南京工業(yè)大學(xué)高等數(shù)學(xué)Ch11-1-2-3

1、第十一章第十一章積分學(xué)積分學(xué) 定積分二重積分三重積分定積分二重積分三重積分積分域積分域 區(qū)間區(qū)間 平面區(qū)域空間區(qū)域平面區(qū)域空間區(qū)域 曲線積分曲線積分曲線段曲線段曲面區(qū)域曲面區(qū)域曲線積分曲線積分曲面積分曲面積分對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分對面積的曲面積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分曲面積分曲面積分曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分 第一節(jié)第一節(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分 AB一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)一、對弧

2、長的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長構(gòu)件在空間所占假設(shè)曲線形細(xì)長構(gòu)件在空間所占弧段為弧段為AB , 其線密度為其線密度為),(zyx “大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限” kkkks ),( 可得可得 nk 10lim M為計算此構(gòu)件的質(zhì)量為計算此構(gòu)件的質(zhì)量,ks1kMkM),(kkk 1.例子例子: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用采用設(shè)設(shè) 是空間中一條有限長的是空間中一條有限長的光滑曲線光滑曲線,義在義在 上的一個上的一個有界函數(shù)有界函數(shù), kkkksf ),( 都存在都存在,),(zyxf 上上對對弧長的曲線積分弧長的曲線積分,記作記作 szyxfd),

3、(若通過對若通過對 的的任意分割任意分割局部的局部的任意取點任意取點, 2.定義定義是定是定),(zyxf若若“乘積和式極限乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)在曲線在曲線或或第一類曲線積分第一類曲線積分.),(zyxf稱為稱為被積函數(shù)被積函數(shù)， 稱為稱為積分弧段積分弧段 .曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量 szyxMd),( nk 10lim ks1kMkM),(kkk 和對和對如果如果 L 是是 xoy 面上的曲線弧面上的曲線弧 ,kknkksf ),(lim10 Lsyxfd),(如果如果 L 是閉曲線是閉曲線 , 則記為則記為.d),( Lsyxf則定義對弧長的曲線積則定義對

4、弧長的曲線積分為分為思考思考:(1) 若在若在 L 上上 f (x, y)1, ?d 表示什么表示什么問問 Ls(2) 定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例 ? 否否! 對弧長的曲線積分要求對弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中但定積分中dx 可能為負(fù)可能為負(fù).3. 性質(zhì)性質(zhì) szyxfd ),()1( szyxfkd),()2(（k 為常數(shù)為常數(shù)) szyxfd),()3( 由由 組成組成) 21, sd)4( l 為曲線弧為曲線弧 的長度的長度),(zyxg szyxfd),(szyxgd),( szyxfkd),(l 21d),(d),(szyx

5、fszyxfszyxgszyxfzyxgzyxfd),(d),(),(),()5( ，則，則若若MlszyxfmlMzyxfm d),(),()6(，則，則若若lfszyxfzyxf),(d),(),(),()7( ，使得，使得上連續(xù)，則一定存在上連續(xù)，則一定存在在在若若szyxfszyxfd),(d),( 特別地特別地 tttttfsdyxfLd)()()(, )(),(22二、對弧長的曲線積分的計算法二、對弧長的曲線積分的計算法基本思路基本思路:計算定積分計算定積分轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 化化定理定理:),(yxf設(shè)設(shè)且且)()( tty上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù),證證:是定義在光滑曲線弧是定義在光滑曲線弧則

6、曲線積分則曲線積分),(:txL ,d),(存在存在 Lsyxf求曲線積分求曲線積分根據(jù)定義根據(jù)定義 kknkksf ),(lim10 Lsyxfd),(, ,1kkktt 點點),(kk tttskkttkd)()(122 ,)()(22kkkt nk 10lim Lsyxfd),(kkkt )()(22 )(, )(kkf 連續(xù)連續(xù)注意注意)()(22tt 設(shè)各分點對應(yīng)參數(shù)為設(shè)各分點對應(yīng)參數(shù)為),1 ,0(nktk 對應(yīng)參數(shù)為對應(yīng)參數(shù)為 則則,1kkktt nk 10lim kkkt )()(22 )(, )(kkf xyo Lsyxfd),(tttttfd)()()(),(22 說明說明

