定積分ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 定積分定積分 (一)目的與要求目的與要求 了解定積分的概念及性質(zhì)。了解定積分的概念及性質(zhì)。了解定積分作為變上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理。了解定積分作為變上限的函數(shù)及其求導(dǎo)定理。熟習(xí)牛頓熟習(xí)牛頓-萊布尼茨萊布尼茨(Newton-Leibuniz)公式。公式。熟練掌握定積分的換元積分法熟練掌握定積分的換元積分法,分部積分法。分部積分法。abxyo? A曲邊梯形由連續(xù)曲線曲邊梯形由連續(xù)曲線實例實例1 1 求曲邊梯形的面積求曲邊梯形的面積x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所所圍圍成成.)(xfy 一、一、 定積分的概念定積分的概念)0)(),(xfxfyabxyoabxyo用矩形面積近似

2、取代曲邊梯形面積用矩形面積近似取代曲邊梯形面積顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積曲邊梯形面積四個小矩形四個小矩形九個小矩形九個小矩形察看以下演示過程，留意當分割加細時，察看以下演示過程，留意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系播放播放察看以下演示過程，留意當分割加細時，察看以下演示過程，留意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系察看以下演示過程，留意當分割加細時，察看以下演示過程，留意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系察看以下演示過程，

3、留意當分割加細時，察看以下演示過程，留意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系察看以下演示過程，留意當分割加細時，察看以下演示過程，留意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系察看以下演示過程，留意當分割加細時，察看以下演示過程，留意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系察看以下演示過程，留意當分割加細時，察看以下演示過程，留意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系察看以下演示過程，留意當分割加細時，察看以下演示過程，留意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯

4、形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系察看以下演示過程，留意當分割加細時，察看以下演示過程，留意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系察看以下演示過程，留意當分割加細時，察看以下演示過程，留意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系察看以下演示過程，留意當分割加細時，察看以下演示過程，留意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系察看以下演示過程，留意當分割加細時，察看以下演示過程，留意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系察看以下演示過程，留意當分割加

5、細時，察看以下演示過程，留意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系察看以下演示過程，留意當分割加細時，察看以下演示過程，留意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系察看以下演示過程，留意當分割加細時，察看以下演示過程，留意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系察看以下演示過程，留意當分割加細時，察看以下演示過程，留意當分割加細時，矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系曲邊梯形如下圖，曲邊梯形如下圖，,1210bxxxxxabann 個個分分點點，內(nèi)內(nèi)插插入入若若干干在

6、在區(qū)區(qū)間間abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba長度為長度為，個小區(qū)間個小區(qū)間分成分成把區(qū)間把區(qū)間，上任取一點上任取一點在每個小區(qū)間在每個小區(qū)間iiixx ,1 為為高高的的小小矩矩形形面面積積為為為為底底，以以)(,1iiifxx 近似近似分割分割iiixfA )( iniixfA )(1 曲邊梯形面積的近似值為曲邊梯形面積的近似值為iniixfA )(lim10 時，時，趨近于零趨近于零即小區(qū)間的最大長度即小區(qū)間的最大長度當分割無限加細當分割無限加細)0(,max,21 nxxx曲邊梯形面積為曲邊梯形面積為求和求和取極限取極限實例實例2 2 路程問題路程

7、問題Distance Problem)Distance Problem) 設(shè)設(shè)某某質(zhì)質(zhì)點點作作直直線線運運動動，速速度度)(tvv 是是時時間間間間隔隔,21TT上上t的的一一個個連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)，求求物物體體在在這這段段時時間間內(nèi)內(nèi)所所經(jīng)經(jīng)過過的的路路程程. . 把整段時間分割成假設(shè)干小時間段，每把整段時間分割成假設(shè)干小時間段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程的小段上速度看作不變，求出各小段的路程的近似值近似值,再相加，便得到路程的近似值，最后再相加，便得到路程的近似值，最后經(jīng)過對時間的無限細分過程求得路程的準確經(jīng)過對時間的無限細分過程求得路程的準確值值對于勻速運動，我們有公式對于勻速

8、運動，我們有公式路程路程= =速度速度X X時間時間處理變速運動的路程的根本思緒處理變速運動的路程的根本思緒1分割分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某時辰的速度某時辰的速度3求和求和iinitvs )(1 4取極限取極限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的準確值路程的準確值(2) 近似近似iniixfA )(lim10 iniitvs )(lim10 (1)分割分割(3)求和求和(4)取極限取極限(2)近似近似設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(xf在在,ba上上有有界界，記記,max21nxxx ，如如果果不不論論對對,ba在在,

