第三章 靜定結構的受力分析

1、靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics1第三章第三章 靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析3-1 靜定單跨梁（梁的內力計算的回顧）靜定單跨梁（梁的內力計算的回顧）3-2 靜定多跨梁靜定多跨梁3-3 靜定平面剛架靜定平面剛架3-4 三鉸拱三鉸拱3-5 靜定平面桁架靜定平面桁架3-6 組合結構組合結構3-7 靜定結構的特性靜定結構的特性3-8 靜定結構總論靜定結構總論重點：重點：疊加法繪制靜定梁和靜定剛架的彎矩圖疊加法繪制靜定梁和靜定剛架的彎矩圖難點：難點：快速繪制靜定梁與靜定剛架的彎矩圖快速繪制靜定梁與靜定剛架的彎矩圖本章主要討論靜定結構的內力計算方法及其內

2、力圖的繪制。本章主要討論靜定結構的內力計算方法及其內力圖的繪制。本本章章主主要要內內容容靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics2u 靜定結構靜定結構 在在任意荷載任意荷載下下，未知力僅用未知力僅用 靜力平衡方程即可靜力平衡方程即可完全完全確定確定未知力數獨立靜力平衡方程數未知力數獨立靜力平衡方程數u 超靜定結構超靜定結構 未知力僅由靜力平衡方程未知力僅由靜力平衡方程 不能完全確定不能完全確定未知力數未知力數獨立靜力平衡方程數獨立靜力平衡方程數u 重要性重要性 是結構位移計算、超靜定結構內力是結構位移計算、超靜定結構內力 計算計算 乃至整個結構力學課程的基礎

3、乃至整個結構力學課程的基礎靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics3要求：要求：p 深入理解深入理解靜定結構內力計算的原理靜定結構內力計算的原理p 熟練掌握熟練掌握靜定結構內力計算的方法靜定結構內力計算的方法p 了解了解靜定結構的特性和各類結構的受力特點靜定結構的特性和各類結構的受力特點 幾何組成分析與本章的關系：幾何組成分析與本章的關系：p 判斷結構是否靜定判斷結構是否靜定 靜定靜定 幾何不變且無多余約束幾何不變且無多余約束p 提示分析途徑，簡化內力計算提示分析途徑，簡化內力計算 內力計算前先作組成分析，事半功倍內力計算前先作組成分析，事半功倍靜定結構的受

4、力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics431 31 梁的內力計算的回顧梁的內力計算的回顧 單跨靜定梁應用很廣，是組成各種結構的基構件之一，其受單跨靜定梁應用很廣，是組成各種結構的基構件之一，其受力分析是各種結構受力分析的基礎。這里做簡略的回顧和必力分析是各種結構受力分析的基礎。這里做簡略的回顧和必要的補充。要的補充。1. 1. 單跨靜定梁的反力單跨靜定梁的反力常見的單跨靜定梁有：常見的單跨靜定梁有：簡支梁簡支梁外伸梁外伸梁懸臂梁懸臂梁反力只有三個，由靜力學平衡方程求出。反力只有三個，由靜力學平衡方程求出。靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mec

5、hanics52. 2. 用截面法求指定截面的內力用截面法求指定截面的內力在梁的橫截面上在梁的橫截面上, ,一般有三個內力分量一般有三個內力分量: :軸力軸力FN、剪力、剪力FS、彎矩彎矩M。計算內力的基本方法是截面法。計算內力的基本方法是截面法( (見圖見圖) )。（1 1）軸力軸力N: : 其數值等于截面一其數值等于截面一側所有外力沿截面法線方向投影側所有外力沿截面法線方向投影的代數和。的代數和。（2 2）剪力剪力Q:Q:其數值等于截面一其數值等于截面一側所有外力沿截面切線方向投影側所有外力沿截面切線方向投影的代數和。（左上右下為正）的代數和。（左上右下為正）（3 3）彎矩彎矩M: : 其

6、數值等于該截面一側所有外力對截面形其數值等于該截面一側所有外力對截面形心力矩的代數和。（左順右逆為正）心力矩的代數和。（左順右逆為正）AKYAXANQMP1KABP1P2其結論是：其結論是：靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics6（1 1）軸力軸力N: : 拉伸為拉伸為“”；壓縮為；壓縮為“”。（2 2）剪力剪力Q: : 繞隔離體順時針轉動為繞隔離體順時針轉動為“”；逆時針轉動為；逆時針轉動為“”（3 3）彎矩彎矩M: : 對橫梁：使其上凹下凸為對橫梁：使其上凹下凸為“”；上凸下凹為；上凸下凹為“”。內力符號內力符號靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析St

7、ructural mechanics7對于直梁，當所受荷載均垂直于梁軸線時，橫截面上只有對于直梁，當所受荷載均垂直于梁軸線時，橫截面上只有剪力和彎矩，沒有軸力。剪力和彎矩，沒有軸力。（1 1）用平行于桿軸線的坐標表示截面的位置（此坐標軸常稱用平行于桿軸線的坐標表示截面的位置（此坐標軸常稱為為基線基線）。（2 2）用垂直于桿軸線的坐標（又稱用垂直于桿軸線的坐標（又稱豎標豎標）表示內力的大小。）表示內力的大小。（3 3）在土木工程中在土木工程中，彎矩圖習慣繪制在桿件受拉的一側，彎矩圖習慣繪制在桿件受拉的一側，彎矩圖上不用注明正負號；剪力圖和軸力圖則將正值的豎標彎矩圖上不用注明正負號；剪力圖和軸力圖

