高二數(shù)學教案：不等式期末復習講義(共17頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上不等式期末復習講義一、 知識點1不等式性質(zhì)比較大小方法：（1）作差比較法（2）作商比較法不等式的基本性質(zhì)對稱性：a > bb > a傳遞性: a > b, b > ca > c可加性: a > b a + c > b + c 可積性: a > b, c > 0ac > bc；a > b, c < 0ac < bc；加法法則: a > b, c > d a + c > b + d 乘法法則：a > b > 0, c > d > 0 ac > bd

2、乘方法則：a > b > 0, an > bn (nN)開方法則：a > b > 0, 2算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理：（1）如果a、bR,那么a2 + b2 2ab（當且僅當a=b時等號）（2）如果a、bR,那么（當且僅當a=b時等號）推廣： 如果為實數(shù)，則重要結(jié)論1）如果積xy是定值P，那么當xy時，和xy有最小值2；（2）如果和xy是定值S，那么當xy時，和xy有最大值S2/4。3證明不等式的常用方法：比較法：比較法是最基本、最重要的方法。當不等式的兩邊的差能分解因式或能配成平方和的形式，則選擇作差比較法；當不等式的兩邊都是正數(shù)且它們的商能與1比較大小，則選擇

3、作商比較法；碰到絕對值或根式，我們還可以考慮作平方差。綜合法：從已知或已證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)推導出欲證的不等式。綜合法的放縮經(jīng)常用到均值不等式。分析法：不等式兩邊的聯(lián)系不夠清楚，通過尋找不等式成立的充分條件，逐步將欲證的不等式轉(zhuǎn)化，直到尋找到易證或已知成立的結(jié)論。4不等式的解法（1） 不等式的有關(guān)概念同解不等式：兩個不等式如果解集相同，那么這兩個不等式叫做同解不等式。同解變形：一個不等式變形為另一個不等式時，如果這兩個不等式是同解不等式，那么這種變形叫做同解變形。提問：請說出我們以前解不等式中常用到的同解變形去分母、去括號、移項、合并同類項（2） 不等式ax > b的解法

4、 當a>0時不等式的解集是x|x>b/a； 當a<0時不等式的解集是x|x<b/a；當a=0時,b<0,其解集是R；b0, 其解集是。（3） 一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)之間的關(guān)系專心-專注-專業(yè)（4）絕對值不等式a0時結(jié)果如何？xa（a0）的解集是xaxa，幾何表示為： º ºa 0 axa（a0）的解集是xxa或xa，幾何表示為： º º a 0 a小結(jié)：解絕對值不等式的關(guān)鍵是去絕對值符號（整體思想，分類討論）轉(zhuǎn)化為不含絕對值的不等式，通常有下列三種解題思路：（1）定義法：利用絕對值的意義，通過分類討論的方法去

5、掉絕對值符號；（2）公式法：| f(x) | > a f(x) > a或f(x) < a；| f(x) | < a a<f(x) < a；（3）平方法：| f(x) | > a(a>0) f2(x) > a2；| f(x) | < a(a>0) f2(x) < a2；（4）幾何意義。(5)分式不等式的解法(6)一元高次不等式的解法數(shù)軸標根法把不等式化為f(x)0（或0）的形式（首項系數(shù)化為正），然后分解因式，再把根按照從小到大的順序在數(shù)軸上標出來，從右邊入手畫線，最后根據(jù)曲線寫出不等式的解。（7）含有絕對值的不等式定理：|

6、a| |b|a+b|a| + |b| |a| |b|a+b| 中當b=0或|a|>|b|且ab<0等號成立 |a+b|a| + |b| 中當且僅當ab0等號成立推論1：a1 + a2 + a3| a1 | +| a2 | + | a3|推廣：a1 + a2 + an| a1 | +| a2 | + | an|推論2：|a| |b|ab|a| + |b|二、常見題型專題總結(jié)：特殊值專題一：利用不等式性質(zhì)，判斷其它不等式是否成立1、a、bR,則下列命題中的真命題是（C ）A、若a>b，則|a|>|b| B、若a>b，則1/a<1/bC、若a>b，則a3&g

