特征值和特征向量 矩陣的相似對角化

1、理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系1第四章第四章 特征值和特征向量、矩陣特征值和特征向量、矩陣的相似對角化的相似對角化 工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理的許多定量分析問題，如振動問題工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理的許多定量分析問題，如振動問題和穩(wěn)定問題、動態(tài)經(jīng)濟(jì)模型，?？蓺w結(jié)為求一個方陣的和穩(wěn)定問題、動態(tài)經(jīng)濟(jì)模型，?？蓺w結(jié)為求一個方陣的特征值和特征向量特征值和特征向量. 特征值和特征向量是矩陣的兩個重特征值和特征向量是矩陣的兩個重要概念要概念. 另外，將矩陣化為簡單形式是線性代數(shù)的一個另外，將矩陣化為簡單形式是線性代數(shù)的一個重要內(nèi)容，本章介紹將方陣相似化為對角陣重要內(nèi)容，本章介紹將方陣相似化為對角陣.本章重點：本章重點：

2、特征值和特征向量特征值和特征向量(定義、求法、性質(zhì)定義、求法、性質(zhì))相似的定義和性質(zhì)相似的定義和性質(zhì)方陣相似化為對角陣的條件和方法方陣相似化為對角陣的條件和方法實對稱矩陣關(guān)于特征值和特征向量的基本性質(zhì)實對稱矩陣關(guān)于特征值和特征向量的基本性質(zhì)理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系24.1 特征值和特征向量特征值和特征向量 設(shè)設(shè) 是一個是一個n元列非零向量，元列非零向量，A為為n階矩陣，階矩陣， 問題問題：向量：向量 是否會線性相關(guān)？是否會線性相關(guān)？ A,換一個角度問：能否找到一個數(shù)換一個角度問：能否找到一個數(shù) ，使得，使得 與與 相等？相等？ A一、特征值和特征向量的概念一、特征值和特征向量的概念二、

3、特征值和特征向量的求法二、特征值和特征向量的求法三、特征值和特征向量的性質(zhì)三、特征值和特征向量的性質(zhì)理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系3一、特征值和特征向量的概念一、特征值和特征向量的概念Def4.1 設(shè)設(shè)A為為n階方陣，若有數(shù)階方陣，若有數(shù) 和和n元非零列向量元非零列向量 ，使，使得得 成立，成立， A 則稱數(shù)則稱數(shù) 是方陣是方陣A的的特征值特征值， 稱向量稱向量 為方陣為方陣A的屬于的屬于(或?qū)?yīng)于或?qū)?yīng)于)特征值特征值 的的特征向量特征向量. 特征向量是非零的向量特征向量是非零的向量. 特征值與特征向量是互相對應(yīng)的，數(shù)特征值與特征向量是互相對應(yīng)的，數(shù) 是特征值就一定有是特征值就一定有非零向

4、量與它對應(yīng)；反之，非零向量非零向量與它對應(yīng)；反之，非零向量 是特征向量就一定是特征向量就一定有一個數(shù)與它對應(yīng)有一個數(shù)與它對應(yīng). 一個特征向量對應(yīng)唯一一個特征值一個特征向量對應(yīng)唯一一個特征值.一個特征值對應(yīng)的特征向量有無窮多個一個特征值對應(yīng)的特征向量有無窮多個, 因此我們關(guān)心線因此我們關(guān)心線性無關(guān)的特征向量性無關(guān)的特征向量.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系4二、特征值和特征向量的求法二、特征值和特征向量的求法 A0)( AE 是齊次線性方程組是齊次線性方程組 的解的解.0)( XAE 如果如果 是是A的對應(yīng)特征值的對應(yīng)特征值 的特征向量，則方程組的特征向量，則方程組 0)( XAE 有非零解，有

5、非零解，因此因此. 0)det( AE Def4.2 設(shè)設(shè)n階方陣階方陣 令令,)(nnijaA ),det()(AEf 則稱則稱 為方陣為方陣A的的特征多項式特征多項式；令；令)( f, 0)det()( AEf 則稱上述等式為方陣則稱上述等式為方陣A的的特征方程特征方程； 線性方程組線性方程組 則稱為則稱為A的的特征方程組特征方程組.0)( XAE 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系5矩陣矩陣A的特征值是特征方程的特征值是特征方程 的根的根,或者說，矩陣或者說，矩陣A的特征值是矩陣的特征值是矩陣A的特征多項式的特征多項式 的根的根.0 AE AEf )(0)( xAE 的非零解；的非零解；設(shè)

6、設(shè) 是方陣是方陣A的一個特征值，則矩陣的一個特征值，則矩陣A的屬于特征值的屬于特征值 的特的特征向量是齊次方程征向量是齊次方程 矩陣矩陣A的屬于特征值的屬于特征值 的線性無關(guān)特征向量就的線性無關(guān)特征向量就是齊次方程組是齊次方程組 的基礎(chǔ)解系的基礎(chǔ)解系.0)( XAE 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系6求求n階方陣階方陣A的特征值與特征向量的步驟：的特征值與特征向量的步驟：(1) 求出求出n階方陣階方陣A的特征多項式的特征多項式;212222111211nnnnnnaaaaaaaaaAE (2) 求出特征方程求出特征方程 的根的根 ，即是，即是A的的特征值；特征值；0 AE n ,21(3) 對

7、于每個特征值對于每個特征值 ，求齊次方程，求齊次方程 的基的基礎(chǔ)解系，即是礎(chǔ)解系，即是A的屬于的屬于 的線性無關(guān)特特征向量的線性無關(guān)特特征向量, 基礎(chǔ)解系基礎(chǔ)解系的線性組合的線性組合(零向量除外零向量除外)就是就是A的屬于的屬于 的全部特征向量的全部特征向量.i 0)( XAEi i i 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系7例例1.1 求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 3113A解解: : 這是一道非常簡單的求特征值和特征向量的題目，意這是一道非常簡單的求特征值和特征向量的題目，意在熟悉特征值和特征向量的求法和步驟在熟悉特征值和特征向量的求法和步驟.A的特征多項式的特征多項式

