專題三-空間立體幾何(理科)(6份)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上專題三 空間立體幾何（理)1一個(gè)四棱錐的三視圖如右圖所示，其正視圖和側(cè)視圖為全等的等腰直角三角形，俯視圖是邊長為的正方形，則該幾何體的表面積為 2如圖所示，網(wǎng)格紙的小方格都是邊長為1的正方形，粗線畫出的是某空間幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為 3某三棱錐的三視圖如圖所示，其側(cè)左視圖為直角三角形，則該三棱錐外接球的表面積為 4已知棱長為1的正方體被兩個(gè)平行平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖所示，則剩余部分的表面積為 5如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（ ） （1） （2） （3） （4） （5）6在直三棱柱中，則

2、其外接球的體積為 7設(shè)m、n是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是A若，則 B若，則C若，則 D若，則8給定下列四個(gè)命題若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；若一條直線和兩個(gè)互相垂直的平面中的一個(gè)平面垂直，那么這條直線一定平行于另一個(gè)平面；若一條直線和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面垂直，那么這條直線也和一個(gè)平面垂直；若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直，其中，真命題的個(gè)數(shù)是 9設(shè)是同一球面上的四點(diǎn)，是邊長為6的等邊三角形，若三棱錐體積的最大值為，則該球的表面積為 10在長方體中，是的中點(diǎn)，則三棱錐外接球的表面積為 11在四面

3、體中，平面平面，則該四面體外接球的表面積為 12在三棱錐中，,是線段上一動點(diǎn)，線段長度最小值為，則三棱錐的外接球的表面積是 13已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，若球的表面積為，則三棱錐的側(cè)面積的最大值為 14在正方體中，點(diǎn)是四邊形的中心，關(guān)于直線，下列說法正確的是（ ）A B C平面 D平面15三棱錐,（單位：）則三棱錐外接球的體積等于_.16已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的側(cè)棱垂直于底面，且底面是平行四邊形，各頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱柱的體積為16，AD2，DC4，則此球的表面積為_17如圖，四棱錐中，底面為正方形，點(diǎn)分別為PC、PD、BC的中點(diǎn).（）求證：；（）求證：；（）

4、求二面角的余弦值.18斜三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，.（）證明：平面平面；（）求直線與平面所成角的正弦值.19如圖所示，平面ABCD，為等邊三角形，M為AC的中點(diǎn)證明：平面PCD；若PD與平面PAC所成角的正切值為，求二面角的余弦值20如圖所示，四棱錐中，菱形所在的平面，是中點(diǎn)，是上的點(diǎn)（1）求證：平面平面；（2）若是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，是否存在點(diǎn)，使直線與平面的所成角的正弦值為？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由專心-專注-專業(yè)參考答案1C【解析】【分析】根據(jù)給定的幾何體的三視圖可知，該幾何體表示一個(gè)底面邊長為的正方形，高為1的正四棱錐，求得其斜高為，利用面積公式，即可求解.【詳解】

5、由題意，根據(jù)給定的幾何體的三視圖可知，該幾何體表示一個(gè)底面邊長為的正方形，高為1的正四棱錐，可得其斜高為，所以正四棱錐的表面積為，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線.求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)公式求解.2C【解析】【分析】根據(jù)三視圖，畫出原空間幾何體，根據(jù)數(shù)量關(guān)系即可求得該幾何體的體積。【詳解】由三視圖可知原幾何體如圖：該幾何體是一個(gè)底面為正方形的四棱錐

6、挖去了一個(gè)半圓錐而得側(cè)面底面ABCD，底面邊長為4，錐體的高為4四棱錐的體積為，半圓錐的體積為該幾何體的體積為故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了立體幾何中三視圖的應(yīng)用，還原空間結(jié)構(gòu)體是解決此類問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。3A【解析】【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐，其外接球相當(dāng)于以以俯視圖為底面的三棱柱的外接球，進(jìn)而得到答案【詳解】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的三棱錐，其外接球相當(dāng)于以以俯視圖為底面的三棱柱的外接球，由底面三邊長為3，4，5，故底面外接圓半徑，球心到底面的距離，故球半徑，故外接球的表面積，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是球的體積和表

