經(jīng)典集合與模糊集合

1、2.1.2 模糊集合2. 模糊數(shù)模糊數(shù)1)( ),( )0,FFUSuppAx xU A xSuppAFSupporter集合的支集、核和正規(guī) 集設(shè)A記集合稱為 集合的支集（）;F, ( )1,KerAx xU A xKerAFKernelKerAFAF稱為 集合的核（）;把的 集合 稱為正規(guī) 集。F集合A的支集和核，都是經(jīng)典集合。2)()( )( )AA xA xAA數(shù) 與集合 的數(shù)積設(shè)A(U),0，1，xU?？梢远x一個(gè)新的集合“ A”,它滿足以下條件： 稱為數(shù) 與集合 的數(shù)集。F把一個(gè)F集合A的隸屬函數(shù)A（x）、支集SuppA、核KerA及它和數(shù) 的數(shù)積 A，一并畫在圖上，可以看出它們的

2、意義以及跟F集合A的關(guān)系。332132,0,1,=(1),FFx xAxxxxxAxAA 113)凸 集凸 集是經(jīng)典集合中凸集的推廣。經(jīng)典集合論中凸集的定義是：A(U),任意兩點(diǎn)及連接 和 線段上的點(diǎn)都在 中，即則稱集合 是凸的，否則是非凸的。F232321313,xxxRxxxA xA xAFxA xA x11設(shè)集合A(R),R是實(shí)數(shù)域，若、 、且均有（ ） min(（ ）凸 集定義：,（ ）)=（ ） （ ）F 凸F集的實(shí)際意義在于它是實(shí)數(shù)域上滿足下述條件的F集合：任何中間元素的隸屬度，都大于兩邊元素隸屬度中的小者。如圖2-5所示。4）F數(shù)數(shù) 在模糊控制中經(jīng)常用到是實(shí)數(shù)域上的模糊集合，而模

3、在模糊控制中經(jīng)常用到是實(shí)數(shù)域上的模糊集合，而模糊數(shù)則是常用的一個(gè)概念。糊數(shù)則是常用的一個(gè)概念。 模糊數(shù)：實(shí)數(shù)域上正規(guī)的、凸模糊數(shù)：實(shí)數(shù)域上正規(guī)的、凸F集稱為正規(guī)實(shí)模糊集稱為正規(guī)實(shí)模糊集，簡(jiǎn)稱模糊數(shù)，即把某個(gè)實(shí)數(shù)值為核的、凸集，簡(jiǎn)稱模糊數(shù)，即把某個(gè)實(shí)數(shù)值為核的、凸F集稱為集稱為F數(shù)。數(shù)。 模糊數(shù)的表示方法也和一般的模糊數(shù)的表示方法也和一般的F集合一樣，如：集合一樣，如：F數(shù)數(shù)2、F數(shù)數(shù)3，在連續(xù)域上可以表示為：，在連續(xù)域上可以表示為：2(3)0.21,122( ),3,233( ),1.5,4.5xxxxxxxex3模糊集合的表示方法：隸屬度表示論語(yǔ)中某個(gè)元素屬于隸屬度表示論語(yǔ)中某個(gè)元素屬于F集

4、合的程度。因此，當(dāng)談到集合的程度。因此，當(dāng)談到一個(gè)一個(gè)F集合集合就得給出論域中各元素屬于該就得給出論域中各元素屬于該F集合的程度集合的程度隸屬函數(shù)。所隸屬函數(shù)。所以，隸屬函數(shù)是表示以，隸屬函數(shù)是表示F 集合的關(guān)鍵概念。有幾種表示方法集合的關(guān)鍵概念。有幾種表示方法:1)序?qū)Ψㄐ驅(qū)Ψ?1,2,FU iniii1122nn當(dāng) 集合的論域U為有限集或可數(shù)集時(shí)，F(xiàn)集合A表示為:A=(x ,A(x )x=(x ,A(x ),(x ,A(x ),(x ,A(x )2)扎德法扎德法1212( )()( )(),1,2,( )ininiiUFAA xA xA xA xAinxxxxUFAA xAx當(dāng)論域 是有限

5、集或可數(shù)集時(shí)， 集合 可表示為：如果論域 是無(wú)限不可數(shù)集， 集合 可表示為：上述試中的數(shù)學(xué)符號(hào)所表示注意的意義。3)向量法向量法若論域中的元素有限且有序時(shí)，可以把各元素的隸屬度類似于若論域中的元素有限且有序時(shí)，可以把各元素的隸屬度類似于向量的分量排列起來(lái)表示向量的分量排列起來(lái)表示F集合，這樣集合，這樣F集合相當(dāng)于一個(gè)向量，集合相當(dāng)于一個(gè)向量，其分量就是各元素的隸屬度取值，故也稱其分量就是各元素的隸屬度取值，故也稱F集合集合A為為F向量向量A,表表示為示為:注：用向量表示法時(shí)，同一論域上各集合中元素隸屬度的排列注：用向量表示法時(shí)，同一論域上各集合中元素隸屬度的排列順序必須相同，而且隸屬度等于零的

