數(shù)學(xué)建?？荚囶}(開卷)及答案(共20頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2010年上學(xué)期2008級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，信息與計算科學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)建模課程考試供選試題第1題4萬億投資與勞動力就業(yè)： 2008以來，世界性的金融危機席卷全球，給我國的經(jīng)濟發(fā)展帶來很大的困難。沿海地區(qū)許多中小企業(yè)紛紛裁員，造成大量的人員失業(yè)。據(jù)有關(guān)資料估計，從2008年底，相繼有2000萬人被裁員，其中有1000萬人是民工。部分民工返鄉(xiāng)雖然能夠從一定程度上緩解就業(yè)壓力，但2009年的600多萬畢業(yè)大學(xué)生給我國就業(yè)市場帶來巨大壓力。但可喜的是，我國有龐大的外匯儲備，民間資本實力雄厚，居民儲蓄充足。中國還是發(fā)展中國家，許多方面的建設(shè)還處于落后水平，建設(shè)投資的潛力巨大。為保持我

2、國經(jīng)濟快速發(fā)展，特別是解決就業(yè)問題帶來希望，實行政府投資理所當(dāng)然。在2009年兩代會上，我國正式通過了4萬億的投資計劃，目的就是保GDP增長，保就業(yè)，促和諧。但是有幾個問題一直困擾著我們，請你運用數(shù)學(xué)建模知識加以解決。問題如下： 1、GDP增長8%，到底能夠安排多少人就業(yè)？如果要實現(xiàn)充分就業(yè)，2009年的GDP到底要增長多少？ 2、要實現(xiàn)GDP增長8%，4萬億的投資夠不夠？如果不夠，還需要投資多少？ 3、不同的產(chǎn)業(yè)(或行業(yè))吸納的勞動力就業(yè)能力不同，因此投資的流向會有所不同。請你決策，要實現(xiàn)勞動力就業(yè)最大化，4萬億的投資應(yīng)該如何分配到不同的產(chǎn)業(yè)(或行業(yè))里？ 4、請你給出相關(guān)的政策與建議。第2

3、題深洞的估算： 假如你站在洞口且身上僅帶著一只具有跑秒功能的計算器，你出于好奇心想用扔下一塊石頭聽回聲的方法來估計洞的深度，假定你撿到一塊質(zhì)量是1KG的 石頭，并準(zhǔn)確的測定出聽到回聲的時間T=5S，就下面給定情況，分析這一問題，給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并估計洞深。 1、不計空氣阻力； 2、受空氣阻力，并假定空氣阻力與石塊下落速度成正比，比例系數(shù)k1=0.05； 3、受空氣阻力，并假定空氣阻力與石塊下落速度的平方成正比，比例系數(shù)k2=0.0025； 4、在上述三種情況下，如果再考慮回聲傳回來所需要的時間。第3題優(yōu)秀論文評選： 在某數(shù)學(xué)建模比賽的評審過程中，組委會需要在一道題目的150 篇參賽論文中選

4、擇4 篇論文作為特等獎?wù)撐?。評審小組由10 名評委組成，包括一名小組組長(出題人)，4 名專業(yè)評委(專門從事與題目相關(guān)問題研究的評委)，5 名普通評委(從事數(shù)學(xué)建模的教學(xué)和組織工作，參與過數(shù)學(xué)建模論文的評審)。組委會原先制定的評審步驟如下： step1:首先由普通評委閱讀所有150 篇論文，篩選出20 篇作為候選論文。 Step2:然后由小組內(nèi)的所有評委閱讀這些候選論文，每人選擇4 篇作為推薦的論文。 Step3:接著進入討論階段，在討論階段中每個評委對自己選擇的4 篇論文給出理由，大家進行討論，每個評委對論文的認識都會受到其他評委觀點的影響。 Step4:在充分討論后，大家對這些推薦的論文進

5、行投票，每個評委可以投出4票，獲得至少6 票的論文可以直接入選，如果入選的論文不足，對剩余的論文(從20篇候選論文中除去已經(jīng)入選的論文)重復(fù)step2至step4 步的評審工作。如果三輪討論后入選的論文仍然不夠，則由評選小組組長確定剩下名額的歸屬。 如果有超過4 篇的論文獲得了至少6票，則由評選小組組長確定最終的名額歸屬。問題: 1、請建立數(shù)學(xué)模型定量地討論上面的評審規(guī)則的公平性。 2、假設(shè)小組組長、專業(yè)評委、普通評委受超過半數(shù)人的觀點影響的概率分別為0.3，0.4，0.6。組委會希望給每個評委的投票設(shè)置一定的權(quán)重，應(yīng)該如何設(shè)置才最合理，用數(shù)學(xué)模型支持你的觀點。第4題送貨問題： 某地區(qū)有8個公

6、司(如圖一編號至)，某天某貨運公司要派車將各公司所需的三種原材料A,B,C從某港口(編號)分別運往各個公司。路線是唯一的雙向道路(如圖)。貨運公司現(xiàn)有一種載重 6噸的運輸車，派車有固定成本20元/輛，從港口出車有固定成本為10元/車次(車輛每出動一次為一車次)。每輛車平均需要用15分鐘的時間裝車，到每個公司卸車時間平均為10分鐘，運輸車平均速度為60公里小時(不考慮塞車現(xiàn)象)，每日工作不超過8小時。運輸車載重運費1.8元/噸公里，運輸車空載費用0.4元/公里。一個單位的原材料A,B,C分別毛重4噸、3噸、1噸，原材料不能拆分，為了安全，大小件同車時必須小件在上，大件在下。卸貨時必須先卸小件，而