7、t;b3D、若a>b，則a/b>12、已知a<0.1<b<0,則下列不等式成立的是（ D ）A、a>ab>ab2 B、ab2>ab>aC、ab>a>ab2 D、ab>ab2>a3、當0<a<b<1時，下列不等式成立的是（ D）A、(1a)1/b >(1a)b B、(1+a)a>(1+b)bC、(1a)b >(1a)b/2 D、(1a)a>(1b)b4、若loga3>logb3>0，則a、b的關(guān)系是（ B ）A、0<a<b<1 B、b>a&g

8、t;1C、0<b<a<1 D、1<b<a5、若a>b>0，則下列不等式1/a<1/b；a2>b2；lg(a2+1)>lg(b2+1)；2a>2b中成立的是（A ）A、B、C、D、（二）比較大小1、若0<<</4,sin+cos=a,sin+cos=b，則（ A）A、abB、abC、ab1D、ab22、a、b為不等的正數(shù)，nN，則(anb+abn)(an1+bn1)的符號是（ C）A、恒正B、恒負C、與a、b的大小有關(guān) D、與n是奇數(shù)或偶數(shù)有關(guān)3、設1x10，則lg2x,lgx2,lg(lgx)的大小關(guān)系是lgx

9、2>lg2x>lg(lgx) 4、設a>0,a1,比較logat/2與loga(t+1)/2的大小。分析：要比較大小的式子較多，為避免盲目性，可先取特殊值估測各式大小關(guān)系，然后用比較法（作差）即可。（三）利用不等式性質(zhì)判斷P是Q的充分條件和必要條件1、設x、yR,判斷下列各題中，命題甲與命題乙的充分必要關(guān)系命題甲：x>0且y>0，命題乙：x+y>0且xy>0 充要條件命題甲：x>2且y>2，命題乙：x+y>4且xy>4充分不必要條件2、已知四個命題，其中a、bRa2<b2的充要條件是|a|<|b|；a2<b2的

10、充要條件是|a|2<|b|2；a2<b2的充要條件是(a+b)與(ab)異號；a2<b2的充要條件是(|a|+|b|)與(|a|b|)異號.其中真命題的序號是_。3、“a+b>2c”的一個充分條件是（ C）A、a>c或b>c B、a>c或bcC、a>c且b>cD、a>c且bc（四）范圍問題1、設60a84,28b33,求：a+b,ab,a/b的范圍。2、若二次函數(shù)y=f(x)的圖象過原點，且1f(1)2,3f(1)3，求f(2)的范圍。（五）均值不等式變形問題1、當a、bR時,下列不等式不正確的是（ D）A、a2+b22|a|b| B

11、、(a/2+b/2)2ab C、(a/2+b/2)2a2/2+b2/2 D、log1/2(a2+b2)log1/2(2|a|b|)2、x、y(0,+)，則下列不等式中等號不成立的是（ A） C、(x+y)(1/x+1/y)4 D、(lgx/2+lgy/2)2lg2x/2+lg2y/23、已知a>0,b>0,a+b=1，則(1/a21)(1/b21)的最小值為（ D）A、6B、7C、8D、91的代換4、已知a>0,b>0,c>0，a+b+c=1，求證：1/a+1/b+1/c95、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求證：（六）求函數(shù)最值1、若

12、x>4,函數(shù)5、大、62、設x、yR, x+y=5，則3x+3y的最小值是（）DA、10B、C、D、3、下列各式中最小值等于2的是（）DA、x/y+y/x B、 C、tan+cot D、2x+2x4、已知實數(shù)a、b、c、d滿足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。（七）實際問題1、98（高考）如圖，為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個底寬為2cm的無蓋長方體沉淀箱，污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設箱體的長度為am，高度為bm，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)與a、b的乘積ab成反比，現(xiàn)

13、有制箱材料60m2，問當a、b各為多少米時，沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小（A、B孔的面積忽略不計）。baBA解一：設流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)為y，由題意y=k/ab，其中k為比例系數(shù)(k>0)據(jù)題設2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)由a>0,b>0可得0<a<30令t=2+a，則a=t2從而當且僅當t=64/t，即t=8,a=6時等號成立。y=k/abk/18當a=6時,b=3，綜上所述，當a=6m,b=3m時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小。解二：設流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)為y，由題意y=k/ab，其中k為比例系

