微積分在中學數學教學中的應用

1、微積分在中學數學教學中的應用摘 要微積分是高中數學新增加的內容，也是大學數學的重要的基礎課程，內容包括導數和積分兩個重要概念以及它們的應用；微積分是現(xiàn)代數學的基礎，提供以直代曲，把非線性問題轉化為線性問題解決的思維方式，在人類思想文化的發(fā)展中占有特殊的地位.在高中階段開設部分微積分的內容，不但是社會、經濟、科學文化發(fā)展在數學課程上的要求，也是實現(xiàn)高中教育性目標和發(fā)展性目標的要求.微積分的內容，在我國高中數學課程內容中的選擇和教學要求中，沒有得到它應有的體現(xiàn)，難以滿足我國社會、經濟、科學文化高速的發(fā)展對它的要求和體現(xiàn)微積分自身的價值.對高中微積分的研究多數是中學是否開設微積分以及開設微積分的深度

2、和廣度的探討.論文立足于教材全日制普通高級中學教科書 數學第三冊（選修 22） （人民教育出版社 ） ，從微積分產生的時代背景和歷史意義出發(fā)，簡要分析了國內外對微積分教學的研究現(xiàn)狀和意義，論述了高中開設微積分知識的必要性和可行性，通過對高中微積分課程的主要內容的分析和研究，結合現(xiàn)代教育教學理論，歸納并總結了微積分在高中數學教學中的地位、作用和應用.并希望這些意見和建議對高中數學微積分的教學和發(fā)展具有一定的積極意義.關鍵詞：微積分；導數；應用目 錄1 1 引言引言.1 12 2 文獻綜述文獻綜述.2 22.1 國內外研究現(xiàn)狀.22.2 國內外研究現(xiàn)狀評價.22.3 提出問題.23 3 微積分在中

3、學數學教學中的應用微積分在中學數學教學中的應用.3 33.1 微積分與中學數學的聯(lián)系.33.2 微積分在中學數學中的地位和作用.33.3 微積分在中學數學解題中的應用.33.3.1 導數在求曲線的切線中的應用 .33.3.2 導數在不等式證明中的應用 .43.3.3 導數在恒等式證明中的應用的 .53.3.4 導數法在求函數極值、最大（小）值中的應用 .73.3.5 導數在幾何上的應用 .83.3.6 導數在方程解的問題上的應用 .93.3.7 導數在數列問題中的應用 .93.3.8 運用微分學知識研究函數圖像4.104 4 定積分在中學數學中的應用定積分在中學數學中的應用.10104.1 定

4、積分在求曲邊形面積上的應用.104.2 積分在不等式證明中的應用.114.3 定積分在組合恒等式證明中的應用.115 5 提高現(xiàn)代數學教師數學修養(yǎng)的必要性、可行性提高現(xiàn)代數學教師數學修養(yǎng)的必要性、可行性.12125.1 提高現(xiàn)代數學教師修養(yǎng)的必要性.125.2 提高現(xiàn)代數學教師修養(yǎng)的可行性.126 6 結論結論.12126.1 主要發(fā)現(xiàn).126.2 啟示.126.3 局限性.126.4 努力方面.12參考文獻參考文獻 .131311 引言微積分的產生具有悠久的歷史淵源.在中國，公元前 4 世紀前，恒團，公孫龍等提出的“一尺之錘，日取其半，萬事不竭” ；公園 3 世紀劉徽的“割圓術”和公元 56

5、世紀祖沖之、祖橫對圓周率、面積和體積的研究（祖沖之在劉徽割圓術的基礎上首先地計算了地球的體積） ，都包含著微積分概念的萌芽.在歐洲，公元前 3 世紀阿基米德對面積及體積的進一步研究（窮竭法） ，也都包含著上述的萌芽.歐洲文藝復興之后，資本主義生產方式興起，生產力有了較大發(fā)展.到了 16 世紀，由于航海、機械制造以及軍事上的需要，運動的研究成了自然科學的中心議題.于是在數學中開始研究各種變化過程中的變化的量間的依賴關系，變量的引進，形成了數學中的轉折點.在伽利略等人的數學著作中，都包含著微積分的初步想法.到了 17 世紀，生產的發(fā)展提出了許多技術上的新要求，而要實現(xiàn)技術要求必須有相應的科學知識，

