(完整版)熱力學與統(tǒng)計物理_試題及答案

1、一填空題（共 40 分）1N 個全同近獨立粒子構(gòu)成的熱力學系統(tǒng)， 如果每個粒子的自由度為 r ，系統(tǒng)的自由度為（ Nr ）。系統(tǒng)的狀態(tài)可以用（ 2Nr ）維空間中的一個代表點表示。2 對于處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，如果系統(tǒng)所有可能的微觀狀態(tài)數(shù)為，則每一微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率為（1/ ?），系統(tǒng)的熵為（ kln?）。3玻色統(tǒng)計與費米統(tǒng)計的區(qū)別在于系統(tǒng)中的粒子是否遵從（泡利不相容原理 ）原理，其中（費米）系統(tǒng)的分布必須滿足0 fs 1 。4玻色系統(tǒng)和費米系統(tǒng)在滿足 （ 經(jīng)典極限條件 ( 或 e - <<1)或 e >>1）條件時，可以使用玻爾茲曼統(tǒng)計。dUal d ll dall

2、dal ）5ll給出內(nèi)能變化的兩個原因， 其中（l項描述傳熱，（lal d l ）項描述做功。6對粒子數(shù)守恒的玻色系統(tǒng)，溫度下降會使粒子的化學勢（升高 ）；如果溫度足夠低， 則會發(fā)生（ 玻色愛因斯坦凝聚）。這時系統(tǒng)的能量 U0（ 0），壓強 p0（ 0），熵 S0（ 0）。7已知粒子遵從經(jīng)典玻爾茲曼分布，其能量表達式為1 ( px 2p y 2pz 2 ) ax2bx2m， 粒 子 的 平 均能 量 為 （ 2kT b2/4a）。8當溫度（ 很低 ）或粒子數(shù)密度（ 很大 ）時，玻色系統(tǒng)與費米系統(tǒng)的量子關(guān)聯(lián)效應(yīng)會很強。9如果系統(tǒng)的分布函數(shù)為s，系統(tǒng)在量子態(tài)s 的能量為 E ，用和 Esss表示：

3、系統(tǒng)的平均能量為（ Es Es ）， 能 量 漲 落 為s（s (Es E) 2 ）（如寫成 E 2(E )2 也得分）。s10與宏觀平衡態(tài)對應(yīng)的是穩(wěn)定系綜， 穩(wěn)定系綜的分布函數(shù) s 具有特點（ d s / dt=0 或與時間無關(guān)等同樣的意思也得分 ），同時 s 也滿足歸一化條件。二計算證明題（每題10 分，共 60 分）1假定某種類型分子（設(shè)粒子可以分辨）的許可能及為0， 2，3，。， 而且都是非簡并的，如果系統(tǒng)含有6 個分子，問：（ 1）與總能量 3 相聯(lián)系的分布是什么樣的分布？分布需要滿足的條件是什么？（ 2）根據(jù)公式alN !al 計算每種分布的微觀態(tài)數(shù)? ；al! ll（ 3）確定各

4、種分布的概率。解：能級： 1， 2， 3， 4，能量值：0 ， ， 2 ， 3，簡并度：1，1， 1，1，分布數(shù)：a1, a 2, a3, a4,分布 al 要滿足的條件為：alN6lallE 3l滿足上述條件的分布有： A： al5,0,0,1,0,.B： al4,1,1,0,0,.C： al3,3,0,0,0,.各分布對應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)為：所有分布總的微觀態(tài)數(shù)為：6!16;A1!5!B6!130;1!1!4!6!120C3!3!ABC6302056pAA各分布對應(yīng)的概率為：pBBpCC/6/ 560.107;/30/ 560.536;/20 /560.357;2表面活性物質(zhì)的分子在液面（面積為

5、 A）上做二維自由運動，可以看作二維理想氣體，設(shè)粒子的質(zhì)量為 m，總粒子數(shù)為 N。（ 1）求單粒子的配分函數(shù)Z1；（ 2）在平衡態(tài)，按玻爾茲曼分布率，寫出位置在 x 到 xdx， y 到 y dy 內(nèi)，動量在 px 到 pxdpx ， py 到 py dpy 內(nèi)的分子數(shù) dN；（ 3）寫出分子按速度的分布；（ 4）寫出分子按速率的分布。解：（ 1）單粒子的配分函數(shù) z1e 2 m ( px2 py2 ) dxdydpdpyA(2 mkT )1h2xh2（ 2） dN e( ) dxdydpxdpyNdxdydpxdpyh2Z1eh2（ 3）將（ 1）代入（ 2），并對dxdy 積分，得分子按速

