概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)之隨機(jī)變量及其分布

1、概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)之隨機(jī)變量及其分布例 總機(jī)某段時(shí)間內(nèi)接到的 次數(shù)， 可用一個(gè)變量 X 來(lái)描述：X = 0，1，2， 例 檢測(cè)檢測(cè)一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果一件產(chǎn)品可能出現(xiàn)的兩個(gè)結(jié)果 ， 也可以用一個(gè)變量來(lái)描述也可以用一個(gè)變量來(lái)描述: 正正品品次次品品,0,1)(X 例 考慮考慮“測(cè)試燈泡壽命測(cè)試燈泡壽命”這一試驗(yàn)，以這一試驗(yàn)，以 X 記燈泡的壽命（以小時(shí)計(jì)）則：記燈泡的壽命（以小時(shí)計(jì)）則：X = t， ( t0 )設(shè) S 是隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間， 若定義定義SX() 按按一一定定法法則則實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)則稱 S 上的單值實(shí)值函數(shù) X ( )為隨機(jī)變量隨機(jī)變量一般用大寫英文字母X， Y ，Z ， 或小寫

2、希臘字母 ， ， ，表示隨機(jī)變量 是SR上的映射， 此映射具有如下特點(diǎn):v 定義域定義域 事件域 S ；v 隨機(jī)性隨機(jī)性 隨機(jī)變量 X 的可能取值不止一個(gè)， 試驗(yàn)前只能預(yù)知它的可能的取值但不能預(yù)知取哪個(gè)值；v 概率特性概率特性 X 以一定的概率取某個(gè)值或某些 值 。 引入隨機(jī)變量的意義引入隨機(jī)變量的意義 有了隨機(jī)變量，隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就有了隨機(jī)變量，隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái)?？梢酝ㄟ^(guò)隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來(lái)。 如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某 交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用 X 表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量。表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量。 收到不少于收到

3、不少于1次呼叫次呼叫 X1 沒(méi)有收到呼叫沒(méi)有收到呼叫 X =0 可見(jiàn)，隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在可見(jiàn)，隨機(jī)事件這個(gè)概念實(shí)際上是包容在隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念內(nèi)。也可以說(shuō)，隨機(jī)隨機(jī)變量這個(gè)更廣的概念內(nèi)。也可以說(shuō)，隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象，而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，就象數(shù)學(xué)分析中常變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，就象數(shù)學(xué)分析中常量與變量的區(qū)別那樣。量與變量的區(qū)別那樣。 非非離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量隨隨離離散散型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量機(jī)機(jī)變變量量隨機(jī)變量分類所有取值所有取值可以逐個(gè)可以逐個(gè)一一列舉一一列舉全部可能取值不僅全部可能取值不僅無(wú)窮多，而且還

4、不無(wú)窮多，而且還不能一一列舉。能一一列舉。 連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量X 的可能取值為：的可能取值為：解：解：4000，400，40，4，0 。 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 的可能取值是有限個(gè)的可能取值是有限個(gè)或可列個(gè)，或可列個(gè)， 則稱則稱 X 為離散型隨機(jī)變量。為離散型隨機(jī)變量。定義描述描述X 的概率特性常用概率分布列或分布列的概率特性常用概率分布列或分布列kkP( Xx )p , k1,2, X 12kxxxp 12kppp即即或1) kp0, k1,2,非負(fù)性非負(fù)性2) 1p1kk 正則性正則性概率分布的特征例例1 1 一批產(chǎn)品的次品率為一批產(chǎn)品的次品率為8% ，從中抽取，從中抽取1件件

5、進(jìn)行檢驗(yàn)，令進(jìn)行檢驗(yàn)，令 寫出寫出 X 的分布律的分布律. 1,X0, 次次品品正正品品X 的分布律為的分布律為: X 10p 08. 092. 0概率分布圖概率分布圖 : 0.080 1 x y0.92 解：解：兩點(diǎn)分布( 01分布) 只取兩個(gè)值的概率分布分布律為： X 1 0pk p 1 - p0 p 11,0k,)p1(p)kX(Pk1k 或應(yīng)用場(chǎng)合 凡試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果，常用0 1分布描述，如產(chǎn)品是否合格， 人口性別統(tǒng)計(jì)， 系統(tǒng)是否正常， 電力消耗是否超標(biāo)等。1010件產(chǎn)品中，有件產(chǎn)品中，有3 3件次品，任取兩件，件次品，任取兩件，X是是“抽得的次品數(shù)抽得的次品數(shù)”，求分布律。，求分