8、3113 AE 1)3(2 862 )4)(2( 所以所以A的特征值為的特征值為, 21 . 42 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系8 0032113221xx當(dāng)當(dāng) 時，解齊次方程組時，解齊次方程組 ，即，即21 0)2( XAE得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系 即即A的屬于的屬于 的線性無關(guān)的特征向的線性無關(guān)的特征向,1111 21 21 量，量，因此因此A的屬于的屬于 的全部特征向量為的全部特征向量為 ).0(11 kk 0034113421xx當(dāng)當(dāng) 時，解齊次方程組時，解齊次方程組 ，即，即42 0)4( XAE得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系 即即A的屬于的屬于 的線性無關(guān)的特征向的線性無關(guān)的特征向,1112

9、 42 42 量，量，因此因此A的屬于的屬于 的全部特征向量為的全部特征向量為 ).0(12 kk 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系9例例1.2 求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 201034011A解解: : A的特征多項式的特征多項式AE 201034011 3411) 2( )12)(2(2 2)1)(2( 所以所以A的特征值為的特征值為, 21 . 132 當(dāng)當(dāng) 時，解齊次方程時，解齊次方程 ，21 0)2( xAEAE 2 001014013 000010001r理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系10得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系,) 1 , 0, 0 (1Tp 所以對應(yīng)于所

10、以對應(yīng)于 的全部特征向量為的全部特征向量為21 ).0(1 kkp0)( xAE當(dāng)當(dāng) 時，解齊次方程時，解齊次方程 ，132 AE 101024012 000012101r得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系,) 1, 2 , 1 (2Tp ).0(2 kkp所以對應(yīng)于所以對應(yīng)于 的全部特征向量為的全部特征向量為132 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系11例例1.3 求矩陣求矩陣 的特征值和特征向量的特征值和特征向量. 312222211A解解: : A的特征多項式的特征多項式AE 312222211 2)1)(2( 所以所以A的特征值為的特征值為, 21 . 132 當(dāng)當(dāng) 時，解齊次方程時，解齊次方程 ，2

11、1 0)2( xAEAE 2 112202213 000110101r110222211 100242231 (教材教材P115，例例3)理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系12得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系,) 1 , 1 , 1 (1Tp 所以對應(yīng)于所以對應(yīng)于 的全部特征向量為的全部特征向量為21 ).0(1 kkp0)( xAE當(dāng)當(dāng) 時，解齊次方程時，解齊次方程 ，132 AE 212212212 000000212r得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系,) 0, 2, 1 (2Tp ).0(32 lpkp所以對應(yīng)于所以對應(yīng)于 的全部特征向量為的全部特征向量為132 ,) 1, 2, 0 (3Tp 多重特征值對應(yīng)的線

12、性無關(guān)特征向量的個數(shù)有可能等于多重特征值對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量的個數(shù)有可能等于重數(shù)，也有可能不等于重數(shù)重數(shù)，也有可能不等于重數(shù).理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系13三、特征值和特征向量的性質(zhì)三、特征值和特征向量的性質(zhì)1. 特征值的性質(zhì)特征值的性質(zhì)Thm4.1 設(shè)設(shè)A是是n階方陣，則階方陣，則 與與A有相同的特征值有相同的特征值.TAAEAEAETT )(證證: :所以所以A與與 的特征多項式相同，故的特征多項式相同，故A與與 的特征值相同的特征值相同.TATAThm4.2 設(shè)設(shè)n階矩陣階矩陣 的的n個特征值為個特征值為 則則nnijaA )(,21n ,2211211nnnniiaaa (1)

13、其中其中 niiia1是是A的主對角元之和，稱為方陣的主對角元之和，稱為方陣A的的跡跡，記作，記作tr(A);.211Annii (2) 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系14證證: :n ,21因為因為 是是A的的n個特征向量，則有個特征向量，則有)()(21nAE 另外另外令令 ，即得，即得0 .21An nnnnnnaaaaaaaaa 2122221112110 AE 的根為的根為 ，所以，所以n ,21)()(2211nnaaa 比較兩端的比較兩端的 的系數(shù)，可得的系數(shù)，可得1 n .221121nnnaaa 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系15推論推論4.1 n階方陣階方陣A可逆的充分

14、必要條件是它的任一特征可逆的充分必要條件是它的任一特征值不等于零值不等于零.Thm4.3 設(shè)設(shè) 是方陣是方陣A的特征值，的特征值， 是是A的屬于的屬于 的特征向的特征向量，則量，則 (1) 是是kA的特征值的特征值(k是任意常數(shù)是任意常數(shù)); k(2) 是是 的特征值的特征值(k是正整數(shù)是正整數(shù));k kA(3) mmaaaag 2210)(是矩陣是矩陣mmAaAaAaEaAg 2210)(的特征值的特征值(m是正整數(shù)是正整數(shù))；(4) 當(dāng)當(dāng)A可逆時，可逆時， 是是 的特征值的特征值.1 1 A且且 也是矩陣也是矩陣kA， ， ， 的特征向量的特征向量. kA)(Ag1 A理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)

15、院數(shù)學(xué)科學(xué)系16證：證：根據(jù)定義有根據(jù)定義有, A(1) ,)()()()( kkAkkA 所以所以 是是kA的特征值，且的特征值，且 也是也是kA屬于屬于 的特征向量的特征向量. k k(2),)()(11 kkkkAAAA 所以所以 是是 的特征值，且的特征值，且 也是也是 屬于屬于 的特征向量的特征向量.k kA kAk (3) )()(2210mmAaAaAaEaAg mmAaAaAaa 2210 mmaaaa 2210 )(2210mmaaaa )(g 所以所以 是是 的特征值，且的特征值，且 也是也是 屬于屬于 的特的特征向量征向量.)( g)(Ag )(Ag)( g理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)