7、且不允許卸下來的材料再裝上車，另外必須要滿足各公司當(dāng)天的需求量(見表)。 問題： 1、貨運公司派出運輸車6輛，每輛車從港口出發(fā)(不定方向)后運輸途中不允許掉頭，應(yīng)如何調(diào)度(每輛車的運載方案，運輸成本)使得運費最小。 2、每輛車在運輸途中可隨時掉頭，若要使得成本最小，貨運公司怎么安排車輛數(shù)？應(yīng)如何調(diào)度？ 3、(1)如果有載重量為4噸、6噸、8噸三種運輸車，載重運費都是1.8元/噸公里，空載費用分別為0.2，0.4，0.7元/公里，其他費用一樣，又如何安排車輛數(shù)和調(diào)度方案？(2)當(dāng)各個公司間都有或者部分有道路直接相通時，分析運輸調(diào)度的難度所在，給出你的解決問題的想法(可結(jié)合實際情況深入分析)。圖唯

8、一的運輸路線圖和里程數(shù)公司材料A41231025B15012423C52424351 表各公司所需要的貨物量第5題生產(chǎn)與存貯問題： 一個生產(chǎn)項目，在一定時期內(nèi),增大生產(chǎn)量可以降低成本費,但如果超過市場的需求量,就會因積壓增加存貯費而造成損失。相反,如果減少生產(chǎn)量,雖然可以降低存貯費,但又會增加生產(chǎn)的成本費,同樣會造成損失。因此,如何正確地制定生產(chǎn)計劃,使得在一定時期內(nèi),生產(chǎn)的成本費與庫存費之和最小,這是廠家最關(guān)心的優(yōu)化指標(biāo)，這就是生產(chǎn)與存貯問題。 假設(shè)某車間每月底都要供應(yīng)總裝車間一定數(shù)量的部件。但由于生產(chǎn)條件的變化,該車間每月生產(chǎn)單位部件所耗費的工時不同,每月的生產(chǎn)量除供本月需要外,剩余部分可

9、存入倉庫備用。今已知半年內(nèi),各月份的需求量及生產(chǎn)該部件每單位數(shù)所需工時數(shù)如下所示: 月份( k)： 1 2 3 4 5 6 月需求量(bk)： 8 5 3 2 7 4 單位工時(ak)： 11 18 13 17 20 10設(shè)庫存容量H = 9,開始時庫存量為2,期終庫存量為0。要求制定一個半年逐月生產(chǎn)計劃,使得既滿足需求和庫存容量的限制,又使得總耗費工時數(shù)最少。解：S：總耗費工時。a(n):月耗工時。H（n）：月庫存量。Y（n）:月生產(chǎn)量。B（n）：月需求量。Q：總成本費。W：總存貯費。M:總費用。由保證需求量及庫存容量的約束條件下，我們可以得到以下的約束條件，轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)模型。H1=Y1+2-

10、8 0<=H1<=9 H2=Y2+H1-5 0<=H2<=9 H3=Y3+H2-3 0<=H1<=9 H4=Y4+H3-2 0<=H1<=9 H5=Y5+H4-7 0<=H1<=9 H6=Y6+H5-4 H6=0 由此可以得到以下的式子：0<=Y1+2-8<=9 6<=Y1<=15 0<=Y2+H1-5<=9 11-Y1<=Y2<=20-Y1 0<=Y3+H2-3<=9 14-(Y1+Y2)<=Y3<=23-(Y1+Y2) 0<=Y4+H3-2<=9

11、16-(Y1+Y2+Y3)<=Y4<=25-(Y1+Y2+Y3) 0<=Y5+H4-7<=9 23-(Y1+.Y4)<=Y5<=32-(Y1+.Y4) Y6+H5-4=0 Y1+Y2+.Y6-27=0 我們是從一月份開始逐月的確定生產(chǎn)量，又要考慮耗費工時的最小。a1=Y(1)11/8 a2= Y(2)18/5 a3=Y（3）13/3 a4=Y（4）17/2 a5=Y(5)20/7 a6=Y(6)10/4 11/8=1.3（最?。?18/5=3.6 13/3=4.3 17/2=8.5(最大) 20/7=3 10/4=2.5（第二小）所以：總工時S=a1+a2+

12、.a6 總費用M=Q+W 經(jīng)分析要使得S取最小值，庫存量H1，H2必須取最大值，H4，H5取最小值。所以得到的逐月生產(chǎn)計劃是：月份 1 2 3 4 5 6 生產(chǎn)量 15 5 0 0 3 4 第6題碎石運輸方案設(shè)計：在一平原地區(qū)要進行一項道路改造項目，在A，B之間建一條長200km，寬15m，平均鋪設(shè)厚度為0.5m的直線形公路。為了鋪設(shè)這條道路，需要從S1，S2兩個采石點運碎石。1立方米碎石的成本都為60元。（S1，S2運出的碎石已滿足工程需要，不必再進一步進行粉碎。）S1，S2與公路之間原來沒有道路可以利用，需鋪設(shè)臨時道路。臨時道路寬為4m，平均鋪設(shè)厚度為0.1m。而在A，B之間有原來的道路可