7、:, 0, 0)1( kkts因此積分限必須滿足因此積分限必須滿足! (2) 注意到注意到 22)(d)(ddyxs tttd)()(22 x因此上述計算公式相當(dāng)于因此上述計算公式相當(dāng)于“換元法換元法”. 因此因此xdydsd如果曲線如果曲線 L 的方程為的方程為),()(bxaxy 則有則有 Lsyxfd),(如果方程為極坐標(biāo)形式如果方程為極坐標(biāo)形式:),()(: rrL則則syxfL d),( )sin)(,cos)(rrf推廣推廣: 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為)()(, )(),(: ttztytx則則 szyxfd),(ttttd)()()(222 xx d)(1

8、2 d)()(22rr baxxf) )(,( )(),(, )(tttf例例1. 計算計算,d Lsx其中其中 L 是拋物線是拋物線2xy 與點與點 B (1,1) 之間的一段弧之間的一段弧 . 解解:)10(:2 xxyL Lsxd 10 xxxd)2(12 xxxd41102 10232)41(121 x)155(121 上點上點 O (0,0)1Lxy2xy o)1 , 1(B例例2. 計算計算,dsxIL 其中其中L為雙紐線為雙紐線)0()()(222222 ayxayx解解: 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下它在第一象限部分為它在第一象限部分為)40(2cos:1 arL利用對稱性利用對稱

9、性 , 得得sxILd41 4022d)()(cos4 rrr 402dcos4 a222a ,2cos:22 arL yox例例3. 計算曲線積分計算曲線積分 ,d)(222 szyx其中其中 為螺旋為螺旋的一段弧的一段弧.解解: szyxd)(222 20222)()sin()cos(tktatattkakad2022222 02322223 tktaka)43(3222222kaka tktatad)cos()sin(222 )20(,sin,cos ttkztaytax線線例例4. 計算計算,d2sx 其中其中 為球面為球面 2222azyx 被平面被平面 所截的圓周所截的圓周. 0

10、zyx解解: 由對稱性可知由對稱性可知sx d2 szyxsxd)(31d2222 sa d312 aa 2312 332a sy d2 sz d2 d d s例例5. 計算計算,d)(222szyxI 其中其中 為球面為球面22yx 解解: , 1141)21(21:22 zxyx: 20 2)sin2( 2)cos2( 2)sin2( 18d22920 I d2 cos221 z. 1的交線的交線與平面與平面 zx292 z化為參數(shù)方程化為參數(shù)方程 21cos2 x sin2 y則則例例6. 計算半徑為計算半徑為 R ,中心角為中心角為2的圓弧的圓弧 L 對于它的對對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量

11、稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I (設(shè)線密度設(shè)線密度 = 1). 解解: 建立坐標(biāo)系如圖建立坐標(biāo)系如圖,R xyoLsyILd2 d)cos()sin(sin2222 RRR dsin23 R 0342sin22 R)cossin(3 R則則 )(sincos: RyRxL例例7. 有一半圓弧有一半圓弧 cosRx ),0( 其線密度其線密度 ,2 解解: cosdd2RskFx dcos2Rk sindd2RskFy dsin2Rk RRoxy 0dcos2RkFx 0dsin2RkFy 0cossin2 RkRk4 0sincos2 RkRk 2 故所求引力為故所求引力為),(yx,sin Ry 求它對原