14、數(shù)(k>0)要求y的最小值，即要求ab的最大值。據(jù)題設2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，即a+2b+ab=30即a=6,b=3時，ab有最大值，從而y取最小值。綜上所述，當a=6m,b=3m時，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分數(shù)最小。2、某工廠有舊墻一面長14米,現(xiàn)準備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形，面積為126米2的廠房，工程條件是：建1米新墻的費用為a元；修1米舊墻的費用為a/4元；拆去1米舊墻用所得材料建1米新墻的費用為a/2元.經(jīng)過討論有兩種方案：利用舊墻的一段x(x<14)米為矩形廠房的一面邊長；矩形廠房的一面長為x(x14).問如何利

15、用舊墻，即x為多少米時，建墻費用最??？兩種方案哪種方案最好？解：設總費用為y元，利用舊墻的一面矩形邊長為x米，則另一邊長為126/x米。若利用舊墻的一段x米(x<14)為矩形的一面邊長，則修舊墻的費用為xa/4元，剩余的舊墻拆得的材料建新墻的費用為(14x)a/2元，其余的建新墻的費用為(2x+ 2126/x14)a元，故總費用當且僅當x12時等號成立，x12時ymin=7a(61)=35a。若利用舊墻的一段x米(x14)為矩形的一面邊長，則修舊墻的費用為xa/4元，建新墻的費用為(2x+ 2126/x14)a元，故總費用設f(x)=x+126/x, x2>x114，則f(x2)f

16、(x1)= x2+126/x2(x1+126/x1)=(x2x1)(1126/x1x2)>0f(x)=x+126/x在14，)上遞增，f(x)f(14)x=14時ymin=7a/2+2a(14+126/147)=35.5a綜上所述，采用方案，即利用舊墻12米為矩形的一面邊長，建墻費用最省。（八）比較法證明不等式1、已知a、b、m、nR+,證明：am+n+bm+nambn+anbm變：已知a、bR+,證明：a3/b+b3/aa2+b22、已知a、bR+,f(x)=2x2+1,a+b=1,證明：對任意實數(shù)p、q恒有af(p)+bf(q)f(ap+bq)（九）綜合法證明不等式1、已知a、b、c

17、為不全相等的正數(shù)，求證：2、已知a、b、cR，且a+b+c=1，求證：a2+b2+c21/33、已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，且abc=1,求證：4、已知a、bR+，a+b=1,求證：（十）分析法證明不等式1、已知a、b、c為不全相等的正數(shù)，求證：bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c2、已知函數(shù)f(x)=lg(1/x1),x1、x2(0,1/2)，且x1x2，求證：3、設實數(shù)x,y滿足y+x2=0,0<a<1，求證：loga (ax+ay)loga2+1/8（十一）反證法、放縮法、構(gòu)造法、判別式法、換元法等證明不等式1、設f(x)=x2+ax+b，求證：|f(1)|、|

18、f(2)|、|f(3)|中至少有一個不小于1/2。2、若x2+y21,求證|x2+2xyy2|.3、已知a>b>c,求證：4、已知a、b、cR，且a+b>c求證：.5、已知a、b、cR，證明：a2+ac+c2+3b(a+b+c)0，并指出等號何時成立。分析：整理成關(guān)于a的二次函數(shù)f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c2=(c+3b)24(3b2+3bc+c2)=3(b2+2bc+c2)0f(a)06、已知：x22xy + y2 + x + y + 10，求證：1/3y/x37、在直角三角形ABC中，角C為直角，n2且nN，求證：cnan + bn（十二）解不等式1

19、、解不等式：2、解關(guān)于x的不等式：（十三）不等式應用不等式的應用主要有三個方面：一是能轉(zhuǎn)化為求解不等式（組）的有關(guān)問題（如求函數(shù)的定義域、討論一元二次方程的根的分布等）；二是能轉(zhuǎn)化為不等式證明的有關(guān)問題（如證明函數(shù)的單調(diào)性）；三是能轉(zhuǎn)化為重要不等式的極端情形解決的最值問題。1、已知f(x)的定義域是（0,1，則函數(shù)的定義域是_。5，2)( 1,42、已知不等式ax2+bx+c>0的解集是x|<x<(0<<),求不等式cx2+bx+a<0的解集。3、設(x0).求證：f(x)是減函數(shù)；求f(x)的值域。4、由于對某種商品實行征稅，其售價比原價上漲x%，漲價后商