16、系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系17(4) 當(dāng)當(dāng)A可逆時，由推論得可逆時，由推論得 ，0 A)()(11 AAA 1 A,11 A所以所以 是是 的特征值，且的特征值，且 也是也是 屬于屬于 的特征向量的特征向量.1 1 A1 A1 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系18例例1.4 設(shè)設(shè)3階矩陣階矩陣A的特征值的特征值 為求為求, 2 , 1, 1 .23EAA 方陣方陣A的行列式的行列式=A的全部特征值之積的全部特征值之積.EAA23 因為的特征值為因為的特征值為 ，全不為，全不為0，2 , 1, 1 所以所以A可逆，且可逆，且, 2 AEAAA231 EAA2321 )(A 則有則有, 232)(1 故故

17、 的特征值為的特征值為)(A 解：解：21312)1(1 1 2)1(3)1(2)1(1 3 22322)2(1 3 因此因此EAA23 )2()1()1( . 9 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系19例例1.5 設(shè)設(shè)3階方陣階方陣A的行列式的行列式 ，A有一個特征值為有一個特征值為-2, 則則 必有一個特征值為必有一個特征值為 ， 必有必有一個特征值為一個特征值為 ， . 3 A AEAAA84223 EAAA84223解：解：11*3 AAAA08)2(4)2(2)2(23 23 00理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系202. 特征向量的性質(zhì)特征向量的性質(zhì)Thm4.4 屬于不同的特征值的特征

18、向量是線性無關(guān)的屬于不同的特征值的特征向量是線性無關(guān)的.證：證：設(shè)設(shè) 是方陣是方陣A的互異特征值，的互異特征值， 是分是分別屬于它們的特征向量，現(xiàn)在證明它們線性無關(guān)別屬于它們的特征向量，現(xiàn)在證明它們線性無關(guān).m ,21m ,21, 02211 mmxxx 設(shè)有數(shù)設(shè)有數(shù) ，使，使mxxx,21, 02211 mmAxAxAx 左乘左乘A，得得, 0222111 mmmxxx 再左乘再左乘A，得得, 0222221211 mmmxxx 如此下去，如此下去，, 0323221311 mmmxxx , 0121221111 mmmmmmxxx 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系21),(2211mmxx

19、x 121222211211111mmmmmm 0 因為后面一個矩陣的行列式是范德蒙德行列式，當(dāng)因為后面一個矩陣的行列式是范德蒙德行列式，當(dāng) 不為零時，它可逆，因此不為零時，它可逆，因此,21 m , 0),(2211 mmxxx 因此一定有因此一定有. 0, 0, 021 mxxx這就證明了這就證明了 是線性無關(guān)的是線性無關(guān)的.m ,21理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系22Thm4.5 若若 是方陣是方陣A的不同的特征值，而的不同的特征值，而 是屬于是屬于 特征值的線性無關(guān)的特征特征值的線性無關(guān)的特征向量，則向量組向量，則向量組m ,21,1i ), 2 , 1(,2miiiri i ,11

20、1211r ,222221r ,.21mmrmm 是線性無關(guān)的是線性無關(guān)的.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系23例例1.6 設(shè)設(shè) 和和 是方陣是方陣A的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特的兩個不同的特征值，對應(yīng)的特征向量依次為征向量依次為 和和 ，證明，證明 不是不是A的特征向量的特征向量.1 2 1 2 21 證：證：,111 A,222 A,)(221121 A若若 是是A的特征向量，對應(yīng)的特征值為的特征向量，對應(yīng)的特征值為 ，則有，則有21 ),()(2121 A從而有從而有,)(221121 , 0)()(2211 , 0, 021 ,21 這與題意矛盾，因此這與題意矛盾，因此 不是不是A的特

21、征向量的特征向量.21 屬于不同特征值的特征向量的線性組合一般不是特征向量屬于不同特征值的特征向量的線性組合一般不是特征向量.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系244.2 相似矩陣相似矩陣相似變換是線性代數(shù)中一類十分重要的變換，因為變換相似變換是線性代數(shù)中一類十分重要的變換，因為變換之后的矩陣與原矩陣有多不變量之后的矩陣與原矩陣有多不變量, 也有很多應(yīng)用也有很多應(yīng)用.左乘可逆矩陣左乘可逆矩陣PA，是對是對A施行初等行變換施行初等行變換;右乘可逆矩陣右乘可逆矩陣AP，是對是對A施行初等列變換施行初等列變換;在線性代數(shù)中在線性代數(shù)中, 這樣的乘積這樣的乘積 , 稱為對稱為對A施行相似變換施行相似變換

22、.APP1 一、相似矩陣及其性質(zhì)一、相似矩陣及其性質(zhì)二、方陣相似對角化二、方陣相似對角化三、方陣相似對角化的應(yīng)用三、方陣相似對角化的應(yīng)用理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系25一、相似矩陣及其性質(zhì)一、相似矩陣及其性質(zhì)Def4.3 設(shè)設(shè)A和和B都是都是n階方陣階方陣, 若存在若存在n階可逆矩陣階可逆矩陣P, 使得使得 BAPP 1成立，則稱成立，則稱B是是A的的相似矩陣相似矩陣，或說，或說矩陣矩陣A與與B相似相似, 乘積乘積APP1 稱為對稱為對A施行施行相似變換相似變換，P稱為稱為相似變換矩陣相似變換矩陣.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系26相似是方陣之間的一種關(guān)系，也是一種等價關(guān)系：相似是方陣之

