定態(tài)薛定諤方程

1、),(222trUti)(rUU對(duì)于薛定諤方程一個(gè)很重要的特殊情況，粒子所在的力場(chǎng)不僅是位置的函數(shù)。 定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程一：定態(tài)一：定態(tài)隨時(shí)間改變，即)(222rUti)()(),(tfrtr)()()(2)()(22tfrrUtfrti)()(),(tfrtr此時(shí)薛定諤方程為可用分離變量法求解，設(shè)特解為 代入方程兩邊同時(shí)除以 )()(2)(1)()(122rrUrtfttfirt,rt,Etfttfi)()(1ErrUr)()(2)(122上式兩邊各有不同的變量，它們是獨(dú)立都成立，(1)(2) 變化的，要使上式對(duì)任意的變量?jī)蛇叡仨毜扔谝粋€(gè)常數(shù)，設(shè)常數(shù)為E，則)()()(222rEr

2、rU)()(rErH(2)式寫成或此式稱為定態(tài)薛定諤方程對(duì)（1）式解出EtiCetf)(Etiertr)(),()(r)(r)(rU則薛定諤方程的特解 （3）中并歸一化。式中是滿足定態(tài)薛定諤方程的解，在知道定態(tài)：定態(tài)：如果體系處于（3）式所描述的狀態(tài)時(shí)，其中常數(shù)C放入的具體表達(dá)式后求出。具有確定的能量，這種狀態(tài)叫定態(tài)。（3）式叫定態(tài)波函數(shù)。1：體系處于定態(tài)，其幾率分布不隨時(shí)間變化。)()()()(),(),(*2rrerertrtrEtiEti即：幾率分布與時(shí)間無關(guān)。 二、定態(tài)的性質(zhì)二、定態(tài)的性質(zhì)0)(rUEtierctr)(),(EtirPieAetr),(2：體系處于定態(tài)，其能量不隨時(shí)間改

3、變。哈密頓量H不顯含時(shí)間，解薛定諤方程，其另外，已知自由粒子有確定能量和動(dòng)量，其波 （5） 對(duì)自由粒子，其波函數(shù)可寫成 （4）函數(shù) 而（4）式中E是作為常數(shù)引入的，對(duì)比兩式，（5）式中E有明確的物理意義，是粒子能量。發(fā)現(xiàn)此常數(shù)E應(yīng)是粒子的能量，這個(gè)常數(shù)是不隨時(shí)間改變的。 )(rUU)()()(222rErrU)(rEtiertr)(),( 綜上：作用于粒子上的力場(chǎng)不隨時(shí)間改變，這樣的問題只需解定態(tài)薛定諤方程即可：由解出然后得出 即體系的哈密頓量H不顯含時(shí)間，2.6 2.6 一維無限深勢(shì)阱一維無限深勢(shì)阱 如圖，粒子在勢(shì)場(chǎng) axxUaxxU,)(, 0)(中運(yùn)動(dòng)。 一、波函數(shù)Xa0U-aax )(

4、)()(2222xExxUdxd)(xU0ax , 0解：在阱外（）定態(tài)薛定諤方程是式中，根據(jù)波函數(shù)應(yīng)滿足的有限性時(shí)方程才成立，即 和連續(xù)性條件，只有當(dāng)ax )()()(2222xExxUdxdaxxU , 0)()()(2222xEdxxd212)2(E阱內(nèi)粒子滿足定態(tài)薛定諤方程已知方程變?yōu)榱?0)()(222xdxxd)(cos)(sin)(xBxAx0)(x0cossinaBaA方程變?yōu)橥ń鉃橛刹ê瘮?shù)的連續(xù)性和邊界條件確定A、B（1）當(dāng)xa時(shí) 0)(x0cossinaBaA0cos0sinaBaA0cos0aA0sin0aB（2）當(dāng)xa時(shí)，兩式相加及相減，得到A.B不能同時(shí)為零，否則為零

5、解。解有兩組（2）組 （1）組為奇數(shù)nnaA20為偶數(shù)nna20B由（1）組 由（2）組an2212)2(E22228 anE無論n為奇數(shù)或偶數(shù)都有又 axanxanBx0 x,2cos)(為奇數(shù)axanxanAx0 x,2sin)(為偶數(shù)波函數(shù)（1）組，（2）組， sincoscossin)sin(為奇數(shù)，為偶數(shù)，nxannxannxannxannxanaxan2cos2sin2sin2cos2cos2sin)22sin()(2sin利用axaxanAx)(2sin)(1222dxdxdxaaaaaA1勢(shì)阱中波函數(shù)可寫為歸一化axaxaxanax0)(2sin1)(22228 anE)3 ,