6、項(xiàng)不得省略。順序必須相同，而且隸屬度等于零的項(xiàng)不得省略。12( ( ), (), ()nAA xA xA x3)函數(shù)法函數(shù)法UFAA當(dāng)論域是無(wú)限不可數(shù)集時(shí)，根據(jù) 集合 的定義，完全可以用它的隸屬函數(shù)（x）來(lái)表征它.12 3 4 5,UAi設(shè)論域， ， ， ，表示“靠近4的數(shù)集”，則A就是F集合。已知論域U中各元素隸屬于A的程度A（x）,試用F集合的各種表示方法表示出F集合A。例子例子2-1(00.20.810.80.2)A解：序?qū)Ψǎ篈=(1,0),(2,0.2),(3,0.8),(4,1),(5,0.8),(6,0.2)00.20.810.80.2扎德法：A=1234560.20.810.8

7、0.223456向量法：， ， 從F集合的定義和表示方法可以看出，隸屬函數(shù)是F集合的核心，F(xiàn)集合完全由隸屬函數(shù)所描述。給出一個(gè)F集合，就要給出論域中各個(gè)元素對(duì)于該F集合的隸屬度。因此，定義一個(gè)F集合，就要定義出論域中各個(gè)元素對(duì)該集合的隸屬度。2.2 2.2 隸屬函數(shù)隸屬函數(shù)2.2.1確定隸屬函數(shù)的基本方法確定隸屬函數(shù)的基本方法（1）模糊統(tǒng)計(jì)法）模糊統(tǒng)計(jì)法,(),()=AAAnAN0000根據(jù)所提出的模糊概念對(duì)許多人進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，提出與之對(duì)應(yīng)的模糊集合通過統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)，確定不同元素隸屬于某個(gè)模糊集合的程度。假設(shè)進(jìn)行過N次統(tǒng)計(jì)性試驗(yàn)，認(rèn)為u 屬于F集合A的次數(shù)為n,則把n與N的比值視為u 對(duì) 的隸屬度

8、，記為u即：u (2)二元對(duì)比排序法 在論域里的多個(gè)元素中，人們通過把他們兩兩對(duì)比，確定其在某種特性下的順序，據(jù)此決定出它們對(duì)該特性的隸屬函數(shù)大體形狀，再將其納入與該圖形近似的常用數(shù)學(xué)函數(shù)。（3）專家經(jīng)驗(yàn)法 根據(jù)專家和操作人員的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和主觀感知，經(jīng)過分析、演繹和推理，直接給出元素屬于某個(gè)F集合的隸屬度。（4）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法 利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)功能，把大量測(cè)試數(shù)據(jù)輸入某個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)器，自動(dòng)生成一個(gè)隸屬函數(shù)，然后再通過網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)、檢驗(yàn)，自動(dòng)調(diào)整隸屬函數(shù)的某些參數(shù)，最后確定下來(lái)。注：無(wú)論是哪種，都離不開人的主觀參與和客觀實(shí)際的檢驗(yàn)。1100,( ),( ), ( )xUxUQ x Z x L x假設(shè)年齡

9、 的論域?yàn)?，。用分別表示“青年”，“中年”和“老年”的隸屬函數(shù)。對(duì)扎德的調(diào)查問卷結(jié)果經(jīng)過數(shù)據(jù)分析處理、數(shù)字化后，得出三個(gè)模糊概念的隸屬函數(shù)表達(dá)式。,25,2550,5050,50 xxxxxxxxxxx2 -14 -12 -12 -11, 25青年 Q( )=-251+()100, 125x-50中年 Z( )= 1+() 18x-501+()180, 老年Z( )=x-501+()512x 25x25這些F集合也可以用扎德表示法表示，如“青年”的隸屬函數(shù)為：x-251+()110 Q(x)=xx2.2.2常用隸屬函數(shù)常用隸屬函數(shù)(1)0,( , , , ),0,xaxaaxbbaf x a

10、b cabccxbxccbxc 三角形要求222()2(2)1( , , , ),1+(3)( , )(4)0,( , , , ,)1,0,bxcf x a b ccabxcaf xcecxaxaaxbbaf x a b c dbxcab cddxcxddcxd鐘形其中 決定函數(shù)的中心位置， 、決定函數(shù)的形狀。高斯型其中， 決定函數(shù)中心的位置，決定函數(shù)曲線的寬度。梯形要求()(5)1( , , ),1+a x cf x a cceSigmoid形其中a、 決定函數(shù)形狀，函數(shù)圖形關(guān)于點(diǎn)（a,0.5）是中心對(duì)稱的。2.3模糊集合的運(yùn)算2.3.1 模糊集合的基本運(yùn)算 模糊集合之間的運(yùn)算就是對(duì)論域中的