13、以利用。假設(shè)運輸1立方米碎石1km運費為20元。此地區(qū)有一條河，故也可以利用水路運輸：順流時，平均運輸1立方米碎石1km運費為6元；逆流時，平均運輸1立方米碎石1km運費為10元。如果要利用水路，還需要在裝卸處建臨時碼頭。建一個臨時碼頭需要用10萬元。建立一直角坐標(biāo)系，以確定各地點之間的相對位置：A（0,100），B（200,100），s1(20,120)，s2(180,157)。河與AB的交點為m4(50,100) （m4處原來有橋可以利用）。河流的流向為m1m7，m4的上游近似為一拋物線，其上另外幾點為m1(0,120)，m2(18,116)，m3(42,108)；m4的下游也近似為一拋物

14、線，其上另外幾點為m5(74,80)，m6(104,70)，m7(200,50)。橋的造價很高，故不宜為運輸石料而造臨時橋。此地區(qū)沒有其它可以借用的道路。為了使總費用最少，如何鋪設(shè)臨時道路（要具體路線圖）；是否需要建臨時碼頭，都在何處建；從s1，s2所取的碎石量各是多少；指出你的方案的總費用。第7題人民幣的匯率問題： 人民幣匯率對經(jīng)濟的影響近年來成為人們議論的熱點，有不少經(jīng)濟學(xué)家在探討人民幣匯率對我國及世界經(jīng)濟發(fā)展的影響。一些學(xué)者希望提高人民幣對一些主要貨幣的匯率，另一些學(xué)者則希望穩(wěn)定人民幣的匯率。試建立數(shù)學(xué)模型解決下列問題： 1、以英鎊匯率或日元匯率為例研究其變化對該國經(jīng)濟的影響； 2、人民

15、幣匯率與主要貨幣(如英鎊、日元、歐元等)的匯率關(guān)系； 3、人民幣匯率變化對我國及世界經(jīng)濟的影響。第8題列車售餐問題： 長途列車由于時間漫長，需要提供車上的一些服務(wù)。提供一天三餐是主要的服務(wù)。由于火車上各方面的成本高，因此車上食物的價格也略高。以T238次哈爾濱到廣州的列車為例，每天早餐為一碗粥、一個雞蛋及些許咸菜，價格10元；中午及晚上為盒飯，價格一律15元。由于價格偏貴，乘客一般自帶食品如方便面、面包等。列車上也賣方便面及面包等食品，但價格也偏貴。如一般售價3元的方便面賣5元。當(dāng)然，由于列車容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，適當(dāng)提高價格是正常的。但高出的價格應(yīng)有一個限制，不能高得過頭

16、。假如車上有乘客1000人，其中500人有在車上買飯的要求，但車上盒飯每餐只能供給200人；另外，車上還可提供每餐100人的方便面。請你根據(jù)實際情況設(shè)計一個價格方案，使列車在用餐銷售上效益最大。解：4 問題假設(shè)：1.價格每增加1元，就會有20個人選擇放棄購買 ,即b1 = 20;2.方便面價格每增加1元，就會有36個人選擇放棄購買 ,即b2 = 36;3.因為500人有在車上買飯的要求，假設(shè)早餐能提供500份；4.早餐的價格每增加1元，就會有30個人選擇放棄購買, 即b3 = 30;5.各餐飲市場上的價格作為這里的成本價,即q1 = 10元（盒飯），q2 = 3元（方便面），q3 =5元（早餐

17、）；6.銷量 x 依賴于價格 p, x(p)是減函數(shù) 7.進一步設(shè): x ( p ) = a bp, a, b > 0；5 符號說明： q：以各餐飲市場上的價格作為這里的成本價，即食物的成本價；p：食物所賣的價格；a：絕對需求( p很小時的需求)，即價格最低時的購買人數(shù)；b：價格上升1元時購買人數(shù)的下降幅度（需求對價格的敏感度）； I：收入；U：利潤；C：支出；x：需要購買某食物的人數(shù)；相應(yīng)的下標(biāo)1，2，3分別表示早餐，盒飯，方便面;例如：x1, x2, x3分別表示購買盒飯，方便面，早餐的人數(shù)；6 模型建立與求解：采用先統(tǒng)一再分開的算法；收入I ( p ) = px; 支出 C ( p

18、 ) = qx; 利潤 U ( p ) = I ( p ) C ( p ); 求p使U ( p ) 最大；使利潤 U(p)最大的最優(yōu)價格 p*滿足U ( p ) = I ( p ) C ( p ) = (p q )( a bp) = -bpp + ( a + bq)p - aq因為 q / 2 成本的一半；b 價格上升1單位時銷量的下降幅度（需求對價格的敏感度）b p* a 絕對需求( p很小時的需求) a p* 7 對于盒飯：由假設(shè)可知：q1 = 10, b1 = 20；因為500人有在車上買飯的要求，但車上盒飯每餐只能供給200人；所以：a1 = 500; 購買人數(shù)x1 = 500 20p