7、面積，空間幾何體的三視圖，難度中檔4B【解析】【分析】根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后再根據(jù)題中的數(shù)據(jù)求出幾何體的表面積即可【詳解】由三視圖可得，該幾何體為如圖所示的正方體截去三棱錐和三棱錐后的剩余部分其表面為六個(gè)腰長為1的等腰直角三角形和兩個(gè)邊長為的等邊三角形，所以其表面積為故選B【點(diǎn)睛】在由三視圖還原空間幾何體時(shí)，一般以主視圖和俯視圖為主，結(jié)合左視圖進(jìn)行綜合考慮熱悉常見幾何體的三視圖，能由三視圖得到幾何體的直觀圖是解題關(guān)鍵求解幾何體的表面積或體積時(shí)要結(jié)合題中的數(shù)據(jù)及幾何體的形狀進(jìn)行求解，解題時(shí)注意分割等方法的運(yùn)用，轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體的表面積或體積求解5A【解析】【分析】根據(jù)給定的三視圖可

8、知，該幾何體底面表示一個(gè)上底為1，下底為2，高為2的直角梯形，且?guī)缀误w的高為2的四棱錐，再根據(jù)體積公式，即可求解.【詳解】由題意，根據(jù)給定的三視圖可知，該幾何體底面表示一個(gè)上底為1，下底為2，高為2的直角梯形，且?guī)缀误w的高為2的四棱錐，所以該四棱錐的體積為，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的三視圖及幾何體的體積的計(jì)算，在由三視圖還原為空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實(shí)線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線.求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解.6D【解析】【

9、分析】將該直三棱柱補(bǔ)成長寬高分別為的長方體，三棱柱的外接球就是長方體的外接球，從而可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹比庵?，所以可將該直三棱柱補(bǔ)成長寬高分別為的長方體，三棱柱的外接球就是長方體的外接球，外接球的直徑就是長方體的體對角線長，所以，外接球的體積為 ，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直三棱柱的性質(zhì)以及球的體積公式，屬于中檔題. 求多面體外接球的體積與表面積時(shí)，除了設(shè)出球心求外接球半徑外，還可以將所給多面體補(bǔ)成長方體求解.7D【解析】【分析】在A中，m與n平行或異面；在B中，m與n相交、平行或異面；在C中，m與相交、平行或；在D中，由線面垂直的判定定理得【詳解】由m、n是兩條不同的直線，是一個(gè)平面

10、，知：在A中，若，則m與n平行或異面，故A錯(cuò)誤；在B中，若，則m與n相交、平行或異面，故B錯(cuò)誤；在C中，若，則m與相交、平行或，故C錯(cuò)誤；在D中，若，則由線面垂直的判定定理得，故D正確故選：D【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題8B【解析】【分析】根據(jù)空間中的直線與平面以及平面與平面的平行與垂直關(guān)系，對題目中的命題判斷正誤即可【詳解】對于，若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行，錯(cuò)誤；對于，若一條直線和兩個(gè)互相垂直的平面中的一個(gè)平面垂直，那么這條直線平行于另一個(gè)平面或在這個(gè)平

11、面內(nèi)，錯(cuò)誤；對于，若一條直線和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面垂直，那么這條直線也和一個(gè)平面垂直，正確；對于，若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直，正確；綜上所述，真命題的序號是，共2個(gè)故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了空間中的直線與平面、平面與平面之間的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題對于這種題目的判斷一般是利用課本中的定理和性質(zhì)進(jìn)行排除，判斷；還可以畫出樣圖進(jìn)行判斷，利用常見的立體圖形，將點(diǎn)線面放入特殊圖形，進(jìn)行直觀判斷.9A【解析】【分析】作出圖形由圖知，當(dāng)點(diǎn)D與球心O以及ABC外接圓圓心三點(diǎn)共線且D與ABC外接圓圓心位于球心的異側(cè)時(shí)，三棱錐DABC的體積取得最大