23、間的一種關(guān)系，也是一種等價關(guān)系：(1) 反身性反身性 A與與A相似；相似；(2) 對稱性對稱性 若若A與與B相似，則相似，則B與與A也相似；也相似；(3) 傳遞性傳遞性 若若A與與B相似，相似，B與與C相似，則相似，則A與與C相似相似.,212CBPP ,111BAPP ,211112CPAPPP ,)()(21121CPPAPP 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系27相似的矩陣具有一些共性，也稱為相似的矩陣具有一些共性，也稱為相似不變性相似不變性：Thm4.6 若若n階方陣階方陣A和和B相似，則相似，則(1) R(A)=R(B)；(2) A與與B有相同的特征多項式和特征值；有相同的特征多項式和

24、特征值；(3) .),()(BABtrAtr BAPP 1APPEBE1 APPEPP11 PAEP)(1 PAEP 1AE 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系28若若A與與B相似，則相似，則tE-A與與tE-B也相似也相似.若若A與對角陣與對角陣(三角陣三角陣)相似，則對角陣相似，則對角陣(三角陣三角陣)的對角元的對角元是是A的全部特征值的全部特征值.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系29例例2.1 設(shè)方陣設(shè)方陣 與對角陣與對角陣 12422421xA 40000005yyx,相似相似. 試求試求 之值之值. (教材教材P128，Ex.5)解：解：根據(jù)相似矩陣的性質(zhì)知，根據(jù)相似矩陣的性質(zhì)知，5，

25、-4是是A的特征值，所以的特征值，所以, 05 AE, 0424252424 x, 04 AE, 0524242425 x由第二個等式得由第二個等式得x=4，又又tr(A)=tr( )，可得可得y=5. 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系30二、方陣相似對角化二、方陣相似對角化方陣相似對角化方陣相似對角化：討論是否能尋找到可逆矩陣：討論是否能尋找到可逆矩陣P，將將A相相似變換為對角陣似變換為對角陣. 若若A與對角陣相似，則稱方陣與對角陣相似，則稱方陣A可相似可相似對角化對角化.方陣可相似對角化的條件：方陣可相似對角化的條件： nAPP 211這樣的這樣的A滿足什么條件？首先我們可知滿足什么條件？

26、首先我們可知 是是A的的特征值特征值.n ,21理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系31,1 APP PAP nnnA 212121),(),(),(),(221121nnnAAA ,111 A,222 A,nnnA 由此可知，由此可知， 是是A的特征向量，而且線性無關(guān)的特征向量，而且線性無關(guān)(因因為矩陣為矩陣P可逆可逆).n ,21理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系32Thm4.7 n階方陣階方陣A與與n階對角陣階對角陣 相似的充分必要條件相似的充分必要條件是是A有有n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量. 證：證：充分性：設(shè)充分性：設(shè) 是是A的的n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量,n

27、 ,21n ,21分別屬于特征值分別屬于特征值 ，則，則,111 A,222 A,nnnA ),(),(221121nnnAAA nnnA 212121),(),(.1 APP, PAP從證明過程可知，如果從證明過程可知，如果A可以相似對角化，由線性無關(guān)可以相似對角化，由線性無關(guān)的特征向量構(gòu)成的矩陣，就可以將的特征向量構(gòu)成的矩陣，就可以將A相似變換為對角陣相似變換為對角陣.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系33推論推論4.2 一個一個n階方陣階方陣A若有若有n個不同的特征值，則個不同的特征值，則A一定一定可相似對角化可相似對角化.根據(jù)特征向量的性質(zhì)：根據(jù)特征向量的性質(zhì)：“屬于不同特征值的特征向量

28、線屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)性無關(guān)” 知知, 若若A有有n個不同的特征值，則個不同的特征值，則A必有必有n個線性個線性無關(guān)的特征向量，因此無關(guān)的特征向量，因此A可以對角化可以對角化.有重特征值的方陣有重特征值的方陣A，有可能可對角化，也有可能不可有可能可對角化，也有可能不可對角化對角化. 方陣方陣A能否對角化能否對角化, 關(guān)鍵在于屬于多重特征值的關(guān)鍵在于屬于多重特征值的線性無關(guān)特征向量的個數(shù)線性無關(guān)特征向量的個數(shù).理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系34Thm4.8 設(shè)設(shè) 為為n階方陣階方陣A的的r重特征值，則屬于重特征值，則屬于 的線性的線性無關(guān)的特征向量最多只有無關(guān)的特征向量最多只有r個

29、個.0 0 證：證：設(shè)設(shè)A有有t個屬于個屬于 的線性無關(guān)的特征向量的線性無關(guān)的特征向量0 ,21t 我們可以尋找到另外我們可以尋找到另外n-t個向量個向量 使得向量組使得向量組,21ntt ,21t ,21ntt 線性無關(guān)線性無關(guān)(這是一定能做到的這是一定能做到的). 令令),(1121ntttP 則則P是可逆矩陣，且有是可逆矩陣，且有 APP1,0210 BBEt 顯然，顯然， 是后面一個矩陣的特征值，且重數(shù)至少為是后面一個矩陣的特征值，且重數(shù)至少為t, 由于由于相似矩陣的特征值相同，因此相似矩陣的特征值相同，因此0 . rt 推導(dǎo)推導(dǎo)見下見下頁頁理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系35),(1

30、21ntt TnTTpppPP211EpppppppppppppppnTntTntTnTnTnnTtTtTTTnTtTtTTT 1212122221211112111),(0, 1jippjTiiTi 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系36 APP1),(1211nttAP ),(1211nttAAAAAP ),(1020101nttAAP nTntTntTnTnTnnTtTtTTTnTtTtTTTApAppppApAppppApApppp 1020102122022012011110210110 2100BBEt 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系37Thm4.9 n階方陣階方陣A可相似對角化的