8、則將正值的豎標繪制在基線的上方，同時表明正負號繪制在基線的上方，同時表明正負號。內力圖的要求：內力圖的要求：為直觀反應結構上各截面內力數值，通常用為直觀反應結構上各截面內力數值，通常用內力圖內力圖表示。表示。靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics83. 3. 利用分布荷載集度利用分布荷載集度q(x)、剪力、剪力Q(x)和彎矩和彎矩M(x)之間的關系快速之間的關系快速繪制作內力圖繪制作內力圖 三者的微分關系：三者的微分關系：據此，得直梁內力圖的形狀特征據此，得直梁內力圖的形狀特征利用上述關系可迅速正確地繪制梁的內力圖（簡易法）利用上述關系可迅速正確地繪制梁的

9、內力圖（簡易法）梁上情況q=0Q 圖圖M 圖圖水平線斜直線q=常數qq斜直線拋物線FS=0處有極值P 作用處有突變突變值為P有尖角尖角指向同P如變號有極值M作用處無變化有突變 鉸或自由端 (無M）M=0 ( )dQq xdx dMQdx)(22xqdxMd靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics9簡易法繪制內力圖的一般步驟：簡易法繪制內力圖的一般步驟： （1 1）求支反力）求支反力。 2 2）分段：）分段：（3 3）定點：）定點：（4 4）聯線：）聯線：凡外力不連續(xù)處均應作為分段點，如集中力凡外力不連續(xù)處均應作為分段點，如集中力和集中力偶作用處，均布荷載兩端

10、點等。和集中力偶作用處，均布荷載兩端點等。據各梁段的內力圖形狀，選定控制截面。如據各梁段的內力圖形狀，選定控制截面。如 集中力和集中力和 集中力偶作用點兩側的截面、均布集中力偶作用點兩側的截面、均布荷載起迄點等。用截面法求出這些截面的內荷載起迄點等。用截面法求出這些截面的內力值，按比例繪出相應的內力豎標，便定出力值，按比例繪出相應的內力豎標，便定出了內力圖的各控制點。了內力圖的各控制點。據各梁段的內力圖形狀，分別用直線和曲線將據各梁段的內力圖形狀，分別用直線和曲線將各控制點依次相聯，即得內力圖。各控制點依次相聯，即得內力圖。靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechan

11、ics104. 4. 利用疊加法作彎矩圖利用疊加法作彎矩圖利用疊加法作彎矩圖很方便利用疊加法作彎矩圖很方便, ,以例說明以例說明: : 從梁上任取一段從梁上任取一段AB AB 其其受力如（受力如（a a）圖所示，）圖所示，（b） 因此，梁段因此，梁段ABAB的彎矩圖的彎矩圖可以按簡支梁并應用疊加可以按簡支梁并應用疊加法來繪制。法來繪制。MAMB+8qL2ABLMAMB（a a）MAMBABMAMB8qL2 則它相當（則它相當（b b）圖所）圖所示的簡支梁。示的簡支梁。靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics11例例 3-13-1 作梁的作梁的 Q Q、M 圖

12、。圖。解：解：首先計算支反力首先計算支反力 由MB=0, 有 RA820930754410+16=0 得 RA=58kN（） 再由Y=0, 可得 RB=20+30+5458=12kN（） RA=58kN（）RB=12kN（）作剪力圖（簡易法）作剪力圖（簡易法）作彎矩圖：作彎矩圖： 1.1.分段：分段：2.2.定點定點: :MC=0 MA=20kNmMD=18kNm ME=26kNmMF=18kNm MG左左=6kNmMG右右=4kNm MB左左=16kNmMC=0, MA=201=20kNmMD=202+581=18kNmME=203+582301=26kNmMF=12216+10=18kNm

13、MG左=12116+10=6kNmMG右=12116=4kNm MB左=16kNm3.3.聯線聯線RARB20388 Q Q圖圖(kN)(kN)201826186416 M M圖圖(kN(kNm)m)010845212 分為分為CA、AD、DE、EF、FG、GB六段六段。靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics12幾點說明：幾點說明： 1.1.作作EF段的彎矩圖段的彎矩圖用簡支梁疊加法用簡支梁疊加法2.2.剪力等于零截面剪力等于零截面K K 的位置的位置 3.K3.K截面彎矩的計算截面彎矩的計算MK=ME+FSE x=26+81.6=32.4kNmQK=QE

14、qx=85x=0 RARBKMmax=32.4knN M M圖圖(kN(kNm)m)x=1.6m38812Q圖圖( (kN) )20Kx1.6mMk2615222qx靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics135 5 斜桿的受力分析斜桿的受力分析計算斜桿斜桿截面內力的基本方法仍然是截面法。截面法。斜桿計算中的特點：斜桿截面的軸力和剪力方向都是傾斜的。 為了說明簡支斜桿在豎向荷載作用下的受力特點，特與水平跨度相同，承受的豎向荷載相同的簡支水平梁作比較。 A1P2PCB0AX0BYAXBY0AY1P2PCAB，AY1PAC， ， 0CM0CQ， A1P0CMCQ

15、0CQCCNAYAY斜桿的支反力斜桿的支反力00AAXX0AAYY0BBYYC C截面的內力截面的內力0CCMMcos0CCQQsin0CCQN，靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics146 6 簡支曲梁的受力分析簡支曲梁的受力分析計算簡支簡支截面內力的基本方法仍然是截面法。截面法。為了說明簡支曲梁在豎向荷載作用下的受力特點，特與水平跨度相同，承受的豎向荷載相同的簡支水平梁作比較。 A1P2PCB0AX0BYAXBY0AY，AY1PAC， ， 0CM0CQ， A1P0CMCQ0CQCCNAYAY簡支曲梁的支反力簡支曲梁的支反力00AAXX0AAYY0BBY