19、1;由p* = q / 2 + a / 2 * b 可得：p* = q1 / 2 + a1 / 2 * b1 = 10 / 2 + 500 / 2 * 20 = 17.5;由 500 20 * 17.5 = 150 < 200; 此時不能直接用公式；由500 20p1 >= 200 得到 p1 <= 15;所以取得最大利潤時p1 = 15;8 同理可得方便面：q2 = 3, b2 = 36；因為500人有在車上買飯的要求，但車上盒飯每餐只能供給200人，此時還剩下300人需求方便面；所以，a2 = 300, 購買人數(shù)x = 300 36p2 ;由p* = q / 2 + a

20、/ 2 * b 可得：p* = q2 / 2 + a2 / 2 * b2 = 3 / 2 + 300 / 2 * 36 = 6.3;由 300 36 * 6.3 = 73 < 100; 此時也不能直接用公式由 300 36 * p2 >= 100;得到p2 <= 5.5 由U（p）= -bpp + (a + bq)p aq可知：當(dāng)U（p)取最大值時，p2 = 5.5;9 同理可得早餐：q3 = 5, b3 = 30；因為500人有在車上買飯的要求，以：a1 = 500; 購買人數(shù)x1 = 500 30p3;因為供應(yīng)量不受約束，所以可以直接用公式：由p* = q / 2 + a

21、 / 2 * b 可得：p* = q3 / 2 + a3 / 2 * b3 = 5 / 2 + 500 / 2 * 30 = 11.5;所以取得最大利潤時p1 = 11.5; 盒飯、方便面、早餐的價格分別為15元、5.5元、11.5元；第9題居民區(qū)供水問題：某居民區(qū)的民用自來水是由圓柱形水塔提供,水塔高12.2米,直徑17.4米.水塔是由水泵根據(jù)水塔內(nèi)水位高低自動加水,一般每天水泵工作兩次.現(xiàn)在需要了解居民區(qū)用水規(guī)律與水泵的工作功率.按照設(shè)計,當(dāng)水塔的水位降至最低水位,約8.2米,水泵自動啟動加水;當(dāng)水位升高到一個最高水位, 約10.8米,水泵停止工作. 可以考慮采用用水率(單位時間的用水量)

22、來反映用水規(guī)律,并通過間隔一段時間測量水塔里的水位來估算用水率,表1是某一天的測量記錄數(shù)據(jù),測量了28個時刻,但是由于其中有3個時刻遇到水泵正在向水塔供水,而無水位記錄(表1中用/表示). 試建立合適的數(shù)學(xué)模型,推算任意時刻的用水率,一天的總用水量和水泵工作功率. 表1 原始數(shù)據(jù)(單位:時刻(小時),水塔中水位(米)時刻t00.9211.8432.9493.8714.9785.900水位9.6779.4799.3089.1258.9828.8148.686時刻t7.0067.9288.9679.981110.92510.95412.032水位8.5258.3888.220/10.82010.5

23、00時刻t12.95413.87514.98215.90316.82617.93119.037水位10.2109.9369.6539.4099.1808.9218.662時刻t19.95920.83922.01522.95823.88024.98625.908水位8.4338.220/10.82010.59710.35410.180第10題導(dǎo)彈攻擊：某軍一導(dǎo)彈基地發(fā)現(xiàn)正北方向120千米處海上有一艘敵艇以90千米/小時的速度向正東方向行駛.該基地立即發(fā)射導(dǎo)彈跟蹤追擊敵艇,導(dǎo)彈速度為450千米/小時,自動導(dǎo)航系統(tǒng)使導(dǎo)彈在任一時刻都能對準(zhǔn)敵艇。 試問導(dǎo)彈在何時何地擊中敵艇? 如果當(dāng)基地發(fā)射導(dǎo)彈的同時

24、,敵艇立即儀器發(fā)現(xiàn).假定敵艇即刻以135千米/小時的速度向與導(dǎo)彈方向垂直方向逃逸,問導(dǎo)彈何時何地擊中敵艇?敵艇與導(dǎo)彈方向成何夾角逃逸最好?結(jié)論中有何啟示?解：當(dāng)t =0 時,導(dǎo)彈位于原點O,敵艇位于(0,120)點； 當(dāng)時刻t ,導(dǎo)彈位于L(x(t),y(t)，敵艇位于(90t,120)點。 導(dǎo)彈速度可由水平分速度與垂直分速度合成： (dx/dt)2+(dy/dt)2=4502_【1】 導(dǎo)彈方向指向敵艇,導(dǎo)彈軌跡的導(dǎo)數(shù)就是其切線，所以 dy/dx=(120-y)/(90t-x)_【2】 而dy/dx(dy/dt)/(dx/dt) 解以上微分方程組，初始條件為：x(0)=0,y(0)=0 數(shù)值解

25、法，用差分方程法。 dx=x(k+1)-x(k);dy=y(k+1)-y(k);dt=t(k+1)-t(k)=h第11題 產(chǎn)銷問題：某企業(yè)主要生產(chǎn)一種手工產(chǎn)品，在現(xiàn)有的營銷策略下，年初對上半年6個月的產(chǎn)品需求預(yù)測如表1所示。表1. 產(chǎn)品需求預(yù)測估計值（件）月份1月2月3月4月5月6月預(yù)計需求量1000110011501300140013001月初工人數(shù)為10人，工人每月工作21天，每天工作8小時，按規(guī)定，工人每個月加班時間不得超過10個小時。1月初的庫存量為200臺。產(chǎn)品的銷售價格為240元/件。該產(chǎn)品的銷售特點是，如果當(dāng)月的需求不能得到滿足，顧客愿意等待該需求在后續(xù)的某個月內(nèi)得到滿足，但公司