20、品賣出量減少，已知稅率為銷售金額的20%.為實現(xiàn)銷售金額和扣除稅款的余額y不比原銷售金額少，求上漲率x%的取值范圍；x為何值時，y最大？（保留一位小數(shù)）解：設原價為a，銷售量為b，則當且僅當1x%25/9x%，即x%8/9. x88.9時y最大。（十四）恒成立問題1、若不等式a<lg(|x3|+|x7|)對于一切實數(shù)x都成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A、a1 B、a1C、0a1D、a12、關(guān)于x的不等式2x1a(x2)的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍。3、如果關(guān)于x的不等式的解集總包含了區(qū)間（1,2，求實數(shù)a的取值范圍。解：由題設可知，原不等式在（1,2中總成立，a0且ax1原不等式等價于

21、lg(2ax)lg(a+x),等價于2axax，等價于(12a)xa0設f(x)(12a)xa，則f(x)0在（1,2中總成立，故有4、設對xR有恒成立，試求n的值。分析：原不等式等價于由題意不等式（1）的解集為R又x2+x+1恒大于零，所以不等式（1）等價于(3n)x2(2n)x(2n)0 (2) 故不等式（2）的解集為R，從而有所以n2，又nN，所以n0或15、若f(x)=(m21)x2(m1)x10對于一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍。6、已知函數(shù)當a=1/2時，求函數(shù)f(x)的最小值；若對任意x1，）,f(x)0恒成立，試求實數(shù)a的取值范圍。（十五）絕對值不等式定理中等號成立的問題

22、1、解關(guān)于x的不等式|x+log2x|=x+|log2x|2、證明：|x+1/x|2（十六）絕對值不等式的證明1、設aR，函數(shù)f(x)=ax2+xa(1x1).若|a|1,求證|f(x)|5/4；若函數(shù)f(x)有最大值17/8，求實數(shù)a的值。2、已知|xa|/2a,|yb|/2|a|,且0yA，求證：|xyab|3、（十七）探索性問題1、是否存在自然數(shù)k，使得不等式對一切正整數(shù)n都成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，說明理由。解：令f(n+1)>f(n)，即f(n)在N上是增函數(shù)，f(n)的最小值是f(1)又f(1)=1/2+1/3+1/4=13/12故對一切正整數(shù)n使得f(n)&g

23、t;2a5的充要條件是13/12>2a5，a<73/24故所求自然數(shù)a的最大值是3。2、已知拋物線y=f(x)=ax2+bx+c過點（1,0），問是否存在常數(shù)a、b、c，使得不等式xf(x)(1+x2)/2對于一切實數(shù)x都成立？解：假設存在常數(shù)a、b、c，使得xf(x)(1+x2)/2對一切實數(shù)x恒成立，令x1有1f(1)1，f(1)1，即abc1拋物線過點（1,0）abc0解得：b=1/2,c=1/2a,f(x)=ax2+x/2+1/2a由xf(x)(1+x2)/2得2x2ax2+x+12a1+x2a=1/4,三、數(shù)學思想與方法（一）分類討論的思想：1、設f(x) = 1+log

24、x3,g(x)=2logx2，其中x0且x1，試比較f(x)與g(x)的大小。2、解關(guān)于x的不等式分析：當a1時，原不等式的解集為x|xa或1x1 當1a時，原不等式的解集為x|x1或ax1當a1時，原不等式的解集為x|x1或1xa當a1時，原不等式的解集為x|x1 當a1時，原不等式的解集為x|x1且x1（二）數(shù)形結(jié)合的思想1、關(guān)于x的方程x2x(m1)0只在1,1上有解，則實數(shù)a的取值范圍是（）A、5/4,+) B、(5/4,1) C、5/4，1D、(，12、設k、a都是實數(shù)，關(guān)于x的方程|2x1|=k(xa)+a對于一切實數(shù)k都有解，求實數(shù)a的取值范圍。3、已知0a1，0b1.求證：+分

