實(shí)變函數(shù)第一章2

1、第二 章 測(cè)度理論iniiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(其中iiiiiixxxxx11積分與分割、介點(diǎn)集的取法無(wú)關(guān)幾何意義（非負(fù)函數(shù)）：函數(shù)圖象下方圖形的面積。xi-1 xi(1) Riemann積分回顧（分割定義域）iniibamEdxxfL10,lim)()(yiyi-1)(:1iiiyxfyxEiiiyy1用 mEi 表示 Ei 的“長(zhǎng)度”問(wèn)題：如何把長(zhǎng)度,面積,體積推廣?)(22sin22cos22sin22122nRRnnnRnRn內(nèi)接正n邊形的面積（內(nèi)填）內(nèi)接)(cos1sin2222122nRRnnnRnRtgn外切外切正n邊形的面積（外包） Riemann積分in

2、iiTbaxfdxxfR10|)(lim)()(xi-1 xiiniiTbaxmdxxf10|lim)(達(dá)布下和的極限下積分（內(nèi)填）xi-1 xiiniiTbaxMdxxf10|lim)(達(dá)布上和的極限上積分（外包）: |inf)(11為開(kāi)區(qū)間且iininiiJIIEIEmJordan外測(cè)度（外包）JJEmEm)()(Jordan可測(cè): |sup)(11為兩兩不交的開(kāi)區(qū)間且iininiiJIEIIEmJordan內(nèi)測(cè)度（內(nèi)填）1)(JEm由于任一覆蓋0,1中0)(JEm由于無(wú)理數(shù)在0,1中稠密，故任一開(kāi)區(qū)間都不可能含在E內(nèi)，從而JJEmEm)()( ( ) )( )( ( ) ) ( )- 1

3、+為E的Lebesgue外測(cè)度。定義： ，稱非負(fù)廣義實(shí)數(shù)nRE 設(shè))(*RR: |inf11為開(kāi)區(qū)間且iiiiiIIEIEm與Jordan外測(cè)度比較： : |inf)(11為開(kāi)區(qū)間且iininiiJIIEIEmSinfxSxS,) 1 (的下界，即是數(shù)集xSxS使得即的最大下界，是數(shù)集, 0)2(: |inf11為開(kāi)區(qū)間且iiiiiIIEIEmEmIEmIEIiiiii*1*1|, 0且使得開(kāi)區(qū)間列即：用一開(kāi)區(qū)間列 “近似”替換集合EiI證明：由于E為可數(shù)集，2111|iiiiiiEII 則且0*Em再由的任意性知, 1 , 0321rrrQE故不妨令, 3 , 2 , 1),(, 01122

4、irrIiiiii作開(kāi)區(qū)間Em*從而( )1122iiiiirrr22221122122222(,) (,),( , ),1,2,3,iiiiiiiiiiiIrrrrr rQ Qi 2222(1,1) (,),1,2,3,iiiiiiIrrrZi，),(|, 1 , 0, 0, 1 , 0111222iiiiiiiirrIxrxQrQx，則有從而取使得12i, 3 , 2 , 1),(1122irrIiiiii, 1 , 0321rrrQEiiiiI211|( ) 1122iiiiirrr注：對(duì)可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間不一定有從左到右的一個(gè)排列（如antor集的余集的構(gòu)成區(qū)間）( ( ) )( )( (

5、) )注：對(duì)有限個(gè)開(kāi)區(qū)間一定有從左到右的一個(gè)排列(b)的證明:能覆蓋B的開(kāi)區(qū)間列也一定能覆蓋A，從而能覆蓋B的開(kāi)區(qū)間列比能覆蓋A的開(kāi)區(qū)間列要少，相應(yīng)的下確界反而大。BmAmBA，則若（b）單調(diào)性：: |inf11為開(kāi)區(qū)間且iiiiiIIEIEm0Em0Em（a）非負(fù)性： ， 當(dāng)E為空集時(shí)，證明：對(duì)任意的0,由外測(cè)度的定義知，對(duì)每個(gè)An都有一列開(kāi)區(qū)間（即用一開(kāi)區(qū)間I nm列近似替換An）nnmnmnnmmnnmnnAmIAmIAIII2|,*1*121且使得*,11111|()2nmnmnnnn mnmnnIIm Am A且111nnmnnmAI 從 而*1111()|nnmnnnmnmAIm