6、布律。X 可能取值為可能取值為 0，1，2。P X0 P X1 例例2解：解：76710915 27210CC 2174515 1137210C CC P X2 115所以，所以，X的分布律為：的分布律為：注 求分布律，首先弄清 X 的確切含義及其所有可能取值。例例3 上海的“天天彩”中獎(jiǎng)率為p ，某人每天買 1 張， 若不中獎(jiǎng)第二天繼續(xù)買 1張， 直至中獎(jiǎng)為止。求該人購(gòu)買次數(shù) X 的分布律。X= k 表示購(gòu)買了表示購(gòu)買了 k 張，張， 前前 k-1張都未張都未中獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)， 第第 k 張中了獎(jiǎng)。張中了獎(jiǎng)。 ,2,1k)p1( p)kX(P1k 幾何分布適用于試驗(yàn)首次成功的場(chǎng)合適用于試驗(yàn)首次成功

7、的場(chǎng)合解：解：1 2 3 k-1 k 例例4 一汽車沿一街道行駛，需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有一汽車沿一街道行駛，需要通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其它信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)它信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號(hào)燈顯示的時(shí)間相等燈顯示的時(shí)間相等. 以以 X 表示該汽車首次遇到紅表示該汽車首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)，求燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)，求 X 的概率分布。的概率分布。Ai = 第第 i 個(gè)路口遇紅燈個(gè)路口遇紅燈 ， i=1，2，3解解:設(shè)設(shè)依題意，依題意， X 可取值可取值 0，1，2，3。 P X=0 =P (

8、A1 ) =P X1路口路口3路口路口2路口路口112P( A A )1(1p)p4路口路口3路口路口2路口路口1p =1 / 2 ， P X2 123P( A A A )21(1p) p8路口路口3路口路口2路口路口1P X3123P( A A A )31(1p)8路口路口3路口路口2路口路口1概率分布：二項(xiàng)分布貝努里概型和二項(xiàng)分布例例 設(shè)生男孩的概率為設(shè)生男孩的概率為p，生女孩的概率為，生女孩的概率為q=1-p，令令X表示隨機(jī)抽查出生的表示隨機(jī)抽查出生的4 4個(gè)嬰兒中個(gè)嬰兒中“男孩男孩”的個(gè)數(shù)。的個(gè)數(shù)。我們來(lái)求我們來(lái)求X的概率分布。的概率分布。X表示隨機(jī)抽查的表示隨機(jī)抽查的4 4個(gè)嬰兒中男

9、孩的個(gè)數(shù)，個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)，生男孩的概率為生男孩的概率為 p.04C04p (1p) 14 1p (1p) 14C34C24C44C24 2p (1p) X=0X =1X =2X =3X =434 3p (1p) 44 4p (1p) kk4 k4P(Xk)C p (1p)k0,1,2, 3,4 設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn) E 只有兩個(gè)結(jié)果：只有兩個(gè)結(jié)果：和和 ，記記: :將將 E 獨(dú)立地重復(fù)獨(dú)立地重復(fù) n 次，則稱這一串重次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為 n 重貝努利重貝努利( Bernoulli )試試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱為貝努利驗(yàn)，簡(jiǎn)稱為貝努利( Bernoulli )試驗(yàn)試驗(yàn)P( A)p,P( A

10、)1pq(0p1)A在在n重貝努利試驗(yàn)中重貝努利試驗(yàn)中，事件，事件A可能發(fā)生可能發(fā)生0, 1,2, n 次次kkn knP(Xk)C p (1p)k0,1,2,n L L稱稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 p 的二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布( (binomial) )。X B( n, p )記作：記作： 當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，時(shí)， P(X=k) = pk (1-p)1-k k = 0,1 即即0-1分布分布（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果）每次試驗(yàn)只考慮兩個(gè)互逆結(jié)果A或或 ， A 貝努里概型對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒(méi)有等可能的要求，貝努里概型對(duì)試驗(yàn)結(jié)果沒(méi)有等可能的要求，但有下述要求：但有下述要求：（1）每次試驗(yàn)條件相同；）每次試

11、驗(yàn)條件相同； 且且P(A)=p ， ； P( A)1p（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立。）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立。二項(xiàng)分布描述的是 n 重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn)“成功”次數(shù) X 的概率分布。 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 的分布特點(diǎn)：的分布特點(diǎn)： XB(n,p) 當(dāng)當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k) 在在 k=(n +1)p 和和 k =(n+1)p-1 處達(dá)到最大值；處達(dá)到最大值；當(dāng)當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在在 k=(n+1)p 達(dá)到最大值。達(dá)到最大值。計(jì)算計(jì)算例例5 已知已知100個(gè)產(chǎn)品中有個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中個(gè)次品，現(xiàn)從中有放回地取有放回地取3次