12、點處單位質(zhì)量質(zhì)點的引力求它對原點處單位質(zhì)量質(zhì)點的引力. RkRkF 2,4 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 定義定義kkknkksf ),(lim10 szyxfd),(2. 性質(zhì)性質(zhì)kknkksf ),(lim10 Lsyxfd),( szyxgzyxfd),(),()1( 21d),(d),(d),()2(szyxfszyxfszyxf),(21組組成成由由 ls d)3( l 曲線弧曲線弧 的長度的長度) Lszyxfd),( ),(為常數(shù)為常數(shù) szyxgLd),( 3. 計算計算 對光滑曲線弧對光滑曲線弧, )( , )(, )(: ttytxL Lsyxfd),( 對光滑曲線弧對光滑曲線弧,

13、 )()(:bxaxyL Lsyxfd),( baxxf) )(,( ),()(: rrL Lsyxfd),( )sin)(,cos)(rrf 對光滑曲線弧對光滑曲線弧tttd)()(22 xx d)(12 d)()(22rr )(),(ttf一一、 填填空空題題: :1 1、 已已知知曲曲線線形形構(gòu)構(gòu)件件L的的線線密密度度為為),(yx , ,則則L的的質(zhì)質(zhì)量量M= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 Lds= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 對對_ _ _ _ _ _ _ _ _的的曲曲線線積積分分與與曲曲

14、線線的的方方向向無無關(guān)關(guān)；4 4、 Ldsyxf),(= = dtttttf)()()(),(22中中要要求求 _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .二二、 計計算算下下列列求求弧弧長長的的曲曲線線積積分分: : 1 1、 Lyxdse22, ,其其中中L為為圓圓周周222ayx , ,直直線線xy 及及x軸軸在在第第一一象象限限內(nèi)內(nèi)所所圍圍成成的的扇扇形形的的整整個個邊邊界界；練習(xí)題練習(xí)題 2 2、 yzdsx2, ,其其中中L為為折折線線ABCD, ,這這里里DCBA, 依依次次為為點點( (0 0, ,0 0, ,0 0) ), ,( (0 0, ,0 0, ,2 2) ), ,(

15、(1 1, ,0 0, ,2 2) ), ,( (1 1, ,3 3, ,2 2) )； 3 3、 Ldsyx)(22, ,其其中中L為為曲曲線線 )cos(sin)sin(costttaytttax )20( t； 4 4、計計算算 Ldsy, ,其其中中L為為雙雙紐紐線線 )0()()(222222 ayxayx . .三三、設(shè)設(shè)螺螺旋旋形形彈彈簧簧一一圈圈的的方方程程為為taxcos , ,taysin , ,ktz , ,其其中中 20t, ,它它的的線線密密度度222),(zyxzyx , ,求求: : 1 1、它它關(guān)關(guān)于于Z軸軸的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動ZI慣慣量量； 2 2、它它的的重重心心

16、. .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、 Ldsyx),( ； 2 2、的的弧弧長長L； 3 3、弧長；、弧長； 4 4、 . .二、二、1 1、2)42( aea； 2 2、9 9； 3 3、)21(2232 a； 4 4、)22(22 a. .三、三、)43(32222222kakaaIz ； 2222436kaakx ； 2222436kaaky ； 22222243)2(3kakakz . .第二節(jié)第二節(jié)一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念一、對坐標(biāo)的曲線積分的概念 與性質(zhì)與性質(zhì)二、二、 對坐標(biāo)的曲線積分的計算法對坐標(biāo)的曲線積分的計算法 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 對

17、坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分 一、一、 對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)對坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)1. 引例引例: 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功.設(shè)一質(zhì)點受如下變力作用設(shè)一質(zhì)點受如下變力作用在在 xoy 平面內(nèi)從點平面內(nèi)從點 A 沿光滑曲線弧沿光滑曲線弧 L 移動到點移動到點 B, ABLxy求移求移 cosABFW “大化小大化小” “常代變常代變”“近似和近似和” “取極限取極限”變力沿直線所作的功變力沿直線所作的功解決辦法解決辦法:動過程中變力所作的功動過程中變力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQyxPyxF 1 kMkMABxy1) “大化大化小小”.2)

