數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用

1、- 數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用摘 要數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的學(xué)科，數(shù)和形是數(shù)學(xué)研究的兩個(gè)重要方面，在研究過程中，一方面，許多數(shù)量關(guān)系的抽象概念和解析式，假設(shè)賦予幾何意義，往往變得非常的直觀形象，另一方面，一些圖形的屬性又可以通過數(shù)量關(guān)系的研究使得圖形的性質(zhì)更豐富、更準(zhǔn)確、更深刻，這種“數(shù)與“形的信息轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時(shí)還可以大大開拓我們的解題思路，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了一條重要的途徑。 數(shù)形結(jié)合包含“以形助數(shù)和“以數(shù)助形兩個(gè)方面，在高中階段用的較多的是以形助數(shù)。數(shù)量關(guān)系如果能有效地結(jié)合圖形，往往會使抽象問題直觀化，復(fù)雜問題簡單化，巧妙地應(yīng)用

2、數(shù)形結(jié)合的思想方法來處理一些抽象的數(shù)學(xué)問題，可起到事半功倍的效果，到達(dá)優(yōu)化解題途徑的目的，在選擇題，填空題中，數(shù)形結(jié)合更能顯示出其簡捷的優(yōu)越性。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合 思想方法 應(yīng)用解題緒 論 數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中空間形式與數(shù)量關(guān)系的一門學(xué)科，故數(shù)學(xué)的研究是圍繞數(shù)和形展開的，而數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)在于數(shù)量關(guān)系決定著幾何圖形屬性，幾何圖形的屬性反映著數(shù)量關(guān)系1。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中，數(shù)形結(jié)合既是一種常用的數(shù)學(xué)方法又是一種數(shù)學(xué)思想。由此可見，在高中階段，掌握并熟練運(yùn)用這一思想是十分必要的。本文針對數(shù)形結(jié)合思想的形成和演進(jìn)，數(shù)形結(jié)合思想解題能力的培養(yǎng)，以及在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用圍和數(shù)形結(jié)合思想在解題中的實(shí)際應(yīng)用做了

3、淺顯成述。第二章 數(shù)形結(jié)合思想的概述和歷史演進(jìn)2.1數(shù)形結(jié)合思想的概述 數(shù)學(xué)的兩個(gè)最古老、最普遍的研究對象是數(shù)、形，在*些條件的作用下，兩者可以相互轉(zhuǎn)化。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象可以分為數(shù)和形兩大局部，數(shù)與形的聯(lián)系則稱作數(shù)形結(jié)合，它包含“以形助數(shù)和“以數(shù)助形兩個(gè)方面1。以形助數(shù)，即借助形的直觀性來說明數(shù)之間的關(guān)系；以數(shù)助形，即借助數(shù)的準(zhǔn)確性來說明形的*些屬性。2.2數(shù)形結(jié)合思想的歷史演進(jìn)隨著時(shí)間的推移，數(shù)學(xué)得到了不斷的拓展和充實(shí)，數(shù)學(xué)中最原始的研究對象數(shù)與形也在不斷地變化，從最初因需要而產(chǎn)生數(shù)到歐幾里德撰寫的?幾何原本?，再到從笛卡爾創(chuàng)立平面直角坐標(biāo)系到近、現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究，數(shù)形結(jié)合一直伴隨其行。在古希

4、臘數(shù)學(xué)時(shí)期，畢達(dá)哥斯拉學(xué)派在研究數(shù)學(xué)時(shí)，就借助形來歸納數(shù)的性質(zhì)，這便是早期的“數(shù)與“形結(jié)合的表達(dá)。數(shù)軸的建立使人類對數(shù)與形的統(tǒng)一有了初步的認(rèn)識，把實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)起來，數(shù)可視為點(diǎn)，點(diǎn)可當(dāng)作數(shù)，點(diǎn)在直線上的位置關(guān)系可以數(shù)量化，而數(shù)的運(yùn)算可以幾何化。1637年，笛卡爾在其?幾何學(xué)?中，首次提出了點(diǎn)的坐標(biāo)和變數(shù)的思想，并借助坐標(biāo)系用含有數(shù)的代數(shù)方程來表示和研究曲線2。笛卡爾把數(shù)軸一維擴(kuò)展到平面直角坐標(biāo)系，把有序數(shù)對與平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)起來，從而使得平面曲線的點(diǎn)集與二元方程組的解集一一對應(yīng)起來。于是就可以用代數(shù)方法來研究幾何圖形的性質(zhì)，把幾何研究轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的代數(shù)的研究。第三章 淺談數(shù)形結(jié)合思想

