2019年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

1、文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持2013 年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題9.實(shí)數(shù) a, b, c, d 滿足：一元二次方程 x2+cx+d=0 的兩根為 a, b，一元二次方程 x2+ax+b=0 的兩根為、選擇題(共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號(hào)為A, B, C, D的四c, d,則所有滿足條件的數(shù)組(a, b, c, d)為個(gè)選項(xiàng)，其中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的.請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、10 .小明某天在文具店做志愿者賣筆，鉛筆每支售4 元，圓珠筆每支售7 元.開始時(shí)他有鉛筆和圓珠筆多填或錯(cuò)填都得0分)共 350 支，當(dāng)天雖然筆沒有

2、賣完，但是他的銷售收入恰好是2013 元，則他至少賣出了1 設(shè)非零實(shí)數(shù)ja + 2b+3c= 0a，b，C，滿足 2a+ 3b+4c = 0支圓珠筆.ab+bc+ca2 .22a +b +c的值為(1(A) 2(B)01(C) 1(D) 12.已知 a， b， c 是實(shí)常數(shù)，關(guān)于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 有兩個(gè)非零實(shí)根 xi，x?，則下列關(guān)于 x11.如圖，拋物線廠ACE三、解答題(4每題20分，共80分)AE一ii的一元二次方程中，以 一，為兩個(gè)實(shí)根的是()xiX22 2 2 2 2 2 2 2(A) c x +(b 2ac)x+a =0(B) c x (b 2ac)x+a

3、 =02 2 2 2 2 2 2 2(C) c x +(b 2ac)xa =0( D) c x (b 2ac)x a =03.如圖，在 RtAABC 中，已知 O 是斜邊 AB 的中點(diǎn)，CD 丄 AB，垂足為 D，DE 丄 OC，垂足為 E，若 AD，DB，CD 的長度都是有理數(shù)，則線段 OD，OE，DE，AC 的長度中，不一定.是有理數(shù)的為()bx 3,頂點(diǎn)為 E，該拋物線與X軸交于D OBBC FOB=OC=3OA,直第 y=x2+1 與y軸交于點(diǎn) D，求/ DBC 題 CBE .ABC兩點(diǎn)，與y軸交于12 .設(shè) ABC 的外心，垂心分別為 O, H，若 B, C, H , O 共圓，對(duì)于

4、所有的能的度數(shù).13 .設(shè) a, b, c 是素?cái)?shù)，記 x=b+c a, y=c+a b, z=a+b c,當(dāng) z2=y, . x門=2 八時(shí),A構(gòu)成三角形的三邊長？證明你的結(jié)論.(A)OD(B) OE(C) DE(D) AC14 .如果將正整數(shù) M 放在正整數(shù) m 左側(cè),4.如圖，已知 ABC 的面積為 2 4,點(diǎn) D 在線段 AC 上,點(diǎn) F 在線段 BC 的延長線上，且 BC=4CF, DCFE如，把 86 放在 415 的左側(cè)，得到的數(shù)是平行四邊形, 則圖中陰影部分的面積為(的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)(A)3(B)4(C)5.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x, y, z,定義運(yùn)算*”為:(D)

5、832 233x y+3x y +xy +45Xy=(x+1)3+(y+1)360，an中都至少有一個(gè)為m的魔術(shù)數(shù).且x y z=(x y) ”z，則2013 2012.3 2的值為()、選擇題1.【答案】A607967(B)趣967(D)16389967、填空題(共5小題，每小題7分，共35分)6.設(shè) a=V3, b 是 a2的小數(shù)部分，則(b+2)3的值為_7.如圖，點(diǎn) D , E 分別是 ABC 的邊 AC, AB 上的點(diǎn)，直線 BD 與 CE 交于點(diǎn) F，已知 CDF , BFE , BCF 的面積分別為 3, 4, 5,則四邊形 AEFD 的面積是 _ .&已知正整數(shù) a,

