用Matlab求解差分方程問(wèn)題

1、用用Matlab求解差分方程問(wèn)題求解差分方程問(wèn)題一、一階線性常系數(shù)差分方程一、一階線性常系數(shù)差分方程二、高階線性常系數(shù)差分方程二、高階線性常系數(shù)差分方程三、線性常系數(shù)差分方程組三、線性常系數(shù)差分方程組一、一階線性常系數(shù)差分方程一、一階線性常系數(shù)差分方程瀕危物種的自然演變和人工孵化瀕危物種的自然演變和人工孵化問(wèn)題問(wèn)題 Florida沙丘鶴屬于瀕危物種，它在較好沙丘鶴屬于瀕危物種，它在較好自然環(huán)境下，年均增長(zhǎng)率僅為自然環(huán)境下，年均增長(zhǎng)率僅為1.94%，而在中，而在中等和較差環(huán)境下年均增長(zhǎng)率分別為等和較差環(huán)境下年均增長(zhǎng)率分別為 -3.24% 和和 -3.82%，如果在某自然保護(hù)區(qū)內(nèi)開始有，如果在某自

2、然保護(hù)區(qū)內(nèi)開始有100只鶴，只鶴，建立描述其數(shù)量變化規(guī)律的模型，并作建立描述其數(shù)量變化規(guī)律的模型，并作 數(shù)值計(jì)算。數(shù)值計(jì)算。模型建立模型建立記第記第k年沙丘鶴的數(shù)量為年沙丘鶴的數(shù)量為xk,年均增長(zhǎng)率為年均增長(zhǎng)率為r，則第，則第k+1年鶴的數(shù)量為年鶴的數(shù)量為 xk+1=(1+r)xk k=0,1,2已知已知x0=100, 在較好，中等和較差的自然在較好，中等和較差的自然環(huán)境下環(huán)境下 r=0.0194, -0.0324,和和-0.0382 我們利用我們利用Matlab編程，遞推編程，遞推20年后觀察沙丘鶴的年后觀察沙丘鶴的數(shù)量變化情況數(shù)量變化情況Matlab實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)首先建立一個(gè)關(guān)于變量首先建立一個(gè)

3、關(guān)于變量n ，r的函數(shù)的函數(shù)function x=sqh(n,r)a=1+r;x=100;for k=1:n x(k+1)=a*x(k);end在在command窗口里調(diào)用窗口里調(diào)用sqh函數(shù)函數(shù) k=(0:20); y1=sqh(20,0.0194); y2=sqh(20,-0.0324); y3=sqh(20,-0.0382); round(k,y1,y2,y3)利用plot 繪圖觀察數(shù)量變化趨勢(shì)可以用不同線型和顏色繪圖可以用不同線型和顏色繪圖r g b c m y k w 分別表示分別表示 紅綠蘭蘭綠洋紅黃黑白色紅綠蘭蘭綠洋紅黃黑白色： + o * . X s d 表示不同的線型表示不同

4、的線型 plot(k,y1,k,y2,k,y3) 在同一坐標(biāo)系下畫圖在同一坐標(biāo)系下畫圖 plot(k,y2,:) plot(k,y2,-) plot(k,y2,r) plot(k,y2,y) plot(k,y2,y,k,y1,:) plot(k,y2,k,y1,:) plot(k,y2,oy,k,y1,:)用gtext(r=0.0194),gtext(r=-0.0324),gtext(r=-0.0382)在圖上做標(biāo)記。人工孵化是挽救瀕危物種的措施之一，如人工孵化是挽救瀕危物種的措施之一，如果每年孵化果每年孵化5只鶴放入保護(hù)區(qū)，觀察在中等只鶴放入保護(hù)區(qū)，觀察在中等自然條件下沙丘鶴的數(shù)量如何變化自

5、然條件下沙丘鶴的數(shù)量如何變化Xk+1=aXk +5 ,a=1+r如果我們想考察每年孵化多少只比較合適，可以令Xk+1=aXk +b ,a=1+rfunction x=fhsqh(n,r,b)a=1+r;X=100;For k=1:nX(k+1)=a*x(k)+b;endk=(0:20) ; %一個(gè)行向量一個(gè)行向量y1=(20,-0.0324,5); 也是一個(gè)行向量也是一個(gè)行向量round( k , y 1 ) 對(duì)對(duì)k,y1四舍五入，但四舍五入，但 是是 不改變變量的值不改變變量的值 plot( k , y1) k y1 是行向量列向量都可以是行向量列向量都可以也可以觀察也可以觀察200年的發(fā)展