16、YC C截面的內力截面的內力0CCMMcos0CCQQsin0CCQN，1P2PCAB靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics1532 32 靜定多跨梁靜定多跨梁 1.1.靜定多跨梁的概念靜定多跨梁的概念 若干根梁用鉸相聯若干根梁用鉸相聯, ,并用若干支座與基礎相聯而組成的結構。并用若干支座與基礎相聯而組成的結構。 2.2.靜定多跨梁的特點靜定多跨梁的特點: :(1)(1)幾何組成上幾何組成上: : 可分為可分為基本部分基本部分和和附屬部分附屬部分。靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics16基本部分基本部分： 不依賴其它

17、部分的存在而能獨立地維持其幾何不變性的部不依賴其它部分的存在而能獨立地維持其幾何不變性的部分。分。附屬部分：附屬部分： 必須依靠基本部分必須依靠基本部分才能維持其幾何不變才能維持其幾何不變性的部分。如性的部分。如BC部分部分。層疊圖：層疊圖： 為了表示梁各部分之間的支撐關系，把基本部分畫在下層，為了表示梁各部分之間的支撐關系，把基本部分畫在下層，而把附屬部分畫在上層，而把附屬部分畫在上層，（a）（b b）如：如：ABAB、CDCD部分。部分。（b b）圖所示，稱為層疊圖。）圖所示，稱為層疊圖。基本部分基本部分 基基本本部部分分 ABCD靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural

18、mechanics17（2 2）受力分析方面）受力分析方面: : 作用在基本部分上的力不傳遞給附屬部分作用在基本部分上的力不傳遞給附屬部分, ,而作用在附屬而作用在附屬部分上的力傳遞給基本部分，如圖所示部分上的力傳遞給基本部分，如圖所示 因此，計算靜定多跨梁時應該是先附屬后基本，這樣因此，計算靜定多跨梁時應該是先附屬后基本，這樣可簡化計算，取每一部分計算時與靜定單跨梁無異?？珊喕嬎悖∶恳徊糠钟嬎銜r與靜定單跨梁無異。（a）（b）BAP1P2VBVCP2P1靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics18例例 3-23-2 計算下圖所示靜定多跨梁計算下圖所示靜定

19、多跨梁 解： 首先分析幾何組首先分析幾何組成成: :AB、CF為基為基本部分，本部分，BC為附為附屬部分。屬部分。畫層疊圖畫層疊圖( (b) ) 按先屬附后基本按先屬附后基本的原則計算各支的原則計算各支反力反力(c)(c)圖。圖。 之后，逐段作出之后，逐段作出梁的彎矩圖和剪力梁的彎矩圖和剪力圖。圖。101012125 5 M M圖圖 (kN(kNm)m)18185 52.52.59.59.5QQ圖圖(kN)(kN)10109 95 512120 00 0（a)5 55 55 54918kNm5 56kN/m7.521.53 30 0(c)ABCDEF4kN10kN6kN/m2m2m2m2m2m

20、2m2m(b)10kNBCABCDEF靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics19kN5 . 7424244例例 3-33-3 作此靜定多跨梁的內力圖作此靜定多跨梁的內力圖解：解： 本題可以在不計算本題可以在不計算支反力的情況下，支反力的情況下，首先繪出彎矩圖。首先繪出彎矩圖。彎矩為直線的梁段， 在此基礎上，剪在此基礎上，剪力圖可據微分關系力圖可據微分關系或平衡條件求得?；蚱胶鈼l件求得。例如：例如：QCE=2kNQB右右=7.5kNkN2444可利用微分關系計算。如CE段梁：FSCE=彎矩圖為曲線的梁段，可利用平衡關系計算兩端的剪力。如BC段梁,由MC=0,

21、 求得：FSB右=RA=11.5kNRC=10.5kNRE=4kNRG=6kNRA=11.5kNRC=10.5kNRE=4kNRG=6kN4 48 85 52 22 24 47 75 54 44 4 M M圖圖 (kN(kNm)m)4 40 00 082 20 00 0 Q圖圖（kN)靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics2033 33 靜定平面剛架靜定平面剛架 1 1 剛架的概念：剛架的概念：平面剛架：平面剛架：由梁和柱通過剛結點連結的整體承載結構。由梁和柱通過剛結點連結的整體承載結構。所有桿件軸線及荷載均作用在同一平面內的剛架所有桿件軸線及荷載均作用在

22、同一平面內的剛架。2 2 剛架的特點：剛架的特點：（1 1） 具有剛結點。具有剛結點。剛架結構不必依靠斜桿支承來維持結構的幾何不變性，因剛架結構不必依靠斜桿支承來維持結構的幾何不變性，因此，剛架結構所需桿件數少，內部空間較大。此，剛架結構所需桿件數少，內部空間較大。（2 2） 剛架中各桿內力分布較均勻。剛架中各桿內力分布較均勻。由于剛架結構中具有剛結點，它能承受和傳遞力和彎矩，由于剛架結構中具有剛結點，它能承受和傳遞力和彎矩，可以削減結構中彎矩的峰值，使桿件內力分布較均勻?？梢韵鳒p結構中彎矩的峰值，使桿件內力分布較均勻。靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanic

23、s213 剛架的基本型式剛架的基本型式（1 1）懸臂剛架）懸臂剛架（2 2）簡支剛架）簡支剛架（3 3）三鉸剛架）三鉸剛架靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics224 4 靜定平面剛架的內力分析靜定平面剛架的內力分析（1 1）內力）內力（2 2）符號）符號彎矩彎矩 剪力剪力 軸力軸力 剪力剪力：桿件：順時針為：桿件：順時針為“”，反之為，反之為“”軸力軸力：桿件：拉伸為：桿件：拉伸為“”，壓縮為，壓縮為“”（3 3）大?。┐笮澗貜澗?)(FMMCtQFnNF剪力剪力 軸力軸力 靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics2

24、3（4 4） 計算剛架內力的一般步驟計算剛架內力的一般步驟: : （1 1）首先計算支反力）首先計算支反力, ,一般支反力只有三個一般支反力只有三個, ,由平衡方程求由平衡方程求得。三鉸剛架支反力有四個，須建立補充方程。得。三鉸剛架支反力有四個，須建立補充方程。 （2 2）按）按“分段、定點、聯線分段、定點、聯線”的方法，逐個桿繪制內力圖。的方法，逐個桿繪制內力圖。注意：注意：（1 1）M圖畫在桿件受拉的一側。圖畫在桿件受拉的一側。（2 2）Q Q、N的正負號規(guī)定同梁。的正負號規(guī)定同梁。 Q Q、N圖可畫在桿的任意一圖可畫在桿的任意一側，但必須注明正負號。側，但必須注明正負號。（3 3）匯交于

25、一點的各桿端截面的內力）匯交于一點的各桿端截面的內力用兩個下標表示，例如：用兩個下標表示，例如：MAB表示表示AB桿桿A端的彎矩。端的彎矩。MAB靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics24例例3-4 3-4 作圖示剛架的內力圖作圖示剛架的內力圖解：解：（1 1）計算支反力）計算支反力由X=0 可得：HA=68=48kNHA=48kN，由MA=0 可得：RB=kN426320486RB=42kN由Y=0 可得： VA=42-20=22kNVA=22kN（2 2）逐桿繪）逐桿繪M圖圖CD桿：桿：MDC=0MCD=mkN482462（左）MCD=48kNm（左左

26、）CB桿：桿：MBE=0MEB=MEC=423 =126kNm（下）MEB=MEC=126kNm（下）（下）MCB=426-203 =192kNm（下）MCB=192kNm（下）（下）AC桿桿MAC=0MCA=144kNm（右）（右）48192126144（3 3）繪）繪Q圖圖CD桿：桿：QDC=0, QCD=24kNCB桿：桿：QBE=-42kN, QEC=-22kNAC桿：桿：QAC=48kN, QCA=24kNV VA AHHA AR RB B靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics25（4 4）繪）繪FN圖（略）圖（略）（5 5）校核）校核: : 內

27、力圖作出后應進行校核。內力圖作出后應進行校核。M圖圖: :通常檢查剛結點處是否滿足力矩的平衡條件。通常檢查剛結點處是否滿足力矩的平衡條件。例如取結點例如取結點C為隔離體（圖為隔離體（圖a），），MC=48192+144=0滿足這一平衡條件。滿足這一平衡條件。Q( (N) )圖：圖： 可取剛架任何一部分為隔離體，可取剛架任何一部分為隔離體，檢查檢查X=0 和和 Y=0 是否滿足。是否滿足。例如取結點例如取結點C C為隔離體（圖為隔離體（圖b b），），X=2424=0Y=2222=0滿足投影平衡條件。滿足投影平衡條件。（a a）C48kN48kNmm192kN192kNmm144kN144kNm

28、m（b b）C24kN 0 22kN024kN 22kN有：有：有：有：靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics26例題例題 3-53-5 作三鉸剛架的內力圖作三鉸剛架的內力圖解：解：（1 1）求反力）求反力由剛架整體平衡，MB=o 可得VA=kN3086410由Y=0 得VB=104VA= 4030=10kNVAVB再取剛架右半部為隔離體，由MC=0 有VB4HB6=0得HB=kN676641064VB由X=0 得HA=6.67kNHAHB（2 2）作彎矩圖，）作彎矩圖，以以DC桿為例桿為例求桿端彎矩求桿端彎矩MDC=HA4=6.674=26.7kNm（外

29、）（外）MCD=0用疊加法作用疊加法作CDCD桿的彎矩圖桿的彎矩圖桿中點的彎矩為：桿中點的彎矩為：3 .132027 .26841026.7kNm（3 3）作）作Q、N圖（略）圖（略）VA=30kN，VB=10kNHA=HB=6.67kN（）26.7206.7靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics27快速繪制剛架彎矩圖快速繪制剛架彎矩圖 彎矩圖的繪制，以后應用很廣，它是本課程最重要的基本功彎矩圖的繪制，以后應用很廣，它是本課程最重要的基本功之一。之一。 靜定剛架常常可少求或不求反力繪制彎矩圖。靜定剛架常常可少求或不求反力繪制彎矩圖。 例如：例如：1. 1.

