復(fù)變函數(shù)留數(shù)ppt課件

1、第五章 留數(shù)一.孤立奇點(diǎn)的分類(一類特殊的奇點(diǎn))二.留數(shù)(孤立奇點(diǎn)的數(shù)字特征)三.利用留數(shù)定理計(jì)算定積分留數(shù)的運(yùn)用 留數(shù)定理計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分的根本方法預(yù)備知識(shí)上解析，則在若Rzzzf 00)(nnnzzczf)()(0 處的羅朗展開式：在0zzf)( !nzzznzennnz2120 z111120 zzzzzznnn !)!()(sin5312153120zzznzznnn z !)!()(cos421214220zznzznnn znnnzznzfzfzzf)(!)()()()(0000 解析，泰勒級(jí)數(shù)：在若5.1 解析函數(shù)的孤立奇點(diǎn)點(diǎn)（不解析點(diǎn)）引例：求下列函數(shù)的奇)3)(1(3)()1

2、(2 zzzzf3, 121 zz1-3zzf sin1)()2( 為奇點(diǎn)，0 z也是奇點(diǎn)，, 211 kkz5.1.1 孤立奇點(diǎn)的定義及分類內(nèi)解析，不解析，但在）在若 00zzzzf0 (.)(的一個(gè)孤立奇點(diǎn)為則稱zfz0定義：0z,)(孤立奇點(diǎn)為若zfz0.)(上解析的去心鄰域（圓環(huán)域）在則 000zzzzf上的羅朗展開式在 00zzzf)(nnzzc)(-n 0存在我們根據(jù)羅朗展式中負(fù)冪項(xiàng)的多少，對(duì)孤立奇點(diǎn)進(jìn)展分類：,)()(負(fù)冪項(xiàng)中不含有可去奇點(diǎn)：若羅朗展式01zz .)(的可去奇點(diǎn)為我們稱zfz0這時(shí), f (z)= c0 + c1(z-z0) +.+ cn(z-z0)n +. 0|

3、z-z0|d ,那么在圓域|z-z0|d 內(nèi)就有 f (z)=c0+c1(z-z0)+.+cn(z-z0)n +.,從而函數(shù) f (z)在z0就成為解析的了.所以z0稱為可去奇點(diǎn).)(lim00czfzz 顯然，00czf )(補(bǔ)充定義 42!51!311zz的可去奇點(diǎn)。為)(zfz0 zzzfsin)( ：例1內(nèi)的羅朗級(jí)數(shù)為去心鄰域在 zzzf00)()!51!31(1sin53 zzzzzz的奇點(diǎn)，是)(zfz0 孤立奇點(diǎn)。負(fù)冪項(xiàng)；限多個(gè)極點(diǎn)：羅朗級(jí)數(shù)中含有)()(02zz 假設(shè)在羅朗級(jí)數(shù)中只需有限多個(gè)假設(shè)在羅朗級(jí)數(shù)中只需有限多個(gè)z-z0z-z0的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng), ,且其且其中關(guān)于中關(guān)于(

4、z-z0)-1(z-z0)-1的最高冪為的最高冪為 (z-z0)-m, (z-z0)-m, 即即f (z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-f (z)=c-m(z-z0)-m+.+c-2(z-z0)-2+c-1(z-z0)-1+c0+c1(z-z0)+. 1+c0+c1(z-z0)+. (m (m1, c-m1, c-m0),0),那么孤立奇點(diǎn)那么孤立奇點(diǎn)z0z0稱為函數(shù)稱為函數(shù) f (z) f (z)的的m m階極點(diǎn)階極點(diǎn). . 上式也可寫成01( )( )()mf zg zzz， （ ） 其中 g (z) = c-m+ c-m+1(z-z0) + c

5、-m+2(z-z0)2 +. , 在 |z-z0|d 內(nèi)是解析的函數(shù), 且 g (z0) 0 . 反過來, 當(dāng)任何一個(gè)函數(shù) f (z) 能表示為(*)的方式, 且g(z)在 解析，g (z0) 0 時(shí), 那么z0是 f (z)的m階極點(diǎn).0z假設(shè)z0為 f (z)的極點(diǎn), 由(*)式, 就有0lim( ).zzf z 321122)()( zzzzf：例為孤立奇點(diǎn)。iz , 1)12()1(1)(23 zzzzf012112122 zzzzzz解析，且在的三階極點(diǎn)。為)(zfz1 的一階極點(diǎn)。為類似，)(zfiz 解：的幾階極點(diǎn)？是問題：zzcos12 3. 3. 本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn) 假設(shè)在羅朗

