123(1)直線和極坐標方程

1、1.2.3(1)直線的極坐標方程直線的極坐標方程主備：馮宗明主備：馮宗明 喻浩喻浩 徐洪燕徐洪燕 審核：牟必繼審核：牟必繼要相信總有一扇窗是為自己打開的。要相信總有一扇窗是為自己打開的。1.2.3(1)直線的極坐標方程直線的極坐標方程教學目標：教學目標：理解曲線的極坐標方程概念，掌握理解曲線的極坐標方程概念，掌握直線的極坐標方程直線的極坐標方程 重點：重點：曲線的極坐標方程的概念，根曲線的極坐標方程的概念，根據(jù)條件求直線的極坐標方程據(jù)條件求直線的極坐標方程 難點難點：直線的一般極坐標方程及其：直線的一般極坐標方程及其反用反用 復習回顧復習回顧: :方程的曲線定義：方程的曲線定義： 一般地在直角

2、坐標系中，如果某曲線一般地在直角坐標系中，如果某曲線C C ( (看作適合某種條件的點的集合或軌跡看作適合某種條件的點的集合或軌跡) )上的上的點與一個二元方程點與一個二元方程 的實數(shù)解建立了的實數(shù)解建立了如下的關系：如下的關系：( , )0f x y （1 1）曲線）曲線C C上的點的坐標都是這個方程上的點的坐標都是這個方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解的解；（2 2）以這個方程）以這個方程f(x,y)=0f(x,y)=0的解為坐標的點都的解為坐標的點都是曲線上的點是曲線上的點. . 那么這個方程那么這個方程叫做曲線的方程叫做曲線的方程；這條曲；這條曲線叫做線叫做方程的曲線。方程的曲線

3、。在平面直角坐標系中，在平面直角坐標系中，平面曲線平面曲線C可以用方程可以用方程 f(x,y)=0表示，表示，曲線與方程滿足如下關系：曲線與方程滿足如下關系：（1）曲線）曲線C上點的坐標都是方程上點的坐標都是方程f(x,y)=0的解；的解；（2）以方程）以方程f(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線的解為坐標的點都在曲線C上上表示呢？方程平面曲線是否可以用那么，在極坐標系中，0),(f一問題的提出一問題的提出 有時我們卻需要用有時我們卻需要用角和距離角和距離來表示物體運動的來表示物體運動的軌跡軌跡.例如例如:射擊運動員射擊運動員在瞄準飛行中的目標時在瞄準飛行中的目標時,就要就要研究飛行目標的運動

4、軌跡研究飛行目標的運動軌跡,這條曲線相對于射擊運這條曲線相對于射擊運動員來說動員來說,用角和距離來表示會更加方便和實用用角和距離來表示會更加方便和實用.1.曲線的極坐標方程曲線的極坐標方程定義定義：在極坐標系中：在極坐標系中,曲線可以用含有曲線可以用含有 , 這這兩個變量的方程兩個變量的方程 ( , )=0來表示來表示.如果曲線如果曲線上的點與一個二元方程上的點與一個二元方程 ( , )=0有如下關系有如下關系()曲線上每個點的極坐標中至少有一組曲線上每個點的極坐標中至少有一組( , )符合方程符合方程 ( , )=0 ；()極坐標滿足方程極坐標滿足方程 ( , )=0的所有解為坐標的所有解為

5、坐標的點都在曲線上。的點都在曲線上。 則曲線叫作則曲線叫作極坐標方程極坐標方程 ( , )=0的曲線的曲線 ;方程方程 ( , )=0 叫作曲線叫作曲線C的極坐標方程。的極坐標方程。2.怎樣求曲線的極坐標方程怎樣求曲線的極坐標方程?答：與直角坐標系里的答：與直角坐標系里的情況一樣情況一樣，求，求曲線的極坐標方程就是找出曲線上動曲線的極坐標方程就是找出曲線上動點點的坐標的坐標 與與 之間的關系，然后列之間的關系，然后列出方程出方程 ( , )=0 ，再，再化簡并討論化簡并討論。怎樣求曲線的極坐標方程？怎樣求曲線的極坐標方程？2、直線的極坐標方程、直線的極坐標方程x4 l例例1：求過極點，傾斜角為

