多元函數(shù)的泰勒極值球閥

1、8.6 多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法 主要內(nèi)容主要內(nèi)容1、多元函數(shù)泰勒公式、多元函數(shù)泰勒公式2、多元函數(shù)的極值和最值、多元函數(shù)的極值和最值3、條件極值拉格朗日乘數(shù)法、條件極值拉格朗日乘數(shù)法 ).10()()!1()()(!)()(2)()()()(1000)1(00)(200000 nnnnxxnxxxfxxnxfxxxfxxxfxfxf一元函數(shù)的泰勒公式：一元函數(shù)的泰勒公式：8.6 多元函數(shù)泰勒公式與極值多元函數(shù)泰勒公式與極值一、問題的提出一、問題的提出引入函數(shù)引入函數(shù)).10(),()(00 tktyhtxft顯然顯然),()0(00yxf ).,()1(00kyhxf 利

2、用一元函數(shù)的麥克勞林公式，得利用一元函數(shù)的麥克勞林公式，得).10(),()!1(1)0(!1)0(! 21)0()0()1()1()( nnnn由由 的定義及多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的定義及多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,可得可得)(t ),(),(),()(000000ktyhtxfykxhktyhtxkfktyhtxhftyx (*),(),(2),()(00200002ktyhtxfkktyhtxhkfktyhtxfhtyyxyxx ).,()(001),(111011)1(00ktyhtxfykxhyxpkhtnktyhtxpnpnnppnppnnC )1(,),(!1),(! 21),(),

3、(),(00002000000nnRyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxf )2().10(),()!1(1001 kyhxfykxhnRnn公式公式)1(稱為二元函數(shù)稱為二元函數(shù)),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx的的 n 階泰階泰勒公式勒公式, ,而而nR的表達(dá)式的表達(dá)式)2(稱為稱為拉格朗日型余項(xiàng)拉格朗日型余項(xiàng). .定定理理 設(shè)設(shè)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)且且有有直直到到1 n階階的的連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), , ),(00kyhx 為為此此鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任一一點(diǎn)點(diǎn), ,則則有有二、二元函數(shù)的泰勒公式二、二元函數(shù)的泰勒公式 )

4、10(),()!1(1),(!1),(! 21),(),(),(00100002000000 kyhxfykxhnyxfykxhnyxfykxhyxfykxhyxfkyhxfnn)()(22khoRnn ),(00yxfykxh ),(002yxfykxh 一般地一般地,記號(hào)記號(hào)表表示示),(00yxfykxhm 00(,)0.mmppm pxypm pmpfh kxyC0000(,)(,),xyhfxykfxy22000000(,)2(,)(,),xxxyyyh fxyhkfxyk fxy )3(,!12sincos!1!111111 nnnnnnMnnMkhnMR 其中其中.22kh 由由

5、)3(式式可可知知, ,誤誤差差nR是是當(dāng)當(dāng)0 時(shí)時(shí)比比n 高高階階的的無無窮窮小小. .當(dāng)當(dāng)0 n時(shí)時(shí), ,公公式式)1(成成為為),(),(),(),(00000000kyhxkfkyhxhfyxfkyhxfyx 上式稱為上式稱為二元函數(shù)的拉格朗日中值公式二元函數(shù)的拉格朗日中值公式.推論推論 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxf的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)),(yxfx, ,),(yxfy在某一鄰域內(nèi)都恒等于零在某一鄰域內(nèi)都恒等于零, ,則函數(shù)則函數(shù)),(yxf在該區(qū)域在該區(qū)域內(nèi)為一常數(shù)內(nèi)為一常數(shù). .例例 1 1求函數(shù)求函數(shù))1ln(),(yxyxf 的三階麥的三階麥克勞林公式克勞林公式. .解解1( ,