6、級(jí)數(shù)中含有無窮多假設(shè)在羅朗級(jí)數(shù)中含有無窮多z-z0z-z0的負(fù)冪的負(fù)冪項(xiàng)項(xiàng), ,那么孤立奇點(diǎn)那么孤立奇點(diǎn)z0z0稱為稱為 f (z) f (z)的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn). .為它的本性奇點(diǎn)以例如：111 zzzfsin)(上的羅朗展式為的去心鄰域在因?yàn)?10111zzzsin1201112111 nnnznz)()!()(sin有無窮多負(fù)冪項(xiàng)。）。也不為不存在 ()(limzfzz0本性奇點(diǎn)為)(zfz0 1231112111311111nnznzz)()!()()(!)(!113 zezf)(：例nnzzne)1(1!1011 解: 奇點(diǎn)為1 z內(nèi)對(duì)應(yīng)的羅朗級(jí)數(shù)為的去心鄰域在Rzzzf 101)

7、(.)(的本性奇點(diǎn)是zfz1 111limzze, 0lim111 zze或11的右側(cè)趨向于沿實(shí)軸從點(diǎn)z11的左側(cè)趨向于沿實(shí)軸從點(diǎn)z.)(的本性奇點(diǎn)是zfz1 極限不存在，且不為111zzelim綜上所述:我們可以利用上述極限的不同情形來判別孤立奇點(diǎn)的類型.內(nèi)解析，則在若函數(shù)Rzzzf 00)(定理5.1存在且有限的可去奇點(diǎn)為)(lim)(zfzfzzz00 )(lim)(zfzfzzz00的極點(diǎn)為 不存在且不為的本性奇點(diǎn)為)(lim)(zfzfzzz00例4 斷定以下函數(shù)的孤立奇點(diǎn)的類型。zez11 )(為孤立奇點(diǎn)0 z)()(limlimzezezzzz1100 10 zzelim為可去奇

8、點(diǎn)。1 z洛比塔法那么42zzsin)(為孤立奇點(diǎn)0 z)()(sinlimsinlim4040zzzzzz 303zzzcoslim為極點(diǎn)。1 z5.1.2 零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系定義5.1：的零點(diǎn)為解析函數(shù)則稱，的鄰域內(nèi)解析，若在設(shè))()()(zfzzfzzf0000 :階零點(diǎn)m能表示成數(shù)若不恒等于零的解析函)(zf)1()()(0 mzzzzfm）， .)(,)()(階零點(diǎn)的為則稱解析且在其中mzfzzzz0000 例4： 多項(xiàng)式函數(shù)是最簡(jiǎn)單的解析函數(shù)。則重根的次多項(xiàng)式是若),()(nmmzPnzn 0)()()(zQzzzPmnmn 0次多項(xiàng)式，是一個(gè))()(n-mzQmn ,)(000 z

9、Qzmn解析，且在所以，問題：0 zzzzfsin)( 零點(diǎn)的階數(shù)？階零點(diǎn)。的是mzPzn)(0處的泰勒級(jí)數(shù)為在0zzf)()()()(zzzzfm0 即 )()(00zfzf, 0)(0) 1( zfm. 0)(00)( azfm階零點(diǎn)的是mzfz)(0充要條件）推論( )()(00zfzf, 0)(0)1( zfm. 0)(0)( zfm證明：階零點(diǎn)的是若mzfz)(0反之,!)(nzfcnn0（泰勒級(jí)數(shù)的系數(shù)） , 0110 mccc, 0 mc 1010)()()(mmmmzzczzczf)()(010 zzcczzmmm)()(,)( 0100zzaazzz泰勒級(jí)數(shù)：處解析在 202

10、10100mmmzzazzazzazf)()()()()()(zgzzm0 000 mczgzzgzg)()()(解析，在為對(duì)應(yīng)的和函數(shù)，在原點(diǎn)的性質(zhì)：考察函數(shù)例zzzfsin)( 5解：解析在0 zzf)(00 )(fzzfcos)( 1zzfsin)( zzfcos)( 00 )( f00 )(f010 )( f的三階零點(diǎn)。是所以，)(zfz0 零點(diǎn)與極點(diǎn)間的關(guān)系？ )()()(0zzzzfm )(1)()(10zzzzfm )()(10zgzzm 。解析，且在000 )()(zgzzg階零點(diǎn)的是mzfz)(0.)(階極點(diǎn)的是mzfz10定理5.3這個(gè)定理為判別函數(shù)的極點(diǎn)提供了一個(gè)較為簡(jiǎn)單

11、的方法.例6。的孤立奇點(diǎn)并指出類型求函數(shù)zzfcos)(1 解：這些點(diǎn)是的點(diǎn)的奇點(diǎn)是滿足,cos)(0 zzf),(102 kkzk0 kkzzzzzzsin)(cos因?yàn)榈囊浑A零點(diǎn)是所以，zzkcos的一階極點(diǎn)。是zzkcos1階零點(diǎn)階與為）分別以與設(shè)例nmazzz ()( 7 azzzzz )()() )()(在、）問21有何性質(zhì)？可設(shè)解)()(1zazzm ）)()(1zazzn ）.)() )(),(01111 aaazzz（解析，在其中),()()()()(111zzazzznm ）)()()()()() 211zzazzznm .)()(階零點(diǎn)的nmzz 為az 階零點(diǎn)，的為時(shí)，當(dāng)