6、A可見(jiàn)注：一般證明都是從大的一邊開(kāi)始，因?yàn)橥鉁y(cè)度的定義用的是下確界nnnnAmAm*11*)(nnnnAmAm*11*)(由的任意性，即得)(|)(, 0*1*BAmIBAmIiii使得開(kāi)區(qū)間列: |inf)(11為開(kāi)區(qū)間且iiiiiIIBAIBAm當(dāng)區(qū)間Ii的直徑很小時(shí)候，區(qū)間Ii不可能同時(shí)含有A，B中的點(diǎn)從而把區(qū)間列Ii分成兩部分，一部分含有A中的點(diǎn)，一部分含有B中的點(diǎn)。)()()(*BmAmBAm若d(A,B) 0,則證明參見(jiàn)教材p-56思考：書本中的證明用有限開(kāi)覆蓋定理的目的何在？此例說(shuō)明Lebesgue外測(cè)度某種程度是區(qū)間長(zhǎng)度概念的推廣| IEmI注：稱外測(cè)度為0的集合為零集；零集的

7、子集，有限并，可數(shù)并仍為零集0)(|)()(32213121)()(21*niininiinnnnIImPm從而0Pm故nniiI2, 2 , 1)(證明：令第n次等分后留下的閉區(qū)間為第二章 測(cè)度理論nnnnAmAm*11*)(: |inf11為開(kāi)區(qū)間且iiiiiIIEIEm即：用一開(kāi)區(qū)間列“近似”替換集合EEmIEmIEIiiiii*1*1|, 0且使得開(kāi)區(qū)間列注：Lebesgue開(kāi)始也是利用外測(cè)度與內(nèi)測(cè)度相等定義可測(cè)集，但此方法對(duì)處理問(wèn)題很不方便，故我們采用上述方法。EEcTETEc,nRT 若)()(*cETmETmTm有mE（Caratheodory條件） ，則稱E為L(zhǎng)ebesgue可

8、測(cè)集，此時(shí)E的外測(cè)度稱為E的測(cè)度，記作 *()()( )( )( )cm Tm TEm TEm Em Tm T有nRT 證明：*()()cm Tm TEm TE從而即E為可測(cè)集。)()(,*cnETmETmTmRT有證明：(充分性）nRT 即可令cETBETA,(必要性)令BAT有,cEBEA)()()(*BmAmBAm)()(,*cnETmETmTmRT有（a）集合E可測(cè)（即 ）11,ciiiiAABABABAAnABTR 若，則*()()()m TABm TAm TB有注:上式由前面可測(cè)集的等價(jià)刻畫立刻可得若 兩兩不交，則（測(cè)度的可數(shù)可加性）11)(iiiimAAm,mABAmAmBABm

9、)(也可測(cè)。若 可測(cè)已證明，則易知BA cccBABA)(cBABAnRT )()(*cETmETmTm有易知Ac可測(cè)可測(cè)余即可證明通過(guò)取兩不交情形把一般情形轉(zhuǎn)化為兩可過(guò)令則通可測(cè)已證明為兩兩不交時(shí)若當(dāng)iniininniiiAAABAA1111;,*()() )(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)()(1)(2)(3)(4)()( )cm Tm TABm TABmmmmmmBmAm T有可測(cè)可測(cè)*()() )cm Tm TABm TAB從而nRT 證明：(1)(2)(3)(4)AB)()()()()()(1*11*11*1ciiniiciiiniciniiniATmATmATmAT

10、mATmATmTm)()(*)()(1*11*1ciiiiciiiiATmATmATmATmTm從而)()(1*1ciiiiATmATmTm另外顯然有，有證明：nRT )()(1*1ciiiiATmATmTm從而即得結(jié)論）式，入（代并用可測(cè)從而*,11iiiiATA11)(iiiimAAm下面證明若A i 兩兩不交，則11niimAniniA111(0,1)niimA )(1 ,0()()(111cinicciniiniAmAmAm證明：0)1()1 (111nmAmAiniini)()1 ,0()1 ,0(11ciniciniAmmAm注：左邊的極限是集列極限， 而右邊的極限是數(shù)列極限， (