6、趨勢(shì)，以及在較差年的發(fā)展趨勢(shì)，以及在較差條件下的發(fā)展趨勢(shì)，也可以考察每年孵條件下的發(fā)展趨勢(shì)，也可以考察每年孵化數(shù)量變化的影響?；瘮?shù)量變化的影響。一階線性常系數(shù)差分方程的解、平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性一階線性常系數(shù)差分方程的解、平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性自然環(huán)境下自然環(huán)境下,b=0人工孵化條件下人工孵化條件下令令xk=xk+1=x得得 差分方程的平衡點(diǎn)差分方程的平衡點(diǎn)k時(shí)，時(shí)，xkx,稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的0kkxax10(1)kkkxa xbaa011kkaaxba1bxa1kkxa xb高階線性常系數(shù)差分方程高階線性常系數(shù)差分方程 如果第如果第k+1時(shí)段變量時(shí)段變量Xk+1不僅取決不僅取決于第于第k時(shí)

7、段變量時(shí)段變量Xk，而且與以前時(shí)段變，而且與以前時(shí)段變量有關(guān)，就要用高階差分方程來(lái)描述量有關(guān)，就要用高階差分方程來(lái)描述一年生植物的繁殖一年生植物的繁殖一年生植物春季發(fā)芽，夏天開花，秋季一年生植物春季發(fā)芽，夏天開花，秋季產(chǎn)種，沒有腐爛，風(fēng)干，被人為掠取的產(chǎn)種，沒有腐爛，風(fēng)干，被人為掠取的那些種子可以活過(guò)冬天，其中一部分能那些種子可以活過(guò)冬天，其中一部分能在第在第2年春季發(fā)芽，然后開花，產(chǎn)種，其年春季發(fā)芽，然后開花，產(chǎn)種，其中的另一部分雖未能發(fā)芽，但如又能活中的另一部分雖未能發(fā)芽，但如又能活過(guò)一個(gè)冬天，則其中一部分可在第三年過(guò)一個(gè)冬天，則其中一部分可在第三年春季發(fā)芽，然后開花，產(chǎn)種，如此繼續(xù)，春季

8、發(fā)芽，然后開花，產(chǎn)種，如此繼續(xù)，一年生植物只能活一年生植物只能活1年，而近似的認(rèn)為，年，而近似的認(rèn)為，種子最多可以活過(guò)兩個(gè)冬天，試建立數(shù)種子最多可以活過(guò)兩個(gè)冬天，試建立數(shù)學(xué)模型研究這種植物數(shù)量變化的規(guī)律，學(xué)模型研究這種植物數(shù)量變化的規(guī)律，及它能一直繁殖下去的條件。及它能一直繁殖下去的條件。模型及其求解模型及其求解記一棵植物春季產(chǎn)種的平均數(shù)為記一棵植物春季產(chǎn)種的平均數(shù)為c,種子能種子能活過(guò)一個(gè)冬天的活過(guò)一個(gè)冬天的(1歲種子歲種子)比例為比例為b,活過(guò)活過(guò)一個(gè)冬天沒有發(fā)芽又活過(guò)一個(gè)冬天的（一個(gè)冬天沒有發(fā)芽又活過(guò)一個(gè)冬天的（2歲種子）比例仍為歲種子）比例仍為b,1歲種子發(fā)芽率歲種子發(fā)芽率a1，2歲種

9、子發(fā)芽率歲種子發(fā)芽率a2。設(shè)設(shè)c,a1,a2固定，固定，b是變量，考察能一直繁殖的條件是變量，考察能一直繁殖的條件記第記第k年植物數(shù)量為年植物數(shù)量為Xk，顯然，顯然Xk與與Xk-1,Xk-2有關(guān)，由有關(guān)，由 Xk-1決定的部分是決定的部分是 a1bcXk-1,由由Xk-2決定的部分是決定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2 Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2 Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2實(shí)際上，就是實(shí)際上，就是Xk= pXk-1 + qXk-2 我們需我們需要知道要知道x0,a1,a2,c, 考察考察b不同時(shí)，種子繁不同時(shí)，種子繁殖

10、的情況。在這里假設(shè)殖的情況。在這里假設(shè)X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.180.20這樣可以用這樣可以用matlab計(jì)算了計(jì)算了Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2Function x=zwfz(x0,n,b)C=10;a1=0.5;a2=0.25;p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c;X1=x0;X2=p*(x1);for k=3:nX(k)=p*(xk-1)+q*(xk-2);endK=(0:20);Y1=zwfz(100,21,0.18);Y2=zwfz(100,21,0.19);Y3=zwfz(100,21,0,20)