6、b, c 滿足 a+b2 2c 2=0, 3a2 8b+c=0,則 abc 的最大值為 _.y(第 7 題)IABC，求/BAC所有可I/0/魔術(shù)數(shù)”(例所得到的新數(shù)可被 7 整除，那么稱 M 為 m 的C86415 能被 7 整除，所以稱 86 為 415 的魔術(shù)數(shù) 2 求正整數(shù) nEa1,a2,，an,滿足對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)m,在 a1,a2,2013 年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案2【解答】 由已知得a b(2a 3b4c)-(a 2 3c) = 0故(a b c) =0.于是ab be ca二-(a2b2c2),2所以ab be caa2b2c22.【答案】B2bc【解答】由于axbx

7、0是關(guān)于x的一元二次方程，則a =0.因?yàn)閤 x2,x1xaa_(xx2j - 2x,x2b2-方c2 2 2 -X1X2X12文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持1于是根據(jù)方程根與系數(shù)的關(guān)系，以，Xi1為兩個(gè)實(shí)根的一元二次方程是X22 22b - 2ac a小x2x0，cc即c2x2_(b22ac)x a2= 0.SAEF4-SAEF S BFEBFS-.BCF_ 5S-AFDSAFD-FDS.：CDF_ 3SAFD 3SAFD SCDFCFS-BCF5SAEFSAEF-FES-，BEF_ 4（第7題答題

8、）3 .【答案】D【解答】因 AD, DB, CD 的長度都是有理數(shù)，所以，0A= OB =0c=AD BD是有理數(shù).于是，OD = OA- AD 是有理數(shù).2由 RtDOEsRtCOD,知OEOD2OCDEDC DOOC理數(shù)，而 AC =, ADAB不一定是有理數(shù).4 【答案】C【解答】 因?yàn)?DCFE 是平行四邊形，所以 DE/CF，且 EF/DC . 連接 CE，因?yàn)?DE/CF，即 DE/BF，所以SADEB= GDEC,因此原來陰影部分的面積等于厶ACE 的面積.連接 AF，因?yàn)?EF/CD，即 EF/AC,所以SAACE= 0ACF. 因?yàn)锽C =4CF，所以SAABC= 40AC

9、F.故陰影部分的面積為 6.5【答案】C【解答】設(shè)2013 2012川4二m，則2013 2012 | 43二m 3者E是有（第 4 題）（第4題答題）解得SAEF10813，所以，四邊形 AEFD 的面積是&【答案】2013204132 2【解答】由已知a b - 2c- 2 = 0,3a - 8b c二0消去 c,并整理得2 2 2b-8 6a，a = 66.由 a 為正整數(shù)及6a- a66,可得 1 a 3.2若a = 1，貝 Vb-8i；= 59，無正整數(shù)解；2若a=2，則（b 8） =40，無正整數(shù)解；2若a=3，則（b8） =9，于是可解得b=11,b=5.（i）若b =

10、11，則c = 61，從而可得abc=3 11 61=2013;（ii）若b=5，則c=13，從而可得abc = 3 5 13 = 195.綜上知abc的最大值為2013.323m 3 3m 9 m 27 4532m 3m 3m 164 60-9 ,3于是2013 2012川3 2 = 9 2二3、填空題6【答案】92【解答】由于1：a : 2 a:：3，故b9323 92229 2345 _ 5463103+3360967a2-2 =-2，因此(b 2)(?9)9.9.【答案】(1, -2,1, 2),(t,0 - t, 0)(t為任意實(shí)數(shù))7 【答案】【解答】20413如圖，連接 AF，則

11、有:a b= -c,【解答】由韋達(dá)定理得ab=d,2d = _a,cd二b.由上式，可知b=-a-c=d.若b=d屮0，貝U a = =1,。=衛(wèi)=1，進(jìn)而b=d = - a-c=-2.bd若b=d = O，則c= a，有(a,b c d) = (t, 0 -1,0)(t為任意實(shí)數(shù)) 經(jīng)檢驗(yàn)，數(shù)組(1,- 2,1,- 2)與(t,0 -1, 0)(t為任意實(shí)數(shù))滿足條件.10.【答案】207文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word 版本可編輯.歡迎下載支持【解答】設(shè) x, y 分別表示已經(jīng)賣出的鉛筆和圓珠筆的支數(shù)，則2013 -7yx二4y +1是是整數(shù)又2013 =4(x y) 3y :：: 4

