第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動

1、2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動第七章第七章 理想不可壓縮流體的理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動有旋流動和無旋流動第一節(jié)第一節(jié) 流體微團運動的分解流體微團運動的分解 第三節(jié)第三節(jié) 理想流體的旋渦運動理想流體的旋渦運動第四節(jié)第四節(jié) 有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù)2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動在一般情況下，流體微團的運動可分解為三部分：在一般情況下，流體微團的運動可分解為三部分： 以流體微團中某點的速度作整體平移運動以流體微團中某點的速度作整體平移運動 繞通過該點軸的旋轉(zhuǎn)運動繞通過該點軸的旋轉(zhuǎn)運動 微團本身的變形運動

2、微團本身的變形運動線速度線速度旋轉(zhuǎn)角速度旋轉(zhuǎn)角速度線變形速率線變形速率剪切變形速率剪切變形速率第一節(jié)第一節(jié) 流體微團運動的分解流體微團運動的分解2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動（1 1）平移運動）平移運動 矩形矩形ABCDABCD各角點具有相同的速度分量各角點具有相同的速度分量u u、v v。導致矩形。導致矩形ABCDABCD平移平移udt, udt, 上移上移vdt, ABCDvdt, ABCD的形狀不變。的形狀不變。2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動（2 2）線變形運動）

3、線變形運動dxxuuuABdxxuuuDCdyyvvvAD dyyvvvBC l x x方向的速度差方向的速度差l y y方向的速度差方向的速度差l AB AB、DC DC 在在dtdt時間內(nèi)伸長時間內(nèi)伸長dxdtxul AD AD、BC BC 在在dtdt時間內(nèi)縮短時間內(nèi)縮短dydtyv2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動 定義定義: :單位時間內(nèi)單位長度流體線段的伸長或縮短量為流單位時間內(nèi)單位長度流體線段的伸長或縮短量為流體微團的線變形速率。體微團的線變形速率。 沿沿x x軸方向的線變形速率為軸方向的線變形速率為 xxxudxdtdxdtxu yvyy zwzz

4、沿沿y y軸、軸、z z軸方向的線變形速率為軸方向的線變形速率為zwyvxuzzyyxx 對于不可壓縮流體，上式等于零，即不可壓縮流體的連續(xù)性方對于不可壓縮流體，上式等于零，即不可壓縮流體的連續(xù)性方程，表明流體微團在運動中體積不變。程，表明流體微團在運動中體積不變。 三個方向的線變形速率之和所反映的實質(zhì)是流體微團體積在單三個方向的線變形速率之和所反映的實質(zhì)是流體微團體積在單位時間的相對變化，稱為流體微團的體積膨脹速率。位時間的相對變化，稱為流體微團的體積膨脹速率。2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動（3 3）角變形運動）角變形運動 yyDduuuAyyBduuuCdx

5、xvvvABdxxvvvDCdtxvdxdxdtxvdd tandtyudydydtyudd tan2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動yuxvyxxy21zvywzyyz21xwzuxzzx21角變形速率：角變形速率：兩正交微元流體邊的夾角在單位時間內(nèi)的變化量。兩正交微元流體邊的夾角在單位時間內(nèi)的變化量。剪切變形速率：剪切變形速率：yuxvdtdd212/ )(2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動（4 4）旋轉(zhuǎn)運動）旋轉(zhuǎn)運動 且符號相反且符號相反 則流體微團只發(fā)生旋轉(zhuǎn)，不發(fā)生角變形則流體微團只發(fā)生旋轉(zhuǎn)，不發(fā)生角變形dd 大多數(shù)情況下，流體微