6、：求過極點，傾斜角為 的的射線射線的極坐標方程。的極坐標方程。4 其極徑其極徑 可以取任意的非負數(shù)?？梢匀∪我獾姆秦摂?shù)。故所求射線的極坐標方程為故所求射線的極坐標方程為(0)4 解：建立極坐標系解：建立極坐標系如圖如圖,設所求的射設所求的射線上任一點線上任一點M( , )( 0),連結連結OM，則則M點的極角點的極角 都是都是/ 4 直線呢直線呢()4R (或o故所求直線的極坐標方程為故所求直線的極坐標方程為M( , ),544或3、求直線的極坐標方程步驟、求直線的極坐標方程步驟1、由題意建立極坐標系畫出草圖；、由題意建立極坐標系畫出草圖；2、設點、設點 是直線上任意一點；是直線上任意一點；(

7、 , )M 3、連接、連接MO；4、建立關于、建立關于 的方程，并化簡；的方程，并化簡；, 5、檢驗并確認所得的方程即為所求。、檢驗并確認所得的方程即為所求。注意：極坐標方程要注明極徑注意：極坐標方程要注明極徑 的取值范圍。的取值范圍。例例2、求過點求過點A(a,0)(a0)，且垂直于極軸的直線，且垂直于極軸的直線l的極坐標方程。的極坐標方程。解：如圖，設直線解：如圖，設直線l上的作一點上的作一點( , )(0),MOM 并連結ox AM在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA即即cos(0)a這就是過點這就是過點A(a,0)(a0)，且垂直于極軸的，且垂直于極軸的直線直線l的極坐標

8、方程。的極坐標方程。 課堂練習課堂練習1求過點求過點A (a, /2)(a0)，且平行于，且平行于極軸的直線極軸的直線l的極坐標方程。的極坐標方程。解：如圖，設點解：如圖，設點 為直線為直線l上除點上除點A外的任意外的任意一點，連接一點，連接OM( , )(0)M 在在 中有中有 Rt MOA 即即可以驗證，點可以驗證，點A的坐標也滿足上式。的坐標也滿足上式。Mox A sin aIOMI sinAMO=IOAI課堂練習課堂練習2 設點設點A的極坐標為的極坐標為 ，直線，直線 過點過點( ,0)a ll解：如圖，建立極坐標系，設點解：如圖，建立極坐標系，設點( , )(0)M 為直線為直線 上

9、異于上異于A點的任意一點，連接點的任意一點，連接OM，l在在 中，由正弦定理中，由正弦定理 得得MOA sin()sin()a 即即sin()sina顯然顯然A點也滿足上方程點也滿足上方程A且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 ,求直線求直線 的極坐標方程。的極坐標方程。AMOMAMAOMOsinsin化簡得化簡得 oMx A例例3、設點、設點P的極坐標為的極坐標為( 1， 1)，直線，直線 l 過點過點P且與且與極軸所成的角為極軸所成的角為 ，求直線，求直線 l 的極坐標方程的極坐標方程.xOAP ( 1, 1)l M( , )解解：如如圖圖，設設為為直直線線 上上除除點點 外外的的任任意意

10、一一點點，( , )(0)MlP ,OMOMxOM連連接接，則則，1111(,)POPxOP 由由點點 的的極極坐坐標標為為知知，lAxAM 設設直直線線 與與極極軸軸交交于于點點 ，則則，1,()MOPOMPOPM在在中中，sinsinOMOPOPMOMP由由正正弦弦定定理理，得得sinsinOMOPOPMOMP由由正正弦弦定定理理，得得11sin()sin() 即即11sin()sin()整整理理得得 1111(,)sin()sin()Pl 顯顯然然，點點 的的坐坐標標是是上上述述方方程程的的解解，直直線線 的的極極坐坐標標方方程程為為。xOAM( , )P ( 1, 1)l 例例3、設點

