第三節(jié)n階行列式的定義

1、一、概念的引入一、概念的引入二、二、n階行列式的定義階行列式的定義三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第三節(jié)第三節(jié) n n階行列式的定義階行列式的定義第一章 行列式一、概念的引入三階行列式三階行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaaaaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 說明說明（1）三階行列式共有）三階行列式共有 項(xiàng)，即項(xiàng)，即 項(xiàng)項(xiàng)6!3（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的乘積乘積機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （3）每

2、項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列 的三個(gè)元素的下標(biāo)排列的三個(gè)元素的下標(biāo)排列例如例如322113aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 , 211312 t322311aaa列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 , 101132 t偶排列偶排列奇排列奇排列正號(hào)正號(hào) ,負(fù)號(hào)負(fù)號(hào) .)1(321321333231232221131211 ppptaaaaaaaaaaaa機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、n階行列式的定義nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21 記記作作的的代代數(shù)數(shù)和和個(gè)個(gè)元元素

3、素的的乘乘積積取取自自不不同同行行不不同同列列的的階階行行列列式式等等于于所所有有個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)組組成成的的由由定義定義).det(ija簡(jiǎn)記作簡(jiǎn)記作的元素的元素稱為行列式稱為行列式數(shù)數(shù))det(ijijaa機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 為這個(gè)排列的逆序數(shù)為這個(gè)排列的逆序數(shù)的一個(gè)排列，的一個(gè)排列，為自然數(shù)為自然數(shù)其中其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD212121212122221112111 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 說明說明1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相

4、同的一次方程組的需要而程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的定義的;2、 階行列式是階行列式是 項(xiàng)的代數(shù)和項(xiàng)的代數(shù)和;n!n3、 階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列列 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積;nn4、 一階行列式一階行列式 不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆;aa 5、 的符號(hào)為的符號(hào)為nnpppaaa2121 .1t 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1 1計(jì)算對(duì)角行列式計(jì)算對(duì)角行列式0004003002001000分析分析展開式中項(xiàng)的一般形式是展開式中項(xiàng)的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa從

5、而這個(gè)項(xiàng)為零，從而這個(gè)項(xiàng)為零，所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0004003002001000 432114321 t.24 即行列式中不為零的項(xiàng)為即行列式中不為零的項(xiàng)為.aaaa41322314例例2 2 計(jì)算上計(jì)算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaa00022211211機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 分析分析展開式中項(xiàng)的一般形式是展開式中項(xiàng)的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不為零的項(xiàng)只有所以不為零的項(xiàng)只有.2211nna

6、aannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 解解小結(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa 小結(jié) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4 證明證明對(duì)角行列式對(duì)角行列式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 n 21 11,212111

7、nnnnntaaa .12121nnn 證明證明第一式是顯然的第一式是顯然的,下面證第二式下面證第二式.若記若記,1, iniia 則依行列式定義則依行列式定義11,21nnnaaa 證畢證畢機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5 5設(shè)設(shè)nnnnnnaaaaaaaaaD2122221112111 nnnnnnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 證明證明.21DD 證證由行列式定義有由行列式定義有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121212121222211121111 nnnn

8、nnnnnnabababaabababaaD221122222111112112 nnnnpppnnppppppppptbaaa 2121212121211機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由于由于,2121npppn 所以所以 .12211212121DaaaDnnnnpppppppppt nnnnpppnnppppppppptbaaaD 21212121212121 nnnnppppppppptaaa212121211 故故機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的要而定義的.2、 階行列式共有階行列式共有 項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 個(gè)元素的乘積個(gè)元素的乘積,正負(fù)號(hào)由下標(biāo)排正負(fù)號(hào)由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定列的逆序數(shù)決定.nn!n三、小結(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3、上三角形行列式與下三角形行列式、上三角形行列式與下三角形行列式已知已知 1211123111211xxxxxf .3的系數(shù)的系數(shù)求求 x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 思考題解答思考題解答解解含含 的項(xiàng)有兩項(xiàng)的項(xiàng)有兩項(xiàng),即即3x 1211123111211