安徽省宿松縣2017屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第12講三角恒等變換及應(yīng)用教案

1、I三角恒等變換及應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法 的作用；2.能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的 正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系；3能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括引導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積、 半角公式，但不要求記憶）。命題走向從近幾年的高考考察的方向來看，這部分的高考題以選擇、解答題出現(xiàn)的機(jī)會(huì)1較多，有時(shí)候也以填空題的形式出現(xiàn)，它們經(jīng)常與三角函數(shù)的性質(zhì)、解三角形及向J量聯(lián)合考察，主要題型有三角函數(shù)求值，通過三角式的變換研究三角函數(shù)的性質(zhì)。本講內(nèi)容是高考復(fù)習(xí)的重點(diǎn)之一，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)、求值及三角恒等

2、式的證明 是三角變換的基本問題。歷年高考中，在考察三角公式的掌握和運(yùn)用的同時(shí)，還注 重考察思維的靈活性和發(fā)散性，以及觀察能力、運(yùn)算及觀察能力、運(yùn)算推理能力和綜合分析能力。教學(xué)準(zhǔn)備r/X多媒體課件2.知識(shí)梳理:sin（、：二 I）二 sin：cos 1-：,二 cos：sin -；cos（ 二 I ） = cos _：匚 cos I 一 sin：sin :；tan（：）=即tan。1 + tana tan P2 二倍角公式2 2 2 2二cossin2cos 1=12sin :；2 tan :-2。1 -tan :3 .三角函數(shù)式的化簡(jiǎn) 常用方法：直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；切割化弦，異名化同名

3、,化同角；三角公式的逆用等。（2 ）化簡(jiǎn)要求：能求出值的應(yīng)求出值;函數(shù)種數(shù)盡量少；使項(xiàng)數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方 數(shù)不含三角函數(shù)。（1）降幕公式1 c、2sin -cos sin 2；sin :（2）輔助角公式asinx bcosx二a2b2sin x:, zzJ（1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，禾U用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題;（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值,1 .兩角和與差的三角函數(shù)sin 2=2sin：cos：；cos2：tan 2:-_ 1 -cos2：-221其

4、中 sin b,cos a2b2=.-:_=a=Ja2+b24 三角函數(shù)的求值類型有三類解題的關(guān)鍵在于“變角”，如=（一：，2=（_：）-（）等，把所異角使三角23角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論;4(3)給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié) 合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。5 三角等式的證明(1) 三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應(yīng)用 化繁為簡(jiǎn)、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；(2)三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系, 采用代入法、消參法或分析法進(jìn)行證明。二.典例分析(20

5、11 廣東高考)已知函數(shù)f(x) = 2sin；x- 6 ，x R.求f啓勺值；k4J二n1 tn、 106(2)設(shè)a,BI0，jf ?a+2 丿=13，f(33+ 2n) = 求 cos(a+3)的值.二f孑=2sin分于=2sin cos(a + 3)=cosacos3 sinasin312354 16= X X =.135 13 5 65占由題悟法兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用 表示a3的三角函數(shù)， 在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)， 特別要注意角與角 之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的.&以題試法(1) f (x) = 2sin/ 2si n即 si

6、ncos102=13，f(33+2n)7t3 0, -2lf 3a + /10石,2sin3+513，COs33=5.12a =sin1343=5.n6i=2 丿 5.a、3的三角函數(shù)5tan1. (1)已知 sina(2)(2012 濟(jì)南模擬A. 34C3解析：/ sinacos 22si n原式=5(2)依題意得,35，a)已知2，八則 2sin “+扌=(tan 23，1345.cos 2aa =2,2X2144 +2aa sina ,為銳角，cosa=，則tan1B.7D. 72亠na+ 4n.2,n，cosasina=羋，故tan14+2a=1.4471+37答案：(1) 5 (2)

7、B43，所以lHa-亠 *01三角函數(shù)公式的逆用與變形應(yīng)用-5-TTT-1-由典題導(dǎo)入(2013 德州一模)已知函數(shù)f(x) = 2cos2|羽 sinx.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域;若a為第二象限角，且f1cos 2a=3，求 1 + cos 2a sin 2 的值.Tf(x) = 2cos2| 誦 sinx= 1 + cosx邁 sinx= 1 + 2cosx+=周期T= 2n,f(x)的值域?yàn)? fn11 剛a3 = 3，1+2cosa= 3，即cosa6a為第二象限角，J. sina=3.2 2cos 2a_cosa Sina1+cos 2a sin 2a2cos2a 2s

8、inacosa1+空cosa +sina3312yj22cosa223由題悟法運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如 tana+ ta n公式的多種變形等.2. (1)(2012 贛州模擬值為（）4A.53= tan(a+3) (1 tanatan3)和二倍角的余弦）已知 sin3B.5以題試法cosa=啦3，貝 U sin5(2)若a+3= ，則(1 tana)(1解析：（1）由條件得-23sin1即 2sina +n4a +3=5.(2) 1 = tan二 tanatan-1tana3+QCOStan3)的值是3n4=tan(a +tan3tana