18、“常代變常代變”L把把L分成分成 n 個小弧段個小弧段,有向小弧段有向小弧段kkMM1),(kkyx 近似代替近似代替, ),(kk 則有則有kkkkkkyQxP ),(),( 所做的功為所做的功為,kW F 沿沿kkMM1kkkkkMMFW1),( ),(kkF nkkWW1則則用有向線段用有向線段 kkMM1kkMM1上任取一點上任取一點在在kykx3) “近似和近似和”4) “取極限取極限” nkW1 kkkkkkyQxP ),(),( nkW10lim kkkkkkyQx)P),(,( (其中其中 為為 n 個小弧段的最大長度個小弧段的最大長度)2. 定義定義. 設(shè)設(shè) L 為為xoy

19、平面內(nèi)從平面內(nèi)從 A 到到B 的一條的一條有向光滑有向光滑弧弧,若對若對 L 的的任意分割任意分割和在局部弧段上和在局部弧段上任意取點任意取點, 都存在都存在,在有向曲線弧在有向曲線弧 L 上上對坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分, LyyxQxyxPd),(d),( kkkxP ),( kkkyQ ),( nk 10lim 則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)或或第二類曲線積分第二類曲線積分. 其中其中, ),(yxPL 稱為稱為積分弧段積分弧段 或或 積分曲線積分曲線 .稱為稱為被積函數(shù)被積函數(shù) , 在在L 上定義了一個上定義了一個向量函數(shù)向量函數(shù)極限極限),(, ),(),(yxQyxPyxF

20、記作記作),(yxF),(yxQ LxyxPd),(,),(lim10 nkkkkxP LyyxQd),(,),(lim10 nkkkkyQ 若若 為空間曲線弧為空間曲線弧 , 記記稱為對坐標(biāo)稱為對坐標(biāo) x 的曲線積分的曲線積分;稱為對坐標(biāo)稱為對坐標(biāo) y 的曲線積分的曲線積分.若記若記, 對坐標(biāo)的曲線積分也可寫作對坐標(biāo)的曲線積分也可寫作)d,(ddyxs LLyyxQxyxPsFd),(d),(d),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF zzyxRyzyxQxzyxPsFd),(d),(d),(d)d,d,(ddzyxs 類似地類似地, 3. 性質(zhì)性質(zhì)(1) 若若 L

21、可分成可分成 k 條有向光滑曲線弧條有向光滑曲線弧),1(kiLi LyyxQxyxPd),(d),( kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用用L 表示表示 L 的反向弧的反向弧 , 則則 LyyxQxyxPd),(d),( LyyxQxyxPd),(d),(則則 定積分是第二類曲線積分的特例定積分是第二類曲線積分的特例.說明說明: 對坐標(biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向?qū)ψ鴺?biāo)的曲線積分必須注意積分弧段的方向 !二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算法二、對坐標(biāo)的曲線積分的計算法定理定理:),(, ),(yxQyxP設(shè)設(shè)在有向光滑弧在有向光滑弧 L 上有定義且上有定義且L 的參數(shù)方程為的參數(shù)方

22、程為 )()(tytx ,: t則曲線積分則曲線積分 LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t )(t td)(),(ttQ 連續(xù)連續(xù),證明證明: 下面先證下面先證 LxyxPd),(tttPd )(),( )(t 存在存在, 且有且有對應(yīng)參數(shù)對應(yīng)參數(shù)設(shè)分點設(shè)分點根據(jù)定義根據(jù)定義ix,it),(ii 點點,i 由于由于1 iiixxx)()(1 iitt iit )( LxyxPd),(tttPd )(),( niiiP10)(, )(lim iit )( niiiP10)(, )(lim iit )( )(t LxyxPd),( niiiixP10),(lim 對應(yīng)參數(shù)對應(yīng)