30、 懸臂部分及簡支梁部分，彎矩圖可先繪出。懸臂部分及簡支梁部分，彎矩圖可先繪出。2. 2. 充分利用彎矩圖的形狀特征充分利用彎矩圖的形狀特征( (直線、零值直線、零值) )。 3. 3. 剛結點處的力矩平衡條件。剛結點處的力矩平衡條件。4. 4. 用疊加法作彎矩圖。用疊加法作彎矩圖。 5. 5. 平行于桿軸的力及外力偶產生的彎矩為常數。平行于桿軸的力及外力偶產生的彎矩為常數。6. 6. 與桿軸重合的力不產生彎矩等。與桿軸重合的力不產生彎矩等。靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics28例例 3-63-6 繪制剛架的彎矩圖。繪制剛架的彎矩圖。解：解：由剛架整體平

31、衡條件由剛架整體平衡條件 X=0得得 HB=5kN此時不需再求豎向反力便可繪此時不需再求豎向反力便可繪出彎矩圖。出彎矩圖。MA=0 , MEC=0MCE=20kNm（外外）MCD=20kNm（外外）MB=0MDB=30kNm（外外）MDC=40kNm（外外）5kNE2020304075450靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics29例例 3-73-7 作剛架的彎矩圖。作剛架的彎矩圖。 PaPaPaPaPaPa 解：此剛架為多剛片結構，可按解：此剛架為多剛片結構，可按“先附屬后基本先附屬后基本”的順的順序計算。序計算。這里，我們不求反力直接作彎矩圖。這里，我

32、們不求反力直接作彎矩圖。 0靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics30ABCD2kN/m4m2m2m2m4kN例例 3-83-8 作剛架的內力圖。作剛架的內力圖。 靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics31例例 3-93-9 作圖示結構的彎矩圖。作圖示結構的彎矩圖。 ABCEFDG4m2m2m3m3m40kN20kN/m靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics32例例 3-103-10 作圖示結構的彎矩圖。作圖示結構的彎矩圖。 AaqaqqB靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Str

33、uctural mechanics3334 34 三三 鉸鉸 拱拱（一）（一） 概概 述述（二）（二） 三鉸拱的計算三鉸拱的計算（三）（三） 三鉸拱的合理拱軸線三鉸拱的合理拱軸線本節(jié)主要討論三鉸拱（靜定拱）的內力計算方法本節(jié)主要討論三鉸拱（靜定拱）的內力計算方法及其合理拱軸線的確定。及其合理拱軸線的確定。本本節(jié)節(jié)主主要要內內容容重點：重點：三鉸拱的內力計算及合理共軸的定義三鉸拱的內力計算及合理共軸的定義難點：難點：三鉸拱的內力計算三鉸拱的內力計算靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics34趙州橋，原名安濟橋，建于隋煬帝大業(yè)年間（趙州橋，原名安濟橋，建于隋煬帝

34、大業(yè)年間（595595605605年），年），由著名匠師李春建造，橋長由著名匠師李春建造，橋長64.40m，跨度，跨度37.02m, , 是世界上最是世界上最古老的石拱橋，有古老的石拱橋，有“世界橋梁鼻祖世界橋梁鼻祖”的美譽。其特點：采用的美譽。其特點：采用“敞肩式敞肩式”結構，即在拱的兩肩上再辟小拱，是石拱橋結構中結構，即在拱的兩肩上再辟小拱，是石拱橋結構中最先進的一種。最先進的一種。靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics35 趙州橋位于河北省趙縣境內，因趙縣古稱趙州而得名（又趙州橋位于河北省趙縣境內，因趙縣古稱趙州而得名（又稱安濟橋），趙州橋建于隋開皇

35、年間（公元稱安濟橋），趙州橋建于隋開皇年間（公元595605年）。據年）。據唐中書令張嘉貞唐中書令張嘉貞安濟橋銘安濟橋銘記載：記載：“趙郡洨河石橋，隋匠李趙郡洨河石橋，隋匠李春之跡也春之跡也”。距今已有近。距今已有近1400年歷史，它不僅是我國而且也是年歷史，它不僅是我國而且也是世界上現存最早，保存最完整的巨大石拱橋，對世界后代的橋世界上現存最早，保存最完整的巨大石拱橋，對世界后代的橋梁建筑有著十分深遠的影響，特別是拱上加拱的梁建筑有著十分深遠的影響，特別是拱上加拱的“敞肩拱敞肩拱”的的運用，更為世界橋梁史上的首創(chuàng)。在歐洲，最早的敞肩拱橋為運用，更為世界橋梁史上的首創(chuàng)。在歐洲，最早的敞肩拱橋為

36、法國在亞哥河上修造的安頓尼鐵路石拱橋和在盧森堡修造的大法國在亞哥河上修造的安頓尼鐵路石拱橋和在盧森堡修造的大石橋，但它比中國的趙州橋已晚了近石橋，但它比中國的趙州橋已晚了近1100多年。多年。 趙州橋全長趙州橋全長64.4米，拱頂寬米，拱頂寬9米，拱腳寬米，拱腳寬9.6米，跨徑米，跨徑37.02米，拱矢米，拱矢7.23米。從整體看，它是一座單孔弧形石橋，由米。從整體看，它是一座單孔弧形石橋，由28道道石拱券縱向并列砌筑而成，其建筑結構之奇特，自古有石拱券縱向并列砌筑而成，其建筑結構之奇特，自古有“奇巧奇巧固護，甲于天下固護，甲于天下”的美稱，不僅有高度的科學性，而且具有我的美稱，不僅有高度的科

37、學性，而且具有我國獨特的民族藝術風格，是我國古代建筑的偉大作品。國獨特的民族藝術風格，是我國古代建筑的偉大作品。1991年，年，趙州橋被美國土木工程師學會選定為世界第十二處趙州橋被美國土木工程師學會選定為世界第十二處“國際土木國際土木工程歷史古跡工程歷史古跡”，是目前國內唯一一處。，是目前國內唯一一處。 靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics36（一）（一） 概概 述述1. 拱的概念： 2. 拱的特點： 桿軸線為曲線并且在豎向荷載作用下產生水平桿軸線為曲線并且在豎向荷載作用下產生水平反力的結構。反力的結構。（1）在豎向荷載作用下在豎向荷載作用下, ,支座產