6、團在發(fā)生角變形的同時，還大多數(shù)情況下，流體微團在發(fā)生角變形的同時，還要發(fā)生旋轉(zhuǎn)運動。要發(fā)生旋轉(zhuǎn)運動。2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動沿沿z z軸流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度分量：軸流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度分量： yuxvdtddz2121旋轉(zhuǎn)角速度：旋轉(zhuǎn)角速度： 過流體微團上過流體微團上 A A點的任兩條正交微點的任兩條正交微元流體邊在其所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)角速度的元流體邊在其所在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)角速度的平均值，稱作平均值，稱作 A A點流體微團的旋轉(zhuǎn)角速點流體微團的旋轉(zhuǎn)角速度在垂直該平面方向的分量。度在垂直該平面方向的分量。zvywx21xwzuy21Vkjizyx21222zyxdt

7、xvddtyud2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動dzzvdyyvdxxvvvyyyyEydzzvdyyvdxxvvvzzzzEz dydzdzdydxxvvvzyxzxyxxExdzdxdxdzdyyvvvxzyxyzyyEydxdydydxdzzvvvzxzyzxzzEzdzzvdyyvdxxvvvxxxxEx第一項：平移運動第一項：平移運動第二項：線變形運動第二項：線變形運動第三項：角變形運動第三項：角變形運動第四項：旋轉(zhuǎn)運動第四項：旋轉(zhuǎn)運動2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動 根據(jù)流體微團在流動中是否旋轉(zhuǎn)，可將流體的流動分為兩類：根

8、據(jù)流體微團在流動中是否旋轉(zhuǎn)，可將流體的流動分為兩類：有旋流動和無旋流動有旋流動和無旋流動。 當當 021V021V當當 無旋流動無旋流動 有旋流動有旋流動 通常以通常以 是否等于零作為判別流動是否有旋或無旋的是否等于零作為判別流動是否有旋或無旋的判別條件。判別條件。 V 在笛卡兒坐標系中：在笛卡兒坐標系中： kyvxvjxvzvizvyvVxyzxyz2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動即當流場速度同時滿足：即當流場速度同時滿足： zvyvyzxvzvzxyvxvxy時流動無旋時流動無旋 需要指出的是，有旋流動和無旋流動僅由流體微團本身是否發(fā)需要指出的是，有旋流動和無

9、旋流動僅由流體微團本身是否發(fā)生旋轉(zhuǎn)來決定，而與流體微團本身的運動軌跡無關。生旋轉(zhuǎn)來決定，而與流體微團本身的運動軌跡無關。 如圖如圖a a流體微團的運動為旋轉(zhuǎn)的圓周運動，其微團自身不旋流體微團的運動為旋轉(zhuǎn)的圓周運動，其微團自身不旋轉(zhuǎn)，流場為無旋流動；圖轉(zhuǎn)，流場為無旋流動；圖b b流體微團的運動盡管為直線運動，但流體微團的運動盡管為直線運動，但流體微團在運動過程中自身在旋轉(zhuǎn)，所以該流動為有旋流動。流體微團在運動過程中自身在旋轉(zhuǎn)，所以該流動為有旋流動。（a a） （b b） 2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動【例例】某一流動速度場為某一流動速度場為 ， ，其中，其中 是不

10、為是不為零的常數(shù)，流線是平行于零的常數(shù)，流線是平行于 軸的直線。試判別該流動是有旋流動軸的直線。試判別該流動是有旋流動還是無旋流動。還是無旋流動。 【解】：由于：由于021zvyvyzx02121ayvxvxyz所以該流動是有旋運動。所以該流動是有旋運動。ayvx0zyvvaxx021xvzvzxy2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動第三節(jié)第三節(jié) 理想流體的旋渦運動理想流體的旋渦運動 本節(jié)主要講述理想流體有旋運動的理論基礎，重點是速度環(huán)本節(jié)主要講述理想流體有旋運動的理論基礎，重點是速度環(huán)量及其表征環(huán)量和旋渦強度間關系的量及其表征環(huán)量和旋渦強度間關系的斯托克斯定理。斯托