11、;Round(k,y1,y2,y3)Plot(k,y1,k,y2,:,k,y3,o),Gtext(b=0.18),gtext(b=0.19),gtext(b=0.20)結(jié)果分析：Xk= pXk-1 + qXk-2 (1) x1+px0=0 (2) 對(duì)高階差分方程可以尋求形如對(duì)高階差分方程可以尋求形如的解。代入的解。代入(1)式得式得稱為差分方程的特征方程。差分方程的特征根：稱為差分方程的特征方程。差分方程的特征根：方程方程(1)的解可以表為的解可以表為C1,c2 由初始條件由初始條件x0,x1確定。確定。kkx20pq21 , 242ppq1122kkkxcc1,21,0()kxk 本例中，用

12、待定系數(shù)的方法可以求出本例中，用待定系數(shù)的方法可以求出b=0.18時(shí)時(shí),c1=95.64, c2=4.36 ， 這樣這樣實(shí)際上，實(shí)際上，植物能一直繁殖下去的條件是植物能一直繁殖下去的條件是b0.19112( ,)(0.9430, 0.0430) 95.64(0.9430)4.36( 0.0430)kkkx 1,21,()kxk 1 , 251 02b線性常系數(shù)差分方程組線性常系數(shù)差分方程組汽車租賃公司的運(yùn)營(yíng)汽車租賃公司的運(yùn)營(yíng)一家汽車租賃公司在一家汽車租賃公司在3個(gè)相鄰的城市運(yùn)營(yíng)，為方便顧客起見公司個(gè)相鄰的城市運(yùn)營(yíng)，為方便顧客起見公司承諾，在一個(gè)城市租賃的汽車可以在任意一個(gè)城市歸還。根據(jù)經(jīng)承諾，

13、在一個(gè)城市租賃的汽車可以在任意一個(gè)城市歸還。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)和市場(chǎng)調(diào)查，驗(yàn)估計(jì)和市場(chǎng)調(diào)查，一個(gè)租賃期內(nèi)在一個(gè)租賃期內(nèi)在A市租賃的汽車市租賃的汽車在在A,B,C市歸還的比例分別為市歸還的比例分別為0.6,0.3,0.1;在在B市市租賃的汽車歸還比例租賃的汽車歸還比例0.2,0.7,0.1;C市租賃的歸還市租賃的歸還比例分別為比例分別為0.1,0.3,0.6。若公司開業(yè)時(shí)將。若公司開業(yè)時(shí)將600輛輛汽車平均分配到汽車平均分配到3個(gè)城市，建立運(yùn)營(yíng)過(guò)程中汽個(gè)城市，建立運(yùn)營(yíng)過(guò)程中汽車數(shù)量在車數(shù)量在3個(gè)城市間轉(zhuǎn)移的模型，并討論時(shí)間個(gè)城市間轉(zhuǎn)移的模型，并討論時(shí)間充分長(zhǎng)以后的變化趨勢(shì)。充分長(zhǎng)以后的變化趨勢(shì)。0.6

14、0.3A B CA B CA B C假設(shè)在假設(shè)在每個(gè)租每個(gè)租賃期開賃期開始能把始能把汽車都汽車都租出去，租出去，并都在并都在租賃期租賃期末歸還末歸還0.10.70.20.10.60.30.1模型及其求解模型及其求解記第記第k個(gè)租賃期末公司在個(gè)租賃期末公司在ABC市的汽車數(shù)量市的汽車數(shù)量分別為分別為x1(k),x2(k),x3(k)（也是第（也是第k+1個(gè)租賃個(gè)租賃期開始各個(gè)城市租出去的汽車數(shù)量），很期開始各個(gè)城市租出去的汽車數(shù)量），很容易寫出第容易寫出第k+1個(gè)租賃期末公司在個(gè)租賃期末公司在ABC市的市的汽車數(shù)量為汽車數(shù)量為(k=0,1,2,3)112321233123(1)0.6 ( )0.

15、2( )0.1 ( )(1)0.3 ( )0.7( )0.3( )(1)0.1 ( )0.1( )0.6( )x kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx k用矩陣表示用矩陣表示用用matlab編程，計(jì)算編程，計(jì)算x(k),觀察觀察n年以后的年以后的3個(gè)城市的個(gè)城市的汽車數(shù)量變化情況汽車數(shù)量變化情況112233(1)0.60.20.1( )(1)0.30.70.3( )(1)0.10.10.6( )x kx kx kx kx kx kfunction x=czqc(n)A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6;x(:,1)=200,20

16、0,200;for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k);end如果直接看如果直接看10年或者年或者20年發(fā)展趨勢(shì)，可以直接在命令窗年發(fā)展趨勢(shì)，可以直接在命令窗口（口（commond window）作，而不是必須編一個(gè)函數(shù)）作，而不是必須編一個(gè)函數(shù)112233(1)0.60.20.1()(1)0.30.70.3()(1)0.10.10.6()xkxkxkxkxkxk A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6; n=10; for k=1:nx(:,1)=200,200,200;x(:,k+1)=A*x(:,k);end round(x)作圖觀察數(shù)量變

