(必修一)集合與函數(shù)概念練習(xí)題

1、練習(xí)題無憂數(shù)學(xué)集合與函數(shù)概念I(lǐng)必修一第一章集合第一節(jié)集合的含義、表示及基本關(guān)系A(chǔ)組1.已知A= 1,2 , B=x|xCA,則集合 A與B的關(guān)系為 .解析：由集合B=x|xC A知，B=1,2.答案：A=B2,若？至xx%a, aCR,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .解析：由題意知，x2wa有解，故a>0.答案：a>03 .已知集合 A=y|y=x2-2x-1, xC R,集合B = x|-2<x<8,則集合 A與B的關(guān)系是解析：y=x2-2x-1 = (x-1)2-2> -2, . A= y|y > 2,，B 窄 A.答案：B A4 .已知全集 U=R,則正確表示

2、集合M = 1,0,1和N=x|x2+x= 0關(guān)系的韋恩(Venn)圖是.解析：由N=x|x2+x=0 ,得N=-1,0,則N生M.答案：5 .已知集合 A=x|x>5,集合B=x|x>a,若命題“ xC A”是命題“ xC B”的充分不必要 條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .解析：命題“xC A”是命題“xCB”的充分不必要條件，.A B, .-.a<5.答案：a<56 .已知 mCA, nCB,且集合 A=x|x=2a, aCZ, B = x|x=2a+1, aCZ,又 C=xx = 4a+1, aCZ,判斷m+n屬于哪一個(gè)集合？解：m A,，設(shè) m=2a，aCZ,又n

3、 C B,，設(shè) n=2az+1, a2 C Z, ，m+n=2(a1+ a2)+1,而 a+a2CZ,.m+nCB.B組1 .設(shè)a, b都是非零實(shí)數(shù)，丫 =1+。需可能取的值組成的集合是.|a| |b| ab|解析：分四種情況：(1)a>0 且 b>0; (2)a>0 且 b<0; (3)a<0 且 b>0; (4)a<0 且 b<0,討論得y=3或y= 1.答案：3, 12 .已知集合 A=-1,3,2m-1,集合 B=3, m2.若 B? A,則實(shí)數(shù) m =.解析：.B? A,顯然 m2w 1 且 m2w3,故 m2=2m- 1,即(m 1)

4、2= 0, m= 1.答案：13 .設(shè)P, Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合P+Q = a+b|aC P, b C Q,若P= 0,2,5 , Q= 1,2,6,則P+Q中元素的個(gè)數(shù)是 個(gè).解析：依次分別取 a= 0,2,5; b= 1,2,6,并分別求和，注意到集合元素的互異性，.P+ Q = 1,2,6,3,4,8,7,11.答案：84,已知集合 M = x|x2=1,集合N = x|ax=1,若N M,那么a的值是.解析：M = x|x = 1 或 x= 1, N M ,所以 N = ?時(shí)，a=0;當(dāng) aw。時(shí)，x=' = 1 或一1, .2=1 或1.答案：0,1, 15 .滿足

5、1窄A? 1,2,3的集合A的個(gè)數(shù)是 個(gè).解析：A中一定有元素1,所以A有1,2 , 1,3 , 1,2,3.答案：36 .已知集合 A=x|x=a+1, aCZ, B=x|x= b-1, bC Z, C=x=+ 1, cC Z,貝U A、 62 32 6B、C之間的關(guān)系是.解析：用列舉法尋找規(guī)律.答案：A罕B=C7 .集合 A= x|x|<4, xC R, B=x|x<a,貝廠'A? B” 是 “ a>5” 的.解析：結(jié)合數(shù)軸若 A? B? a>4,故“A? B”是“a>5”的必要但不充分條件.答案：必要不充分條件8 .設(shè)集合 M=m|m=2n, nCN

6、,且m<500,則M中所有元素的和為 .解析：,2n<500,，n= 0,1,2,3,4,5,678.，M 中所有元素的和 S= 1 + 2 + 22+ + 28= 511. 答案：5119 .設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對于 kC A,如果k- 1?A,且k+ 1?A,那么稱k是A的 一個(gè)“孤立元” .給定 S= 1,2,3,4,5,6,7,8,由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤 立元”的集合共有 個(gè).解析：依題可知，由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含 “孤立元”，這三個(gè)元素一 定是相連的三個(gè)數(shù).故這樣的集合共有6個(gè).答案：610 .已知 A=x, xy, lg(xy),