12、，每次任取次，每次任取1個(gè)，求在所取個(gè)，求在所取的的3個(gè)中恰有個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率。個(gè)次品的概率。解解:依題意，依題意，p = 0.05設(shè)設(shè) X 為所取的為所取的3個(gè)中的次品數(shù)。個(gè)中的次品數(shù)。則則 X B( 3, 0.05 ) ,于是，所求概率為于是，所求概率為：2213P X=2= C 0.05 0.950.007125 計(jì)算計(jì)算例例6設(shè)有設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是的，發(fā)生故障的概率都是0.01，且一臺(tái)設(shè)備，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理?？紤]兩種配備維修的故障能由一個(gè)人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法，其一是由工人的方法

13、，其一是由4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；其二是由臺(tái)；其二是由3人共同維護(hù)人共同維護(hù)80臺(tái)。試比較這兩臺(tái)。試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率大小。率大小。 kP Xk 1 1=0=0=1-=1-002011192020C0.01 0.99C0.01 0.99 =1-=1-X = 第第1人維護(hù)的人維護(hù)的20臺(tái)中同一時(shí)刻故障臺(tái)數(shù)；臺(tái)中同一時(shí)刻故障臺(tái)數(shù)；Ai ：第：第i人維護(hù)的人維護(hù)的20臺(tái)故障不能及時(shí)維修臺(tái)故障不能及時(shí)維修” （i1， 2， 3， 4）；）；1234P( AAAA ) P X21P( A ) =0 0169. .解：解

14、： 按第一種方法。按第一種方法。而而Xb（20， 0.01），），故有故有80臺(tái)中發(fā)生故障而不臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為：能及時(shí)維修的概率為：計(jì)算計(jì)算 P Y4 設(shè)：Y=80臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)；按第二種方法。按第二種方法。0.0087 k80 kk800.010.99k 3 3=0=0=1-=1- N ) N) 300kk300 k300kN1C( 0.01) ( 0.99 ) k3300kN13 ek! n大，大， p小，小， np=3，用用 =np=3的泊松近似的泊松近似 我們求滿足我們求滿足k3kN13 e0.01k! 的最小的的最小的N.查泊松分布表得查泊松分布表得3k

15、k 9e30.0038,k! 3kk 8e30.012,k! N+1 9，即即N 8即至少需配備即至少需配備8個(gè)維修人員個(gè)維修人員.計(jì)算計(jì)算x定義 設(shè) X 為隨機(jī)變量， x 是任意實(shí)數(shù) ， 稱函數(shù)xxF()P()xX, 為X 的分布函數(shù)。幾何意義：Xx分布函數(shù)的基本性質(zhì)1. 單調(diào)性單調(diào)性1212xxF( x )F( x )有有2. 有界性有界性1x0F( x )1有有F()0F()1 且且，3. 右連續(xù)性右連續(xù)性000 xxxlim F( x )F( x )， 有有鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某隨機(jī)變量的分布函鑒別一個(gè)函數(shù)是否是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)的充分必要條件。數(shù)的充分必要條件。x 由定義知 X 落在

16、區(qū)間( a ，b 里的概率可用分布函數(shù)來(lái)計(jì)算：P(aXb) P( Xb) P( Xa) F(b)F(a) baaxP( X)a P( Xa)?PaxXa x0 limP( Xa) F(a)F(a0 ) aa-xxF(a)F(ax ) x0 limXa1P() 1F(a ) 用分布函數(shù)表示概率P( aXb )F( b )F( a ) P( Xa)F(a)F(a0 )P(aXb)P(aXb)P(aXb)請(qǐng)?zhí)羁誇(b)F(a0 )F(b0 )F(a)F(b0 )F(a0 )解 ：X 的分布律為 例例1 1 求例2中的分布函數(shù) 并作圖. F(x)012x715115 分布函數(shù)為 F(x) PXx 0

17、x0 70 x115 141x215 1x2 xxxx012x1F(x)的圖形為:)(xF7/157/151/15一般情形為:F( x)P( Xx) x2x1x1xnxkpkp2p1pnxkkk: xxp kkk: xxP( Xx ) U U例2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為:F xABxx ( )arctan ,試求：（試求：（1）系數(shù)）系數(shù) A， B ; （2）X落在（落在（-1，1）內(nèi)的概率）內(nèi)的概率解：由性質(zhì)解：由性質(zhì)F()0, F()1 AB()0 ,AB()12211A,B2 P 1X1F(1)F( 1) 111p=arctan( )-arctan(- )12