38、生水平反力（推力）支座產生水平反力（推力）。（2）拱軸線一般為曲線，拱截面上彎矩比同跨度（同荷載）梁拱軸線一般為曲線，拱截面上彎矩比同跨度（同荷載）梁的彎矩小，拱截面上主要承受壓力，應力分布均勻。的彎矩小，拱截面上主要承受壓力，應力分布均勻。（3）由于拱的桿件是曲的，故施工麻煩由于拱的桿件是曲的，故施工麻煩。 （4）由于支座處有水平推力的存在，故對拱趾處地基要求高由于支座處有水平推力的存在，故對拱趾處地基要求高，基礎大，基礎大。CAlB靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics37CAlB拱軸線拱軸線拱趾拱趾拱趾拱趾跨度跨度起拱線起拱線拱頂拱頂拱高拱高 f 拱

39、高與跨度之比。它是拱結構設計中的重要參數之拱高與跨度之比。它是拱結構設計中的重要參數之一，工程中高跨比在【一，工程中高跨比在【10.1】范圍內變化。】范圍內變化。高跨比高跨比(f/L)：3. 拱的各部分名稱靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics38CAlBABlABl三鉸拱三鉸拱無鉸拱無鉸拱二鉸拱二鉸拱4. 拱結構的類型靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics（二）（二）三鉸拱的計算三鉸拱的計算1. 支反力的計算支反力的計算支反力計算同三鉸剛架支反力計算同三鉸剛架。 由由 MB=0 及 MA=0得得VA=LbPiiVB=

40、LaPii由由 X=0 可得可得 HA=HB=H取左半拱為隔離體取左半拱為隔離體 由由MC=0 有有 VAL1P1(L1a1) Hf=0可得可得H=f)aL(PLV1111A（a）（b）（c）V VA AV VB BHHA AH HB BA AB BC Cf fLL1L2a a1 1P P1 1a a2 2P P2 2b b1 1b b2 20AVF0BVFA AB BP P1 1P P2 2C C靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics以上三式可寫成：以上三式可寫成：000AABBCVVVVMHf（41）式中式中000,CBAMVV 為相應簡為相應簡支梁的

41、有關量值。支梁的有關量值。V VA AV VB BHHA AH HB BA AB BC Cf fLL1L2a a1 1P P1 1a a2 2P P2 2b b1 1b b2 20AV0BVA AB BP P1 1P P2 2C C由式（由式（4-14-1）可以看出：）可以看出：三鉸拱的反力只與荷載及三個鉸的位置有關，而與各鉸三鉸拱的反力只與荷載及三個鉸的位置有關，而與各鉸間的拱軸線形狀無關。間的拱軸線形狀無關。靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics412. 2. 內力的計算內力的計算用截面法求任一截面用截面法求任一截面K(x,y)的內力。的內力。y取取A

42、K段為隔離體段為隔離體, ,截面截面K的彎矩為的彎矩為M=VAxP1(xa1) Hy即即 M=0MHyHy （內側受拉為正）（內側受拉為正）截面截面K上的剪力為上的剪力為Q=VAcos P1 cos Hsin =(VAP1) cos Hsin = Q0cos Hsin 截面截面K上的軸力上的軸力( (拉為正）為拉為正）為N=-QN=-Q0 0sin sin - Hcos- Hcos KQ0為相應簡支梁的剪力為相應簡支梁的剪力HHH HA AB BC Ca a1 1P P2 2P P1 1xyx AKVAH V VA AN QMV VB BK 靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structur

43、al mechanics42綜上所述綜上所述, ,三鉸拱內力計算公式為三鉸拱內力計算公式為M=0MFHyQ=Q0cos - Hsin FN=-Q0sin - Hcos (42)應用上述公式時，應注意以下問題：應用上述公式時，應注意以下問題：（1 1）本公式僅適用與豎向荷載作用下的水平三鉸拱。）本公式僅適用與豎向荷載作用下的水平三鉸拱。（2 2）公式中關于）公式中關于 符號：取左半拱，符號：取左半拱， 取取“+”號，取右半拱號，取右半拱， 取取“-”號。號。3. 3. 內力圖的繪制內力圖的繪制沿跨長或沿拱軸選取若干截面，計算出這些截面的內力值，沿跨長或沿拱軸選取若干截面，計算出這些截面的內力值，

44、以拱軸線的水平投影為基線，在垂直于基線的方向上按統一以拱軸線的水平投影為基線，在垂直于基線的方向上按統一比例作出相應截面的內力值，連接各截面的內力峰值線，即比例作出相應截面的內力值，連接各截面的內力峰值線，即得相應的內力圖。得相應的內力圖。由式（由式（4-24-2）可知，三）可知，三鉸拱的內力值不但與鉸拱的內力值不但與荷載及三個鉸的位置荷載及三個鉸的位置有關，而且與各鉸間有關，而且與各鉸間拱軸線的形狀有關。拱軸線的形狀有關。靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics43)xL(xLf4y2解：解：1. 1. 先求支座反力先求支座反力由式（由式（4 41 1）得

45、）得kN575123509614VV0AAV VA AV VB B例例 3-113-11 作三鉸拱的內力圖。拱軸為拋物線，其方程為作三鉸拱的內力圖。拱軸為拋物線，其方程為VA=75.5kNkN558129503614VV0BBVB=58.5kNkN2550436146575fMH0CH=50.25kN75.5kN75.5kN58.5kN58.5kN2. 2. 按式按式（42）計算各計算各截面的內力。為此，將拱軸沿水平方向八等分（見圖），計算各分截面的內力。為此，將拱軸沿水平方向八等分（見圖），計算各分段點的段點的M、Q、FN值。值。以以1截面為例：截面為例：將將 L=12m、f=4m 代入拱軸