26、需要對產(chǎn)品的價格進行打折，可以用缺貨損失來表示。6月末的庫存為0（不允許缺貨）。各種成本費用如表2所示。表2. 產(chǎn)品各項成本費用原材料成本庫存成本缺貨損失外包成本培訓(xùn)費用100元/件10元/件/月20元/件/月200元/件50元/人解聘費用產(chǎn)品加工時間工人正常工資工人加班工資100元/人1.6小時/件12元/小時/人18元/小時/人（1）若你是公司決策人員，請建立數(shù)學(xué)模型并制定出一個成本最低、利潤最大的最優(yōu)產(chǎn)銷方案；（2）公司銷售部門預(yù)測：在計劃期內(nèi)的某個月進行降價促銷，當(dāng)產(chǎn)品價格下降為220元/件時，則接下來的兩個月中6%的需求會提前到促銷月發(fā)生。試就一月份（淡季）促銷和四月份（旺季）促銷兩

27、種方案以及不促銷最優(yōu)方案（1）進行對比分析，進而選取最優(yōu)的產(chǎn)銷規(guī)劃方案。解：問題一：目標(biāo)函數(shù)及其子函數(shù)的建立目標(biāo)函數(shù)為：Max=7250×240m 即最大利潤減去最小成本，由于每月的預(yù)計值已經(jīng)固定不變，并且題目要求六月份的缺貨量為零，故6個月銷售的產(chǎn)品個數(shù)總和是固定的7250件，售價不變，其銷售總金額也不變，所以該問題轉(zhuǎn)化為求解成本最小的問題。又有m=f0+r0 ? 6個月非人力成本等于各個月非人力成本之和 ? 6個月人力成本等于各個月人力成本之和根據(jù)變量之間的關(guān)系分析人力成本故可列出算式：人力成本=正常工人工資當(dāng)月招聘人員的培訓(xùn)費當(dāng)月解雇人員的遣散費加班費第12題訂購問題：假如你負

28、責(zé)一個中等面粉加工廠的原料采購。該工廠每星期面粉的消耗量為80包，每包面粉的價格是250元。在每次采購中發(fā)生的運輸費用為500元，該費用與采購數(shù)量的大小無關(guān)，每次采購需要花費1小時的時間，工廠要為這1小時支付80元。訂購的面粉可以即時送達。工廠財務(wù)成本的利率以每年15%計算，保存每包面粉的庫存成本為每星期1.10元。（1）目前的方案是每次采購夠用兩個星期的面粉，計算這種方案下的平均成本。（2）試建立數(shù)學(xué)模型計算最優(yōu)訂貨量及相應(yīng)的平均成本。（3）若面粉供應(yīng)商為推出促銷價格：當(dāng)面粉的一次購買量大于500包時，為220元/包。建立數(shù)學(xué)模型計算最優(yōu)訂貨量及相應(yīng)的平均成本。解所以庫存費：符號說明補充：第

29、13題肥皂液薄膜曲面問題：如果你把一根銅絲彎成一條封閉的空間曲線(留出一個把手), 將這個框架浸入配制好的肥皂液, 然后將它輕輕地提取出來, 那么肥皂液就會在銅絲框架上張成一個處于平衡狀態(tài)的絢麗多彩的薄膜. 試分析這個薄膜是怎樣的曲面? 如圖1建立空間直角坐標(biāo)系, 若框架曲線滿足方程請畫出薄膜曲面的圖像. 圖1 框架曲線第14題討價還價中的數(shù)學(xué)：在當(dāng)前市場經(jīng)濟條件下，在商店，尤其是私營個體商店中的商品，所標(biāo)價格a與其實際價值b之間，存在著相當(dāng)大的差距。對購物的消費者來說，從希望這個差距越小越好，即希望比值接近于1，而商家則希望 >1。這樣，就存在兩個問題：第一，商家應(yīng)如何根據(jù)商品的實際價

30、值（或保本價）b來確定其價格a才較為合理？第二，購物者根據(jù)商品定價，應(yīng)如何與商家"討價還價"？第一個問題，國家關(guān)于零售商品定價有相關(guān)規(guī)定，但在個體商家實際定價中，常用"黃金數(shù)"方法，即按實際價b定出的價格a，使b:a 0.618。雖然商品價值b位于商品價格a的黃金分割點上，考慮到消費者討價還價，應(yīng)該說，這樣定價還是較為合理的。對消費者來說，如何"討價還價"才算合理呢？一種常見的方法是"對半還價法"：消費者第一次減去定價的一半，商家第一次討價則加上二者差價的一半；消費者第二次還價要減去二者差價的一半；如此等等。直至達

31、到雙方都能接受的價格為止。有人以為，這樣討價還價的結(jié)果其理想的最終價格將是原定價的黃金分割點。是這樣的嗎？試進行定量分析，并給出結(jié)果。第15題鉛球運動員成績：眾所周知，鉛球的投擲運動是運動員單手托住7.264kg(16磅)重的鉛球在直徑為2.135m的投擲圓內(nèi)將鉛球擲出并且使鉛球落入開角為45o的有效扇形區(qū)域內(nèi)。以鉛球的落地點與投擲圓間的距離度量鉛球投擲的遠度，并以鉛球投擲遠度的大小評定運動員的成績。在鉛球的訓(xùn)練和比賽中，鉛球投擲距離的遠與近是人們最關(guān)心的問題。而對于教練和運動員最為關(guān)心的問題是如何使鉛球擲得最遠。影響鉛球投擲遠度的因素有哪些？建立一個數(shù)學(xué)模型，將預(yù)測的投擲距離表示為初始速度和