6、)( , ),1xyfx yfx yxy,)1(1),(),(),(2yxyxfyxfyxfyyxyxx ,)1(! 2333yxyxfpp ),3 , 2 , 1 , 0( p,)1(! 3444yxyxfpp ),4 , 3 , 2 , 1 , 0( p(0,0)(0,0)(0,0),xyxyfxfyfxyxy2222(0,0)(0,0)2(0,0)(0,0) () ,xxxyyyxyfx fxyfy fxyxy 332233(0,0)(0,0)3(0,0)3(0,0)(0,0)2() ,xxxxxyxyyyyyxyfxyx fx yfxy fy fxy又又0)0 , 0( f, ,故故,

7、)(31)(21)1ln(332Ryxyxyxyx 其中其中).10(,)1()(41),(! 414443 yxyxyxfyyxxR階階）展展開開成成泰泰勒勒公公式式（到到二二把把函函數(shù)數(shù)的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)按按皮皮亞亞諾諾余余項(xiàng)項(xiàng)在在點(diǎn)點(diǎn)例例221),()0 , 0(2yxyxf )(),(),(2),(!21),(),(),(),(200002000000000022nyxyxxokyxfhkyxfhyxfkyxfhyxfyxfkyhxf 解解：1)0 , 0( f01)0 , 0()0,0(22 yxxfx0)0 , 0( yf1)1(1)0 , 0()0,0(232222 yxyfx1)

8、0 , 0(2 yf0)1()0 , 0()0,0(2322 yxxyfxy)(),(),(2),(!21),(),(),(),(2200002000000000022 okyxfhkyxfhyxfkyxfhyxfyxfkyhxfyxyxx22222111( 1)()2!xyxyo 022 yx ykxh ,令令 特別的：二元函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，對(duì)對(duì)于于該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)異異于于),(00yx的的點(diǎn)點(diǎn)),(yx：若若滿滿足足不不等等式式),(),(00yxfyxf ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有極極大大值值；若若滿滿足足不不等

9、等式式),(),(00yxfyxf ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在),(00yx有有極極小小值值；1 1、多元函數(shù)極值的定義、多元函數(shù)極值的定義 設(shè)設(shè)P P R Rn n, , 函數(shù)函數(shù)u=f(p)u=f(p)在在p p0 0的某鄰域的某鄰域U(pU(p0 0, , ) )內(nèi)有內(nèi)有定義，對(duì)任何定義，對(duì)任何p p U(p U(p0 0, , ), ), , , 都有都有f(p)f(pf(p)f(pf(p)f(p0 0), ), 稱稱函數(shù)函數(shù) u=f(p)u=f(p)在在p p0 0點(diǎn)有極小值。點(diǎn)有極小值。0pp(1)(2)(3)例例1 1處處有有極極小小值值在在函函數(shù)數(shù))0 , 0(4322yxz 例例

10、處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 極大值、極小值統(tǒng)稱為極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極值. .使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn). .2 2、多元函數(shù)取得極值的條件、多元函數(shù)取得極值的條件不不妨妨設(shè)設(shè)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處有有極極大大值值,則則對(duì)對(duì)于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx都有都有 ),(yxf),(00yxf,證證故故當(dāng)當(dāng)0yy ，0 xx 時(shí)時(shí)，有有 ),(0yxf),(00yxf,說明一元函數(shù)說明一元函數(shù)),(0yxf在在0 xx

11、 處有極大值處有極大值,例例, 點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(是是函函數(shù)數(shù)xyz 的的唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn)，但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn).注：注：1）極值點(diǎn)處的切平面平行于）極值點(diǎn)處的切平面平行于xoy平面；平面； 2）使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，稱為）使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，稱為函數(shù)的函數(shù)的駐點(diǎn)駐點(diǎn).駐點(diǎn)駐點(diǎn)極值點(diǎn)極值點(diǎn)如何判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？如何判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：注意：又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy，令令: : Ayxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，則則),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條

12、件如下：（1 1）02 BAC時(shí)具有極值，時(shí)具有極值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極大值，時(shí)有極大值， 當(dāng)當(dāng)0 A時(shí)有極小值；時(shí)有極小值；（2 2）02 BAC時(shí)沒有極值；時(shí)沒有極值；（3 3）02 BAC時(shí)可能有極值時(shí)可能有極值, ,也可能沒有極值也可能沒有極值求求函函數(shù)數(shù)z z= =f f( (x x, ,y y) )極極值值的的一一般般步步驟驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)解解，得得駐駐點(diǎn)點(diǎn).第第二二步步 對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)駐駐點(diǎn)點(diǎn)),(00yx，求求出出二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的值值 A、B、C.第三步第三步 定出定出2BAC 的符號(hào)，再判