6、 2 , 1(n歸一化波函數(shù)為前面已經(jīng)得出能量，能量量子化。二：能量二：能量22218 aE222284aE222389aE當(dāng)n取不同值時(shí)，n2， n3， n1，) 12(88) 1(8222222222221naananEEEnnnnaEnn281222 時(shí)， 能級(jí)間隔：當(dāng)能級(jí)間隔與n成正比。 )(2sin1)(),(2sin1)(, 12211axaaxaxaaxn)(22sin1)(),(22sin1)(, 22222axaaxaxaaxn)(23sin1)(),(23sin1)(, 32233axaaxaxaaxn當(dāng)n取不同值時(shí)，波函數(shù)及幾率密度三：幾率分布三：幾率分布2)(),(xx

7、)(2sin1)(221axaax0)(21xdxdaa12sin1221如圖，給出當(dāng)n1時(shí)，幾率密度令xa，xa時(shí)，幾率密度為零幾率密度為極大值 隨x變化的情況得x0，xa，xa時(shí)，幾率密度取極值x0時(shí)，例1：試求邊長(zhǎng)為a，b，c的三維無限深勢(shì)阱中粒子的能級(jí)和波函數(shù)。)0;0;0(0;, 0;, 0;, 0(),(czbyaxczzbyyaxxzyxUXYZEzyx)(22222222)()()(),(zZyYxXzyx)()()()()()()()()()()()(22222222zZyYxEXzzZyYxXyyYzZxXxxXzZyY定態(tài)薛定諤方程令 代入方程，得解：在勢(shì)阱中U0)()(

8、)(zZyYxXEzzZzZyyYyYxxXxX)()(1)()(1)()(122222222xExxXxX222)()(12yEyyYyY222)()(12zEzzZzZ222)()(12方程兩邊同時(shí)除以，得得到zyxEEE,zyxEEEE)sin(2)(xanaxXx)sin(2)(ybnbyYy)sin(2)(zcnczZz式中， 是常數(shù)，且有由作業(yè)題2.3,得一維無限深勢(shì)阱方程及波函數(shù))sin(2)sin(2)sin(2)()()(),(zcncybnbxanazZyYxXzyxzyx)(222222222cnbnanEEEEzyxzyxzyxnnn,波函數(shù)為 能量其中為正整數(shù)。akx

9、22dtxdkxk2002022xdtxd 令 得 2.7 2.7 線性諧振子線性諧振子一：經(jīng)典情況一：經(jīng)典情況經(jīng)典力學(xué)中，諧振子（彈性系數(shù)為k），受一個(gè)指向平衡位置的力kx，因而會(huì)在平衡位置作周期性往返運(yùn)動(dòng)，叫簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。運(yùn)動(dòng)方程)sin(0tAx,A022022121xkxU二階微分方程的解為 式中是由初始條件決定的振子振幅和是振子的圓頻率。此處振子的勢(shì)能不是常數(shù)，而是空間坐標(biāo)的初位相，振子的勢(shì)能為二次函數(shù)。222212xPUEHxk2222222dxdPPx22222212xdxdH二二: :線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程 量子力學(xué)中量子力學(xué)中的哈密頓算符哈密頓函數(shù)E

10、HExdxd222222120)21(222222xEdxd,xx定態(tài)薛定諤方程為即 為解此方程，作變換dddxddddxd2222)()(dddxddddddddxddxd0)21(222222xEdd則 方程變?yōu)?)12(222xEddE20)(222dd即 令：方程變?yōu)?x0)2 , 1 , 0() 12(nn22)(eHNnnnE2En2) 12()2 , 1 , 0(,)21(nnE二：線性諧振子的能量及波函數(shù)二：線性諧振子的能量及波函數(shù) 或 時(shí) 方程當(dāng)時(shí)有解 考慮到當(dāng)2100En時(shí)2311En時(shí)25220En時(shí)當(dāng) 諧振子能量是量子化的。 線性諧振子能級(jí)圖1nnEEE210E諧振子零

11、點(diǎn)能（最小能量） （1）：諧振子零點(diǎn)能210E是n0時(shí)的基態(tài)相鄰的能級(jí)間隔說明：能量。普朗克的假設(shè)有不夠準(zhǔn)確的地方 2）：能級(jí)間隔相同，都是,普朗克理論仍然能夠很好的解釋黑體輻射的結(jié)果 22)(eHNnnn)(nHnnnndedeH222) 1()()(nH0)(2)(2)()(2111nnnnnnHHHnHddH諧振子的波函數(shù)其中為n階厄米多項(xiàng)式，屬于特殊函數(shù)由此式可以得出滿足下列遞推公式的一種，可按下式求出下面是前幾個(gè)厄米多項(xiàng)式1282421332210HHHHnN1)()(*xxnn2121)!2(nNnn式中是歸一化常數(shù)，可由歸一化條件定出為 前幾個(gè)波函數(shù)22222120222222)