6、例如流體力學、機械力學等都有了突飛猛進的發(fā)展.在資本主義社會的商品生產中，貿易活動占有重要的地位，與此相關的海運事業(yè)迅速發(fā)展，向外擴張的軍事需要，也促進了航海的發(fā)展.航海需要精確而方便地確定位置（經緯度） 、預報氣象，天文學因而發(fā)展起來，所有這些發(fā)展都對數學提出了新的要求，這些要求變現(xiàn)為一些急需解決的問題，可以分為一下四種類型：（1）球運動物體的瞬時速度和加速度.（2）已知曲線求其切線.（3）已知函數求函數的極大值和極小值.（4）求曲線的長度.這些問題都是 17 世紀時，其他科學，尤其是天文學和力學極其某些技術科學所提出的基本數學問題.總之，到 17 世紀前葉，已經積累了許多關于微積分思想的成

7、果，但微積分作為一門學科來發(fā)展，還是由于牛頓和萊布尼茨總結了諸多數學家的工作之后，分別獨立建立了微積分學，他們建立微積分的出發(fā)點都是直觀無窮小量.牛頓在數學上最卓越的貢獻是創(chuàng)建微積分學，17 世紀早期，數學家們已經建立起一系列求解無限小問題（諸如曲線的切線、曲率、極值，求運動的瞬時速度以及面積、體積、曲線長度以及物體重心的計算）的特殊方法.牛頓超越前人的功績在于將這些特殊的技巧歸結為一般的算法，特別是確立了微分與積分的逆運算關系（微積分基本定理）.微積分的產生具有深遠的歷史意義.一方面，它極大地促進了數學科學的發(fā)展，豐富了數學科學的思想寶庫，隨著微積分的理論基礎逐步完善，以微積分為基礎的數學2

8、分析科學得到空前發(fā)展，建立了多種數學分支，如微分方程、積分方程、復變函數、拓撲學、流形等.另一方面，微積分在力學、天文學以及物理和其它科學技術中的應用，極大地促進了以上科學的發(fā)展.32 文獻綜述2.1 國內外研究現(xiàn)狀國內，由于歷史的原因，我國對微積分的教學研究和把微積分內容引入課堂相對比較滯后.自從 1961 年的大綱將微積分初步的知識納入我國中學數學以后，廣大的教育工作者在不同的時期，從不同的角度，利用不同的方法，對高中階段微積分初步的教學目標、課程目的、內容選取、教材編排以及教學方法等一系列的問題進行了一定的理論探索和實踐研究，取得了一定的成果.早在 1983 年，四川的孟季和老師就針對1

9、978 年的高中數學大綱編著了中學微積分教材教法1一書，對當時大綱中所列出的中學微積分內容進行了教學和教法的探討.而在現(xiàn)階段，大連教育學院的孫宏安教授、西北師范大學附屬中學教師高維縱和揚州五中的特級教師袁桐等人，也分別從不同的角度對微積分課程內容的選擇、教學和教法等進行了有益的探索.在這一研究領域中有影響的另外一些學者和研究集體，也都從不同的角度和層面進行了廣發(fā)而深入的研究.這些集體和個人的研究中，有一些還是國家和地方教育研究的重要課題.可見，高中微積分課程和教學的探索是一個重要的研究領域.國外，對微積分的教學研究較早，并且微積分的知識進入中學課本也較國內超前.早在 20 世紀初，德國著名數學

10、家 F克萊因就主張微積分知識要進入中學.20 世紀 50年代末在美國興起的“新數學”運動及后來 60 年代末在法國進行的“現(xiàn)代數學教育改革”運動，他們的主張之一就是要求中小學數學課程內容體現(xiàn)現(xiàn)代數學的發(fā)展，將微積分知識納入中學數學課程.進入上個世紀 80 年代，各國又掀起了新一輪的微積分課程的改革.美、英、法、日、俄羅斯、韓國和我國的臺灣地區(qū)等國家和地區(qū)都相繼出版了新的針對高中階段學生學習的微積分教材.例如，日本，文英堂，竹之內修，高等學校新編，數學 II（1998） ；我國臺灣地區(qū)高中三年級學習使用的理科數學上、下冊（1988） ；英國，劍橋大學出版社 SMP 教材系列，純數學（1997）

11、；俄羅斯出版了由吉洪諾夫擔任科學指導，阿利莫夫等主編的高中“代數與分析初步” （2000）等新編高中微積分教材，都在課程內容的選擇、編制和教學上進行了有益的探索.2.2 國內外研究現(xiàn)狀評價文獻分別就微積分在中學數學應用中的重要性及微積分在求導和曲邊形面積的計算中的意義舉例做了說明，文獻中主要闡述微積分在中學數學解題中的幾種應用方法，4沒有全面的介紹中學數學中常用的微積分數學思想.而且文獻中對微積分在中學數學中怎樣應用的問題提及較少，對學生在應用微積分時存在的問題也未給出詳細說明.2.3 提出問題在一些發(fā)達的省市，微積分已納入高考，對微積分的進一步學習迫在眉睫，但就部分高中生而言，他們已具備較強