13、定是否是極值的符號(hào)，再判定是否是極值.在點(diǎn)在點(diǎn)（0 0，0 0）處，）處，A=B=C=A=B=C= - -2 2，B B2 2-AC=0-AC=0，此時(shí)應(yīng)用極值定義判斷此時(shí)應(yīng)用極值定義判斷 f(0,0)=0f(0,0)=0 是否為極值是否為極值對(duì)足夠小的正數(shù)對(duì)足夠小的正數(shù) ，有，有 f(f( ，0)=0)= 2 2（ 2 2-1-1）0, 0 0這說明在點(diǎn)這說明在點(diǎn)（0 0，0 0）的任一鄰域內(nèi)，既有函數(shù)值大于）的任一鄰域內(nèi)，既有函數(shù)值大于f(0f(0, ,0)0)的點(diǎn)，又有函數(shù)值小于的點(diǎn)，又有函數(shù)值小于 f(0f(0，0)0)的點(diǎn)，故的點(diǎn)，故f(0f(0，0)0)非極值非極值. .求最值的一

14、般方法求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值最大者即為最大值，最小者即為最小值. .3 3、多元函數(shù)的最值、多元函數(shù)的最值例例: : 求求函函數(shù)數(shù) z z= =f f( (x x, ,y y) )= =x x2 2+ +4 4y y2 2+ +9 9 在在區(qū)區(qū)域域 D D：x x2 2+ +y y2 24 4 上上的的最最大大值值 M 和和最最小小值值 m. .解解 第第一一步步，求求 f f 在在域域內(nèi)內(nèi)的的可可能能極極值

15、值點(diǎn)點(diǎn)的的函函數(shù)數(shù)值值為為此此解解: : f fx x( (x x, ,y y) )= =2 2x x= =0 0，f fy y( (x x, ,y y) )= =8 8y y= =0 0，駐駐點(diǎn)點(diǎn)( (0 0, ,0 0) ), , f f( (0 0, ,0 0) )= =9 9. .第第二二步步，求求 f f 在在邊邊界界上上的的可可能能最最值值點(diǎn)點(diǎn)的的函函數(shù)數(shù)值值在在邊邊界界 x x2 2+ +y y2 2= =4 4 上上，z z= =x x2 2+ +y y2 2+ +3 3y y2 2+ +9 9= =3 3y y2 2+ +1 13 3，2 2y y2 2， 令令：06 ydy

16、dz, , 得得 y y= =0 0，z z= =1 13 3; ; y y= =2 2 時(shí)時(shí)，z z= =2 25 5 第三步，比較以上兩步所得各函數(shù)值，最大者為第三步，比較以上兩步所得各函數(shù)值，最大者為M，最小者為最小者為m故故M=25=25，m=9=9解方程組解方程組 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))1 , 2(,且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 在在邊邊界界0 x和和0 y上上0),( yxf,解解先先求求函函數(shù)數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)，xyo6 yxD在在邊邊界

17、界6 yx上上，即即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比較較后后可可知知4)1 , 2( f為為最最大大值值,64)2 , 4( f為最小值為最小值.xyo6 yxD(舍去舍去x1)例例 6 6 求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值., 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得得駐駐點(diǎn)點(diǎn))21,21(和和)21,21( ,解解 由由 x=y即即邊邊界界上上的的值值為為零零.,21)21,21(

18、 z,21)21,21( z所所以以最最大大值值為為21，最最小小值值為為21 .因因?yàn)闉?1lim22 yxyxyx無條件極值無條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件外，并無其他條件.實(shí)例：實(shí)例： 張三有張三有200元錢，他決定用來購買兩元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買購買 張磁盤，張磁盤， 盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為效果函數(shù)為 設(shè)每張磁設(shè)每張磁盤盤8元，每盒磁帶元，每盒磁帶10元，問他如何分配這元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果元以達(dá)到最佳效果