11、克斯定理。 一、渦線、渦管、渦束和旋渦強度一、渦線、渦管、渦束和旋渦強度渦量用來描述流體微團的旋轉(zhuǎn)運動。渦量的定義為：渦量用來描述流體微團的旋轉(zhuǎn)運動。渦量的定義為：V2渦量是點的坐標和時間的函數(shù)。它在直角坐標系中的投影為渦量是點的坐標和時間的函數(shù)。它在直角坐標系中的投影為：zvyvyzxxvzvzxyyvxvxyz也稱為也稱為旋度旋度2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動0渦量是點的坐標和時間的函數(shù)。它在直角坐標系中的投影為渦量是點的坐標和時間的函數(shù)。它在直角坐標系中的投影為：zvyvyzxxvzvzxyyvxvxyz稱為稱為無旋流動無旋流動0稱為稱為有旋流動有旋流動若

12、若2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動1 1、渦線：、渦線：渦線是在給定瞬時和渦量渦線是在給定瞬時和渦量矢量相切的曲線。矢量相切的曲線。渦線渦線 根據(jù)渦通量矢量與渦線相切的條件，根據(jù)渦通量矢量與渦線相切的條件，渦線的微分方程為：渦線的微分方程為：),(),(),(tzyxdztzyxdytzyxdxzyx 在流場的全部或部分存在角速度的場，稱為渦量場在流場的全部或部分存在角速度的場，稱為渦量場。如同在速如同在速度場中引入了流線、流管、流束和流量一樣。在渦量場中同樣也引度場中引入了流線、流管、流束和流量一樣。在渦量場中同樣也引入渦線、渦管、渦束和旋渦強度的概念。入渦線、

13、渦管、渦束和旋渦強度的概念。2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動3 3、旋旋渦強度（渦通量）渦強度（渦通量） 在渦量場中取一微元面積在渦量場中取一微元面積dAdA，其流體微團的渦通量為，其流體微團的渦通量為 ， 為為dAdA的外法線方向，定義的外法線方向，定義 2ndAdAnAddJn2)cos(2 為任意微元面積為任意微元面積dAdA上的旋上的旋渦強度，也渦強度，也稱渦通量。稱渦通量。2 2、渦管、渦束：渦管、渦束：在渦量場中任取一不是渦在渦量場中任取一不是渦線的封閉曲線，在同一時刻過該曲線每一點線的封閉曲線，在同一時刻過該曲線每一點的渦線形成的管狀曲面稱作渦管。的

14、渦線形成的管狀曲面稱作渦管。截面無限截面無限小的渦管稱為微元渦管。渦管中充滿著的作小的渦管稱為微元渦管。渦管中充滿著的作旋轉(zhuǎn)運動的流體稱為渦束。旋轉(zhuǎn)運動的流體稱為渦束。渦管渦管2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動任意面積任意面積A A上的旋上的旋渦強度為：渦強度為：dAdAJnAA2 如果面積如果面積A A是渦束的某一橫截面積，就稱為渦束旋渦強度，它是渦束的某一橫截面積，就稱為渦束旋渦強度，它也是旋轉(zhuǎn)角速度矢量的通量。也是旋轉(zhuǎn)角速度矢量的通量。2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動二、速度環(huán)量、斯托克斯定理二、速度環(huán)量、斯托克斯定理1 1、速度

15、環(huán)量：速度環(huán)量：在流場的某封閉周線上，如圖，流體速度矢量沿周在流場的某封閉周線上，如圖，流體速度矢量沿周線的線積分，定義為速度環(huán)量，用符號線的線積分，定義為速度環(huán)量，用符號 表示，即表示，即: : )(dzvdyvdxvsdvzyx 速度環(huán)量是一代數(shù)量，它的正速度環(huán)量是一代數(shù)量，它的正負與速度的方向和線積分的繞行方負與速度的方向和線積分的繞行方向有關。向有關。對非定常流動，速度環(huán)量對非定常流動，速度環(huán)量是一個瞬時的概念，應根據(jù)同一瞬是一個瞬時的概念，應根據(jù)同一瞬時曲線上各點的速度計算。時曲線上各點的速度計算。2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動2 2、斯托克斯（、斯托