7、 B= 0 , |x|, y,且 A= B,試求 x, y 的值.解：由 lg(xy)知，xy>0,故 xw。，xyw 0,于是由 A= B 得 lg(xy)= 0, xy= 1. .A=x,1,0, B=0, |x|, x.于是必有|x|= 1, 1 = xw 1 故x= 1,從而y=- 1. x11 .已知集合 A=x|x2-3x-10<0,(1)若B? A, B=x|m+1<x< 2m1,求實(shí)數(shù) m的取值范圍；(2)若A? B, B=x|m-6<x< 2m1,求實(shí)數(shù) m的取值范圍；(3)若人=8, B=x|m-6<x< 2m1,求實(shí)數(shù) m的

8、取值范圍.解：由 A=x|x23x10W0,得 A= x|-2<x< 5,(1) / B? A, 若 B=?,則 m+ 1>2m-1,即 m<2,此時(shí)滿足 B? A.“m+ 1 & 2m 1,若 Bw?,則 1 2Wm+1, 解得 2WmW3.2m 1 w 5.由得，m的取值范圍是(一00, 3."2m 1>m 6,"m> 一5,(2)若A? B,則依題意應(yīng)有im-6< -2, 解得imW4, 故3WmW4,、2m1>5.、m>3.m的取值范圍是3,4.m_ 6 = _ 2,(3)若人=8,則必有,解得mC?.,

9、即不存在 m值使得A=B.2m- 1 = 5,12,已知集合 A=x|x2-3x+2<0, B=x|x2-(a+1)x+a< 0.(1)若A是B的真子集，求a的取值范圍；(2)若B是A的子集，求a的取值范圍；(3)若A=B,求a的取值范圍.解：由 x2-3x+ 2<0,即(x1)(x 2)<0,得 1WxW2,故 A = x|1<x< 2,而集合 B=x|(x- 1)(x- a)W0,若A是B的真子集，即 A B,則此時(shí)B = x|1Wx w a,故a>2.(2)若B是A的子集，即B? A,由數(shù)軸可知1WaW2.若A=B,則必'有a=2第二節(jié)集

10、合的基本運(yùn)算1,設(shè) U=R, A=x|x>0 , B = x|x>1,則 AA?uB =.解析：？uB=x|x01, .An?uB = x|0<xW1.答案：x|0<xW12.設(shè)集合 A =4,5,7,9 , B= 347,8,9,全集 U = AU B,則集合？u(AA B)中的元素共有 個(gè).解析：AAB=4,7,9, AUB= 3,4,57,8,9 , ?u(AA B) = 3,5,8).答案:33 .已知集合 M = 0,1,2 , N=x|x=2a, a M,則集合 MA N =.解析：由題意知，N = 0,2,4,故 MAN = 0,2.答案：0,24 .(原

11、創(chuàng)題)設(shè)A, B是非空集合，定義A? B = x|x AU B且x?AA B,已知A=x|0<x<2,B=y|y>0,貝U A? B=.解析：AU B=0, + 8), An B=0,2,所以 A? B = (2, + 8).答案：(2, +s)5 .某班共30人，其中15人喜愛籃球運(yùn)動(dòng)，10人喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)，8人對這兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都不 喜愛，則喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒乓球運(yùn)動(dòng)的人數(shù)為 得到方程乓球運(yùn)動(dòng)解析：設(shè)兩項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都喜歡的人數(shù)為x,畫出韋恩圖15-x+x+10-x+8=30=x=3 ,喜愛籃球運(yùn)動(dòng)但不喜愛乒的人數(shù)為15-3=12(人).答案：126 .已知集合 A=x|x>

12、1,集合 B=x|m<x<m+3.(1)當(dāng) m= 1 時(shí)，求 APB, AU B;(2)若B? A,求m的取值范圍.解：當(dāng) m=-1 時(shí)，B=x| -1<x<2, /.An B=x|1<x< 2, AU B= x| x>- 1 . (2) 若B? A,則m>1,即m的取值范圍為(1 ,十8) 1,若集合 M=xG R|3Vx<1 , N=x Z|-1<x< 2,則 MAN=.解析：因?yàn)榧?N = - 1,0,1,2,所以 MA N= -1,0.答案： 1,02 .已知全集 U=- 1,0,1,2,集合 A=-1,2 , B=