18、柯西分布函數(shù)離散隨機(jī)變量的分布函數(shù) F( x) 是分段階梯函數(shù)，是分段階梯函數(shù)， 在在 X 的可能取值的可能取值 xk 處處發(fā)生間斷，發(fā)生間斷， 間斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn)，間斷點(diǎn)為第一類跳躍間斷點(diǎn)， 在間斷在間斷點(diǎn)處有躍度點(diǎn)處有躍度 pkkkk: xxF( x)P( Xx)p kkkk 1pP(Xx )F(x ) F(x) xyy = f(x)F(x)PxX xf tt ( )dxf tt ( )dxX返回返回 對(duì)任意實(shí)數(shù) x ， 若隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)可寫成：定義定義2.3xF xf ttx ( )( )d其中其中 ，則稱，則稱 X 是連續(xù)型隨機(jī)是連續(xù)型隨機(jī)變量，稱變量，稱f ( x )

19、為為X 的概率密度函數(shù)，的概率密度函數(shù)， 簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱為密度函數(shù)或概率密度。稱為密度函數(shù)或概率密度。 記為記為:f( x )0 X f(x)概率密度概率密度 f(x) 的性質(zhì)的性質(zhì)常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)，或求其中的未知參數(shù)。f( x )0 1.f tt1 ( )d2.3. 在在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處有的連續(xù)點(diǎn)處有f( x)F ( x) 4. 對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 有：有：P(aXb) 1.P(Xa)F(a) F(a 0) 0 P(aXb) P(aXb) baf(t)dt F(b)F(a) P(aXb)2.P xXxxf xxd ( )d3.圖形

20、圖形例例1 1 已知某型號(hào)電子管的使用壽命 X 為連續(xù)隨機(jī)變量， 其密度函數(shù)為：2cf ( x ),x1000 x0 其其他他(1) 求常數(shù)求常數(shù) c ； (2) 計(jì)算P( X17001500X2) ;000 (3) 已知一設(shè)備裝有3個(gè)這樣的電子管， 每個(gè)電子管能否正常工作相互獨(dú)立， 求在使用的最初1500小時(shí)只有一個(gè)損壞的概率。解：解：(1) 令令21000cf(xxxx1 )dd1000cx c = 1000(2) P( X17001500X2000 ) P( X1700,1500X2000) P(1500X2000) P(1500X1700) P(1500X2000) 170021500

21、1000 xx d2000215001000 xx d451162451 c1000(3)設(shè)設(shè)A 表示一個(gè)電子管的壽命小于表示一個(gè)電子管的壽命小于1500小時(shí)小時(shí)15000P(A)P 0X1500f xx ( )d15002100010001xx3 d設(shè)在使用的最初設(shè)在使用的最初1500小時(shí)三只晶體管中小時(shí)三只晶體管中損壞的只數(shù)為損壞的只數(shù)為Y1 B ( 3 ,)313 1134911P(Y1)C133 20,x0F( x )x ,0 x11,x1 例例2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：(1) 求求X取值在區(qū)間取值在區(qū)間 (0.3，0.7)的概率；的概率；(2) 求求X

22、的概率密度。的概率密度。解解: (1) P(0.3X0.7）= 0.72- 0.32 = 0.4=F(0.7)-F(0.3)20,x0F( x )x ,0 x11,x1 例例3 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F xxd( )d解解: (2) f(x)=注意到F(x)在x=1處導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)改變被積函數(shù)在個(gè)別點(diǎn)處的值不影響積分結(jié)果的性質(zhì)，可以在 沒(méi)意義的點(diǎn)處，任意規(guī)定 的值。F ( x ) F ( x ) 2x,0 x10, 其其它它若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 的的密度函數(shù)為：密度函數(shù)為：1axbf ( x )ba0 其其他他xf ( x)ab則稱 X 服從區(qū)間 a ， b

23、上的均勻分布。均勻分布。X U(a,b )記作記作均勻分布例例4 4 若X U( a,b )，求 F (x) 。解：解：xF xf tt ( )( )dxf ( x)abx 1xb xaaxbba 0 x 0為未知參數(shù)，則稱為未知參數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)服從參數(shù)為為，的正態(tài)分布，記為：的正態(tài)分布，記為：2X N (,) 正態(tài)分布 正態(tài)分布有廣泛的應(yīng)用，如地區(qū)的年降雨量正態(tài)分布有廣泛的應(yīng)用，如地區(qū)的年降雨量, ,在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)，如零件的尺寸；纖維的強(qiáng)度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的寸；纖維的強(qiáng)度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長(zhǎng)、株高；測(cè)量誤