32、出手角度的函數(shù)。最優(yōu)的出手角度是什么？如果在采用你所建議的出手角度時，該運動員不能使初始速度達到最大，那么他應(yīng)該更關(guān)心出手角度還是出手速度？應(yīng)該怎樣折中？哪些是影響遠度的主要因素？在平時訓(xùn)練中，應(yīng)該更注意哪些方面的訓(xùn)練？試通過組建數(shù)學(xué)模型對上述問題進行分析，給教練和運動員以理論指導(dǎo)。參考數(shù)據(jù)資料如下：表1 李素梅與斯盧皮亞內(nèi)克鉛球投擲成績姓名出手速度出手高度出手角度實測成績李梅素13.751.9037.6020.95李梅素13.522.0038.6920.30斯盧皮亞內(nèi)克13.772.0640.0021.41表2 我國優(yōu)秀運動員的鉛球投擲數(shù)據(jù)姓名成績s(m)出手速度出手角度出手高度李梅素19.

33、4013.1640.272.02李梅素20.3013.5138.692.00黃志紅20.7613.5837.752.02隋新梅21.6613.9539.002.04李梅素21.7614.0835.131.95第16題寵物狗銷售： 背景：一家寵物店賣小狗。這家店每天需要在每只小狗身上花費10元錢，因此寵物店不想在店里存儲太多的小狗。通過調(diào)查研究，在給定的天數(shù)x內(nèi)，所賣出的小狗的數(shù)量服從泊松分布( =0.1)。 寵物店每十天平均能賣出一只小狗，而每賣出一只小狗的利潤是20元。當(dāng)一個顧客來到寵物店里時，如果店里沒有寵物賣，那么該顧客就會到別的寵物店去。如果寵物店預(yù)定小狗的話,則所預(yù)定的小狗

34、需要到6天后才能到店里?，F(xiàn)在該寵物店正在考慮一種預(yù)定小狗的最好策略。 策略A：每賣出一只小狗，寵物店就新預(yù)定一只。這個策略意味著每次店里只有一個小狗，因此寵物店就不會花費太多在小狗身上。 策略B：寵物店每隔10天就預(yù)定一只新的小狗，該狗6天后到。使用這個策略后,如果顧客連續(xù)幾個星期沒有光顧寵物店，則寵物店必須花大量的錢在小狗上。 問題： 1、編寫程序,來模擬這兩種策略，并比較哪一種策略好。 2、請?zhí)岢龅谌N更好的策略，寫出數(shù)學(xué)證明,并用軟件模擬。第17題農(nóng)作物加工與存放：某縣是我國A、B兩種農(nóng)作物的主要生產(chǎn)基地，近15年來農(nóng)作物總產(chǎn)量如附表，目前全縣只有一個容量為1200噸的糧庫，需要建造一新

35、的糧庫，為了提高農(nóng)民的收入，同時還要建造一個農(nóng)作物加工工廠。解答下面問題：（1）該縣的農(nóng)作物加工工廠計劃利用A、B兩種農(nóng)作物混合加工成甲、乙兩種農(nóng)產(chǎn)品，現(xiàn)在市場上這兩種農(nóng)產(chǎn)品的售價分別為4800元和5600元，為了保證產(chǎn)品質(zhì)量，甲產(chǎn)品中A農(nóng)作物的含量不能低于50%，乙產(chǎn)品中A農(nóng)作物的含量不能低于60%。糧庫每年可以提供的A農(nóng)作物不超過500噸，B農(nóng)作物不超過1000噸，不過A農(nóng)作物還可以從臨縣約1500噸余糧中購買，如果購買量不超過500噸，單價為 10000元/噸，如果超過500噸不超過1000噸，超過500噸的部分單價為8000元/噸，購買量超過1000噸時超過部分單價為6000

36、元/噸，該加工工廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)才能獲的最大利潤。（2）該縣應(yīng)當(dāng)建造容量為多少的倉庫，才能適應(yīng)將來農(nóng)作物總產(chǎn)量不斷增長的需求。請寫出五年的工作計劃!附表：（噸/年）年19911992 199319941995199619971998199920002001 20022003 2004 2005產(chǎn)量500579664 756 852951 10511150 1246 13371422 1501 1572 1636 1691第18題 加工業(yè)生產(chǎn)的穩(wěn)態(tài)模擬問題：某工廠共有

37、50機床加工原料，另配有4臺備用機床，當(dāng)正在加工的機床發(fā)生故障時，立即將備用機床投入生產(chǎn)過程，而發(fā)生故障的機床則移至由三名修理工組成的機修組進行修理，假定一臺機床只由一名工人操作使用，維修時也只由一名修理工修理。經(jīng)過實際調(diào)查，機床發(fā)生故障的間隔時間服從均值等于157小時的指數(shù)分布，一名修理工修理一臺機床的時間服從4,10小時之間的均勻分布。進入修理狀態(tài)的機床修理完成后成為備用機床待用狀態(tài)。此系統(tǒng)的工作流程如圖所示。50名工人3名修理工修好的機床返回為符合加工的實際情況，我們還制定兩條規(guī)則：1.某機床發(fā)生故障直接交給修理工修理時，總是送給休息時間最久的修理工。2.某機床修理完成，若直接交給工人加