13、0,2,則(?uA)CB =.解析：?uA=0,1,故(?必)0 B=0.答案:0 nr r3 .若全集 U = R,集合 M = x| 2WxW2, N = x|x - 3x< 0,則 M n (?uN)=.解析：根據(jù)已知得 Mn(?uN)=x| 2&xW2nx|x<0 或 x>3 = x|2Wx<0.答案:x| 2< x<04 .集合 A=3, log2a, B=a, b,若 An B=2,則 AU B =.解析：由 An B = 2得 log2a=2, . . a= 4,從而 b=2,AU B= 2,3,4.答案:2,3,45 .已知全集U =

14、 AUB中有m個(gè)元素，(？uA)U (?uB)中有n個(gè)元素.若APB非空，則AA B 的元素個(gè)數(shù)為.解析：U = AUB中有m個(gè)元素，一、:(？uA) U (?uB)= ?u(AC B)中有 n 個(gè)元素，AC B 中有'mn 個(gè)元素.答案：m-n( a b j6 .設(shè)U = n|n是小于9的正整數(shù), A=nCU|n是奇數(shù),b =n U|n 是 3 的倍數(shù),則？u(AU B) =. Z解析：U = 1,2,3,4,5,678 , A= 1,3,5,7 , B = 3,6 , . AU B = 1,3,5,6.7,得？u(AU B)= 2,4,8.答案:2,4,87,定義 A?B=z|z=

15、xy + -, xA, y B.設(shè)集合 A=0,2 , B=1,2 , C = 1,則集合(A?B)?C的所有元素之和為.解析：由題意可求(A?B)中所含的元素有 0,4,5,則(A?B)?C中所含的元素有 0,8,10,故 所有元素之和為18.答案：188.若集合(x, y)|x+y2= 0 且 x2y+4=*x, y)|y=3x+b,則 b=.解析：由卜+ y 20，？卜一0 點(diǎn)(0,2)在 y=3x+b 上，b = 2.x- 2y+4=0.y= 2.9 .設(shè)全集 I = 2,3, a2+2a-3, A=2, |a+1|, ?iA=5, M = x|x= log2|a|,則集合 M 的所有

16、子集是.解析：-. AU(?iA)=I, .2,3,a2+2a3 = 2,5,|a+1|,. |a+1|=3,且a2 + 2a3=5,解得 a= 4 或 a= 2, . M = log 22, 10g2|4| =1,2.答案：？，1 , 2 , 1,210 .設(shè)集合 A=x|x2-3x+2=0, B=x|x2+2(a+1)x+(a25)=0.(1)若AAB=2,求實(shí)數(shù)a的值；(2)若AUB=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：由 x2 3x+ 2=0 得 x= 1或*= 2,故集合 A= 1,2.(1)v An B=2 , .-.2 B,代入 B 中的方程，得 a2+4a+3=0? a= 1 或 a=

17、 - 3;當(dāng) a=- 1 時(shí)，B = x|x24=0 = 2,2,滿足條件；當(dāng) a= 3 時(shí)，B = x|x2-4x+ 4=0 = 2, 滿足條件；綜上，a的值為1或3.(2)對于集合 B, A= 4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3). .AUB=A, B? A,當(dāng)A<0即a< 3時(shí)，B=?滿足條件；當(dāng)A= 0,即a=3時(shí)，B = 2滿足條件； 當(dāng)A>Q即a> 3時(shí)，B = A= 1,2才能滿足條件，則由根與系數(shù)的關(guān)系得1+2=- 2(a+ 1)1X2= a2- 5矛盾.綜上，a的取值范圍是aw 3.11.已知函數(shù)f(x)=、61的定義域?yàn)榧?集合B.'

18、;A,函數(shù)g(x)=lg( x2+2x+m)的定義域?yàn)?1)當(dāng) m = 3 時(shí)，求 An (?rB);(2)若 AAB=x| 1<x<4,求實(shí)數(shù) m 的值.解：A= x| 1<x< 5.(1)當(dāng) m = 3 時(shí)，B=x|-1<x<3,則？rB= x|xw 1 或 x>3,-'-An (?rB)=x|3<x<5.(2)A=x|1<xW5, AA B = x|- 1<x<4,有一42 + 2X4+m= 0,解得 m=8,此時(shí) B = x|-2<x<4,符合題意.12,已知集合 A=x R|ax2-3x+ 2