5、解題能力的培養(yǎng)“數(shù)和“形兩者是嚴(yán)密聯(lián)系的。我們在研究“數(shù)的時(shí)候，往往要借助于“形，而在探討形的性質(zhì)時(shí)，又離不開“數(shù)的支撐?，F(xiàn)階段使用的教材，“代數(shù)與“幾何融和為一門數(shù)學(xué)學(xué)科，更表達(dá)了“數(shù)與“形的結(jié)合，因此教師在教學(xué)中要做好“數(shù)與“形關(guān)系的提醒與轉(zhuǎn)化，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，幫助學(xué)生類比、開掘，剖析其所具有的幾何模型，這對于幫助學(xué)生深化思維，擴(kuò)展知識，提高能力都有很大的幫助。在教學(xué)過程中教師應(yīng)有目的、有方案地進(jìn)展數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，使學(xué)生逐步有數(shù)形結(jié)合思想這一思想理念，并使之成為解決數(shù)學(xué)問題的工具。3.1在教學(xué)過程中適時(shí)滲透數(shù)形結(jié)合思想 在教學(xué)過程中要盡量擺脫對代數(shù)問題的抽象討論。更多地把代數(shù)里的東

6、西用圖形表示出來。如相反數(shù)、絕對值的幾何解釋，乘法公式的面積法的驗(yàn)證等等，將較難、抽象的概念、定理具體化。在幾何圖形的一些根本性質(zhì)的教學(xué)時(shí)，多讓學(xué)生動(dòng)手量一量，自己發(fā)現(xiàn)圖形中的數(shù)量關(guān)系，對一些特殊的幾何圖形，還可以賦值研究。3.2通過典型例題的分析講解突出數(shù)形結(jié)合思想的指導(dǎo) 在教學(xué)過程過對例題的實(shí)際講解，凸顯出數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性，使學(xué)生將這一思想由一種方法提升為一種系統(tǒng)的解題理論。例1二次函數(shù)的圖象大致如圖1所示，試確定、與的符號。二次函數(shù)(0)中的、決定函數(shù)的形狀和位置，判別式的符號把拋物線與軸的位置關(guān)系和一元二次方程的根聯(lián)系在一起，表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想。 圖1第四章 數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用圍數(shù)形

7、結(jié)合思想方法是數(shù)學(xué)教學(xué)容的主線之一，在高中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想，可以解決諸多的問題：4.1集合問題在集合運(yùn)算中借助與數(shù)軸、維恩圖來處理集合的交集、并集、補(bǔ)集等運(yùn)算，從而是問題簡單，運(yùn)算快捷。4.2函數(shù)問題 借助圖形研究函數(shù)的性質(zhì)、最值等問題。4.3方程與不等式問題處理方程時(shí)，把方程的問題看做兩函數(shù)圖形的交點(diǎn)問題；處理不等式時(shí)，從所給條件和結(jié)論出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)函數(shù)，著重分析其幾何意義，從圖形中找解題思路。4.4三角函數(shù)問題三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確實(shí)定，比較三角函數(shù)值的大小等問題，都借助于單位圓或三角函數(shù)表達(dá)來處理，數(shù)形結(jié)合思想是處理三角函數(shù)問題的有效的方法。4.5數(shù)列問題數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)