11、b)中的條件 不可少1mAnnnnmAAm lim)lim(nnnnmAAm lim)lim(則1mA若An如An = ( n, +)（ n)()(11211nnnnAAAAAAmAmBABm )(則,mABABA可測(cè)，若nnnnAA1limnnnnAA1lim第二章 測(cè)度理論注：開(kāi)集、閉集既是 型集也是 型集； 有理數(shù)集是 型集，但不是 型集； 無(wú)理數(shù)集是 型集，但不是 型集。GGGFFF有理數(shù)集可看成可數(shù)個(gè)單點(diǎn)集的并，而單點(diǎn)集是閉集；通過(guò)取余 型集與 型集相互轉(zhuǎn)化（并與交，開(kāi)集與閉集互換）GFIFG注：零集、區(qū)間、開(kāi)集、閉集、 型集（可數(shù)個(gè)開(kāi)集的交）、 型集（可數(shù)個(gè)閉集的并）、Borel型

12、集（粗略說(shuō)：從開(kāi)集出發(fā)通過(guò)取余，取交或并（有限個(gè)或可數(shù)個(gè)）運(yùn)算得到）都是可測(cè)集。證明見(jiàn)書本p66| ImI 即：可測(cè)集與開(kāi)集、閉集只相差一小測(cè)度集（可測(cè)集“差不多”就是開(kāi)集或閉集），從而可測(cè)集基本上是至多可數(shù)個(gè)開(kāi)區(qū)間的并。)(,0)1(EGmGEGE且使得，開(kāi)集可測(cè)，則若)(,0)2(FEmEFFE且使得，閉集可測(cè)，則若證明：若(1)已證明，由Ec可測(cè)可知)(, 0ccEGmGEG且，使得開(kāi)集)()()()()(cccccccEGmEFmFEmFEmFEm且EF 取F=G c，則F為閉集)(,0)1 (EGmGEGE且使得，開(kāi)集可測(cè)，則若)(, 0)2(FEmEFFE且使得，閉集可測(cè)，則若 證

13、明:(1)當(dāng)mE+時(shí)，由外測(cè)度定義知)(, 0EGmGEG且，使得開(kāi)集111,|iiiiiiGIGEGmEmGmIImE 令則 為開(kāi)集，且mEmGEGm)(從而（這里用到mE+ ）EmIEmIEIiiiii*1*1|, 0且使得開(kāi)區(qū)間列，且為開(kāi)集，則令GEGGGii,112111111)()()()()(iiiiiiiiiiiiiiiiEGmEGmEGmEGmEGmiiiiiiEGmGEG2)(且，使得開(kāi)集對(duì)每個(gè)Ei應(yīng)用上述結(jié)果)(1iiimEEE(2)當(dāng)mE=+時(shí)，這時(shí)將E分解成可數(shù)個(gè)互不相交的可測(cè)集的并：, 3 , 2 , 1,)()(1nEGmEOmnn1nnOGOG 令， 則為型 集

14、， EO且是可測(cè)集。，則且，使得開(kāi)集，若設(shè)EEGmGEGREn)(, 0()0m OE故()EOOE從而為可測(cè)集nnnnEGmGEG1)(且，使得開(kāi)集證明：對(duì)任意的1/n，,321rrrE 開(kāi)集: (0,1) 閉集：),( 1 , 011221iiiiirrF),(11221iiiiirrG開(kāi)集：閉集：空集GFGF 可測(cè)集可由 型集去掉一零集，或 型集添上一零集得到。0)(HEmEH且F(2).若E可測(cè)，則存在 型集H, 使0)(EOmOE且G(1).若E可測(cè)，則存在 型集 O, 使0)(ccEOmOEOG且，使得型0)()()()()(cccccccEOmEHmHEmHEmHEm0)(EOmOE且0)(HEmEH且FG(1).若E可測(cè)，則存在 型集 O, 使 (2).若E可測(cè)，則存在 型集H, 使證明：若(1)已證明，由Ec可測(cè)可知EH F取H=O c，則H為 型集 ， 且證明：對(duì)任意的1/n， 0)(EOmOE且G1()(),1,2,3,nnm OEm GEnnnnnEGmGEG1)(且，使得開(kāi)集()0m OE故OEGO型集，且為則,1nnOG 令GFGF注：上面的交與并不可交換次序),( 1 , 011112211ininiiinrrH型集：F) 1 , 0(型集：G),(11112211ininiiinrrO型集：G空集型集：F證明:由外測(cè)度定義知nininii