得它對(duì)良好的有明確的幾何解釋，使得

38、它對(duì)良好的幾何知識(shí)尤其是畫法幾何知識(shí)的設(shè)計(jì)人員特別幾何知識(shí)尤其是畫法幾何知識(shí)的設(shè)計(jì)人員特別有用。有用。o NURBS具有強(qiáng)有力的幾何配套計(jì)算工具，包具有強(qiáng)有力的幾何配套計(jì)算工具，包括節(jié)點(diǎn)插入與刪除、節(jié)點(diǎn)細(xì)分、升階、節(jié)點(diǎn)分括節(jié)點(diǎn)插入與刪除、節(jié)點(diǎn)細(xì)分、升階、節(jié)點(diǎn)分割等，能用于設(shè)計(jì)、分析與處理等各個(gè)環(huán)節(jié)。割等，能用于設(shè)計(jì)、分析與處理等各個(gè)環(huán)節(jié)。91NURBS曲線曲面的特點(diǎn)曲線曲面的特點(diǎn)o NURBS具有幾何和透視投影變換不變性。具有幾何和透視投影變換不變性。o NURBS是非有理是非有理B樣條形式以及有理與非有樣條形式以及有理與非有理理Bezier形式的合適的推廣。形式的合適的推廣。o 需要額外的存

39、儲(chǔ)以定義傳統(tǒng)的曲線曲面。需要額外的存儲(chǔ)以定義傳統(tǒng)的曲線曲面。o 權(quán)因子的不合適應(yīng)用可能導(dǎo)致很壞的參數(shù)化，權(quán)因子的不合適應(yīng)用可能導(dǎo)致很壞的參數(shù)化，甚至毀掉隨后的曲面結(jié)構(gòu)。甚至毀掉隨后的曲面結(jié)構(gòu)。92NURBS曲線曲面的特點(diǎn)曲線曲面的特點(diǎn)o 某些技術(shù)用傳統(tǒng)形式比用某些技術(shù)用傳統(tǒng)形式比用NURBS工作得更好。工作得更好。例如，曲面與曲面求交時(shí)，例如，曲面與曲面求交時(shí)，NURBS方法特別方法特別難于處理剛好接觸的情況。難于處理剛好接觸的情況。o 某些基本算法，例如求反曲線曲面上的點(diǎn)的參某些基本算法，例如求反曲線曲面上的點(diǎn)的參數(shù)值，存在數(shù)值不穩(wěn)定問題。數(shù)值，存在數(shù)值不穩(wěn)定問題。938.6 曲線曲面的轉(zhuǎn)換

40、和計(jì)算曲線曲面的轉(zhuǎn)換和計(jì)算o 曲線曲面的轉(zhuǎn)換曲線曲面的轉(zhuǎn)換o 樣條曲線曲面的離散生成樣條曲線曲面的離散生成94曲線曲面的轉(zhuǎn)換曲線曲面的轉(zhuǎn)換11)(GMTtp22)(GMTtp2211)(GMTGMTtp12, 111122GMGMMG以三次周期性以三次周期性B樣條變換到三次樣條變換到三次Bezier樣條為例樣條為例95bebeBBGMTGMTtp)(BbeBBBbebeGMGMMG,114100420024001416101410303036313316100010033036313311,beBM96 三次三次Hermite樣條矩陣：樣條矩陣：0001010012331122hM000100

41、3303631331beM0141030303631331BM三次Bezier樣條矩陣：三次均勻B樣條矩陣：97樣條曲線曲面的離散生成樣條曲線曲面的離散生成o Horner規(guī)則規(guī)則o 向前差分計(jì)算向前差分計(jì)算o 細(xì)分細(xì)分98Horner規(guī)則規(guī)則o Horner規(guī)則是最簡(jiǎn)單和最直觀的規(guī)則。該規(guī)規(guī)則是最簡(jiǎn)單和最直觀的規(guī)則。該規(guī)則通過逐次分解因子來(lái)減少計(jì)算量。下面以三則通過逐次分解因子來(lái)減少計(jì)算量。下面以三次樣條為例進(jìn)行說明。次樣條為例進(jìn)行說明。zzzzyyyyxxxxdtctbtatzdtctbtatydtctbtatx232323)()()(xxxxdtctbtatx)()(99向前差分計(jì)算向前

42、差分計(jì)算o 向前差分計(jì)算是求解多項(xiàng)式函數(shù)值最快的方法。向前差分計(jì)算是求解多項(xiàng)式函數(shù)值最快的方法。它采用了增量算法的思想，利用前次計(jì)算出的它采用了增量算法的思想，利用前次計(jì)算出的函數(shù)值以及當(dāng)前的函數(shù)值增量來(lái)求出當(dāng)前的函函數(shù)值以及當(dāng)前的函數(shù)值增量來(lái)求出當(dāng)前的函數(shù)值，以數(shù)值，以x坐標(biāo)值為例坐標(biāo)值為例o 每步的增量每步的增量 稱為向前差分（稱為向前差分（Forward Difference）。）。kkkxxx1100細(xì)分細(xì)分o 用少量的控制頂點(diǎn)來(lái)設(shè)計(jì)曲線形狀，然后用細(xì)用少量的控制頂點(diǎn)來(lái)設(shè)計(jì)曲線形狀，然后用細(xì)分過程來(lái)得到附加的控制點(diǎn)，可以對(duì)曲線的某分過程來(lái)得到附加的控制點(diǎn)，可以對(duì)曲線的某些小段作精確的調(diào)

43、整。些小段作精確的調(diào)整。圖圖8.19 四個(gè)控制點(diǎn)的四個(gè)控制點(diǎn)的Bezier曲線分成兩段曲線分成兩段1018.7 OpenGL生成曲線曲面生成曲線曲面o Bezier曲線曲面函數(shù)曲線曲面函數(shù)o B樣條曲線曲面函數(shù)樣條曲線曲面函數(shù)102Bezier曲線曲面函數(shù)曲線曲面函數(shù)o Bezier曲線曲面的求值函數(shù)曲線曲面的求值函數(shù) void glMap1fd(GLenum target, TYPE t1, TYPE t2, GLint stride, GLint order, const TYPE *points); void glMap1fd(GLenum target, TYPE t1, TYPE t2, GLint stride, GLint order, const TYPE *points);103Bezier曲線曲面函數(shù)曲線曲面函數(shù)o 激活激活Bezier曲線曲面的求值函數(shù)曲線曲面的求值函數(shù) glEnable(GL_MAP1_VERTEX_3)