19、=0.(1)若A=?,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若A是單元素集，求a的值及集合A;(3)求集合 M = aCR|Aw?.解：(1)A是空集，即方程 ax2- 3x+ 2=0無解.。2 . 一若a = 0,萬程有一解x= 2,不合題意.3若 aw0,要方程 ax23x+2 = 0 無解，則 A= 9 8a<0,則 a>98綜上可知，若A=?,則a的取值范圍應(yīng)為a>9.8(2)當(dāng)a=0時(shí)，方程ax23x+2=0只有一根x= |, A="2符合題意. 33,一，一r一9 一，當(dāng) aw0 時(shí)，則 A= 9 8a=0,即 a =1時(shí)，8方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 x=*,則A=

20、務(wù).33綜上可知，當(dāng)a= 0時(shí)，A=|;當(dāng)a=8時(shí)，A=，.2.(3)當(dāng)a=0時(shí)，A=qw?.當(dāng)aw。時(shí)，要使方程有實(shí)數(shù)根， |貝U A= 9 8a>0,即 a<9.8綜上可知，a的取值范圍是 aw9,即M = aC R|Aw ? =a|a<88第三節(jié) 函數(shù)的單調(diào)性A組工cos a= 2sin（ a+1）,，1WyW2.1,下列函數(shù)f(x)中，滿足“對任意 X1, X2C(0, +8),當(dāng)Xi<X2時(shí)，都有f(Xi)>f(X2)”的是練習(xí)題=ex的下確界為0,即練習(xí)題f(x)= ex是有下確界的函數(shù)；1 (x>0)f(x)=S0 (x=0)、一1 (x<

21、; 1)1 (x>0)的下確界為一1.f(x)=i0 (x=0)是有下確界的函數(shù). 答案:、一1 (x< - 1)6.已知函數(shù)f(x)=x2,g(x) = x 1.(1)若存在xC R使f(x)<b g(x),求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)設(shè)F(x)=f(x)mg(x)+1 mm2,且|F(x)|在0,1上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：(1)3x R, f(x)<b g(x) xC R, x2bx+b<0 A=(-b)2-4b>( b<0 或 b>4.(2)F(x)= x2 mx+1 m2, A=m24(1 m2)= 5m2 4,當(dāng)AW0即一竽m

22、 _ c255<m<0.2 0(廠廠I-*m 磬當(dāng)A>0即m< 2.55或m>5時(shí)，設(shè)方程F(x) = 0的根為x1, x2(x1 <x2),若m>1,則17至02F(0)=1m2>01wm<一平.綜上所述：ymwo或廿2.m>2.IF(0)=1m若 m。，則 x2<oB組1 .下列函數(shù)中，單調(diào)增區(qū)間是 (一8, 0的是. y= 1 y= (x1) y=x22 y= |x| x解析：由函數(shù)y=|x|的圖象可知其增區(qū)間為(一8, 0.答案：2,若函數(shù)f(x)= log2(x2- ax+ 3a)在區(qū)間2,十 )上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù) a

23、的取值范圍是解析：令g(x)=x2- ax+ 3a,由題知g(x)在2, + 8)上是增函數(shù)，且 g(2)>0.4<aW4.答案：4<aW43,若函數(shù)f(x)=x+a(a>0)在(3, + 00 )上是單調(diào)增函數(shù)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍 x 4a- 3 .9斛析：,f(x) = x+ x(a>0)在(ya, + 00)上為增函數(shù)，.仙支,0<a<6.答案：(°，1964 .定義在R上的偶函數(shù)f(x),對任意x1, X2 0, +8)(x1wx2),有f(X2) ?刈<0,則下列 x2 x1結(jié)論正確的是. f(3)<f( 2)<

24、f(1) f(1)<f(2)<f(3) f(2)<f(1)<f(3) f(3)<f(1)<f( 2)解析：由已知 吃:器<0,得f(x)在xC0, +8)上單調(diào)遞減，由偶函數(shù)性質(zhì)得f(2) = f(-2),即 f(3)<f( 2)<f(1).答案：滿足對任意x-2'都有*程<°成立，則aax(x<0),5 .已知函數(shù)f(x)= il(a3)x+4a (x>0)的取值范圍是-11解得ova*-0<a<1,解析：由題意知，f(x)為減函數(shù)，所以1a3<0,La°>(a 3)X