23、參數(shù)連續(xù)連續(xù)所以所以)(t 因為因為L 為光滑弧為光滑弧 ,同理可證同理可證 LyyxQd),(tttQd )(),( )(t 特別是特別是, 如果如果 L 的方程為的方程為,:),(baxxy 則則 xxxQxxPbad )(,)(, )(x LyyxQxyxPd),(d),(對空間光滑曲線弧對空間光滑曲線弧 :類似有類似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),( )(t )(t )(t )(, )(),(tttP ,:)()()( ttztytx)(, )(),(tttQ )(, )(),(tttR td 例例1. 計算計算,d Lxyx其中其中L 為沿拋物線為沿拋物線xy

24、2解法解法1 取取 x 為參數(shù)為參數(shù), 則則OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxddd xxxd)(0154d21023 xxyyyyxyxLd)(d2112 xy xy 解法解法2 取取 y 為參數(shù)為參數(shù), 則則11:,:2 yyxL54d2114 yy從點從點xxxd10 的一段的一段. )1,1()1,1(BA到到 )1 , 1(B)1, 1(Aoyx例例2. 計算計算其中其中 L 為為,:, 0aaxy yBAoaa x(1) 半徑為半徑為 a 圓心在原點的圓心在原點的 上半圓周上半圓周, 方向為逆時針方向方向為逆時針方向;(2) 從點從點

25、A ( a , 0 )沿沿 x 軸到點軸到點 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取取L的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為,d2xyL 0:,sin,costtaytax xyLd2ttadsin22033 32a (2) 取取 L 的方程為的方程為 xyLd2ta202sin ttad)sin( 132 334a aaxd00 則則則則yxo例例3. 計算計算,dd22yxxyxL 其中其中L為為(1) 拋物線拋物線 ;10:,:2 xxyL(2) 拋物線拋物線 ;10:,:2 yyxL(3) 有向折線有向折線 .:ABOAL解解: (1) 原式原式22xx xx d4103 (2) 原式原式y(tǒng)

26、yy222 yy d5104 (3) 原式原式 yxxyxOAdd22 102d)002(xxx1 )0, 1(A)1 , 1(B2xy 10(xxxd)22 10(yyd)4 yxxyxABdd22 10d)102(yy1 1 2yx 例例4. 設(shè)在力場設(shè)在力場作用下作用下, 質(zhì)點由質(zhì)點由沿沿 移動到移動到),(kRB 20),(00RA.)(AB2解解: (1)zzyxxydddttkR 2022d)(2) 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為kttzyRx 20:,0, ABzzyxxyddd ktt 20dBAzyx試求力場對質(zhì)點所作的功試求力場對質(zhì)點所作的功.;,sin,cos)(tkztRyt

27、Rx1)(222Rk 222k 其中其中 為為),(zxyF sFWdsFWdozyx例例5. 求求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中其中,2122 zyxyx從從 z 軸正向看為順時針方向軸正向看為順時針方向.解解: 取取 的參數(shù)方程的參數(shù)方程,sin,costytx):(sincos022 tttz 20Itttcos)sincos22( tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41(220 )sin)(cos2(tt 2 三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系 設(shè)有向光滑弧設(shè)有向光滑弧 L 的起點為的起點為A，終點為，終點為B，其參數(shù)，其參數(shù)

28、方程為方程為 )()(tytx 其起點其起點A對應(yīng)的參數(shù)為對應(yīng)的參數(shù)為 ，終點終點B對應(yīng)的參數(shù)為對應(yīng)的參數(shù)為 (不妨不妨設(shè)設(shè) 0 ) 內(nèi)存在原函內(nèi)存在原函數(shù)數(shù) , 并求出它并求出它. 證證: 令令2222,yxxQyxyP 則則)0()(22222 xyQyxxyxP由由定理定理 2 可知存在原函數(shù)可知存在原函數(shù) ),()0, 1(22dd),(yxyxxyyxyxu xx1d0)0(arctan xxy yyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yxoxy)0 ,( x)0 , 1(),(yx ),()0, 1(22dd),(yxyxxyyxyxu yyy021dyxyyarctan