12、的學習能力，數學學習過程中會根據教師的指導，除學好基礎知識外，還會體會微積分的思想，總結微積分在各方面的應用.但對普通高中多數學生，要教好掌握高中數學知識尚且困難，更談不上對微積分的具體應用有更進一步的了解.因此，除對問題解決中應用微積分外，還要對應用微積分過程中學生可能遇到的難點及解決辦法作探討，包括了解中學數學與微積分的聯(lián)系、微積分在中學數學中的地位和作用等.3 微積分在中學數學教學中的應用3.1 微積分與中學數學的聯(lián)系微積分是高三數學第三冊（選修 22）的進一步延伸和發(fā)展，而這恰是高三學生步入大學需要繼續(xù)學習微積分的基礎.作為學習和研究數學的步驟，無疑是要先學習和掌握初等的微積分知識，進

13、入大學后才能更好的學習和應用微積分.反之，學習高等數學中的微積分能加深對初等數學中微積分的理解和掌握，可以開闊思路、提高數學修養(yǎng)和解決問題的能力.但由于中學數學知識幾乎很難和高等數學知識直接銜接，使不少大一新生一接觸到“數學分析”時，就對數學專業(yè)課產生了畏懼、抵觸情緒.而且高等數學中的微積分理論與中學教學又嚴重脫節(jié)，許多大學師范畢業(yè)生對如何運用微積分理論指導中學數學感到迷茫；毫無頭緒.為了解決上述長期存在的問題，研究微積分在中學數學教學中的應用是一項有效的措施.3.2 微積分在中學數學中的地位和作用微積分在高中階段只從幾何意義的角度出發(fā)講了導數、微分、定積分三部分的內容，為中學生進入大學埋下伏

14、筆，微積分在中學數學解題中提供了新的方法，同時也提供了重要的思想，為中學生以后進一步學好微積分打下基礎在中學數學中我們可以用微積分的一些觀點引伸出解初等數學問題的某些技巧, 這些初等的方可以為中學5生所接受, 而應用這些方法都可以將表面上看來完全無關的初等數學問題用幾乎相同的方法解出.同時也可以對中學數學中的難題證明起到一些簡化的作用.微積分的數學思想方法不僅在初等數學中有廣泛的應用, 而且用微積分的觀點往往可以揭示數學問題的本質, 從而使學生不僅知其然而且知其所以然.3.3 微積分在中學數學解題中的應用3.3.1 導數在求曲線的切線中的應用在中學教材里，由于初等數學知識本身的極限性，對切線的

15、定義是建立在直線與圓和直線與圓錐曲線只有之個交點的基礎上的，并且切線是不能穿過切線的.因此，求曲線的切線方法一般都是將直線方程與曲線方程組成方程組，消去，化成關于的一yx元二次方程，利用判別式來求解的.現(xiàn)在我們知道曲線上某點處的切線是曲線過0該點的割線在這一點的極限位置，即只要曲線在這點的極限存在并連續(xù)，那么它的切線就存在.并且切線可以通過切點穿過這條曲線，即一條切線除切點外，還可能與這條曲線有其它的公共點，因此我們可以用導數的方法求曲線的切線.例 1(2013 年福建卷 理科)已知函數，求曲線在點處的 xxxfln2 xfy 1, 1 fA切線方程.解：函數的定義域為， xf，0， xxf2

16、10 x因為 ，11 f11f所以曲線在點處的切線方程為： xfy 1, 1 fA11xy即02 yx因此，用導數的方法不僅修正了切線的定義，還可以用來求一些較為復雜的曲線的切線.3.3.2 導數在不等式證明中的應用不等式不但是研究高等數學的重要工具，包括解不等式和不等式的證明兩大部分內容.相對來說，前者較易，后者較難.雖然在中學教材中也介紹了不等式證明的一些6常用方法，如：比較法、分析綜合法、反證法、數學歸納法等，但這些方法畢竟帶有局限性，對于一些比較復雜的問題往往就不起作用，而且還有這些情況，題目略有不同，證明方法就迥然不同.總之，證明不等式是方法很多，要得出確定的方法幾乎是不可能的.因此