9、 + 3)=1tanatan33 1=tana +tan3.tan3 +tanatan3=2,即(1 tana)(1 tan3) = 2.答案：(1)A(2)2角的變換+7為H 典題導(dǎo)入3一 2a)=tan由題悟法aa =2.atana，則 sin i 2a+12 的值n4n7a+6=25,sina +cosa(1)(2012 溫州模擬)若=3, tan(a-3) = 2,貝Utan(3Sina cosa（2012 江蘇高考）設(shè)a為銳角，若 cosa+sina +cosatana +1由條件知 sina cosa= k 一 i =3，則 tan故 tan(tan3一a一 tan1+3一a因?yàn)閍

10、為銳角,所以 sin35，sin 2cos 2所以 sin 2a+1；= sin 2cosa +=一=252252501當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，一般把“所求角”表示為兩個(gè)“已知角”的和或差的形式;2 當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.3 常見的配角技巧:=2； a =(a + 3)- 3 ；8tannn4+a=2a;a=n以題試法3 .設(shè) tan(a+3)183C.22錯(cuò)誤!25,tan3才=1，貝UtanB.H1D.6a+n =()tan4212cosx 2cosx+化簡(jiǎn)n2tan 庁xsin原式=2 212si

11、nxcosx+ 7x2I n2sin i 4 x71COSsin22x*cos22x712sin亍-Xcos7-xsin1=2cos 2x.由題悟法三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則(1) 一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式;(2)二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式，常見的有“切化弦”；9J /COSaCOSsin2 2.aaSin2占典題導(dǎo)入sin 47 sin 17 cos 30 (1)(2012 重慶咼考)=()cos 17(3)二看“結(jié)構(gòu)特征”，到分式要通分”等.分析結(jié)構(gòu)特征,，如“遇1 .化簡(jiǎn)atan2

12、解：法一：原式=2aCOS -.2 asin . aasin COStan2COSasina2COSasina法二：原式=a i1+tana tan 勺-/a .aCOS2sin 2asin2aCOS2sina11+COTaaCOS+sinasin COS2sin :2aCOS2cosCOSa2aaCOS2sinasin -2COSaaCOSaCOS 2aCOSaCOS asinCOSaCOS22a /1 tan三tanaCOSaCOS 22COSaCOS2sinasinaCOSaCOS2三角函數(shù)式的求值10cosa4 cos(a+3)= 一匸，a+3 (0 ,n),5(1)C(2)nA.B.

13、C.2D.37、4已知a、3為銳角，sina= 5,COS(a+3)= 5(1)原式=川.2T+. sin17cos 30cos 17sin 30 cos 17 + cos 30 sin 17 sin 17 cos 30 cos1 7sin 30 cos 17cos 17 =sin 30(2)Tsin35,0,/ sin(3a+3)= 5, sin(2a + 3)=sin=sinacos(a + 3)+cosasin(=0.0,11三角函數(shù)求值有三類(1) “給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合

14、 公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除非特殊角的三角函數(shù)而得解.(2)“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值,解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系.(3)“給值求角”：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角 的范圍，確定角.120.解:(2012 廣州一測(cè))已知函數(shù)f(x) = tan 3x+；.求f9 的值;3nn,2 ，若fa :、3 + 4 = 2，求COS7t 7tf9=tan3+4=7171tan +tan -34W+12=13=2一衛(wèi)1tan 小 tan34a+3+14因?yàn)閒3n=tana+4+4=ta n(所以Sin_a= 2，即 sina

15、COSa2 2乂 Sina+ COSa由解得 COS2a因?yàn)? n)=tana =2=1，15.n,牛，所以=2COSa.J cosa = ,sin5COS: +sinasin；=44所以三角恒等變換的綜合應(yīng)用1典題導(dǎo)入3 1010COSaCOSa -4：2亠 5一 5一.a 4 的值.(2011 四川高考)已知函數(shù)f(x) = sin ? + 專)+COSx(1)求f(x)的最小正周期和最小值;-44n、2已知 COS(3 a)=5,COS(3 + a)=5,0VaV 3 W2，求證：一 2=(1) f (x)=sinx+7n2n +COS ix4=sin x4+sin x4=2sin x4

16、，13 T= 2n, f (x)的最小值為一 2.4(2)證明：由已知得 cos3cosa+ sin3sina =,5cos3cosa sin3sina兩式相加得 2C0S3COSa= 0.45.0a3; ,3= ;.宀2=4sin24-2=o.一題多變一題多變/ . |-.|在本例條件不變情況下，求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的集合.解：由(1)知f(x) = 2sinx 4 ,InnX4=0, x4=kn(kZ),7tixx=kn+,kZJ故函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的集合為由題悟法三角變換的綜合應(yīng)用主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為y=Asin(wx+ $ )的形式再研究性質(zhì)，解題時(shí)注意觀察角、名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解決相關(guān)問題.以題試法3 .已知函數(shù)f(x) = 2cosxcosx 6 . 3sin(1)求f(x)的最小正周期;當(dāng)時(shí)，若 f(a) = 1，求a的值.解：(1)因?yàn)閒(x) = 2cosxcosx 6 . 3sin2x+ sinxcosx.2x+ sinxcosx3cos2x+ sinxcosx . 3sin2x+ sinxcosx7t= cos 2x+ sin 2x= 2sin 2x+ ,所以最小正周期T=n.由 f (