1997考研數(shù)三真題及解析

1、 Born to win1997年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題一、填空題(本題共5分,每小題3分,滿分15分.把答案在題中橫線上.)(1) 設(shè),其中可微,則_.(2) 若,則_.(3) 差分方程的通解為_.(4) 若二次型是正定的,則的取值范圍是_.(5) 設(shè)隨機(jī)變量和相互獨(dú)立且都服從正態(tài)分布,而和分別是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,則統(tǒng)計(jì)量服從_分布(2分),參數(shù)為_.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1) 設(shè),則當(dāng)時(shí),是的 ( )(A) 低階無(wú)窮小 (B) 高階無(wú)窮小(C) 等價(jià)無(wú)窮小 (D

2、) 同階但不等價(jià)的無(wú)窮小(2) 若,在內(nèi),且,則在內(nèi)有 ( )(A) , (B) ,(C) , (D) ,(3) 設(shè)向量組,線性無(wú)關(guān),則下列向量組中,線性無(wú)關(guān)的是 ( )(A) , (B) ,(C) ,(D) ,(4) 設(shè)為同階可逆矩陣,則 ( )(A) (B) 存在可逆矩陣,使(C) 存在可逆矩陣,使 (D) 存在可逆矩陣和,使(5) 設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立且同分布：,則下列各式中成立的是 ( )(A) (B) (C) (D) 三、(本題滿分6分)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,稱函數(shù)為固定替代彈性生產(chǎn)函數(shù),而稱函數(shù)為Cobb-Douglas生產(chǎn)函數(shù)(簡(jiǎn)稱CD生產(chǎn)函數(shù)).試證明：但時(shí),固定替代彈性生產(chǎn)函數(shù)變?yōu)?/p>

3、CD生產(chǎn)函數(shù),即有. 四、(本題滿分5分)設(shè)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),和分別由方程和所確定,求.五、(本題滿分6分)一商家銷售某種商品的價(jià)格滿足關(guān)系(萬(wàn)元/噸),為銷售量(單位：噸),商品的成本函數(shù)(萬(wàn)元).(1) 若每銷售一噸商品,政府要征稅(萬(wàn)元),求該商家獲最大利潤(rùn)時(shí)的銷售量；(2) 為何值時(shí),政府稅收總額最大.六、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù)、單調(diào)不減且,試證函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)不減(其中).七、(本題滿分6分)從點(diǎn)作軸的垂線,交拋物線于點(diǎn)；再?gòu)淖鬟@條拋物線的切線與軸交于,然后又從作軸的垂線,交拋物線于點(diǎn),依次重復(fù)上述過(guò)程得到一系列的點(diǎn).(1) 求；(2) 求級(jí)數(shù)的和.其中為自然數(shù),而表示點(diǎn)與之間

4、的距離.八、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),且滿足方程,求.九、(本題滿分6分)設(shè)為階非奇異矩陣,為維列向量,為常數(shù).記分塊矩陣，其中是矩陣的伴隨矩陣,為階單位矩陣.(1) 計(jì)算并化簡(jiǎn)；(2) 證明：矩陣可逆的充分必要條件是.十、(本題滿分10分)設(shè)三階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值是1,2,3；矩陣的屬于特征值1,2的特征向量分別是.(1) 求的屬于特征值3的特征向量；(2) 求矩陣.十一、(本題滿分7分)假設(shè)隨機(jī)變量的絕對(duì)值不大于1；在事件出現(xiàn)的條件下,在內(nèi)的任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長(zhǎng)度成正比.試求的分布函數(shù).十二、(本題滿分6分)游客乘電梯從底層到電視塔頂層觀光；電梯于每個(gè)整點(diǎn)的第5分鐘