24、差，射擊目標(biāo)的水平或垂直穗長(zhǎng)、株高；測(cè)量誤差，射擊目標(biāo)的水平或垂直偏差；信號(hào)噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分偏差；信號(hào)噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布。布。0-+1222( x)12ye xy正態(tài)分布密度函數(shù)正態(tài)分布密度函數(shù)00.20.40.60.811.21.40.512動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)演示演示,當(dāng)=0, =1時(shí)當(dāng)=0, =1時(shí)稱 X 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度函數(shù)為：概率密度函數(shù)為：2x21( x )e2 分布函數(shù)為：分布函數(shù)為：2tx21( x )edt2 ( x ) 的函數(shù)值可查正態(tài)分布表。的函數(shù)值可查正態(tài)分布表。例：例：X N(0,1)P X1 求求P X1 (1) 查表查表0.

25、8413記為：記為：X N(0,1 )1( x ) (x ) 對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，有：對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，有：0 x-x2X N(,) 一一般般，ZFZ( x )證：的分布函數(shù)為：證：的分布函數(shù)為：引理：2.XX N(,)ZN(0,1) : :若若，則則P Xx22( t)x21edt2 tutudtdu 令令或或2ux21edu2 ( x ) XP ZxPx 2X N(,) 若若XxP XxPxF()ZxxP ZF ()x() 于是：2211F( xP xXx)F( x12xx()()例例3：2X N(,)1 ) P X2 ) P X23 ) P X3 設(shè)設(shè)求求：P X1 ) 解解：()() (1

26、)(1 ) PX PXF()F()20.841368.26%1 2(1)1 2 )PP X22X2 2()2() ( 2 )(2 )2( 2 )121 095.44%.9772 P2X2 F(2)F(2)3 )PP X33X3 ( 3 )(3 )2( 3 )121 099.74%.9987 這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3 “3 準(zhǔn)則準(zhǔn)則” （三倍標(biāo)準(zhǔn)差原則）。）。可以認(rèn)為，可以認(rèn)為，Y 的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在3,3 區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi). . 分位點(diǎn)分位點(diǎn)2X N(,) 設(shè)設(shè)zP Xz 若若滿滿足足條條件件：則則 稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位點(diǎn)。分位點(diǎn)。 z

27、0 z 1z 1zz 常用 值：z z 問(wèn)題的提出 在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)在實(shí)際中，人們常常對(duì)隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣更感興趣.例如，已知例如，已知 t=t0 時(shí)刻噪聲電壓時(shí)刻噪聲電壓 V 的分布，的分布，t0t0求功率求功率 W = V 2/R 的分布的分布 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) (設(shè)設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由是連續(xù)函數(shù)），如何由 X 的分布求出的分布求出 Y 的分的分布？布？ 這個(gè)問(wèn)題無(wú)論在實(shí)踐中還是在理論上這個(gè)問(wèn)題無(wú)論在實(shí)踐中還是在理論上都是重要的。都是重要的。下面進(jìn)行討論。下面進(jìn)行討論。例例 離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布離散型隨機(jī)變量函數(shù)的

28、分布求求 Y 1= 2X 1 與與 Y 2= X 2 的分布律的分布律解:Y 1= 2X 1 的分布律的分布律:解:Y 2= X 2 的分布律的分布律:結(jié)論設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為：的分布律為：kkP( Xx )p , k1,2, L L由已知函數(shù)由已知函數(shù) g( x)可求出隨機(jī)變量可求出隨機(jī)變量 Y 的所有的所有可能取值，則可能取值，則 Y 的概率分布為：的概率分布為：kiikk: g( x ) yP(Yy )p , i1,2, L L連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布分布函數(shù)法分布函數(shù)法問(wèn)題：XYXf ( x )Yg( X ),Yf ( y) 已知：隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為已知：隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為隨機(jī)變量求 的概率密度函數(shù) 隨機(jī)變量求 的概率密度函數(shù) YYYF ( y),Yf ( y)先求出 的分布函數(shù)先求出 的分布函數(shù)再求 的概率密度函數(shù) 再求 的概率密度函數(shù) 方法：例例2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度具有概率密度Xf ( x )x, ， -， -2YYXf ( y) 求的概率密度函數(shù) 求的概率密度函數(shù) 解：解：YF ( y )PYy Q Qy 0PyXy XXF (y )F (y )yxy yyy2P Xy XXY1 f (y )f (y )y02yf ( y )0y0 XX11f (y )f (y