46、方程得代入拱軸方程得1HHV VA A0 0V VB B0 0靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics44V VA AV VB B58.5kN58.5kN75.5kN75.5kN50.25kN50.25kN50.25kN50.25kNxyo1234)x12(9x)x12(x1244y2)x6(92dxdytg代入代入 x1=1.5m 得得y1=1.75m tg1=1據此可得據此可得 1=450sin 1=0.707 cos 1=0.707于是由式（于是由式（42）得）得mkN697512550)251511451575(HyMM101101111cossin

47、(75 5 14 1 5) 0 707 50 25 0 707 3 0Q QHkN N1=-Q10sin 1-Hcon1=-(7551415)=-740 kNHHH靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics450.09.612.79.60.00.10.124.70.0M 圖圖kN.mN圖圖 kN90.674.060.451.750.476.846.574.377.050.35.13.00.04.08.57.420.85.15.820.8Q圖圖 kN靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics46（三

48、）（三） 三鉸拱的合理拱軸線三鉸拱的合理拱軸線1.1.合理拱軸線合理拱軸線：在三鉸拱及荷載確定的情況下，若拱上所有在三鉸拱及荷載確定的情況下，若拱上所有截面的彎矩都等于零，使拱軸受軸力作用時，這時的拱軸線為截面的彎矩都等于零，使拱軸受軸力作用時，這時的拱軸線為合理拱軸線。合理拱軸線。2.2.合理拱軸線的確定：合理拱軸線的確定： 由式由式（42）的第一式的第一式 得得M=M0Hy=0由此得由此得 0MyH（44） 上式表明，在豎向荷載作用下，三鉸拱合理拱軸線的縱坐標上式表明，在豎向荷載作用下，三鉸拱合理拱軸線的縱坐標y y與相應簡支梁彎矩圖的豎標成正比。當荷載已知時，只需求出相與相應簡支梁彎矩圖

49、的豎標成正比。當荷載已知時，只需求出相應簡支梁的彎矩方程式，除以常數應簡支梁的彎矩方程式，除以常數H便得到合理拱軸線方程。便得到合理拱軸線方程。靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics47 例例 3-123-12 求圖示對稱三鉸拱在均布荷載求圖示對稱三鉸拱在均布荷載q q作用下的合理拱軸線作用下的合理拱軸線。解：解：xyx 相應簡支梁的彎矩相應簡支梁的彎矩方程為方程為: :M0 =)xL(qx212qxx2qL2由式（由式（4 41 1）得）得028CMqLHff于是由式（于是由式（4 44 4）有）有024()Mfyx LxHL合理拱軸線為拋物線合理拱軸線

50、為拋物線靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics48NN+dN 例例 3-133-13 求圖示對稱三鉸拱在垂直于拱軸線的均布荷載求圖示對稱三鉸拱在垂直于拱軸線的均布荷載q q作用下作用下的合理拱軸線的合理拱軸線。解：解：本題為非豎向荷載，假定拱處于無彎矩狀態(tài)，根據平衡條件本題為非豎向荷載，假定拱處于無彎矩狀態(tài)，根據平衡條件推求合理拱軸線的方程，為此，從拱中截取一微段為隔離體推求合理拱軸線的方程，為此，從拱中截取一微段為隔離體。由MO=0 有有N-(N+dN)=0式中式中為微段的曲率半徑為微段的曲率半徑靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural

51、mechanics49由上式得由上式得0dN 由此可知由此可知N= =常數常數NN +dN沿沿s-s軸寫出投影方程有軸寫出投影方程有2sin02dNq d 因因 角極小，故可取角極小，故可取d22sindd于是，上式為于是，上式為0Nq因因N為常數，荷載為常數，荷載q為常數，故為常數，故Nq= =常數常數表明合理拱軸線是圓弧線表明合理拱軸線是圓弧線靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics50例例3-143-14 設三鉸拱上承受填土荷載，填土表面為一水平面，試求拱的合設三鉸拱上承受填土荷載，填土表面為一水平面，試求拱的合理軸線，設填土的容重為理軸線，設填土的容

52、重為 ，拱所受的分布荷載為，拱所受的分布荷載為 , ,其中其中q qC C 為拱頂處的載荷集度。為拱頂處的載荷集度。yqqCqcyqqcqc+.ffxyyy*0MMH yMHfy解解 由拱截面彎矩計算式由拱截面彎矩計算式MMHyMyfH 由于荷載集度由于荷載集度q隨拱軸線縱坐標隨拱軸線縱坐標y而變，因此相應簡支梁的而變，因此相應簡支梁的 無法事先無法事先寫出，為此改用寫出，為此改用q(x)和和y(x)表示：表示：M22221d yd MdxHdx 對簡支梁來說，對簡支梁來說， d Mdxq x22 而而 q xqyc,221cd yqydxH根據圖示的坐標系，上式成為根據圖示的坐標系，上式成為

53、靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics51即即cqyyHH cqy xA chxB shxHHxyAqxyBc 00000,yqchHxc1這一方程所代表的曲這一方程所代表的曲線稱為列格氏懸鏈線線稱為列格氏懸鏈線這是一個二階常系數線性非齊次微分方程，其一般解這是一個二階常系數線性非齊次微分方程，其一般解可用雙曲線函數表示可用雙曲線函數表示常數常數A、B可由邊界條件確定可由邊界條件確定于是，可得其合理拱軸線的方程為于是，可得其合理拱軸線的方程為靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics52注意以下問題注意以下問題1 1 三鉸