5、、25分鐘和55分鐘從底層起行. 假設(shè)一游客在早晨八點(diǎn)的第分鐘到達(dá)底層候梯處,且在上均勻分布,求該游客等候時(shí)間的數(shù)學(xué)期望.十三、(本題滿分6分)兩臺(tái)同樣自動(dòng)記錄儀,每臺(tái)無(wú)故障工作的時(shí)間服從參數(shù)為5的指數(shù)分布；首先開動(dòng)其中一臺(tái),當(dāng)其發(fā)生故障時(shí)停用而另一臺(tái)自行開動(dòng).試求兩臺(tái)記錄儀無(wú)故障工作的總時(shí)間的概率密度、數(shù)學(xué)期望和方差.1997年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題解析一、填空題(本題共5分,每小題3分,滿分15分.把答案在題中橫線上.)(1)【答案】【解析】題目考察復(fù)合函數(shù)的微分法,利用鏈?zhǔn)椒▌t計(jì)算如下：由 可知 (2)【答案】 【分析】本題中是個(gè)常數(shù),只要定出這個(gè)數(shù)問題就解決了.【解析】令

6、,則,兩邊從0到1作定積分得,解得. 【評(píng)注】本題主要考查定積分的概念和計(jì)算.本題中出現(xiàn)的積分表示單位圓在第一象限部分的面積,可直接根據(jù)幾何意義求得.考生務(wù)必注意這種技巧的應(yīng)用.(3)【答案】 【解析】對(duì)應(yīng)的齊次差分方程是,顯然有不恒等于零的特解.因方程的右端函數(shù),可設(shè)非齊次差分方程的特解有形式,代入方程得 由于,于是可確定,即非齊次差分方程有一個(gè)特解是.從而,差分方程的通解是.(4)【答案】【解析】二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為.因?yàn)檎ǖ捻樞蛑髯邮饺笥诹?又,故正定,即.(5)【答案】分布,參數(shù)為9【解析】由是來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本,故獨(dú)立,且都服從正態(tài)分布.類似有相互獨(dú)立,且都服從正態(tài)分布.又因服

7、從正態(tài)分布的獨(dú)立隨機(jī)變量的線性組合也服從正態(tài)分布,即.其中,.由期望的性質(zhì),；由獨(dú)立隨機(jī)變量方差的性質(zhì),故.因,故,所以,.由分布的定義,現(xiàn)已有,將其標(biāo)準(zhǔn)化得,故.化簡(jiǎn)有,即.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：,其中為常數(shù).2.方差的性質(zhì)：與相互獨(dú)立時(shí),其中為常數(shù).3.分布的定義：若相互獨(dú)立,且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,則,.4.若,則.5.分布的定義：若,獨(dú)立,則.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi))(1)【答案】(B)【分析】只要求出極限 就能判斷出正確的選項(xiàng).【解析】用變上限積分求導(dǎo)公式及重要的等價(jià)無(wú)

8、窮小關(guān)系,得故應(yīng)選(B).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.對(duì)積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：若,均一階可導(dǎo),則.2.無(wú)窮小的比較：設(shè)在同一個(gè)極限過(guò)程中,為無(wú)窮小且存在極限 ,(1) 若稱在該極限過(guò)程中為同階無(wú)窮?。?2) 若稱在該極限過(guò)程中為等價(jià)無(wú)窮小,記為；(3) 若稱在該極限過(guò)程中是的高階無(wú)窮小,記為.若不存在(不為),稱不可比較.(2)【答案】(C) 【解析】題目考察抽象函數(shù)的凹凸性和單調(diào)性的問題.方法1：由知,的圖形關(guān)于軸對(duì)稱.由在內(nèi),且知,的圖形在內(nèi)單調(diào)上升且是凸的；由對(duì)稱性知,在內(nèi),的圖形單調(diào)下降,且是凸的,所以應(yīng)選(C).方法2：由可知.當(dāng)時(shí),此時(shí)由題設(shè)知,則,故應(yīng)選(C).方法3：排除法.取,易驗(yàn)

9、證符合原題條件,計(jì)算可知(A)、(B)、(D)三個(gè)選項(xiàng)均不正確,故應(yīng)選(C).方法4：由題設(shè)可知是一個(gè)二階可導(dǎo)的偶函數(shù),則為奇函數(shù),為偶函數(shù),又在內(nèi),則在內(nèi),故應(yīng)選(C).(3)【答案】(C) 【分析】這一類題目最好把觀察法與技巧相結(jié)合.【解析】對(duì)于(A),即存在一組不全為零的數(shù)1,-1,1,使得等式為零,根據(jù)線性相關(guān)的定義可知線性相關(guān),排除(A)；對(duì)于(B),即存在一組不全為零的數(shù)1,1,-1,使得等式為零,根據(jù)線性相關(guān)的定義可知線性相關(guān),排除(B)；對(duì)于(C),簡(jiǎn)單的加加減減得不到零,就不應(yīng)繼續(xù)觀察下去,而應(yīng)立即轉(zhuǎn)為計(jì)算行列式.設(shè)有數(shù)使得,整理得 已知,線性無(wú)關(guān),上式成立,當(dāng)且僅當(dāng) 因的系