12、值，結(jié)合三棱錐的體積求出棱錐的h，然后利用勾股定理求球O的半徑R，最后利用表面積公式可求出答案【詳解】如圖所示，由題意可知，設(shè)點(diǎn)M為ABC外接圓的圓心，當(dāng)點(diǎn)D、O、M三點(diǎn)共線時(shí)，且D、M分別位于點(diǎn)O的異側(cè)時(shí)，三棱錐DABC的體積取得最大值，ABC的面積為，由于三棱錐DABC的體積的最大值為，得DM6，易知DM平面ABC，則三棱錐DABC為正三棱錐，ABC的外接圓直徑為2AM=，AM=2，設(shè)球O的半徑為為R，在直角三角形AOM中，由勾股定理得,即,解得R=4或R=6(舍去)因此，球O的表面積為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查球體的表面積，解決這類問題的關(guān)鍵找出合適的模型求出球體的半徑，考查計(jì)算能力，屬于

13、中檔題10B【解析】【分析】設(shè)直角三角形的外心即斜邊中點(diǎn)為，連接，通過證明三角形為直角三角形，由此證得到的距離相等，即球心，從而求得球的半徑并計(jì)算出球的表面積.【詳解】設(shè)直角三角形的外心即斜邊中點(diǎn)為，連接，.由于,，故，所以，所以，即是球的球心，且半徑為，所以球的表面積為，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查有關(guān)幾何體外接球的表面積有關(guān)問題，屬于基礎(chǔ)題.有關(guān)球的內(nèi)接、外切的問題，解題關(guān)鍵在于找到球的球心并計(jì)算出球的半徑.找球心的方法是先找到一個(gè)面的外心，如等邊三角形的外心，直角三角形的外心.本題中有兩個(gè)有公共斜邊的直角三角形，外心即是斜邊的中點(diǎn)處，這個(gè)點(diǎn)也即是球心.11D【解析】【分析】取中點(diǎn)，連接

14、，由已知條件求得為等腰直角三角形，為等邊三角形，確定四面體外接球的球心位置，然后計(jì)算出外接球的表面積【詳解】取AC中點(diǎn)D，連接SD,BD，為等腰直角三角形，則，則為等邊三角形，為AC的中點(diǎn)，,取外心O，連接 則有平面平面，且相交于邊AC，且，由面面垂直的性質(zhì)可得中故O點(diǎn)即為四面體S-ABC外接球球心，半徑為，則外接球的表面積為故選D【點(diǎn)睛】本題考查了四面體外接球表面積問題，解題關(guān)鍵是確定外接球球心的位置，然后計(jì)算出半徑，需要一定的空間想象能力，屬于中檔題12D【解析】【分析】由已知條件計(jì)算出三棱錐外接球的半徑，然后求出表面積【詳解】在中，線段長度最小值為,則線段長度最小值為,即A到BC的最短距

15、離為1,則為等腰三角形,的外接圓半徑為設(shè)球心距平面ABC的高度為h則,則球半徑則三棱錐的外接球的表面積是故選D【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，結(jié)合已知條件求出外接球的半徑很重要，屬于中檔題。13A【解析】【分析】由題意畫出圖形，設(shè)球O得半徑為R，AB=x，AC=y，由球O的表面積為29，可得x2+y2=25，寫出側(cè)面積，再由基本不等式求最值【詳解】設(shè)球O得半徑為R，AB=x，AC=y，由4R2=29，得4R2=29又x2+y2+22=（2R）2，得x2+y2=25三棱錐A-BCD的側(cè)面積：S=SABD+SACD+SABC=由x2+y22xy，得xy當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號，由（x+y）2

16、=x2+2xy+y22（x2+y2），得x+y5,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號，S5+=當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí)取等號. 三棱錐A-BCD的側(cè)面積的最大值為.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐的外接球、三棱錐的側(cè)面積、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題14C【解析】【分析】對于A選項(xiàng)，連接，則，因?yàn)榕c相交，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B，做平行線，與不垂直；對于C，做輔助線，通過平行四邊形證明，進(jìn)而得到線面平行；對于D，因?yàn)槠矫?，故得到與平面不垂直.【詳解】選項(xiàng)A，連接，則，因?yàn)榕c相交，所以A錯(cuò)；選項(xiàng)B，取中點(diǎn)，連接，則，在中，所以