54、拱的合理拱軸線只有對已知的固定荷載才能確定，對三鉸拱的合理拱軸線只有對已知的固定荷載才能確定，對于動荷載不能得到真正的合理拱軸線，只能是拱軸相對的合理于動荷載不能得到真正的合理拱軸線，只能是拱軸相對的合理些，這種情況在工程中經常遇到。些，這種情況在工程中經常遇到。2 2 在固定荷載作用下的水平三鉸拱的合理拱軸線有以下三在固定荷載作用下的水平三鉸拱的合理拱軸線有以下三種（種（1 1）拋物線拋物線 （2 2）列格氏懸鏈線列格氏懸鏈線 （3 3）圓弧線圓弧線靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics53思考題思考題1 1 在相同跨度和豎向荷載作用下，拱趾等高的三鉸拱

55、，其水在相同跨度和豎向荷載作用下，拱趾等高的三鉸拱，其水平推力隨矢高的減小而減小。（平推力隨矢高的減小而減小。（ ）2 2 三鉸拱在豎向荷載作用下，其支座反力與三個鉸的位置三鉸拱在豎向荷載作用下，其支座反力與三個鉸的位置無關。與拱軸線的形狀有關。（無關。與拱軸線的形狀有關。（ ）3 3 圖示三鉸拱的支座反力相同。（圖示三鉸拱的支座反力相同。（ ）aaaaqaaaa2qa靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics544 4 圖示拱中圖示拱中ABAB桿的軸力桿的軸力NAB為為 5 5 圖示三鉸拱圖示三鉸拱K右截面的彎矩右截面的彎矩MK= , = , 受拉。受拉。6

56、m4m10kN/m2m2m20kNAB10m5m5m80kN20kNmKACB5m2m4KN190KNm外側外側靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics554m4m4m16kNAB3m1m4m16kN4m6 6 圖示結構中圖示結構中A、B兩截面的彎矩值分別為兩截面的彎矩值分別為 ， 側受側受拉拉 ； ， 側受拉。側受拉。 70kNm6kNm內內內內7 7 圖示拱結構的水平反力圖示拱結構的水平反力H為為 。 0.5PPPPRRRHH靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics563-5 靜定平面桁架靜定平面桁架重點：重點：結點法

57、和截面法計算桁架結點法和截面法計算桁架難點：難點：截面法和結點法的聯合運用截面法和結點法的聯合運用1 1 平面桁架的計算簡圖平面桁架的計算簡圖2 2 結點法結點法3 3 截面法截面法4 4 截面法和結點法的聯合運用截面法和結點法的聯合運用5 5 各式桁架比較各式桁架比較本本節(jié)節(jié)主主要要內內容容靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics571 1 平面桁架的計算簡圖平面桁架的計算簡圖1. 1. 桁架：桁架：2. 2. 理想桁架理想桁架（1 1）各結點都是無摩擦的理想鉸。）各結點都是無摩擦的理想鉸。（2 2）各桿軸都是直線，并在同一平面內且）各桿軸都是直線，并在同

58、一平面內且通過鉸的中心；通過鉸的中心；（3 3）荷載及反力只作用在結點上并在桁）荷載及反力只作用在結點上并在桁架平面內。架平面內。符合上述假設的桁架結構，稱為符合上述假設的桁架結構，稱為“理想桁架理想桁架”由若干直桿在桿端通過鉸結點聯接而成的結構。由若干直桿在桿端通過鉸結點聯接而成的結構。計算桁架內力時，為了簡化計算對實際桁架計算桁架內力時，為了簡化計算對實際桁架作如下假設：作如下假設：（4 4）不計桿件自重，若考慮自重，均分于桿件兩端的結點上。）不計桿件自重，若考慮自重，均分于桿件兩端的結點上。靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics58鉸鉸靜定結構的受力

59、分析靜定結構的受力分析Structural mechanics59理想桁架理想桁架主內力：主內力：本節(jié)只討論主內力的計算本節(jié)只討論主內力的計算各桿件均為各桿件均為“二力桿二力桿”主內力與次內力主內力與次內力理想桁架結構中各桿件的內力。理想桁架結構中各桿件的內力。次內力：次內力：實際桁架結構中各桿件的內力。實際桁架結構中各桿件的內力。靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics603. 3. 桁架的各部分名稱桁架的各部分名稱跨度 L節(jié)間長度d桁高H下弦桿上弦桿腹桿斜桿豎桿高跨比：桁架高度高跨比：桁架高度H H與其跨度之比。設計桁架結構的一個重與其跨度之比。設計桁架

60、結構的一個重要參數。要參數。靜定結構的受力分析靜定結構的受力分析Structural mechanics614. 4. 桁架的分類桁架的分類（1 1）按外形分為）按外形分為：a.a. 平行弦桁架平行弦桁架b.b. 折弦桁架折弦桁架c.c. 三角形桁架三角形桁架（3 3）按照豎向荷載是否引起水平反力（推力）分為：）按照豎向荷載是否引起水平反力（推力）分為：a.a. 梁式桁架（無推力桁架）梁式桁架（無推力桁架）b.b. 拱式桁架（有推力桁架）拱式桁架（有推力桁架）（4 4）按幾何組成方式分為：）按幾何組成方式分為： a.a. 簡單桁架：由一個鉸結三角形依次增加二元體而組成的簡單桁架：由一個鉸結三角