6、度的分布為dNvr N (mm)e 2 kT2kT(vx2vy 2 )dvxdv y（4）有（3）可得分子按速率的分布為：mv2mv22 N (m)e 2 kT vdvN ( m )e 2kT vdv2kTkT3定域系含有 N個近獨立粒子， 每個粒子有兩個非簡并能級1 0， 2 0，其中 0 大于零且為外參量y 的函數(shù)。求：（ 1）溫度為 T 時處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)與處于基態(tài)的粒子數(shù)之比，并說明在極端高溫和極端低溫時粒子數(shù)比的特點；（ 2）系統(tǒng)的內(nèi)能和熱容量；（ 3）極端高溫和極端低溫時系統(tǒng)的熵。解：（ 1）單粒子的配分函數(shù)為：Z1ele1e2e 0e0l處于基態(tài)的粒子數(shù)為：Ne1Ne 0;N1

7、eZ1e00處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)為： N2NNe0;e2e 0eZ10溫度為T 時處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)與處于基態(tài)的粒子數(shù)之為：0N 2eN1e00e kT0ekT極端高溫時：0 kT， N 21,即處于激發(fā)態(tài)的粒子數(shù)與處于基N1態(tài)的粒子數(shù)基本相同；極端低溫時：0kT， N 20,即粒子幾乎全部處于基態(tài)。N1（2）系統(tǒng)的內(nèi)能：UNln Z1Nln( e 0e0) N0ee00ee00U1(UN 02e熱容量： CV ( )VkT2)VkT21 (Te00e 0 )2e 0（3）極端高溫時系統(tǒng)的熵：Sk lnk ln 2NNk ln 2極端低溫時系統(tǒng)的熵： S=04對弱簡并的非相對論費米氣體，求：（

8、1）粒子數(shù)分布的零級近似f 0 與一級修正項f 1 ；（ 2）證明：與零級近似相比， 粒子數(shù)的相對修正量和內(nèi)能的相對修正量均正比于 e 。解：費米氣體分布函數(shù)為：f1e11（ 1） f e1e(1 e) ee 2 2ee 22f 0e， f11（2） D()dCV2d1Nf1 D ( ) de 22 CV 2 dNf0 D ( )d1eeCV2 dUf1D( ) deUf 0D( )d5金屬中的電子可以視為自由電子氣體，電子數(shù)密度n，（ 1）簡述：T 0K時電子氣體分布的特點， 并說明此時化學勢 0 的意義；300（ 2）證明： T0K 時電子的平均能量5 ，簡并壓強 p0 2 n 0 ；5（

9、 3）近似計算：在室溫下某金屬中自f由電子的熱容與晶格熱容之比。T=0K1（ 1） 0 表示 T0K 時電子的最能量。電子從 0 的能級開始，先占據(jù)低能級，然后占據(jù)高能級， 遵從泡利不相容原理。00( > 0)00100U0fD ( )d0CV2 d0N0010(2)fD ()d2 d00CV0p02 U2 U N20 n2 30n23 V3 N V33 50n5f = 1 ( < 0); f = 032 d30152 d(3)T>0K 時 : f1 （）； f1 （ ）； f 1（）222T>0K 時，只有在 附近 kT 量級范圍內(nèi)的電子可躍遷到高能級，對CV有貢獻，

10、設(shè)這部分電子的數(shù)目為Neff ， 則N effNkT 。每一電子對V 的C貢 獻 為3kT/2, 則 金 屬 中 自 由 電子 對Cv的貢獻為CV e 3kN ef f3kN kT3Nk ( kT )3Nk (kT )3Nk (T )2222kTf2Tf晶格的熱容量為 Cv3Nk， CV e1 T0(Tf:104105 )CV2 Tf6固體的熱運動可以視為3N 個獨立簡正振動，每個振動具有各自的簡UU 0i1 ，式中的求和遍及正頻率 i ，內(nèi)能的表達式為：i e / kT所有的振動模式，實際計算時需要知道固體振動的頻譜。（ 1）寫出愛因斯坦模型中采用的頻譜和德拜模型中采用的頻譜，并加以簡單說明；（ 2）用愛因斯坦模型求高溫下固體的熱容量；（ 3）用德拜模型證明低溫下固體的熱容量正比于T3 。解：（ 1）愛因斯坦模型： N 個分子的振動簡化為 3N 同頻率（）的簡諧振動，每個振子的能級為 n (n 1) h ；2德拜模型： N 個分子的振動簡化為 3N 個簡正振動，每個振子的頻率不同，且有上限 D， D ( ) d B 2 d .(2) 愛因斯坦模型 : Z1l eeh ( n 1)l2lne1eh2h ;U3Nln Z13N h3N h2e h1Uh2eh / kTCV( T)V3Nk (kT)(eh / kT1)2高