8、列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式可以看做是一個(gè)關(guān)于正整數(shù)的函數(shù)。用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)列問題是借助函數(shù)的圖形進(jìn)展直觀的分析，從而把數(shù)列的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而進(jìn)展解決。4.6立體幾何問題立體幾何中用坐標(biāo)的方法將幾何中的點(diǎn)、線、面的性質(zhì)及其相互關(guān)系進(jìn)展研究，可將抽象的幾何問題轉(zhuǎn)化純粹的代數(shù)運(yùn)算。第五章 數(shù)形結(jié)合思想解題的實(shí)際應(yīng)用5.1集合中的數(shù)形結(jié)合 在集合問題中，對一些較抽象的問題，在解決時(shí)假設(shè)借助數(shù)軸、維恩圖或者圖像等數(shù)形結(jié)合的思想方法，可以使問題直觀化、形象化，從而快捷、準(zhǔn)確地獲得結(jié)論。例2. 集合 則 解析：通過解不等式可知，M可以表示成，此時(shí)在數(shù)軸上作出M和N，結(jié)果一目了然。 圖2 5

9、.2方程與函數(shù)中的數(shù)形結(jié)合 函數(shù)的圖形是函數(shù)關(guān)系的直觀表現(xiàn)形式之一，他用“形來刻畫函數(shù)的變化規(guī)律3。函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系提供了“形的直觀性，函數(shù)的圖象和解析式是函數(shù)關(guān)系的主要表現(xiàn)形式，在解決函數(shù)問題時(shí)兩者經(jīng)常要相互轉(zhuǎn)化，針對繁瑣的問題時(shí)要充分發(fā)揮圖象的直觀作用，如求解函數(shù)的值域時(shí)?？梢葬槍?些代數(shù)式賦一定的幾何意義2。如求直線的斜率、線段的長度兩點(diǎn)間的距離等，把求最值問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)形的轉(zhuǎn)換。方程的解的個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖形的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題。對求不等式的解集可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖形與函數(shù)的圖形上方的那局部點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合3。例3. 在平面直角坐標(biāo)系中，求函數(shù)

10、，的圖形與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)。解析: 在直角坐標(biāo)系中作出函數(shù) ，與的圖象，結(jié)果顯而易見。5.3數(shù)列中的數(shù)形結(jié)合 在數(shù)列問題中，一些量可以當(dāng)做以為變量的函數(shù)。通常等差數(shù)列的通項(xiàng)可以看成自然數(shù)的“一次函數(shù)前項(xiàng)和可以看成自然數(shù)的“二次函數(shù)，等比數(shù)列的通項(xiàng)可以看成的“指數(shù)函數(shù)。因此在解決數(shù)列問題時(shí)可借助相應(yīng)的函數(shù)圖象來解決。例4.數(shù)列是等差數(shù)列， 則解析：假設(shè)，在等差數(shù)列中，關(guān)于的圖象是一條直線上均勻排列的一群孤立的點(diǎn)，故三點(diǎn)， 共線，則，即，解得即 圖35.4不等式與極值中的數(shù)形結(jié)合對于不等式不等式組的求解和求代數(shù)極值的問題，都存在著圖形背景，借助圖形的直觀性解題是尋求解題思路的一種重要方法，通過圖形給問題以幾何的描述，從數(shù)形結(jié)合中找出問題的邏輯關(guān)系，是問題迎刃而解。例5. 不等式的解集為 解析：令，在同一坐標(biāo)系中作出的圖象如圖4，令，即，可求得，由圖象可以看出不等式的解集為-1,圖4 例6. 求函數(shù)的最值。 解析：構(gòu)造一長方體如圖5,，為棱上的任意一點(diǎn)，且設(shè) 則 于是在中，。在中，可見取得最小值，從長方體的側(cè)面展開圖可以看出，當(dāng)且僅當(dāng)、三點(diǎn)共線時(shí)，有最小值，此時(shí)由幾何關(guān)系不難求出，故當(dāng)時(shí)，有最小值。即圖5第六