31、充分必要條件是可相似對角化的充分必要條件是: A的的每個特征值對應(yīng)線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)等于該每個特征值對應(yīng)線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)等于該特征的重數(shù)特征的重數(shù).推論推論4.3 n階方陣階方陣A可相似對角化的充分必要條件是可相似對角化的充分必要條件是:對于對于A的每個的每個 重特征值重特征值 ，屬于特征值，屬于特征值 恰有恰有 個線性無關(guān)個線性無關(guān)的特征向量的特征向量.iri i ir結(jié)論結(jié)論01 n階方陣階方陣A可相似對角化的充分必要條件是可相似對角化的充分必要條件是: 對于對于A的每個的每個 重特征值重特征值 ， 矩陣矩陣 的秩為的秩為iri AEi .)(iirnAER 理學(xué)院數(shù)

32、學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系38例例2.2 設(shè)設(shè) ,問問x為何值時為何值時,矩陣矩陣A可相似對角化可相似對角化. 12012001xA(教材教材P123,例例1)解：解：顯然顯然 -1是是A的單特征值，的單特征值，1是是A的二重特征值的二重特征值.對于特征值對于特征值-1，一定有，一定有 即有一個線性無即有一個線性無關(guān)的特征向量屬于關(guān)的特征向量屬于-1., 2)( AER對于特征值對于特征值1，由于，由于 02002002xAE 00000001xr所以只有當(dāng)所以只有當(dāng)x = 0時，才有時，才有 這時有兩個線這時有兩個線性無關(guān)的特征向量屬于性無關(guān)的特征向量屬于1；, 1)( AER由以上討論知，當(dāng)

33、由以上討論知，當(dāng)x = 0時，方陣時，方陣A可相似對角化可相似對角化.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系39方陣相似對角化的步驟方陣相似對角化的步驟：(依據(jù)依據(jù)Thm4.7的充分性證明的充分性證明)(1) 求方陣求方陣A的特征值；的特征值；(2) 對應(yīng)于每個特征值對應(yīng)于每個特征值 , 求屬于求屬于 的線性無關(guān)的特征向的線性無關(guān)的特征向量量,并判斷線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)是否等于并判斷線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)是否等于 的重數(shù)；的重數(shù)；i i i (3) 若在若在(2)中求得的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)等于中求得的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)等于A的的階數(shù)，記線性無關(guān)的特征向量構(gòu)成的矩陣為階數(shù)，記線性無關(guān)

34、的特征向量構(gòu)成的矩陣為P；(4) 寫出對角陣寫出對角陣 ，注意，注意，P的第的第j列是屬于列是屬于 的第的第j個對角個對角元的特征向量元的特征向量. 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系40例例2.3 設(shè)設(shè) ，求一個可逆矩陣，求一個可逆矩陣P，使得使得 312222211A為對角陣為對角陣. (教材教材P124，例例2) APP1解：解：,)1)(2(2 AE所以所以A的特征值為的特征值為, 21 . 132 對應(yīng)于特征值對應(yīng)于特征值2，求，求(2E-A)X=0的基礎(chǔ)解系，得屬于的基礎(chǔ)解系，得屬于2的的線性無關(guān)的特征向量線性無關(guān)的特征向量;)1, 1, 1(1T 對應(yīng)于特征值對應(yīng)于特征值1，求，求

35、 (E-A)X=0 的基礎(chǔ)解系，得屬于的基礎(chǔ)解系，得屬于1的的線性無關(guān)的特征向量線性無關(guān)的特征向量;)1, 0, 1(,)0, 2, 1(32TT 記記 ,101021111,321 P則有則有.1000100021 APP理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系414.2 相似矩陣相似矩陣(續(xù)續(xù))相似變換是線性代數(shù)中一類十分重要的變換，因為變換相似變換是線性代數(shù)中一類十分重要的變換，因為變換之后的矩陣與原矩陣有多不變量之后的矩陣與原矩陣有多不變量, 也有很多應(yīng)用也有很多應(yīng)用.左乘可逆矩陣左乘可逆矩陣PA，是對是對A施行初等行變換施行初等行變換;右乘可逆矩陣右乘可逆矩陣AP，是對是對A施行初等列變換施

36、行初等列變換;在線性代數(shù)中在線性代數(shù)中, 這樣的乘積這樣的乘積 , 稱為對稱為對A施行相似變換施行相似變換.APP1 一、相似矩陣及其性質(zhì)一、相似矩陣及其性質(zhì)二、方陣相似對角化二、方陣相似對角化三、方陣相似對角化的應(yīng)用三、方陣相似對角化的應(yīng)用理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系42二、方陣相似對角化二、方陣相似對角化方陣相似對角化方陣相似對角化：討論是否能尋找到可逆矩陣：討論是否能尋找到可逆矩陣P，將將A相相似變換為對角陣似變換為對角陣. 若若A與對角陣相似，則稱方陣與對角陣相似，則稱方陣A可相似可相似對角化對角化.方陣可相似對角化的條件：方陣可相似對角化的條件： nAPP 211這樣的這樣的A滿

37、足什么條件？首先我們可知滿足什么條件？首先我們可知 是是A的的特征值特征值.n ,21理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系43,1 APP PAP nnnA 212121),(),(),(),(221121nnnAAA ,111 A,222 A,nnnA 由此可知，由此可知， 是是A的特征向量，而且線性無關(guān)的特征向量，而且線性無關(guān)(因因為矩陣為矩陣P可逆可逆).n ,21理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系44Thm4.7 n階方陣階方陣A與與n階對角陣階對角陣 相似的充分必要條件相似的充分必要條件是是A有有n個線性無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量. 證：證：充分性：設(shè)充分性：設(shè) 是是A的的n個線性

38、無關(guān)的特征向量個線性無關(guān)的特征向量,n ,21n ,21分別屬于特征值分別屬于特征值 ，則，則,111 A,222 A,nnnA ),(),(221121nnnAAA nnnA 212121),(),(.1 APP, PAP從證明過程可知，如果從證明過程可知，如果A可以相似對角化，由線性無關(guān)可以相似對角化，由線性無關(guān)的特征向量構(gòu)成的矩陣，就可以將的特征向量構(gòu)成的矩陣，就可以將A相似變換為對角陣相似變換為對角陣.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系45推論推論4.2 一個一個n階方陣階方陣A若有若有n個不同的特征值，則個不同的特征值，則A一定一定可相似對角化可相似對角化.根據(jù)特征向量的性質(zhì)：根據(jù)特征