10、數(shù)行列式,故有唯一零解,即.故原向量組,線性無(wú)關(guān).應(yīng)選(C).或者也可以將,用線性表出,且寫成矩陣形式,有,則可逆,故兩向量組是等價(jià)向量組,由,線性無(wú)關(guān)知,線性無(wú)關(guān).(4)【答案】(D)【解析】方法1：用排除法.任意兩個(gè)同階可逆矩陣不具備乘法的交換律,不一定相似,也不一定合同.例如,若,由于特征值不同,故不相似,又對(duì)應(yīng)二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)不同,故也不合同,(B)、(C)不成立；若,則 ,.故(A)不成立；應(yīng)取(D).方法2：因是同階(設(shè)為)可逆陣,故有而等價(jià)存在可逆陣使得(這里只需取既有成立),故應(yīng)選(D).或者,因是同階可逆陣,故均可以通過(guò)初等行變換化成單位陣, 即存在初等陣使得,從而有,

11、得.故(D)成立.(5)【答案】(A)【解析】因和相互獨(dú)立, 而,故有：；,故(A)正確,(B)錯(cuò)；,故(C)錯(cuò)；,故(D)錯(cuò).三、(本題滿分6分.)【分析】要證明,只須證明即可,因?yàn)闉橹笖?shù)函數(shù),因此化為對(duì)數(shù)形式便于極限計(jì)算.【解析】因?yàn)?而且 所以, ,于是, .四、(本題滿分5分.)【解析】由題設(shè)有. (*)在中,將視為的函數(shù),兩邊對(duì)求導(dǎo),得. (1)在中,將視為的函數(shù),兩邊對(duì)求導(dǎo),得. (2)將(1)、(2)兩式代入()式,得.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：若和在點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)存在,函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)存在,且. 五、(本題滿分6分)【分析】要求獲得

12、最大利潤(rùn)時(shí)的銷售量,需寫出利潤(rùn)與銷售量之間的的關(guān)系,它是商品銷售總收入減去成本和政府稅收.正確寫出后,滿足的即為利潤(rùn)最大時(shí)的銷售量,此時(shí),是的函數(shù),當(dāng)商家獲得最大利潤(rùn)時(shí),政府稅收總額,再由導(dǎo)數(shù)知識(shí)即可求出既保證商家獲利最多,又保證政府稅收總額達(dá)到最大的稅值.【解析】(1)設(shè)為總稅額,則.商品銷售總收入為.利潤(rùn)函數(shù)為 .令,即,得.由于,因此,即為利潤(rùn)最大時(shí)的銷售量.(2)將代入,得.由,得惟一駐點(diǎn)；由于,可見當(dāng)時(shí)有極大值,這時(shí)也是最大值,此時(shí)政府稅收總額最大.六、(本題滿分6分)【分析】當(dāng)時(shí),顯然連續(xù),故只要證,且當(dāng)時(shí),即可.【解析】方法1：顯然時(shí),連續(xù),又由洛必達(dá)法則知,所以在上連續(xù).當(dāng)時(shí),

13、.由于單調(diào)不減,故,又,從而.于是有.故在上單調(diào)不減.方法2：連續(xù)性證明同上.由于可見,在上單調(diào)不減.【評(píng)注】本題主要考查變上限定積分求導(dǎo),洛必達(dá)法則.請(qǐng)考生注意本題兩種證法中對(duì)于的不同處理方法.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.對(duì)積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：若,均一階可導(dǎo),則.七、(本題滿分6分)【分析】先作出草圖,再求出曲線在任一點(diǎn)上的切線方程及其與軸的交點(diǎn),然后依此類推,得出一系列與軸交點(diǎn)的坐標(biāo).最后進(jìn)行相應(yīng)計(jì)算即可.O 1【解析】(1)由,得.對(duì)于任意,拋物線在點(diǎn)處的切線方程為.且該切線與軸的交點(diǎn)為,故由可見 (2)由于,可見.利用幾何級(jí)數(shù)求和公式即得.【評(píng)注】本題是級(jí)數(shù)與微分學(xué)的綜合題,本題中所得的級(jí)