17、與不垂直，所以與不垂直，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，設(shè)，連接，則，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，C正確；選項(xiàng)D，連接，垂直于,垂直于,進(jìn)而得到垂直于面，故垂直于，同理可證，垂直于，進(jìn)而得到平面，所以與平面不垂直，D錯(cuò)故選：C【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了面面垂直的判定，線面平行的判定，異面直線的位置關(guān)系，題目較為綜合.15【解析】【分析】補(bǔ)充圖形為長方體，三棱錐PABC的外接球，與棱長為1，1，的長方體外接球是同一個(gè)外接球，用長方體的對角線長求外接球的半徑，可得球的體積【詳解】三棱錐PABC中，PA平面ABC，ABBC，PAAB1，BC，畫出幾何圖形如圖所示；補(bǔ)充圖形為長方體，則棱長分別

18、為1，1，；對角線長為2，三棱錐DABC的外接球的半徑為1，該三棱錐外接球的體積為×13cm3故答案為【點(diǎn)睛】本題考查球的組合體問題，構(gòu)建長方體是問題的關(guān)鍵1624【解析】【分析】通過分析題干得到四棱柱是長方體，外接球的球心是體對角線的中點(diǎn)，體對角線長為：，進(jìn)而得到球的面積.【詳解】已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的側(cè)棱垂直于底面，且底面是平行四邊形,因?yàn)樗睦庵牡酌鏁挥谝粋€(gè)圓面上，故四邊形應(yīng)該滿足四點(diǎn)共圓，對角互補(bǔ)，結(jié)合這些性質(zhì)得到上下底面是長方形，故該四棱柱是長方體，體積為：外接球的球心是體對角線的中點(diǎn)，體對角線長為： 故球的表面積為： 故答案為：24【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體

19、問題，一種是內(nèi)切，一種是外接解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.17（）見解析（）見解析（）【解析】【分析】（）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，再利用向量數(shù)量積為零得結(jié)果，（）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，先求平面PAB法向量，再利用向量數(shù)量積為零得結(jié)果，（）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，先求平面DFG,FGE法向量,再利用向量數(shù)量積求向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與二面角關(guān)系得結(jié)果.【詳解】因

20、為平面，為正方形，即所以以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DP為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則（）（）設(shè)平面一個(gè)法向量為，取因?yàn)?平面，所以平面，（）設(shè)平面一個(gè)法向量為，設(shè)平面一個(gè)法向量為，取取因此即二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.18（1）見證明；（2）【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三線合一和勾股定理分別證明和，得到平面，進(jìn)而得到面面垂直；（2）利用空間向量法，得到所求正弦值等于的值；也可以利用體積橋的方式

21、，求出到平面的距離，從而求得正弦值.【詳解】（1），由余弦定理：即 或故取中點(diǎn)，連接，如圖所示：是邊長為的正三角形，可得：，由得到又為中點(diǎn)，且 又，平面平面平面平面（2）解法一：以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，取中點(diǎn)，以所在的直線為軸，過作，以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系則，,，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則 設(shè)所求角為，則解法二：以為原點(diǎn)，所在的直線為軸，以所在的直線為軸，以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系則，設(shè)，由可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，取，則 設(shè)所求角為，則解法三：由（1）設(shè)到平面的距離為，則由面知到平面的距離也為，則 設(shè)所求角為，則【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中面面垂直的證明和直線與平面所成角問題.立體幾何求解角度問題常常采用空間向量法來求解，線面角的正弦值即為直線與平面法向量所成角的余弦值；也可以求解出直線上的點(diǎn)到平面的距離，再利用直角三角形求解.19（1）見解析；（2）【解析】【分析】因?yàn)镸為等邊的AC