11、、設點P的極坐標為的極坐標為( 1， 1)，直線，直線 l 過點過點P且與極軸且與極軸所成的角為所成的角為 ，求直線，求直線 l 的極坐標方程的極坐標方程.程這就是所求的極坐標方得代入直線方程將為直線上的任意一點，設角坐標系內直線方程為解：由題意可知，在直07sincos2072sin,cos),(072yxyxMyx的直線的極坐標方程。且斜率為、求過2) 3 , 2(2A練習練習3 這也為求極坐標方程的這也為求極坐標方程的另一種方另一種方法：先求直角坐標方程，再把它轉法：先求直角坐標方程，再把它轉化為極坐標方程?；癁闃O坐標方程。練習練習1 設點設點A的極坐標為的極坐標為 ，直線，直線 過點過

12、點( ,0)a ll解：如圖，建立極坐標系，設點解：如圖，建立極坐標系，設點( , )M 為直線為直線 上異于上異于A點的任意一點，連接點的任意一點，連接OM，l在在 中，由正弦定理中，由正弦定理 得得MOA sin()sin()a 即即sin()sina顯然顯然A點也滿足上方程點也滿足上方程A且與極軸所成的角為且與極軸所成的角為 ,求直線求直線 的極坐標方程。的極坐標方程。AMOMAMAOMOsinsin化簡得化簡得 oMx A練習練習2求過點求過點P(4, /3)且與極軸夾角為且與極軸夾角為 /6的直線的直線 的的方程。方程。l2)6sin(2,)4A 變變題題、求求過過點點平平行行于于極

13、極軸軸的的直直線線。OBAM( ， )( , )MlA 解解：如如圖圖，設設是是直直線線 上上除除點點 外外的的任任意意一一點點(2,)2 sin244AMBsin ,sin2Rt OMBMBOM在在中中，即即sin2 故故所所求求直直線線方方程程為為x(2,)4A 可可以以驗驗證證，點點 的的坐坐標標滿滿足足上上式式，1cos()sin()aaABCD、兩兩條條直直線線與與的的位位置置關關系系是是( )( )、平平行行 、垂垂直直、重重合合 、平平行行或或重重合合B練習：練習：24sinsin2 cos2cos4 cos4ABCD 、在在極極坐坐標標系系中中，與與圓圓相相切切的的一一條條直直

14、線線的的方方程程是是、( )B22224sin40(2)42cos2xyyxyx 解解：圓圓的的化化為為直直角角坐坐標標方方程程是是即即那那么么一一條條與與此此圓圓相相切切的的圓圓的的方方程程為為化化為為極極坐坐標標方方程程為為12121212123:sin()2 lalAllBllCllDll 、直直線線和和 ： 的的位位置置關關系系為為( )( )、 平平行行、 與與 重重合合 、 和和 斜斜交交B 2. 1 . 15. 12.2, 1cos2. 3 83,28, 1,. 2cos1. ;cos1. ;cos. ; 1.), 1 (. 1DCBAQPDCBAPP等于的最近距離與定點上的動點

15、極坐標系內曲線方程的直線的傾斜角是和點過點在極坐標系中方程為極坐標且垂直于極軸的直線的那么過點的極坐標為已知點C85A圓的圓心的極坐標是ABCD1、直線的位置關系是有關，不確定A、平行B、垂直 C、相交不垂直D與2、 3、在極坐標系中有如下三個結論： 點P在曲線C上，則點P的極坐標滿足曲線C的極坐標方程； 41tan 與表示同一條曲線；=3與=-3表示同一條曲線。在這三個結論中正確的是：A、 B、C、 D、 sin25sincos. 3 ,22)4sin(. 2 2,)2,2(,. 1距離是的最小到曲線上的動點直線的距離為則極點到該直線若直線的極坐標方程為為半徑的圓的方程是為中心以在極坐標系中Paa小結：直線的幾種極坐標方程小結：直線的幾種極坐標方程1、過極點、過極點2、過某個定點垂直于極軸、過某個定點垂直于極軸4、過某個定點，且與極軸成一定的角度、過某個定點，且與極軸成一定的角度3、過某個定點平行于極軸、過某個定點平行于極軸ox AMMox Alo oxMP 1 1 A)(Rcosa sin a11sin()sin()1 1、過極點，傾斜角為、過極點，傾斜角為2 2、求過點、求過點A(aA(a，0)(a0)0)(a0)，且垂直于極軸，且垂直于極軸3 3、求過點、求過點A(aA(a，0)(a0)0)(a0)，且平行于極