12、24(8)(, 222)(, 1)(, 0 xxxexxnxexnexn線性諧振子波函數(shù)，n0n5線性諧振子幾率密度，n0n4)(1x0)(1x 對(duì)于n0的狀態(tài)，在x0處幾率密度最大，即與x軸的交點(diǎn)，稱為節(jié)點(diǎn)。 振子在x0附近的幾率最大。對(duì)于n1的狀態(tài)，在x0處幾率密度等于零，是一般的稱的根，2x2x)(2x)(xn 對(duì)應(yīng)于n2的狀態(tài)，波函數(shù)，及處為零，幾率為零，即 一般的，諧振子波函數(shù)有n個(gè)節(jié)點(diǎn)。)(2x在在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)附近出現(xiàn)的幾率為零。本節(jié)運(yùn)用定態(tài)薛定諤方程來考慮一維運(yùn)動(dòng)的粒子受方勢(shì)壘散射的問題，方勢(shì)壘是粒子受到勢(shì)能為), 0(,0)0(,)(0axxaxUxU2.8 2.8 勢(shì)壘貫穿勢(shì)壘貫

13、穿一：勢(shì)壘散射一：勢(shì)壘散射的勢(shì)壘散射的情況。XUU00a所謂散射問題，就是要求一個(gè)動(dòng)量和能量已知的粒子受到勢(shì)場(chǎng)作用后被散射到各個(gè)方向的幾率，在一維運(yùn)動(dòng)的情況下，粒子被散射后，或者穿透勢(shì)壘，或者被散射。因此，我們要求的是透射幾率和反射幾率。 JJDDJJRR定義透射系數(shù) 反射系數(shù) 其中 J： 是入射波幾率流密度 JD：是透射波幾率流密度 JR：是透射波幾率流密度0Uax 0Uax 0, 10RDUE，1, 00RDUE，（1）：經(jīng)典力學(xué)中，只有當(dāng)粒子的能量E大于勢(shì)壘高度時(shí)，粒子才能越過勢(shì)壘到達(dá)區(qū)域。當(dāng)粒子的能量E小于勢(shì)壘高度時(shí)，的區(qū)域。定量計(jì)算的結(jié)果： 全部透射，沒有反射全部反射，沒有透射 設(shè)粒

14、子從負(fù)x區(qū)自左向右運(yùn)動(dòng)，射向勢(shì)壘。粒子被散射回0U0Uax ax 10, 100RDUE，10, 100RDUE，（2）：量子力學(xué)情況：和粒子能量E小于時(shí)，部分粒子越過勢(shì)壘區(qū)域，部分粒子被散射回的區(qū)域。部分透射，部分反射部分透射，部分反射 定量討論這個(gè)問題，要解薛定諤方程，求出相應(yīng)的波函數(shù)和幾率流密度。計(jì)算的結(jié)果，當(dāng)粒子的能量E大于勢(shì)壘高度勢(shì)壘高度0U到達(dá)即：隧道效應(yīng)：隧道效應(yīng)：粒子在能量E小于勢(shì)壘高度時(shí)仍能二：隧道效應(yīng)二：隧道效應(yīng)貫穿勢(shì)壘的現(xiàn)象，稱為隧道效應(yīng)。隧道效應(yīng)不僅可以解釋一些經(jīng)典理論所不能解釋的物理現(xiàn)象，還是制造隧道二極管、掃描隧道顯微鏡的理論基礎(chǔ)。),(tzyxdtzyx2),(),(zyxdn,21niiic量子力學(xué)中，粒子的狀態(tài)用波函數(shù)描述。表示粒子在t時(shí)刻，出現(xiàn)在附近如果是體系一系列可能的狀態(tài)，也是該體系本章小節(jié)：本章小節(jié)：一、波函數(shù)及其統(tǒng)計(jì)解釋體元中的幾率。二、態(tài)迭加原理那末，它們的線性迭加可能的狀態(tài)。 ),(222trUti)(2*iJ0Jt微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)遵從薛定諤方程四、幾率守恒幾率守恒 三、薛定諤方程幾率流密度)(rUUEtiertr)(),()(r)()()(222rErrU五、定態(tài)及定態(tài)薛定諤方程則 其中定態(tài)薛定諤方程：定態(tài)：如果滿足