25、 0+4a)6.函數(shù)f(x)的圖象是如下圖所示的折線段OAB,點(diǎn)A(1,2),點(diǎn) B 的坐標(biāo)為(3,0),定義函數(shù) g(x)=f(x) (x1), 的最大值為.解析:g(x)=2x(x 1)L(-x+3)(x-1)(0<x<1),(1 & x< 3),當(dāng)0Wx<1時(shí)，最大值為0;當(dāng)1WxW 3時(shí),的坐標(biāo)為則函數(shù)g(x)在x = 2取得最大值1.答案：17.已知定義域在 1,1上的函數(shù)y = f(x)的值域?yàn)?,0,則函數(shù) y= f(cosx)的值域是解析：cos/xe 1,1,函數(shù) y=f(x)的值域?yàn)?,0, .y=f(cos7x)的值域?yàn)?2,0.答 案：2

26、,08 .已知 f(x) = log3x+2, xC 1,9,則函數(shù) y= f(x)2+f(x2)的最大值是 .解析：二.函數(shù)y=f(x)2+f(x2)的定義域?yàn)?<x< 9,2V9 -xC 1,3,令 Iog3x=t, te 0,1,.y=(t+2)2+2t+2= (t+3)23, .當(dāng) t= 1 時(shí),ymax=13.答案:139.若函數(shù)f(x)= loga(2x2+x)(a>0, aw1)在區(qū)間(0, 2)內(nèi)恒有f(x)>0,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間 為.21斛析：令 呼2x+x,當(dāng)xC (0, 2)時(shí)，慶(0,1),而此時(shí)f(x)>0恒成立，0<a&l

27、t;1.產(chǎn) 2(x+1)21,則減區(qū)間為(-00, 1).而必然有 2x2+x>0,即 x>0 或 x<-1./.f(x) 4842的單調(diào)遞增區(qū)間為(一°°, 2)答案：(一°°, 一 2).一 一，1110 .試討論函數(shù) y= 2(logx)2 2logx+1的單倜性.解：易知函數(shù)的定義域?yàn)?0, +°°).如果令u= g(x)= log-1x, y= f(u) = 2u22u+1,那1么原函數(shù)y = fg(x)是由g(x)與f(u)受合而成的受合函數(shù)， 而u=log2x在xC(0, +8)內(nèi)是減 函數(shù)，y=2u2

28、 2u+1 = 2(u1)2 + 2在uC(8,；)上是減函數(shù)，在 uC (2, + 8)上是增函 數(shù).又u2",即10g2xw 1,得x>*； u>2,得0<x<乎.由此，從下表討論復(fù)合函數(shù) y=fg(x) 的單調(diào)性：函數(shù)單調(diào)性(0, 2 )去，+ °°)1 u= 10g2x2f(u) = 2u2-2u+ 111y=2(1og2x)2 21og2x+ 1/故函數(shù)y=2(1og2x)2-21og1x+ 1在區(qū)間(0, 22)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(；，+00)上單調(diào)遞增.11 .已知定義在區(qū)間(0, +8)上的函數(shù)f(x)滿足f(x1)=f(x

29、1)f(x2),且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調(diào)性；若f(3) = 1,解不等式f(|x|)<2.解：(1)令 = *2>0,代入得 f(1)=f(x。一 f(x1)=0,故 f(1) = 0.xi(2)任取 xi, x26 (0, +8)且 xi>x2,則>1,由于當(dāng) x>1 時(shí)，f(x)<0 ,x2xi所以 f()<0 ,即 f(x1)-f(x2)<0,因此 f(x1)<f(x2),所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0, + 8)上是單調(diào)遞減函數(shù).xi9(3)由 f(1)=f(x1)f(x2)

30、得 f1) = f(9)f(3),而 f(3) = 1,所以 f(9) = - 2. x23由于函數(shù)f(x)在區(qū)間(0, + 8)上是單調(diào)遞減函數(shù)，由f(|x|)<f(9),得岡>9,x>9或x< 9.因此不等式的解集為x|x>9或x< 9.12.已知：f(x)=1og3x + ax+b, xC(0, +8),是否存在實(shí)數(shù) a, b,使f(x)同時(shí)滿足下列三 x個(gè)條件：(1)在(0,1上是減函數(shù)，(2)在1, +8)上是增函數(shù)，(3)f(x)的最小值是1.若存在，求 出a、b;若不存在，說明理由.解：,f(x)在(0,1上是減函數(shù)，1 , +8)上是增函數(shù)，