12、 350 3y,4所以y .204，故 y 的最小值為 207，此時(shí)x =141三、解答題11.如圖，拋物線y二ax2 bx -3,頂點(diǎn)為 E,該拋物線與x軸交于 A,1B 兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn) C,且 OB = oc= 3OA.直線y x7 與y軸交3于點(diǎn) D.求/ DBC -Z CBE.12【解答】 將x=0分別代入yx 1,y二ax，bx-3知，D(0,31), C(0, -3),1所以 B(3, 0), A( -1 , 0)直線yx 1過點(diǎn) B.3將點(diǎn) C(0,-3)的坐標(biāo)代入y=a(x 1)(x-3)，得a=1拋物線y二x -2x-3的頂點(diǎn)為E(1,-4) 于是由勾股定理得BC =32

13、, CE =J2, BE =2 5因?yàn)?BC2+ CE2= BE2,所以， BCE 為直角三角形， BCE =90CE 1OD 1因此 tan.CBE=.又 tanZDBO=,則ZDBO =CBE.CB 3OB 3所以，DBCCBE二DBC/DBO二OBC =4512.設(shè)厶ABC的外心，垂心分別為O,H，若B,C,H O所有可能的度數(shù).【解答】分三種情況討論.(門若厶ABC為銳角三角形.因?yàn)锽HC =180 - A BOC =2 A,所以由- BHC B, 可得 _(第 12 題答題(ii )(第 12 題答題(i)(ii)若厶ABC為鈍角三角形.當(dāng)A 90時(shí)，因?yàn)锽HC =180ZA,BOC

14、 = 2 180 -. A,所以由BHC BOC二180，可得3 180-/人嚴(yán)180，于是A二120。當(dāng).A：90時(shí)，不妨假設(shè).B 90，因?yàn)?BHC=/A,BOC = 2 A,所以由BHC BOC二180，可得3 A= 180，于是A= 60.(iii )若厶ABC為直角三角形.當(dāng).A=90時(shí)，因?yàn)镺為邊BC的中點(diǎn)，B,C,H,O不可能共圓， 所以.A不可能等于90;當(dāng).A：90時(shí)，不妨假設(shè).B=90，此時(shí)點(diǎn) B 與 H 重合，于是總有B, C,H,O共圓，因此.A可以是滿足0： .A：90的所有角.綜上可得，.A所有可能取到的度數(shù)為所有銳角及120.13.設(shè)a,b,c是素?cái)?shù)，記x = b

15、c - a, y =ca -b,z = a b - c，當(dāng)z2二y, x - y = 2時(shí)，a,b,c能否構(gòu)成三角形的三邊長？證明你的結(jié)論.【解答】不能.、111依題意，得a (y z),b (x z),c (x y).22211z( z + 1)因?yàn)閥二z2，所以a ( y z)(z2 z)二22 2又由于z為整數(shù)，a為素?cái)?shù)，所以z=2或-3,a =3.當(dāng)z = 2時(shí)，y = z2= 4, x = (. y 2)2= 16.進(jìn)而，b=9,c=10，與b,c是素?cái)?shù)矛盾；當(dāng)z=-3時(shí)，a，b-c：0，所以a,b,c不能構(gòu)成三角形的三邊長.14.如果將正整數(shù) M 放在正整數(shù) m 左側(cè)，所得到的新數(shù)可被 7 整除，那么稱 M 為 m 的“魔術(shù)數(shù)”(例如，把 86 放在 415 的左側(cè)，得到的數(shù) 86415 能被 7 整除，所以稱 86 為 415 的魔術(shù)數(shù)).求正整數(shù) n 的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)a1,a2,，an，滿足對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)m,在aba2,，an中都至少有一個(gè)為 m 的魔術(shù)數(shù).【解答】若 n7.又當(dāng)a1,a2,，an為 1, 2,，7 時(shí)，對(duì)任意一個(gè)正整數(shù) m,設(shè)其為k位數(shù)(k為正整數(shù)).則10ki m(i=1,2,，7)被 7 除的余數(shù)兩兩不同.