17、，不等式是證明在中學數學中是一個顯著的難點.微積分卻為不等式的明提供了強有力的方法和工具.下面通過例題分析說明利用導數證明不等式的基本方法和規(guī)律.例 2 已知函數，求證：當時，恒有xxxf) 1ln()(1xxxx) 1ln(111證明：構造函數，111) 1ln()(xxxg從其導數入手即可證明：1111)(xxxxf當時，即在上為增函數01x0)( xf)(xf)0 , 1(x當時，即在上為減函數0 x0)( xf)(xf), 0( x故函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間( )f x)0 , 1(), 0( 于是函數在上的最大值為：( )f x), 1(0)0()(max fxf因此，當時

18、，即1x0)0()( fxf0) 1ln(xx （右面得證）xx ) 1ln(現(xiàn)證左面，令，則：111) 1ln()(xxxg22) 1() 1(111)(xxxxxg當 ，0)(,), 0(; 0)(,)0 , 1(xgxxgx時當時即在上為減函數，在上為增函數，)(xg)0 , 1(x), 0( x7故函數在上的最小值為：)(xg), 1(，0)0()(min gxg 當時，即：1x0)0()( gxg0111) 1ln(xx，綜上可知，當時，有：111) 1ln(xx1xxxx) 1ln(111從此例可以看到，導數作為證明不等式的工具，方法簡單、實用.而且滲透了很強的數學思想.3.3.3

19、 導數在恒等式證明中的應用的恒等式的證明在數學的各個分支幾乎都要用到，這里就恒等式的三種情況（組合恒等式、代數恒等式、三角恒等式）利用導數的方法來證明更加簡便.例 3 求證1321232nnnnnnnnCCCC解 方法一 利用組合數公式 ，則11knknnCkC1111110132121132nnnnnnnnnnnnnCCCnnCCCC這種方法簡單，但是技巧強，若想不到這樣或者遺忘公式，就無法作答.方法二 由二項式定理展開得：nnnnnonnxCxCxCCx2211由冪函數的導數公式，對上式兩邊求導得： 1nnnxx13211321nnnnnnnxnCCxCCxn令，即可得：1x1321232

20、nnnnnnnnCCCC利用微積分中導數這種運算工具不僅能使問題變得簡單，更重要的是可以優(yōu)化解題過程，開闊學生視野，發(fā)展學生思維.例 3 證明2112111321xnxxnnxxxnnn8證明：3212321nnxxxxnxxx21111111xxxxnxxxxnnn21111xnxxnnn例 4 ,343arccosarccos3xxx21x證明：令,則 343arccosarccos3xxxXF 232243141313xxxxxF當時，2121x 0131322xxxF故在內，21,21 cXF令，則0 x 0arccos20403arccos0arccos30F22故，所以在內，c21

21、,21343arccosarccos3xxx又，所以當時21F21x343arccosarccos3xxx在三角學中，有時從關于正（余）弦的恒等式出發(fā)，通過求導，即可得到有關余（正）弦的相應很等式恒等式.3.3.4 導數法在求函數極值、最大（?。┲抵械膽靡?、求函數極值的方法3 xf9一般地，求函數的極值的方法是： xfy 解方程，當時： 0 xf 00 xf如果在附近的左側，右側，那么是極大值；0 x 00 xf 00 xf 0 xf如果在附近的左側，右側，那么是極小值.0 x 00 xf 00 xf 0 xf二、求函數最值的方法 xf我們知道，如果在閉區(qū)間上連續(xù)，那么必可在上取得最大值和

22、xfba, xfba,最小值.求最值的方法是：先求出在上的所有極值點，設， xfba,1x，則2xnx bfxfxfxfafMaxfnMax，21 bfxfxfxfaffn，21minmin如果確知的最值存在的話，這個方法也適用于開區(qū)間和無窮區(qū)間. xf例 5 求的極值 44313xxxf解：因為，所以 44313xxxf 2242xxxxf令，解得或. 0 xf2x2x下面分兩種情況討論：當時，或； 00 xf2x2x當時， 00 xf22x當變化時，的變化如下表：x 0 xf xf10 x2 ,22 , 22, 2 0 xf+00+ xf單調遞增328單調遞減34單調遞增因此，當時，有極大

23、值，極大值為2x xf3282 f當時，有極小值，極小值為2x xf 342f例 6 求在上的最大值與最小值. 44313xxxf 3 , 0解：由例 4 可知，在上，當時， 3 , 02x 44313xxxf有極小值，并且極小值為 342f又由于， 40 f 13 f因此函數 44313xxxf在上的最大值是 4，最小值是. 3 , 034通過這兩個例題我們看到，求函數極大（小）值和最大（?。r，運用導數在計算過程中簡單快捷.通過例題我們看到，初等方法只能處理一些特殊問題，有很大的局限性，并且往往需要一定的技巧，還容易遺漏一些極值點，導數法不但方法簡單、統(tǒng)一，易于掌握和運用，而且不會漏掉極值