39、向量的性質(zhì)：“屬于不同特征值的特征向量線屬于不同特征值的特征向量線性無關(guān)性無關(guān)” 知知, 若若A有有n個不同的特征值，則個不同的特征值，則A必有必有n個線性個線性無關(guān)的特征向量，因此無關(guān)的特征向量，因此A可以對角化可以對角化.有重特征值的方陣有重特征值的方陣A，有可能可對角化，也有可能不可有可能可對角化，也有可能不可對角化對角化. 方陣方陣A能否對角化能否對角化, 關(guān)鍵在于屬于多重特征值的關(guān)鍵在于屬于多重特征值的線性無關(guān)特征向量的個數(shù)線性無關(guān)特征向量的個數(shù).理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系46Thm4.8 設(shè)設(shè) 為為n階方陣階方陣A的的r重特征值，則屬于重特征值，則屬于 的線性的線性無關(guān)的特征

40、向量最多只有無關(guān)的特征向量最多只有r個個.0 0 證：證：設(shè)設(shè)A有有t個屬于個屬于 的線性無關(guān)的特征向量的線性無關(guān)的特征向量0 ,21t 我們可以尋找到另外我們可以尋找到另外n-t個向量個向量 使得向量組使得向量組,21ntt ,21t ,21ntt 線性無關(guān)線性無關(guān)(這是一定能做到的這是一定能做到的). 令令),(1121ntttP 則則P是可逆矩陣，且有是可逆矩陣，且有 APP1,0210 BBEt 顯然，顯然， 是后面一個矩陣的特征值，且重數(shù)至少為是后面一個矩陣的特征值，且重數(shù)至少為t, 由于由于相似矩陣的特征值相同，因此相似矩陣的特征值相同，因此0 . rt 推導(dǎo)推導(dǎo)見下見下頁頁理學(xué)院

41、數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系47),(121ntt TnTTpppPP211EpppppppppppppppnTntTntTnTnTnnTtTtTTTnTtTtTTT 1212122221211112111),(0, 1jippjTiiTi 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系48 APP1),(1211nttAP ),(1211nttAAAAAP ),(1020101nttAAP nTntTntTnTnTnnTtTtTTTnTtTtTTTApAppppApAppppApApppp 1020102122022012011110210110 2100BBEt 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系49Thm

42、4.9 n階方陣階方陣A可相似對角化的充分必要條件是可相似對角化的充分必要條件是: A的的每個特征值對應(yīng)線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)等于該每個特征值對應(yīng)線性無關(guān)的特征向量的最大個數(shù)等于該特征的重數(shù)特征的重數(shù).推論推論4.3 n階方陣階方陣A可相似對角化的充分必要條件是可相似對角化的充分必要條件是:對于對于A的每個的每個 重特征值重特征值 ，屬于特征值，屬于特征值 恰有恰有 個線性無關(guān)個線性無關(guān)的特征向量的特征向量.iri i ir結(jié)論結(jié)論01 n階方陣階方陣A可相似對角化的充分必要條件是可相似對角化的充分必要條件是: 對于對于A的每個的每個 重特征值重特征值 ， 矩陣矩陣 的秩為的秩為iri

43、AEi .)(iirnAER 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系50例例2.2 設(shè)設(shè) ,問問x為何值時為何值時,矩陣矩陣A可相似對角化可相似對角化. 12012001xA(教材教材P123,例例1)解：解：顯然顯然 -1是是A的單特征值，的單特征值，1是是A的二重特征值的二重特征值.對于特征值對于特征值-1，一定有，一定有 即有一個線性無即有一個線性無關(guān)的特征向量屬于關(guān)的特征向量屬于-1., 2)( AER對于特征值對于特征值1，由于，由于 02002002xAE 00000001xr所以只有當(dāng)所以只有當(dāng)x = 0時，才有時，才有 這時有兩個線這時有兩個線性無關(guān)的特征向量屬于性無關(guān)的特征向量屬于

44、1；, 1)( AER由以上討論知，當(dāng)由以上討論知，當(dāng)x = 0時，方陣時，方陣A可相似對角化可相似對角化.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系51方陣相似對角化的步驟方陣相似對角化的步驟：(依據(jù)依據(jù)Thm4.7的充分性證明的充分性證明)(1) 求方陣求方陣A的特征值；的特征值；(2) 對應(yīng)于每個特征值對應(yīng)于每個特征值 , 求屬于求屬于 的線性無關(guān)的特征向的線性無關(guān)的特征向量量,并判斷線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)是否等于并判斷線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)是否等于 的重數(shù)；的重數(shù)；i i i (3) 若在若在(2)中求得的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)等于中求得的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)等于A的的階數(shù)，記線性無關(guān)

45、的特征向量構(gòu)成的矩陣為階數(shù)，記線性無關(guān)的特征向量構(gòu)成的矩陣為P；(4) 寫出對角陣寫出對角陣 ，注意，注意，P的第的第j列是屬于列是屬于 的第的第j個對角個對角元的特征向量元的特征向量. 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系52例例2.3 設(shè)設(shè) ，求一個可逆矩陣，求一個可逆矩陣P，使得使得 312222211A為對角陣為對角陣. (教材教材P124，例例2) APP1解：解：,)1)(2(2 AE所以所以A的特征值為的特征值為, 21 . 132 對應(yīng)于特征值對應(yīng)于特征值2，求，求(2E-A)X=0的基礎(chǔ)解系，得屬于的基礎(chǔ)解系，得屬于2的的線性無關(guān)的特征向量線性無關(guān)的特征向量;)1, 1, 1(1