31、x= 1時(shí)，f(x)最小，logs1+；* b=1.即 a+ b= 2.設(shè) 0VXiX2Wl,則 f(Xi)>f(X2).即xi2 + aXi + b X22 + aX2 + b、>恒成立.XiX2(Xi X2)(XiX2 b)由此得> 0恒成立.XiX2又Xi X2<0,XiX2>0, "XiX2b<0 恒成立，b>i.設(shè) iWX3X4,則 f(X3)Vf(X4)恒成立.(X3 X4)(X3X4-2V0 恒成立.X3X4. X3 X4<0, X3X4>0,，X3X4>b 恒成立.，b w i.由 b > i 且 b

32、w i 可知 b= i,，a= i.， 存在a、b,使f(X)同時(shí)滿足三個(gè)條件.第三節(jié) 函數(shù)的性質(zhì)A組1 .設(shè)偶函數(shù) f(X)= loga|Xb|在(00, 0)上單調(diào)遞增，則f(a+i)與f(b+2)的大小關(guān)系為解析：由f(X)為偶函數(shù)，知b=0, .f(X)= loga|X|,又f(X)在(00, 0)上單調(diào)遞增，所以 0<a<i,i<a+i<2,則 f(X)在(0, +8)上單調(diào)遞減，所以 f(a+i)>f(b+2).答案：f(a+i)>f(b + 2)2 .定義在 R上的函數(shù)f(X)既是奇函數(shù)又是以2為周期的周期函數(shù)，則f(i) + f(4)+f(7

33、)等于解析：f(X)為奇函數(shù)，且xC R,所以f(0) = 0,由周期為2可知，f(4)=0, f(7) = f(i),又 由 f(X+2) = f(X),令 x=i 得 f(i) = f(i) = f(i)? f(i)=0,所以 f(i) + f(4) + f(7) = 0.答案： 03 .已知定義在 R上的奇函數(shù)f(X)滿足f(X 4) = f(X),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則f(25)、 f(ii)、f(80)的大小關(guān)系為 .解析：因?yàn)閒(X)滿足f(X-4) = -f(X),所以f(X-8)=f(X),所以函數(shù)是以8為周期的周期 函數(shù)，則 f(-25) = f(-i), f(80)

34、= f(0), f(ii)=f(3),又因?yàn)?f(X)在 R 上是奇函數(shù),f(0) = 0, 得 f(80) = f(0) = 0, f(-25) = f(-i) = -f(i),而由 f(X 4) = 一f(X)得 f(ii)=f(3)=f(3) = f(i-4)=f(i),又因?yàn)閒(X)在區(qū)間0,2上是增函數(shù),所以f(i)>f(0) = 0,所以一f(i)<0,即f( 25)<f(80)<f(ii).答案：f(-25)<f(80)<f(ii)i 一4 .已知偶函數(shù)f(X)在區(qū)間0,+8)上單調(diào)增加，則滿足f(2Xi)<fQ的X取值范圍是 .3解析：

35、由于f(X)是偶函數(shù)，故f(X)=f(|X|),由f(|2X- i|)<f(3),再根據(jù)f(X)的單調(diào)性得|2x 一i|<3,解得 1Vx<3.答案：(3, 3) 3333 35 .(原創(chuàng)題)已知定義在 R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，對 xC R, f(2 + x)=f(2-x),當(dāng)f(3) = 2時(shí)，f(20ii)的值為.解析：因?yàn)槎x在 R上的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(2 + x) = f(2 x)=f(x 2),故函數(shù)f(x) 是以 4 為周期的函數(shù)，所以 f(20ii) = f(3+502X4) = f(3) = f( 3)= 2.答案：一2 6.已知函數(shù)y=f(x

36、)是定義在R上的周期函數(shù)，周期 T=5,函數(shù)y=f(x)(-Kx< i)是奇函 數(shù)，又知y = f(x)在0,i上是一次函數(shù)，在i,4上是二次函數(shù)，且在x= 2時(shí)函數(shù)取得最小值-5.(i)證明：f(i)+f(4) = 0; (2)求 y=f(x), xC i,4的解析式；(3)求 y=f(x)在4,9上的解析解：(i)證明：.f(x)是以5為周期的周期函數(shù),. .f(4)=f(4-5)=f(- i), 又.y=f(x)( iwxwi)是奇函數(shù),.f(i) = f(-i)=- f(4), .f(i) + f(4)=0.(2)當(dāng) xC i,4時(shí)，由題意可設(shè)f(x)=a(x-2)2-5(a&g