24、點，更重要的是它的應用范圍比初等方法廣得多.113.3.5 導數在幾何上的應用3.3.6 導數在方程解的問題上的應用利用導數判定單調性，可研究方程根的個數問題.例 若，則方程在上有多少根？ 3m0123 mxx 2 , 0解：設，則， 123mxxxf mxxxf232當且時， 3m 2 , 0m 0 xf故在上單調遞減，而在與處都連續(xù)，且 xf2 , 0 xf0 x2x， 010f 0492mf故在上只有一個根 xf 2 , 03.3.7 導數在數列問題中的應用導數是解決函數問題的有力工具, 更為數學解題注入了新的活力. 由于數列可看作特殊的函數, 所以自然可聯(lián)想、嘗試、應用導數知識解決數列

25、問題.例已知數列滿足：，且，求證： nannnaaa3231 Nn 1 , 01a10na證明：構造函數，則： xxxf23213 1123xxxf當時，所以在上是增函數. 1 , 0 x 0 xf xf 1 , 0因為，即： 1 , 01a101 a故時，原不等式成立.1n設時，原不等式成立，即kn 10ka12因為在上是增函數，所以 xf 1 , 0 10faffk又，所以，即 00 f11 f 10kaf101ka即時，原不等式成立，故：當時，1 kn Nn10na導數在數列中的應用還遠不止這些，如利用導數還可以確定數列的最大項和最小項、研究數列的增減性、求數列的前項和等，但基本思想方法

26、是一樣的，在這里就n不一一例舉.3.3.8 運用微分學知識研究函數圖像4函數圖像的直觀性有著別的工具不可替代的作用，特別是在說明一個函數的整體情況及其特性的時候，其作用尤為明顯，這就要求我們能正確地作出函數的圖形學微分學之前，用描點法作圖是十分必要的，不過它有缺陷，帶有一定的盲目性、點取得不夠多也許就會得到一個錯誤的圖像等而運用微分學作出的函數圖像，就能克服描點法作圖的缺點，可有效地對函數的增減性、極值點、凹凸性等重要性態(tài)和關鍵點作出準確的判斷一般來說，討論函數圖像的步驟是： 例4 定積分在中學數學中的應用定積分是新課標中選修 22 新加的內容，課標對定積分的定位如下：“（1）通過求曲邊梯形的

27、面積、變力做功等實例，從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念，為以后進一步學習微積分打下基礎；（2）通過實例，直觀了解微積分基本定理的含義；（3）了解微積分的文化價值可見，高中課程學習定積分，重在粗淺地領略其主要思想和基本方法，從一些實例中初步認識定積分的工具作用縱觀這幾年新課改地區(qū)高考主要在定積分的求法，定積分的簡單應用尤其是利用定積分求面積上作文章134.1 定積分在求曲邊形面積上的應用定積分的幾何意義3：如果在區(qū)間上函數連續(xù)且恒有，那么定ba, xf 0 xf積分表示直線，和曲線所圍成的曲邊梯形的面積. badxxfax bx 0y xf

28、y 例(2013 年北京卷理科) 求直線過拋物線的焦點且與軸垂直，則 與lyxC4:2yl所圍成的圖形的面積等于 C解析：本題考查拋物線的性質，定積分的計算.利用微積分基本定理求解.因為 的方程l是，所求面積等于一個矩形的面積減去一個積分值，即1y381224424203202xdxxS例4.2 積分在不等式證明中的應用利用導數之所以能證明不等式，主要是因為導數可以判斷函數的單調性，可以求函數的極值和最值，此外還可以應用微分中值定理等等.而積分與微分互為逆運算，積分本身又具有單調性，此外也有積分中值定理，再加上積分明顯的幾何直觀，使積分在不等的證明中也有廣泛的應用.例 比較和的大小12 21ln解： 1211102102xdxxx21lnln11011022xxxdx而當時，有10 x22111xxx由積分單調性得 12ln214.3 定積分在組合恒等式證明中的應用14選擇適當的二項式，通過求導運算，可以證明組合恒等式，這是我們在 3.3 中已經介紹過.同樣，選擇適當的二項式，通過積分運算，也可以證明組合恒等式.例 證明 11113121210nCnCCC