29、1arctanarctan yxarctan2 xyxxy122d或或), 1 (y)0(arctan xxyoxy)0 ,( x)0 , 1(),(yx判別判別: P, Q 在某單連通域在某單連通域D內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),xQyP Dyx ),(為全微分方程為全微分方程 則則求解步驟求解步驟:方法方法1 湊微分法湊微分法;方法方法2 利用積分與路徑無關(guān)的條件利用積分與路徑無關(guān)的條件.1. 求原函數(shù)求原函數(shù) u (x, y)2. 由由 d u = 0 知通解為知通解為 u (x, y) = C .*三、全微分方程三、全微分方程使使若存在若存在),(yxuyyxQxyxPyxud

30、),(d),(),(d 則稱則稱0d),(d),( yyxQxyxP為為全微分方程全微分方程.),(yxyxO例例9. 求解求解0d)33(d)35(222324 yyyxyxxyyxx解解: 因為因為 yP236yyx ,xQ 故這是全微分方程故這是全微分方程. , 0, 000 yx取取則有則有xxyxuxd5),(04 yyyxyxyd)33(0222 5x 2223yx 3yx 331y 因此方程的通解為因此方程的通解為Cyyxyxx 332253123)0 ,(x法法1（全微分全微分）0d)33(d)35(222324 yyyxyxxyyxx求解求解法法2(偏積分法偏積分法) 此全微

31、分方程的通解為此全微分方程的通解為 yu ,)(2yy Cyxu ),(xu , 則則有有)(d)35(),(324yxyyxxyxu 待定待定，)()(233225yyyxyxx 兩邊對兩邊對 y 求導(dǎo)得求導(dǎo)得yu 由由得得與與比較得比較得331)(yy 取取因此方程的通解為因此方程的通解為Cyyxyxx 33225312332435yyxx 22233yyxyx )(3322yyxyx 例例10. 求解求解0d1d)(2 yxxxyx解解:21xyP 這是一個全微分方程這是一個全微分方程 .用湊微分法求通解用湊微分法求通解. 將方程改寫為將方程改寫為0ddd2 xxyyxxx即即 , 0d

32、21d2 xyx故原方程的通解為故原方程的通解為 021d2 xyx或或Cxyx 221,xQ 思考思考: 如何解方程如何解方程?0dd)(3 yxxyx這不是一個全微分方程這不是一個全微分方程 ,12x就化成例就化成例10 的方程的方程 .,0),( yx 使使0d),(),(d),(),( yyxQyxxyxPyx 為全微分方程為全微分方程,),(yx 則稱則稱在簡單情況下在簡單情況下, 可憑觀察和經(jīng)驗根據(jù)微分倒推式得到可憑觀察和經(jīng)驗根據(jù)微分倒推式得到為原方程的為原方程的積分因子積分因子.但若在方程兩邊同乘但若在方程兩邊同乘注注:若存在連續(xù)可微函數(shù)若存在連續(xù)可微函數(shù) 積分因子積分因子.1.

33、公式法公式法:,)()(xQyP xQxQyPyP ，兩邊同除兩邊同除 xQyPyPxQ lnln求解不容易求解不容易特殊地特殊地:;.有關(guān)時有關(guān)時只與只與當(dāng)當(dāng)xa , 0 y ,dxdx ;.有關(guān)時有關(guān)時只與只與當(dāng)當(dāng)yb )(1lnxQyPQdxd )(xf .)()( dxxfex , 0 x ,dydy )(1lnyPxQPdyd )(yg .)()( dyygey 2.觀察法觀察法:)(ddd)1 yxyx )(ddd)2 xyyxyx)(ddd)3 yyxx)(2122yx )(ddd)42 yyxxyyx)(ddd)52 xyxxyxy )(ddd)6 yxyxxyyxln)(dd