37、t;0),由 f(i) + f(4)=0,得 a(i-2)2-5+ a(4-2)2- 5=0, .-.a=2, .1.f(x)= 2(x-2)2- 5(Kx<4).(3) /y=f(x)(-Kx< 1)是奇函數(shù)，f(0) = 0,又知y=f(x)在0,1上是一次函數(shù)，.可設(shè) f(x)= kx(0WxW 1),而 f(l)=2(1 2)25=3, . . k=3, .當(dāng) 0WxW 1 時(shí)，f(x)=3x,從 而當(dāng)一1Wx<0 時(shí)，f(x)=f(x)=3x,故一1 WxW 1 時(shí)，f(x) = 3x.,.當(dāng) 4WxW6 時(shí)，有 -1<x-5< 1, /.f(x) =

38、f(x-5) = - 3(x- 5)=3x+15.當(dāng) 6<xW9 時(shí)，1<x- 5<4, ，f(x)=f(x -5) = 2(x 5)-22-5=2(x- 7)2-5.-3x+ 15,4<x<6f(x)2(x 7)25，6<x<9 .B組1 .函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(x+1)與f(x 1)都是奇函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是 .f(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)=f(x+2)f(x+3)是奇函數(shù)解析：f(x+ 1)與 f(x1)都是奇函數(shù)，.-.f(-x+1)=- f(x+ 1), f(-x-1) = - f(x-1), 函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(1

39、,0),及點(diǎn)(一1,0)對稱，函數(shù) f(x)是周期T=21 -(-1)=4的周期函 數(shù).-.f(-x- 1 + 4) = -f(x- 1 + 4), f(-x+ 3)=f(x+ 3),即 f(x+ 3)是奇函數(shù). 答案： ，一，312 .已知定義在R 上的函數(shù) f(x)滿足 f(x) = f(x + 2),且 f(-2)=f(- 1)= - 1, f(0) = 2, f(1)+ f(2) + + f(2009) + f(2010) =.3 .一解析：f(x) = f(x+ /? f(x+3)=f(x),即周期為 3,由 f( 2) = f(1) = 1, f(0) = 2,所 以 f(1) =

40、 - 1 , f(2)=- 1, f(3)=2,所以 f(1)+f(2) +f(2009) + f(2010) = f(2008) + f(2009) + f(2010) = f(1) + f(2) + f(3) = 0.答案：03 .已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(1)=1,若將f(x)的圖象向右平移一個(gè)單位后，得 到一個(gè)偶函數(shù)的圖象，則 f(1)+f(2) + f(3) + f(2010) =.解析：f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(-x)=-f(x),將f(x)的圖象向右平移一個(gè)單 位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象， 則滿足f(2+x)= f(x),即f(x+2) = f(x),所

41、以周期為4, f(1)=1, f(2) = f(0)=0, f(3) = -f(1) = - 1, f(4)=0,所以 f(1) + f(2) + f(3) + f(4)=0,則 f(1) + f(2) + f(3) + + f(2010) = f(4) X 502+ f(2) = 0.答案：04 .已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在(0, +8)上有F (x)>0,若f(1)=0,那么關(guān)于x 的不等式xf(x)<0的解集是.解析：在(0, + 8)上有F (x)>0,則在(0, + 8)上f(x)是增函數(shù)，在(8, 0)上是減函 數(shù)，又f(x)在R上是偶函數(shù)，且f(1)=

42、0,，f(1)=0.從而可知xC(8, 1)時(shí)，f(x)>0； xC( 1,0)時(shí)，f(x)<0; xC(0,1)時(shí)，f(x)<0; xC (1, +8)時(shí)，f(x)>0.，不等式的解集為(8, -1)U(0,1)答案：(8, 1)U(0,1).5 .已知函數(shù)f(x)是(一8, +8)上的偶函數(shù)，若對于 x>0,都有f(x+ 2)=f(x),且當(dāng)xC 0,2) 時(shí)，f(x)=log2(x+ 1),則 f( 2009) +f(2010)的值為.解析：. f(x)是偶函數(shù)，f(2009) = f(2009). f(x)在 x>0 時(shí) f(x+2) = f(x),

43、，f(x)周期 為 2. . . f( 2009) + f(2010) = f(2009) + f(2010) = f(1) + f(0) = log22 + log21 = 0+ 1 = 1.答案:116 .已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，并且對于定義域內(nèi)任意的x,滿足f(x+2)= 而，若當(dāng)2Vx<3時(shí)，f(x)=x,則 f(2009.5) =.1解析：由 f(x+2) = 病,可得 f(x+ 4)=f(x), f(2009.5) = f(502X4+ 1.5) = f(1.5) = f(5-、52.5) f(x)是偶函數(shù)，f(2009.5) = f(2.5) = 2.答案：27.定義在R