19、xyyxyxUlnln),( 問題的實(shí)質(zhì)：求問題的實(shí)質(zhì)：求 在條在條件件 下的極值點(diǎn)下的極值點(diǎn)yxyxUlnln),( 200108 yx四、條件極值拉格朗日乘數(shù)法四、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值：對(duì)自變量有附加條件的極值, , ,x yx y解出其中就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).例例 7 7 將將正正數(shù)數(shù) 12 分分成成三三個(gè)個(gè)正正數(shù)數(shù)zyx,之之和和 使使得得zyxu23 為為最最大大.解解 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一駐駐點(diǎn)點(diǎn))2 , 4 , 6(，.691224623max u則則故故最最大大值值為為 2x=

20、3y, y=2z例例 8 8 在第一卦限內(nèi)作橢球面在第一卦限內(nèi)作橢球面 1222222 czbyax的的切平面，使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體切平面，使切平面與三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的四面體體積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo)體積最小，求切點(diǎn)坐標(biāo).解解設(shè)設(shè)),(000zyxP為為橢橢球球面面上上一一點(diǎn)點(diǎn),令令1),(222222 czbyaxzyxF, 過過),(000zyxP的的切切平平面面方方程程為為 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)為為 1202020 czzbyyaxx,該該切切平平面面在在三三個(gè)個(gè)軸軸上上的的截截距距各各為為 02xax ，02yby ，02zc

21、z ,所所圍圍四四面面體體的的體體積積 000222661zyxcbaxyzV ,在在條條件件1220220220 czbyax下下求求 V 的的最最小小值值,在在條條件件1220220220 czbyax下下求求 V 的的最最小小值值,令令 ,lnlnln000zyxu 由由,010, 0, 0220220220000 cybyaxGGGzyx四四面面體體的的體體積積最最小小abcV23min . 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz 333abc當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)為，時(shí)，1. 在橢圓在橢圓 上求一點(diǎn)，使

22、其到直線上求一點(diǎn)，使其到直線4422 yx0632 yx的距離最短。的距離最短。解解 設(shè)設(shè)P(x，y)為橢圓為橢圓 上任意一點(diǎn)，則上任意一點(diǎn)，則P到直線到直線4422 yx0632 yx的距離為的距離為13|632| yxd),44()632(131),(222 yxyxyxF 求求d 的最小值點(diǎn)即求的最小值點(diǎn)即求 的最小值點(diǎn)。作的最小值點(diǎn)。作2d由由Lagrange乘數(shù)法，令乘數(shù)法，令0, 0, 0 FyFxF得方程組得方程組 . 044, 08)632(136, 02)632(13422yxyyxxyx 解此方程組得解此方程組得53,58;53,582211 yxyx于是于是.1311,1

23、31),(),(2211 yxyxdd由問題的實(shí)際意義最短距離存在，因此由問題的實(shí)際意義最短距離存在，因此 即為所求點(diǎn)。即為所求點(diǎn)。 53,58 0440)83(22yxyx ),(zyx解解：設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)zd 則則)1543()1(),(22212 zyxyxzzyxF 設(shè)設(shè)32),(21 xzyxFx42),(21 yzyxFy52),(2 zzyxFz0 0 0 yx86 122 yx又又43,55xy 1285,123521 zz)1235,53,54(距離最短點(diǎn)距離最短點(diǎn)之間的最短距離之間的最短距離與平面與平面求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面2222 zyxyxz3.3.解解.2261,022,),(22 zyxddzyxPyxzzyxP的距離為的距離為到平面到平面則則上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)為拋物面為拋物面設(shè)設(shè)分析分析:2222( , , ), ,102261(22) )6P x y zx y zxyzdxyzdxyz本題實(shí)際為求一點(diǎn)，使得滿足且使即最小),()22(61),(222yxzzyxzyxF 令令 )4(,)3(, 0)2)(22(31)2(, 0