34、d)722 yxyxxyyxarctan)(ddd)822 yxyyxx22yx 積分因子積分因子不一定唯一不一定唯一 .0dd yxxy例如例如, 對對可取可取,1xy 221yx ,12y ,12x 憑觀察湊微分得到憑觀察湊微分得到),(yx 常選用的積分因子有常選用的積分因子有.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx .0)()3(22的通解的通解求微分方程求微分方程 dyxyxdxyxy解解,1)(1xxQyPQ dxxex1)( .x 例例11則原方程為則原方程為, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx, 0)()3(2322 dyyxxdxxyyx)(33

35、2xdyydxxydyxydxx )(21(23xyyxd , 0 原方程的通解為原方程的通解為.)(2123Cxyyx (公式法公式法)可積組合法可積組合法.0)1(ln2222的通解的通解 dyyyxydxxy解解將方程左端重新組合將方程左端重新組合,有有, 01)ln2222 dyyydyxydxxy（,1),(yyx 易知易知, 01)ln2(22 dyyydyyxydxx則則. 0)1(31)ln(2322 ydyxd即即原方程的通解為原方程的通解為.)1(31ln2322Cyyx 可積組合法可積組合法例例12 求微分方程求微分方程內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 格林公式格林公式 LyQxPd

36、d2. 等價條件等價條件在在 D 內(nèi)與路徑無關(guān)內(nèi)與路徑無關(guān).yPxQ 在在 D 內(nèi)有內(nèi)有yQxPuddd yxyPxQDdd LyQxPdd對對 D 內(nèi)任意閉曲線內(nèi)任意閉曲線 L 有有0dd LyQxP在在 D 內(nèi)有內(nèi)有設(shè)設(shè) P, Q 在在 D 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有則有全微分方程全微分方程1.設(shè)設(shè), )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu ).,(yxu求求提示提示: ),(dyxuxxyxd)4(34 yyyxd)56(422 ),(yxuyox),(yx)0 ,(xxxxd04 yyyxyd)56(0422 C 551x 322yx Cy 5xx

37、yxd)4(34 yyyxd)56(422 ),()0,0(yxC 思考與練習(xí)思考與練習(xí) CCCDyxoaaC 2. 設(shè)設(shè) C 為沿為沿 yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222 222ayx 從點從點), 0(a依逆時針依逆時針), 0(a 的半圓的半圓, 計算計算解解: 添加輔助線如圖添加輔助線如圖 ,利用格林公式利用格林公式 .原式原式 =321a aayayd)ln2( D222xaya 222xay yxdd C到點到點3.設(shè)設(shè)f(t)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足f (0)=2， f(0)=1，又積分又積分 Lyyxfxyxfd)(d)(在全平面上與路徑無

38、關(guān)，試確定在全平面上與路徑無關(guān)，試確定f(t)。 ,0)1 ,0(,1 FCF4. 已知曲線積分已知曲線積分與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), 其中其中求由求由確定的隱函數(shù)確定的隱函數(shù)解解: 因積分與路徑無關(guān)因積分與路徑無關(guān) , 故有故有xFxFxsincos xFxyFysinsin 即即因此有因此有dcosdsin ),(yxxxyyxFL 0),( yxF. )(xfy xyFFyxtan xyytan 10 xyxycos1 xsec sin),(cos),(xyyxFyxyxFx y一一、 填填空空題題: :1 1、 設(shè)設(shè)閉閉區(qū)區(qū)域域D由由分分段段光光滑滑的的曲曲線線L圍圍成成, ,函函數(shù)數(shù)),

39、(, ),(yxQyxP及及在在D上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則有有 DdxdyyPxQ)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 設(shè)設(shè)D為為 平平 面面 上上 的的 一一 個個 單單 連連 通通 域域 , , 函函 數(shù)數(shù)),(, ),(yxQyxP在在D內(nèi)內(nèi)有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,則則 LQdyPdx在在D內(nèi)內(nèi)與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)的的充充要要條條件件是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _在在D內(nèi)內(nèi)處處處處成成立立；3 3、 設(shè)設(shè)D為為由由分分段段光光滑滑的的曲曲線線L所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域, ,其其面面積積為為 5 5, ,又又),(yxP及及),(yxQ在在D上上有