38、工時，總是送給休息時間最久的工人。管理部門要求了解機床用于生產(chǎn)的利用率、處于備用狀態(tài)的機床數(shù)、等待修理的機床數(shù)以及機床和修理工忙期的平均值等，以便對此維修策略進行評價。對于這個穩(wěn)態(tài)模擬問題，我們可考慮該系統(tǒng)運行三年（共156周）的情況，并假設(shè)每周工作5天，每天工作8小時。請建立數(shù)學(xué)模型以分析整個生產(chǎn)系統(tǒng)的特性（最少有多少臺機器同時在運行；最多有多少臺機器在等候修理；平均每小時有多少工人處于工作狀態(tài)；平均每小時有多少修理工處于工作狀態(tài)；平均每小時有多少臺機器在等待修理；等等。）；進一步研究生產(chǎn)工人人數(shù)和修理工人人數(shù)變化對生產(chǎn)系統(tǒng)運行情況的影響，給出最優(yōu)的人事安排方案。第19題 抑制房地產(chǎn)投機問題

39、：近幾年來，我國各大城市的房價出現(xiàn)了普遍持續(xù)上漲情況。一方面，房價的上漲使生活成本大幅增加，導(dǎo)致許多中低收入人群買房難；另一方面，部分投機者通過各種融資渠道買入房屋囤積，期望獲得高額利潤，導(dǎo)致房價居高不下。因此，如何有效抑制房地產(chǎn)價格上揚，抑制房地產(chǎn)投機，是一個備受關(guān)注的社會問題。國家為此出臺了提高房地產(chǎn)貸款利率和二手房轉(zhuǎn)貸限制等各項政策，現(xiàn)在請你就以下幾個方面的問題進行討論：1、建立一個城市房價的數(shù)學(xué)模型，通過這個模型對房價的形成、演化機理和房地產(chǎn)投機進行深入細致的分析；2、通過分析找出影響房價的主要原因；3、分析國家提高房地產(chǎn)貸款利率和二手房轉(zhuǎn)貸限制對房地產(chǎn)投機者的影響；4、給出抑制房地產(chǎn)

40、投機的政策建議；5、對你的建議可能產(chǎn)生的效果進行科學(xué)預(yù)測和評價。第20題.出租車調(diào)價問題：受國際原油價格持續(xù)上漲影響, 經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)，國家發(fā)改委通知, 自2006年3月26日起將汽油和柴油出廠價格每噸分別提高300元和200元。福建省的汽油和柴油零售基準(zhǔn)價每噸分別提高250元和150元。福州市93號汽油每升上調(diào)0.21元，調(diào)價后為每升4.47元。國家發(fā)改委提高成品油價格的消息發(fā)布后，一些地方迅速做出反應(yīng)。在油價走高的背景下，全國出租車價格漲聲一片。國家發(fā)改委要求各地建立出租車運價與油價的聯(lián)動機制，今后按照聯(lián)動機制調(diào)整運價。目前北京、上海已經(jīng)建立了出租車運價與油價的聯(lián)動機制。以上海市為例，在20

41、06年4月17日召開的出租車運價油價聯(lián)動機制聽證會上公布了兩個公式，運價油價聯(lián)動機制今后將通過兩個公式來操作。第一個公式用于調(diào)整出租車起步費。按照這個公式，如果油價平均提高一元，根據(jù)前期調(diào)研，單車每天消耗汽油43.75升，日均載客34次，代入公式，每車起步價需要提高1.29元；第二個公式用于調(diào)整超過起步價后的出租車公里單價。按照這個公式，如果油價每升平均提高1元，每車每天行駛350公里、載客率61%、起步價外公里占總公里數(shù)的64%，與公里油耗無關(guān)的加價計時等營運附加收入系數(shù)0.15，計算后可以發(fā)現(xiàn)每公里運價需要提高0.27元。從2006年5月11日起，上海市區(qū)出租車起租價提高1元，由3公里10

42、元調(diào)整為3公里11元；超起租里程每公里運價提高0.10元，由2元調(diào)整為2.10元。據(jù)測算，此番調(diào)價后，上海市區(qū)出租車每車每月將增收1400元左右。此前每月給每輛出租車820元的補貼從6月起取消。同時上海將對出租車駕駛員降低現(xiàn)有承包指標(biāo)(份子錢)，并予以規(guī)范。考慮以下問題：（1）  根據(jù)以上信息給出上海市出租車運價和油價聯(lián)動機制的兩個計算公式。（2）  分析這兩個計算公式的合理性。（3）根據(jù)福州市出租車運營的實際情況，這兩個計算公式是否適合作為福州市出租車運價油價聯(lián)動機制？如不適合，給出適合福州市出租車運營的實際情況的運價油價聯(lián)動機制。根據(jù)計算公式給出福州