46、T 對應(yīng)于特征值對應(yīng)于特征值1，求，求 (E-A)X=0 的基礎(chǔ)解系，得屬于的基礎(chǔ)解系，得屬于1的的線性無關(guān)的特征向量線性無關(guān)的特征向量;)1, 0, 1(,)0, 2, 1(32TT 記記 ,101021111,321 P則有則有.1000100021 APP理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系53三、方陣相似對角化的應(yīng)用三、方陣相似對角化的應(yīng)用例例2.4 設(shè)設(shè) ，求，求 (例例2.3續(xù)續(xù)) 312222211A.mA解：解： ,101021111,321 P.1000100021 APP,1 PPA ,)(11 PPPPAmmm 1101021111100010002101021111 mmA

47、 112101212 11111121212222222222123mmmmmmmmm理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系54例例2.5(人口流動問題人口流動問題) 設(shè)某國人口流動狀態(tài)的統(tǒng)計規(guī)律是設(shè)某國人口流動狀態(tài)的統(tǒng)計規(guī)律是每年有十分之一的城市人口流向農(nóng)村，十分之二的農(nóng)村每年有十分之一的城市人口流向農(nóng)村，十分之二的農(nóng)村人口流向城市，假定人口總數(shù)不變，那么經(jīng)過多少年后，人口流向城市，假定人口總數(shù)不變，那么經(jīng)過多少年后，全國人口將會集中在城市？全國人口將會集中在城市？(教材教材P125，例例3)解：解：設(shè)最初城市和農(nóng)村人口分別為設(shè)最初城市和農(nóng)村人口分別為 ，第，第m 年末城市年末城市和農(nóng)村人口分別為

48、和農(nóng)村人口分別為 ，則，則00, yxmmyx ,8 . 01 . 02 . 09 . 00011 yxyx,8 . 01 . 02 . 09 . 011 mmmmyxyx依此推得依此推得,8 . 01 . 02 . 09 . 000 yxyxmmm,8 . 01 . 02 . 09 . 0 A記記 下面將下面將A相似對角化，相似對角化，A的特征多項式為的特征多項式為)7 . 0)(1(7 . 07 . 12 AE所以所以A的特征值為的特征值為, 7 . 0, 121 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系55它們對應(yīng)的特征向量分別是它們對應(yīng)的特征向量分別是,11,1221 令令 得得 ,1112,

49、21 P,2111311 P因而有因而有,7 . 00011 APP于是可得于是可得 1PPAmm 211131 mm7 . 017 . 02 mmmm7 . 0217 . 017 . 0227 . 0231因此因此 000031)7 . 021()7 . 01()7 . 022()7 . 02(yxyxyxmmmmmm理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系56顯然當(dāng)顯然當(dāng) 時，時， m 00003122yxyxyxmm即當(dāng)即當(dāng) 時，城市與農(nóng)村人口之比為時，城市與農(nóng)村人口之比為 ，趨于穩(wěn)，趨于穩(wěn)定的分布狀態(tài)定的分布狀態(tài). m1:2理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系574.3 實對稱矩陣的相似對角化實對

50、稱矩陣的相似對角化對稱矩陣作為一種特殊矩陣，具有很多獨(dú)特的性質(zhì)，有對稱矩陣作為一種特殊矩陣，具有很多獨(dú)特的性質(zhì)，有十分廣泛的應(yīng)用，在本節(jié)介紹對稱矩陣的相似對角化問十分廣泛的應(yīng)用，在本節(jié)介紹對稱矩陣的相似對角化問題：將證明對稱矩陣一定可以相似合同對角化題：將證明對稱矩陣一定可以相似合同對角化.乘積乘積 稱為對稱為對A施行施行合同變換合同變換.APPT一、向量的內(nèi)積和向量的正交化一、向量的內(nèi)積和向量的正交化二、正交矩陣與正交變換二、正交矩陣與正交變換三、實對稱矩陣特征值和特征向量的性質(zhì)三、實對稱矩陣特征值和特征向量的性質(zhì)四、實對稱矩陣的相似對角化四、實對稱矩陣的相似對角化理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)

51、科學(xué)系58一、向量的內(nèi)積和向量的正交化一、向量的內(nèi)積和向量的正交化n元實向量的內(nèi)積元實向量的內(nèi)積Def4.4 兩個兩個n元實向量元實向量,),(21Tnaaa ,),(21Tnbbb 記實數(shù)記實數(shù),2211nnbababa 則稱則稱 為為 與與 內(nèi)積內(nèi)積., 根據(jù)內(nèi)積的定義和矩陣乘法的定義有根據(jù)內(nèi)積的定義和矩陣乘法的定義有., TT 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系59內(nèi)積的基本性質(zhì)：內(nèi)積的基本性質(zhì)：(1);, (2) ;, (3) ;, kk (4) , 0, 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) 時，時，0 ; 0, (5); 0, 0 (6),2211 mmkkk .,2211 mmkkk 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系

52、理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系60向量的長度向量的長度Def4.5 設(shè)設(shè) ，記，記Tmaaa),(21 ,22221naaa 則稱則稱 為為n元實向量元實向量 的長度的長度(或模或模). 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系61Thm4.10 任意兩個任意兩個n元實向量元實向量 ，恒有，恒有 , 等號成立當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?dāng)且僅當(dāng) 線性相關(guān)線性相關(guān).(柯西不等式柯西不等式) ,向量的長度，具有下述性質(zhì)向量的長度，具有下述性質(zhì):(1) 非負(fù)性非負(fù)性; 0 (2) 齊次性齊次性; kk(3) 三角不等式三角不等式. 長度為長度為1的向量稱為的向量稱為單位向量單位向量. 是單位向量，這一過程是單位向量，這一過程稱為將向