44、上的函數(shù)f(x)在( 8, a上是增函數(shù)，函數(shù)y= f(x+a)是偶函數(shù)，當(dāng)x1<a, x2>a, 且|x1一 a|<|x2 a|時(shí)，則f(2a x1)與f(x2)的大小關(guān)系為 .解析：- y= f(x+ a)為偶函猴，y= f(x+a)的圖象關(guān)于y軸對稱，y=f(x)的圖象關(guān)于x=a對稱.又 f(x)在(一00, a上是增函數(shù)，/. f(x)在a, + 00)上是減函數(shù).當(dāng) x1<a, x2>a, 且|x1 一 a|<|x2 a|時(shí)，有 ax1<x2a,即 a<2ax1<x2,二. f(2a x1)>f(x2).答案:f(2a x1

45、)>f(x2) 8.已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x) = x(x+1).若f(a)=2,則實(shí)數(shù)a =.解析：當(dāng) x>0 時(shí),f(x)=x(x+1)>0,由 f(x)為奇函數(shù)知 x<0 時(shí),f(x)<0, .-.a<0, f(a) =2,a(a+1)=2, .2=2(舍)或 a=1.答案：19 .已知定義在 R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4) = f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù).若方程f(x) = m(m> 0)在區(qū)間8,8上有四個(gè)不同的根 x1, x2, x3, x4,則 x1+x2+x3+x4=.解析：因?yàn)槎x在 R上

46、的奇函數(shù)，滿足 f(x 4)=f(x),所以f(4-x)= f(x),因此，函 數(shù)圖象關(guān)于直線 x=2對稱且f(0)=0.由f(x 4)=f(x)知f(x8)=f(x),所以函數(shù)是以8為周 期的周期函數(shù).又因?yàn)?f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，所以 f(x)在區(qū)間 2,0上也是增函數(shù)， 如圖所示，那么方程f(x) = m(m>0)在區(qū)間8,8上有四個(gè)不同的根 x1, x2, x3, x4,不妨設(shè)xi V x2Vx3 V x4.由對稱性知 xi+x2= 12,&+乂=4,所以 *1 + *2+&+乂=一12+4=8.答 案：-8：2x10 .已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)

47、 xC( 巴 0)時(shí)，f(x)=- xlg(2-x),求f(x)的解析式., f(x)=-xlg(2 x)=-xlg(2+ x)解：f(x)是奇函數(shù)，可得 f(0) = f(0), ./:。.當(dāng) x>0 時(shí),-x<0,由已知 f(-x) = xlg(2 + x), 1. f(x)= xlg(2 + x),即 f(x)= xlg(2 + x) (x>0).(x<0)， 口口(x>0)即 f(x)=-xlg(2 + |x|)(xR).11 .已知函數(shù) f(x),當(dāng)x, yCR時(shí)，恒有f(x+ y)=f(x)+f(y). (1)求證:f(x)是奇函數(shù);(2)如 果xCR

48、+, f(x)<0,并且f(1) = 1,試求f(x)在區(qū)間2,6上的最值.解：(1)證明：二函數(shù)定義域?yàn)镽,其定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱. f(x+y) = f(x) + f(y),令 y=x, .f(0) = f(x) + f(x).令 x= y=0, . f(0)= f(0)+f(0), 得 f(0)=0. .f(x)+f( x) = 0,得 f(x)=f(x), .f(x)為奇函數(shù).(2)法一:設(shè) x, y R+ , . f(x+ y) = f(x) + f(y),，f(x+ y)- f(x) = f(y). xCR , f(x)<0 , 1- f(x+ y) f(x)<0,

49、 . f(x+ y)<f(x). . x+ y>x, . . f(x)在(0, 十 00)上是 減函數(shù).又f(x)為奇函數(shù)，f(0) = 0, .-.f(x)在(一8, +8)上是減函數(shù).，f( 2)為最大值，1f(6)為最小值. f(1) = 2,，f(2) = f(2)=2f(1) = 1, f(6)=2f(3)=2f(1) + f(2) = 3.， 所求f(x)在區(qū)間2,6上的最大值為1,最小值為一3.法-:設(shè) x1<x2 ,且 x，x2 e R.則 f(x2 x1)=fx2+( x) = f(x2)+ f( 一 x1)= f(x2) 一 f(x1) . 丁 xx1>0,，f(x2x1)<0. f(x2)f(