9、ba中中任任意意插插入入若若干干個個分分點點bxxxxxann 1210把把區(qū)區(qū)間間,ba分分成成n個個小小區(qū)區(qū)間間，各各小小區(qū)區(qū)間間的的長長度度依依次次為為1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小區(qū)區(qū)間間上上任任取取一一點點i （iix ），作作和和iinixfS )(1 ， 1、定積分的定義定義定義怎怎樣樣的的分分法法，也也不不論論在在小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 上上點點i 怎怎樣樣的的取取法法，若若 iinixf )(lim10 存存在在， badxxf)(iinixf )(lim10 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達式被積表達式積分變量積分變量積積分分區(qū)區(qū)間間,ba我我們們稱稱這這

10、個個極極限限為為函函數(shù)數(shù))(xf 在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的定定積積分分，記為記為積分上限積分上限積分下限積分下限積分和積分和留意：留意：（1） 積積分分值值僅僅與與被被積積函函數(shù)數(shù)及及積積分分區(qū)區(qū)間間有有關(guān)關(guān)， badxxf)( badttf)( baduuf)(2定義中區(qū)間的分法和定義中區(qū)間的分法和i 的取法是恣意的的取法是恣意的 .而而與與積積分分變變量量的的字字母母無無關(guān)關(guān).曲曲邊邊梯梯形形由由連連續(xù)續(xù)曲曲線線)(xfy )0)( xf、x軸軸與與兩兩條條直直線線ax 、bx 所圍成所圍成. . badxxfAbaxfA)( ,)(即即上上的的定定積積分分，在在區(qū)區(qū)間間等等于于函函數(shù)數(shù)

11、其其面面積積 設(shè)某質(zhì)點作直線運動，速度設(shè)某質(zhì)點作直線運動，速度)(tvv 是時間間是時間間隔隔,21TT上上t的一個延續(xù)函數(shù)，物體在這段時的一個延續(xù)函數(shù)，物體在這段時間內(nèi)所經(jīng)過的路程間內(nèi)所經(jīng)過的路程. . 21)(TTdttvS例例1 1 利用定義計算定積分利用定義計算定積分.102dxx xyo12xy ni1 ninnifAi1)( nni12 解解將將1 , 0n等分，分點為等分，分點為nixi ，(ni, 2 , 1 ) 小小區(qū)區(qū)間間,1iixx 的的長長度度nxi1 ，( (ni,2 , 1 ) ) 取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12

12、iniixx (1) 分割分割2取點取點3求和求和nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 , 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積, 0)( xf baAdxxf)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積的負值的負值2、定積分的幾何意義abxyooyabx積積取取負負號號軸軸下下方方的的面面在在軸軸上上方方的的面面積積取取正正號號；在在數(shù)數(shù)和和之之間間的的各各部部分分面面積積的的代代直直線線的的圖圖形形及及兩兩條條軸軸、函函數(shù)數(shù)它它是是介介于于xxbxaxx

13、fx ,)(1A2A3A321)(AAAdxxfba xyoab( )0;( )( );:aababaabf x dxdxbaf x dxf x dx 規(guī)規(guī)定定.( )( ),()1bbaakf x dxkf x dxk3.3.定積分的定積分的）性性為常數(shù)為常數(shù)質(zhì)質(zhì). ( )( )( )( )2(.)bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx可可推推廣廣到到有有限限個個的的情情形形）., ,( )( )( ): , ,( ),.3bcbaacabaccbf x dxf x dxf x dxca bf x若若把把分分為為兩兩部部分分和和則則注注 若若分分點點 在在區(qū)區(qū)間間之之外外則則在在內(nèi)內(nèi)必必須須否否則則積積分分可可能能大大區(qū)區(qū)間間連連續(xù)續(xù)不不存存在在）. , ( )( ) ,(4)bbaaa bf xg xf x dxg x dx若若在在有有）區(qū)區(qū)間間上上則則 , ,( )( ).a byf xf其其是是在在區(qū)區(qū)間間上上總總可可以以找找到到一一點點使使得得以以曲曲線線為為曲曲邊邊的的曲曲邊邊梯梯形形面面積積等等于于同同一一底底邊邊而而高高為為的的幾幾何何意意矩矩形形面面積積義義()( )( )()5,.( ) , ),(, :baf xa baf x dxfbabba若函