12、)()()(nmzzaznm 階極點(diǎn)，的為時(shí)，當(dāng))()()(mnzzaznm .)()(的可去奇點(diǎn)為時(shí)，當(dāng)zzaznm 階極點(diǎn)的判定：m1定義內(nèi)的羅朗級(jí)數(shù)的去心鄰域在計(jì)算 000zzzzf)(m負(fù)冪項(xiàng)次數(shù)最高為若其中含有負(fù)冪項(xiàng)，且)()()()(zgzzzfm012 若。解析，且在其中，000 )()(zgzzg3根據(jù)零點(diǎn)與極點(diǎn)間的關(guān)系，定理5.3，定理5.2的推論(4) 例7的結(jié)論階零點(diǎn)，的為時(shí)，當(dāng))()()(nmzzaznm 階極點(diǎn)，的為時(shí)，當(dāng))()()(mnzzaznm .)()(的可去奇點(diǎn)為時(shí)，當(dāng)zzaznm 則階零點(diǎn)階與）的與分別是若, ()( nmzzaz 數(shù)。如果是極點(diǎn)，指出其階

13、下列函數(shù)有什么奇點(diǎn)？例821)()1zezfz 解奇點(diǎn)為. 0 z0)1( , 01(00 zzzzee）, 0)( , 0)(020202 zzzzzz的一級(jí)零點(diǎn)，是10 zez.)(的一級(jí)極點(diǎn)是zfz0 或21)(zezfz ,)!2(110nnznz .)(的一級(jí)極點(diǎn)是zfz0 內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的去心鄰域在100 zzzf)(的二級(jí)零點(diǎn)，是20zz ),(nm 217見例定義)!(1102 nnnzz32zzz sin) !753142zz.為可去奇點(diǎn)0 z或0)(sin, 0)(sin, 0)(sin, 0)(sin0)3(000 zzzzzzzzzzzz的三級(jí)零點(diǎn)。是)(sinzzz 0

14、的三級(jí)零點(diǎn)。是30zz .為可去奇點(diǎn)0 z解：奇點(diǎn)為0 z朗級(jí)數(shù)為：的去心鄰域內(nèi)對(duì)應(yīng)的羅函數(shù)在0 z3zzz sin3012121zznznnn )!()(),(nm 37見例332213)(sin)()zzzzf ）0sinz, 2, 1, 0kznz0 kzzz)(sin又的三級(jí)零點(diǎn)，是3)(sin zzzk 的一級(jí)零點(diǎn)是112 zz的三級(jí)零點(diǎn)，）是（322 zz的二級(jí)極點(diǎn)，是)(zfz1 是可去奇點(diǎn)，2 z， 43, 2, 0z.)( 的三級(jí)極點(diǎn)是zf解:奇點(diǎn)的一級(jí)零點(diǎn)是32211)( zzz的三級(jí)零點(diǎn)，）（是32212 zzz)(),(nm 317見例),(nm 37見例),(nm 3

15、07見例的定義及分類孤立奇點(diǎn) 315 .間隔原點(diǎn)無限遠(yuǎn)的點(diǎn)，統(tǒng)稱為無窮遠(yuǎn)點(diǎn) ，記作 由于函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)沒有定義，所以無窮遠(yuǎn)點(diǎn)總是一個(gè)奇點(diǎn)。我們關(guān)懷的是，在怎樣的情況下，構(gòu)成孤立奇點(diǎn)？定義： )()( 的為內(nèi)解析，則稱在若zfzRzf 定義：孤立奇點(diǎn)。無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域則的孤立奇點(diǎn)為若,)(zf 上的羅朗展式存在在 zRzf)(nnnzczf )(zw1 令)()(wfzf1 )(w z0 w nnnwcw)( zRRw10 上的羅朗展式在Rww10 )(定義5.2如果階極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn)、為稱,)(mzfz 階極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn)、是相應(yīng)地mww)(0 nnnzczf )( nnnw

16、cw)()的負(fù)冪項(xiàng)（無為可去奇點(diǎn)ww0 )的正冪項(xiàng)（無為可去奇點(diǎn)zz )的有限多負(fù)冪項(xiàng)（含有為極點(diǎn)ww0 )的有限多正冪項(xiàng)（含有為極點(diǎn)zz )的無限多負(fù)冪項(xiàng)（含有為本性奇點(diǎn)ww0 )的無限多正冪項(xiàng)（含有為本性奇點(diǎn)zz0 的類型。多少判定上羅朗展式中正冪項(xiàng)的在根據(jù) zRzf)(例:斷定以下函數(shù)在 處奇點(diǎn)的類型 zzz114sin),zw1 解：令wwzzsinsin4411 的三階極點(diǎn)，是wwwsin410 的一階零點(diǎn)是wwsin0 的四階零點(diǎn)是40ww 為三階極點(diǎn)。 z或上的羅朗展式在 zRzz14sinzz14sin120411211 nnnznz)!()()!( 5341511311zzzz zzz15133!由于含有有限多正冪項(xiàng)，且最高次數(shù)為三次，為三階極點(diǎn)。 z125 zz),zw1 解：令455111111wwwwzz)()( 的四階極點(diǎn)是411