11、各元素的隸屬度進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算。0AA 設(shè)論域?yàn)閁，對(duì)任何xU,均有A（x）=1或A（x） 1，則稱A為論域U上的全集，記作A=U。設(shè)論域?yàn)閁，對(duì)任何xU,均有A（x）=0，記為A（x），則稱 為模糊空集，記為。設(shè)A,B(U),對(duì)任何xU,均有A（x）=B（x），則稱A與B 相1.模糊全集2.模糊空集3.模糊集合的相等4.模糊集合間的包等，記作A=B。設(shè)A,B(U),xU,均有A（x） B（x），包含含則稱AFF于B(B包含A)或A是B的子集，記作AB。, ,( )( )( )max ( ), ( )5.A B CUxUC xA xB xA x B xCABCAB 若（ ）,均有：則稱 為 和

12、的并集，記作。符號(hào)“ ”表示對(duì)兩邊的模糊集合的值做取并集大運(yùn)算。F, ,( )( )( )min ( ), ( )6.A B CUxUC xA xB xA x B xCABCAB 若（ ）,均有：則稱 為 和 的并集，記作。符號(hào)“ ”表示對(duì)兩邊模糊集合間的的值做。交集取小運(yùn)算F7,( )1- ( ).cA BUxUB xA xBABABA 若（ ）,均有：則模糊集合的稱 為 的補(bǔ)集，記作或補(bǔ)集。F12342342-3 ,(0.5 0.4 0 0.7),ccUu u u uA BUAuuuBAB AB AAAc例 0.810.6設(shè)若（ ）, =， ，。求和AA 。F123412341234123

13、4123412400.50.80.4100.60.7=0.50.810.700.50.80.4100.60.700.400.61 01 0.81 11 0.610.20.4cABuuuuuuuuABuuuuuuuuAuuuuuuu123412342401.00.80.2100.60.4010.80.2100.60.40.20.4cAAuuuuuuuuuucAA,2-13ccFFAABBABAB22-0.2(x-1)用幾個(gè)圖示理解 集合運(yùn)算的意義，假設(shè)圖中的 子集在數(shù)域上都是1連續(xù)的。設(shè)U=-4,2.2，A,B(U),xU。已知A(x)=1+2(x+2)B(x)=e。現(xiàn)將 、 、和、分別畫在圖中

14、。F2.3.2, ,( ),(A B CU模糊集合的基本運(yùn)算規(guī)律設(shè)則有ABC)=(AB) (AC)ABC)=(AB) (AC)（AB） C=A （BC)（A1)B） C=A分配律2)結(jié)合律（BC)F3)交換律4)吸AB=BAAB=BA（AB） A=A（AB律）收A=A AA=AAA=AAU=U;AU=AA=A5)冪等律6)同;A一=律()CCCCCCCC7)對(duì)偶律8)雙重否定AB) =ABAB) =AB律AA=A(),( )( )0( )0.3( )=1-0.3=0.7( )( )=0.30.7=0.302-4( )( )0CCCCCCCAAFAUAAA xAxA xAxA xAxA xAxF

15、FAA證明經(jīng)典集合中的矛盾律：在 集合中不成立。證明：設(shè)此題要證明即證明采用反證法：設(shè)，則，因此可知，這是因?yàn)?集合邊例界不分明， 集合和有交疊部分存在。F=2-5=CCCF試證：(1)交換律AB=BA；(2)對(duì)偶律(AB)AB 。證明：由于 集合完全取決于它的隸屬函數(shù)，所以集合性質(zhì)的證明，是通過它們隸屬函數(shù)間的關(guān)系進(jìn)行的。(1)即證明(AB)(x)=(BA)(x)根據(jù)定義，對(duì)任意x都有(AB)(x) A(x) B(x)，因?yàn)锽(x)和A(x)是小于1的數(shù)值，數(shù)值間的取大是完全可以交換順序的，故有A(x) B(x) B(x) A(x例)，于是=有： AB BA1-=-1-= -=1-=1-CC

16、CUx試證：(1)交換律AB=BA；(2)對(duì)偶律(AB)AB 。(2)即證明對(duì)于論域 中任意 都有：(AB)(x) （1 A(x)）（1 B(x)）而 (AB)(x) 1 A(x) B(x)，因?yàn)锳(x)與B(x)都是小于1的數(shù)所以有兩種情況：若A(x)B(x),則1 A(x) B(x)A(x)；若A(x)B(x),則1 A(x) B(x)B(x)。-=1-1-()CCCFABAB將兩種情況結(jié)合，就可以得出：1 A(x) B(x)A(x)B(x)根據(jù)定義，把隸屬函數(shù)表達(dá)式換成 集合表示式，則有：0.910-.62 6AabdFBBABAB論域由四個(gè)人構(gòu)成，即U=a,b,c,d,設(shè)F集合A=“高個(gè)子”，其隸屬函數(shù)為：集合“胖子”，其隸屬函數(shù)為：（0.8，0.2,0.9,1）求和，并說明它例們的含義。(0.90.8,10.2