16、克斯（StokesStokes）定理：）定理：在渦量場中，沿任意封閉周線的速在渦量場中，沿任意封閉周線的速度環(huán)量等于通過該周線所包圍曲面面積的旋渦強度，即度環(huán)量等于通過該周線所包圍曲面面積的旋渦強度，即: :JdAAdsdvnAA2 這一定理將旋渦強度與速度環(huán)量聯(lián)系起來，給出了通過速度環(huán)這一定理將旋渦強度與速度環(huán)量聯(lián)系起來，給出了通過速度環(huán)量計算旋渦強度的方法。量計算旋渦強度的方法。 【例例1 1】已知二維流場的速度分布為已知二維流場的速度分布為 ， ，試求繞圓，試求繞圓 的速度環(huán)量。的速度環(huán)量。 yvx3xvy4222Ryx【解】【解】 此題用極坐標求解比較方便，坐標變換為此題用極坐標求解比

17、較方便，坐標變換為: : cosrx sinry 速度變換為速度變換為 sincosyxrvvvsincosxyvvv22sin3cos4rrv2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動【例【例2 2】 一二維元渦量場，在一圓心在坐標原點、半徑一二維元渦量場，在一圓心在坐標原點、半徑 的圓區(qū)域內(nèi)，流體的渦通量的圓區(qū)域內(nèi)，流體的渦通量 。若流體微團在半徑。若流體微團在半徑 處的速度分量處的速度分量 為常數(shù)，它的值是多少？為常數(shù)，它的值是多少？ mr1 . 0smJ/4 . 02rv【解】由斯托克斯定理得【解】由斯托克斯定理得 ：Jrvrdv202smrJv/21 . 024

18、. 02)rdrr(2022sin3cos4 dr)sin3cos4(20222 2202227cos6rdrr2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動第四節(jié)第四節(jié) 有勢流動有勢流動 速度勢和流函數(shù)速度勢和流函數(shù)一、有勢流動一、有勢流動 速度勢速度勢 不可壓縮流體或可壓縮流體作無旋流動時，總有速度勢存在，不可壓縮流體或可壓縮流體作無旋流動時，總有速度勢存在，故無旋流動也稱有勢流動。故無旋流動也稱有勢流動。yvxvxvzvzvyvxyzxyz0上式是上式是 成為某一函數(shù)成為某一函數(shù) 的全微分的全微分的必要且充分的條件，函數(shù)的必要且充分的條件，函數(shù) 稱為速度勢函數(shù)。稱為速度勢

19、函數(shù)。 dzvdyvdxvzyx),(tzyx),(tzyx1.1.有勢流動有勢流動2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動2.2.速度勢速度勢dzvdyvdxvdzzdyydxxdzyxzvyvxvzyx勢函數(shù)勢函數(shù) 的微分方程的微分方程),(tzyx3.3.速度勢的性質(zhì)速度勢的性質(zhì)（1 1）速度沿三個坐標軸的分量等于速度勢對于相應坐標的偏導數(shù)）速度沿三個坐標軸的分量等于速度勢對于相應坐標的偏導數(shù)zvyvxvzyxzvrvrvzr12022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動（2 2）在有勢流動中，沿一曲線的速度環(huán)量等于曲線終點與起點的）在有勢流動中，沿一曲線的速度環(huán)量等于曲線終點與起點的速度勢之差。速度勢之差。（3 3）在有勢流動中，速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程。）在有勢流動中，速度勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程。ABBABABAzyxABddzzdyydxxdzvdyvdxv02222222zyx2022-3-30第七章 理想不可壓縮流體的有旋流動和無旋流動二、流函數(shù)二、流函數(shù)1.1.流函數(shù)存在的條件流函數(shù)存在的條件不可壓縮流體的平面流動不可壓縮流體的平面流動上式是上式是 成為某一函數(shù)成為某一函數(shù) 的全微分的必要的全微分的必要且充分的條件，函數(shù)且充分的條件，函數(shù) 稱為流