53、量稱為將向量 單位化單位化(或標(biāo)準(zhǔn)化或標(biāo)準(zhǔn)化) 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系62正交向量正交向量Def4.6 設(shè)兩個設(shè)兩個n元實非零向量元實非零向量 ，記，記 ,0,arccos, 稱稱 為為 的的夾角夾角. , ,Def4.7 設(shè)設(shè) 是兩個是兩個n元實向量，若元實向量，若 ，則稱，則稱 與與 正交正交(或互相垂直或互相垂直)，記作，記作 . ,0, 顯然，零向量與任何向量都正交顯然，零向量與任何向量都正交, 兩個非零向量正交當(dāng)且兩個非零向量正交當(dāng)且僅當(dāng)這兩個非零向量夾角為僅當(dāng)這兩個非零向量夾角為.2 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系63Def4.8 一組兩兩正交的非零向量稱為一組兩兩正交

54、的非零向量稱為正交向量組正交向量組. 由單由單位向量構(gòu)成的正交向量組叫做位向量構(gòu)成的正交向量組叫做正交的單位向量組正交的單位向量組(或或標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組正交向量組、規(guī)范正交向量組規(guī)范正交向量組).m ,21是規(guī)范正交向量組是規(guī)范正交向量組 ., 0, 1,jijiji Thm4.11 n元向量組元向量組 是兩兩正交非零向量組，是兩兩正交非零向量組，則則 必線性無關(guān)必線性無關(guān).m ,21m ,21理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系64證證: : 設(shè)有數(shù)設(shè)有數(shù) ， 使得使得mkkk,21, 02211 mmkkk 用用 左乘上式，得左乘上式，得T1 , 01212111 mTmTTkkk , 01

55、11 Tk, 01 k因為因為 所以必有所以必有, 0 同理可推知必有同理可推知必有, 032 mkkk故由此可知故由此可知 線性無關(guān)線性無關(guān).m ,21理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系65對于給定的正交向量組，能否擴(kuò)充向量，使得它變成一對于給定的正交向量組，能否擴(kuò)充向量，使得它變成一個含有更多向量的正交向量組個含有更多向量的正交向量組?對于給定的線性無關(guān)的向量組，能否找到一個與它等價對于給定的線性無關(guān)的向量組，能否找到一個與它等價的正交向量組？的正交向量組？ 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系66例例3.1已知三元向量已知三元向量 試求試求一個非零向量一個非零向量 ，使得，使得 成為正交向量組

56、成為正交向量組.,)1, 1, 1(1T 3 321, ,)1, 2, 1(2T 解解: : 容易驗證容易驗證 與與 正交，因此只要求出的正交，因此只要求出的 與與 都都正交即可正交即可.1 2 3 21, , 0,3131 T, 0,3232 T, 0321 TT是方程組是方程組 的非零解的非零解.3 021 XTT 記記,21 TTA , 0 AX解方程組解方程組 010101121111rA由于由于得方程組得方程組AX= 0的一個非零解的一個非零解,)1, 0, 1(T 取取 則則 就是正交向量組就是正交向量組.,3 321, 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系67施密特施密特(Schim

57、idt)正交化方法正交化方法Thm4.12 設(shè)設(shè) 是一個是一個n元線性無關(guān)向量組，令元線性無關(guān)向量組，令m ,21,11 ,1111222 ,222231111333 ;,111122221111 mmmmmmmmm r ,21得得 是一個正交向量組，且與原向量組等價；是一個正交向量組，且與原向量組等價；再將它們單位化即可得原向量組等價的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組再將它們單位化即可得原向量組等價的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系681 1 2 3 2 3 2 31 32 3 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系69例例3.2 用施密特正交化方法將如下向量組用施密特正交化方法將如下向量組 化為標(biāo)

58、準(zhǔn)正交向量組化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.,)0 , 1, 1(1T ,)1 , 0 , 1(2T T)1 , 1, 1(3 解解: : 顯然顯然 線性無關(guān)，先將它們正交化，令線性無關(guān)，先將它們正交化，令321, ,11 1111222, ,2112101121101 222231111333, ,1113121131011111 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系70再將再將 單位化，得標(biāo)準(zhǔn)正交向量組：單位化，得標(biāo)準(zhǔn)正交向量組：321, ,02121111 ,626161222 .313131333 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系71二、正交矩陣與正交變換二、正交矩陣與正交變換Def4.9 設(shè)有設(shè)有n

59、階實矩陣階實矩陣A，如果如果 ，則稱，則稱A為為正交正交矩陣矩陣.EAAT Thm4.13 設(shè)設(shè)A, B為為n階正交矩陣，則階正交矩陣，則(1) ;1TAA (2) ; 11 orA(3) 也是也是n階正交矩陣階正交矩陣.ABAAT,1 Thm4.14 方陣方陣A為正交矩陣的充分必要條件是為正交矩陣的充分必要條件是A的列的列(或或行行)向量組是標(biāo)準(zhǔn)向量組向量組是標(biāo)準(zhǔn)向量組.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系72例如矩陣?yán)缇仃?979494949198949891 A可以驗證可以驗證A是正交陣是正交陣.顯然可以看出，顯然可以看出，A的列向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，的列向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，A的行的

60、行向量組也是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組向量組也是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系73Def4.10 設(shè)設(shè)U為正交陣，則線性變換為正交陣，則線性變換UXY 稱為稱為正交變換正交變換.正交變換保持向量的長度不變正交變換保持向量的長度不變.這是因為這是因為,YYY YYT )()(UXUXT XUUXTT)( XXT .X 理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系理學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系744.3 實對稱矩陣的相似對角化實對稱矩陣的相似對角化對稱矩陣作為一種特殊矩陣，具有很多獨(dú)特的性質(zhì)，有對稱矩陣作為一種特殊矩陣，具有很多獨(dú)特的性質(zhì)，有十分廣泛的應(yīng)用，在本節(jié)介紹對稱矩陣的相似對角化問十分廣泛的應(yīng)用，在本節(jié)介紹對稱矩陣的相似對角