17、化趨勢(shì)012345678910120140160180200220240260280300 x1(k)x2(k)x3(k) k=0:10; plot(k,x) ，gridgtext(x1(k),gtext(x2(k),gtext(x3(k)可以看到時(shí)間充分長(zhǎng)以后可以看到時(shí)間充分長(zhǎng)以后3個(gè)城市汽車數(shù)量個(gè)城市汽車數(shù)量趨于趨于180，300，120可以考察這個(gè)結(jié)果與初始條件是否有關(guān)可以考察這個(gè)結(jié)果與初始條件是否有關(guān)若最開始若最開始600輛汽車都在輛汽車都在A市，可以看到變市，可以看到變化時(shí)間充分長(zhǎng)以后，各城市汽車數(shù)量趨于化時(shí)間充分長(zhǎng)以后，各城市汽車數(shù)量趨于穩(wěn)定，與初始值無(wú)關(guān)穩(wěn)定，與初始值無(wú)關(guān)直接輸入

18、x（:,1）的值即可x(:,1)=600,0,0; round(x);plot(k,x),grid0123456789100100200300400500600按年齡分組的種群增長(zhǎng)野生或飼養(yǎng)的動(dòng)物因繁殖而增加，因自然死亡野生或飼養(yǎng)的動(dòng)物因繁殖而增加，因自然死亡和人為屠殺而減少，不同年齡動(dòng)物的繁殖率，和人為屠殺而減少，不同年齡動(dòng)物的繁殖率，死亡率有較大差別，因此在研究某一種群數(shù)量死亡率有較大差別，因此在研究某一種群數(shù)量的變化時(shí)，需要考慮年齡分組的種群增長(zhǎng)。的變化時(shí)，需要考慮年齡分組的種群增長(zhǎng)。將種群按年齡等間隔的分成若干個(gè)年齡組，時(shí)將種群按年齡等間隔的分成若干個(gè)年齡組，時(shí)間也離散化為時(shí)段，給定各

19、年齡組種群的繁殖間也離散化為時(shí)段，給定各年齡組種群的繁殖率和死亡率，建立按年齡分組的種群增長(zhǎng)模型，率和死亡率，建立按年齡分組的種群增長(zhǎng)模型，預(yù)測(cè)未來(lái)各年齡組的種群數(shù)量，并討論時(shí)間充預(yù)測(cè)未來(lái)各年齡組的種群數(shù)量，并討論時(shí)間充分長(zhǎng)以后的變化趨勢(shì)。分長(zhǎng)以后的變化趨勢(shì)。模型及其求解模型及其求解設(shè)種群按年齡等間隔的分成設(shè)種群按年齡等間隔的分成n個(gè)年齡組，記個(gè)年齡組，記i=1,2,，n,時(shí)段記作時(shí)段記作k=0,1,2,且年齡組區(qū)間與且年齡組區(qū)間與時(shí)段長(zhǎng)度相等時(shí)段長(zhǎng)度相等(若若5歲為一個(gè)年齡組，則歲為一個(gè)年齡組，則5年為一年為一個(gè)時(shí)段個(gè)時(shí)段)。以雌性個(gè)體為研究對(duì)象。以雌性個(gè)體為研究對(duì)象記在時(shí)段記在時(shí)段k第第i

20、年齡組的數(shù)量為年齡組的數(shù)量為xi(k);第第i年齡組的年齡組的繁殖率為繁殖率為bi，表示每個(gè)個(gè)體在一個(gè)時(shí)段內(nèi)繁殖，表示每個(gè)個(gè)體在一個(gè)時(shí)段內(nèi)繁殖的數(shù)量；第的數(shù)量；第i年齡組死亡率為年齡組死亡率為di，表示一個(gè)時(shí)段，表示一個(gè)時(shí)段內(nèi)死亡數(shù)與總數(shù)的比，內(nèi)死亡數(shù)與總數(shù)的比，si=1-di是存活率。是存活率。注意：第注意：第k時(shí)段的第時(shí)段的第i年齡組活過(guò)來(lái)的，是第年齡組活過(guò)來(lái)的，是第k+1時(shí)時(shí)段的第段的第i+1年齡組年齡組Xi+1(k+1)=sixi(k) i=1，2,n-1, k=0,1,各年齡組在第各年齡組在第k時(shí)段繁殖的數(shù)量和是第時(shí)段繁殖的數(shù)量和是第k+1時(shí)段的時(shí)段的第第1年齡組年齡組X1(k+1)= k=0,1,記在時(shí)段記在時(shí)段k種群各年齡組的數(shù)量為種群各年齡組的數(shù)量為X(k)=x1(k),