25、析  觀察待證式左端，它的每個根式都使我們想到RtABC中的等式a2+b2=c2，激起我們構(gòu)造平面圖形利用幾何方法證明這個不等式的大膽想法.如圖27-3，作邊長為1的正方形ABCD，分別在AB、AD上取AE=a，AG=b，過E、G分別作AD、AB的平行線，交CD、BC于F、H，EF、GH交于O點.由題設條件及作圖可知，AOG、BOE、COF、DOG皆為直角三角形.OC=再連結(jié)對角形AC，BD，易知AC=BD=，OA+OCAC，OB+ODBD，（三）函數(shù)與方程的思想1、函數(shù)f(x)=lg(x2+ax+1)的值域為R，求實數(shù)a的取值范圍。2、已知，若f(x)在（，1有意義，求實數(shù)a的取值

26、范圍。3、設不等式mx22xm1對于滿足|m|2的一切實數(shù)m都成立，求x的取值范圍。分析：設f(m)=(x21)m2x1，則對于滿足|m|2的一切實數(shù)m都有f(m)0f(2)0且f(2)04、已知x、y、z（0,1），求證：x(1y) + y(1z) + z(1x) < 1證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)= x(1y) + y(1z) + z(1x)1 即f(x) = (1yz)x + y(1z) + z1當1yz = 0,即y + z = 1時，f(x) = y(1z) + z1 = y + z 1yz = yz < 0 當1yz 0時，f(x)為一次函數(shù)，又x（0,1），由一次函數(shù)的單調(diào)

27、性，只需證明f(0) < 0, f(1) < 0y、z（0,1）f(0) = y(1z) + z1 = (y1)(z1) < 0 f(1) = (1yz) + y(1z) + z1 =yz < 0 對任意的x（0,1）都有f(x) < 0 即x(1y) + y(1z) + z(1x) < 1（四）轉(zhuǎn)化與化歸思想1、關(guān)于x的方程4x+(m3)2x+m=0有兩個不等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍。（五）換元的思想1、解不等式：變：關(guān)于x的不等式的解集為5/2,2），求實數(shù)a、b的值。2、（六）1的代換1、已知a、bR+，a+b=1,x、yR,求證：ax2+by2(

28、ax+by)22、已知x、y都是正數(shù)，a、b都是正常數(shù)，且a/x + b/y = 1，求證： 3、已知x、y都是正數(shù)，且x + y = 1,求證：(1 + 1/x)(1 + 1/y)94、已知x、yR+,且1/x + 9/y = 1，求x + y的最小值。5、若0x1,a0，b0，求a/x + b/(1x)的最小值是。6、已知a,b是正數(shù)，且a + b = 1，求證：(ax + by)(ay + bx)xy分析：a,b是正數(shù)，且a + b = 1(ax + by)(ay + bx) = a2xy + abx2 + aby2 + b2xy= (a2 + b2)xy+ ab(x2 + y2) =

29、(12ab)xy+ ab(x2 + y2)= xy+ ab(x2 + y22xy) = xy + ab(xy)2 xy（七）特殊與一般的思想1、已知a、b、c R,函數(shù)f (x) = ax2 + bx + c, g(x) = cx2+bx + a, 當|x| 1時，有|f(x)2。（1）求證：|g(1)| 2；（2）求證：當|x| 1時，|g(x)| 4.證：（1）當|x| 1時，|f(x)|2,|f(1)|2又|f(1)|g(1)| |g(1)|2（2）f(x)= ax2+bx+c f(1)= a+b+c,f(1)= ab+c, f(0)= c a= f(1)+f(-1) -2f(0)/2,

30、b= f(1)-f(-1)/2|x|1時|f(x)|2 |f(1)|2,|f(-1)|2,|f(0)|2|g(x)|=|cx2+bx+a|=|x2f(0)+f(1)-f(-1)x/2+f(1)+f(-1)-2f(0)/2|=|(x21)f(0)+(x+1)f(1)/2+(x-1)f(-1)/2|(x21)f(0)|+|(x+1)f(1)/2|+|(x-1)f(-1)/2|(x+1)/2|f(1)| +|(x-1)/2|f(-1)|+|(1x2)|f(0)|x+1+1-x+2 = 4小結(jié)：對于二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c c=f(0) 2a=f(1)+f(1)2f(0) 2b=f(1)f(1)2、已知a、