14、數(shù)仍為收斂的幾何級(jí)數(shù),利用幾何級(jí)數(shù)求和公式即可求出它的和. 八、(本題滿分6分)【解析】將直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo),由于,可得.在積分中作換元,又有.于是,滿足積分關(guān)系式.在上式中令得.利用變上限積分的求導(dǎo)公式,將上式兩端對(duì)求導(dǎo),得.上述方程為關(guān)于的一階線性微分方程,利用一階線性微分方程通解公式,得,其中常數(shù)待定.由可確定常數(shù),因此,.【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.對(duì)積分上限的函數(shù)的求導(dǎo)公式：若,均一階可導(dǎo),則.2. 一階線性非齊次微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為,其通解公式為 ,其中為常數(shù).九、(本題滿分6分)【解析】(1)由及,有(2)用行列式拉普拉斯展開式及行列式乘法公式,有,又因是非奇異矩陣,所以,故.由此可知可逆

15、的充要條件是,即,亦即.評(píng)注：本題考查分塊矩陣的運(yùn)算,要看清是1階矩陣,是一個(gè)數(shù).【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.兩種特殊的拉普拉斯展開式：設(shè)是階矩陣,是階矩陣,則 .2.行列式乘積公式：設(shè)是兩個(gè)階矩陣,則乘積的行列式等于和的行列式的乘積,即.十、(本題滿分10分)【解析】(1)設(shè)的屬于的特征向量為,因?yàn)閷?shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量相互正交,故解上述方程組,設(shè)方程組的系數(shù)矩陣為,對(duì)進(jìn)行初等行變換：,系數(shù)矩陣的秩為2,根據(jù)基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)與系數(shù)矩陣秩之間的關(guān)系,我們得到基礎(chǔ)解系的個(gè)數(shù)為1,解得 ,即的對(duì)應(yīng)于的特征向量為其中為非零常數(shù).(2)方法1：令,則有即,其中計(jì)算如下：得 ,.方法2：因是對(duì)稱矩陣,不

16、同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量互相正交,故存在正交陣(對(duì)單位化),使,其中.方法3：由于矩陣的特征值是1,2,3,特征向量依次為,利用分塊矩陣有.因?yàn)槭遣煌卣髦档奶卣飨蛄?它們線性無(wú)關(guān),于是矩陣可逆.故【評(píng)注】本題有兩個(gè)難點(diǎn),一是能否由“實(shí)對(duì)稱矩陣”挖掘出隱含的信息,通過(guò)正交性求出,另一個(gè)難點(diǎn)就是反求矩陣.十一、(本題滿分7分)【分析】求分布函數(shù)實(shí)質(zhì)上是求的概率.【解析】由的絕對(duì)值不大于1,可得當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；又,則；由題意在內(nèi)的任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間長(zhǎng)度成正比,那么當(dāng)?shù)闹祵儆诘臈l件下,事件的條件概率為：(其中為比例正常數(shù)),又 ,而 ,所以,故；當(dāng)時(shí),所以.由條件概率公式,有,而 ,所以 ,故所求的的分布函數(shù)為.十二、(本題滿分6分)【解析】已知在上均勻分布,則其密度函數(shù)為： 設(shè)表示游客等候電梯的時(shí)間(單位：分鐘),由于電梯于每個(gè)整點(diǎn)的第5分鐘,25分鐘,55分鐘起行,則當(dāng)時(shí),游客需等候時(shí)間；當(dāng)時(shí),游客需等候時(shí)間；當(dāng)時(shí),游客需等候時(shí)間；當(dāng)時(shí),游客需等候時(shí)間(這個(gè)時(shí)間段到達(dá),就需要等下個(gè)整點(diǎn)的第分鐘,所以是).故是關(guān)于到達(dá)時(shí)刻的函數(shù)：由隨機(jī)變量函數(shù)期望的定義,有【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】1.隨機(jī)變量函數(shù)期望的定義：若隨機(jī)變量,且存在,則有.十三