43、市出租車運價調(diào)整方案。  第21題抗雪救災(zāi)的數(shù)學(xué)模型： 抗雪救災(zāi)應(yīng)急預(yù)案 2008年伊始，一場罕見的五十年一遇的特大雪災(zāi)襲擊了我國南方地區(qū)。這場雪災(zāi)造成湖南、湖北、安徽、貴州、云南、廣州、河南等十省區(qū)嚴重受災(zāi)，給廣大人 民的生命財產(chǎn)帶來了巨大的損失，受災(zāi)人數(shù)超過7000萬人。極端災(zāi)害天氣導(dǎo)致南方地區(qū)的民航、鐵路、高速公路全縣受阻，數(shù)以千萬記的旅客被迫滯留在火車 站、汽車站和機場。這場雪災(zāi)害造成大量的電力設(shè)施、通訊設(shè)施的嚴重損壞，引起多地電力、通訊中斷，很多城市進入大面積二級停電事件應(yīng)急狀態(tài)。冰雪災(zāi)害給我 國南方地區(qū)的工農(nóng)業(yè)造成了嚴重影響，特別是造成林業(yè)資源的嚴重破壞。經(jīng)專家

44、測算，因雪災(zāi)損失的林業(yè)資源至少需要五到二十年才能恢復(fù)，冰雪災(zāi)害對中國南方自 然保護區(qū)的影響更為深遠。林業(yè)自然保護區(qū)和野生動植物資源包括林區(qū)基礎(chǔ)設(shè)施遭受重創(chuàng)，林區(qū)防火道路、了望塔、監(jiān)測系統(tǒng)、生態(tài)監(jiān)測定位站等都受到了嚴重的損 失，很多野生動植物凍死凍傷，破壞和影響可以說是巨大而且是比較長遠的。據(jù)不完全統(tǒng)計，這場雪災(zāi)造成的直接損失超過千億元，由此對我國經(jīng)濟造成的間接損失 還有待于進一步評估。 在黨和政府的正確領(lǐng)導(dǎo)下，我國人民眾志成城，舉國上下齊心協(xié)力，一舉取得了抗雪救災(zāi)的全面勝利。災(zāi)害過后，當(dāng)我們安居樂業(yè)之時，我們必須認真地思考有關(guān)問 題，特別是有待于進一步完善抗擊自然災(zāi)害的應(yīng)急方案，進一步提高我們

45、抗擊自然災(zāi)害的能力。 請您通過互聯(lián)網(wǎng)、報紙、雜志等媒體查閱有關(guān)南方雪災(zāi)的資料，分析各地抗雪救災(zāi)的成功案例，為政府決策部門抗擊自然災(zāi)害提供決策依據(jù)。您的方案應(yīng)該至少包括 以下內(nèi)容： 1 通過對雪災(zāi)冰凍自然災(zāi)害對社會經(jīng)濟影響的分析，提出抗雪救災(zāi)的決策指標(biāo)，建立抗雪救災(zāi)的數(shù)學(xué)模型。2 基于您的數(shù)學(xué)模型，提出抗雪救災(zāi)應(yīng)急預(yù)案，并分析您的預(yù)案的優(yōu)劣。3 給有關(guān)部門寫一篇不超過800字的短文，推薦您的抗雪救災(zāi)應(yīng)急預(yù)案。 -以2008年我國南方地區(qū)冰凍和雪災(zāi)為例 一、提案和建議的內(nèi)容：關(guān)于我國應(yīng)對自然災(zāi)害經(jīng)驗、啟示與對策建議 二、提案和建議受理部門：鐵道部、交通部、電監(jiān)會和電網(wǎng)公司等 三、對我國應(yīng)對自然災(zāi)害

46、的經(jīng)驗、啟示和對策建議  第22題森林管理問題：自然資源可以分為兩大類，一類叫做消耗性資源，比如煤、鐵、石油等礦產(chǎn)，隨著人類的開采，它不斷被消耗，貯存量越來越少，一直到被消耗完為止；另一部分叫做可更新資源，比如森林、漁場和各種野生動物等資源，在人們利用其中一部分以后，能夠通過資源群的自我更新而得到恢復(fù)，從而達到多次利用的目的。例如一片森林，在砍伐其中一部分以后，它就能夠經(jīng)過自我更新再長起來，當(dāng)然恢復(fù)的時間隨樹種和林型的不同而不同?，F(xiàn)在，考慮一片年齡很長的樹種（100-200年）森林，已知森林中各年齡樹木的數(shù)量分布。為了維持森林的基本管理費用，森林中的樹木在一定的時間周期內(nèi)要有一批被砍

47、伐出售。設(shè)v(t)表示年齡為t的樹木的價值，由于該片森林是年齡很長的樹種，所以在考慮樹木的價值時必須同時考慮到現(xiàn)金的時間貼現(xiàn)，稱為r為貼現(xiàn)率，即時間t的單位現(xiàn)金只相當(dāng)于當(dāng)前的e-rt，同時也需要考慮管理成本等經(jīng)濟問題。森林管理者希望你隊能幫助他解決下列問題：1)若已知各年齡樹木的價值，給出單株樹木最優(yōu)砍伐的時間；2)如果已知v(ti) i=1,2,n及r，試給出最優(yōu)砍伐的時間的計算公式；某種樹木價值如下表：年齡i203040  50   60   70   80  

48、 90  100  110120  價值vi0  0   4314330349765080591310001075如果貼現(xiàn)率r=0.1，計算該種樹木的最優(yōu)砍伐時間。3)為了使這片森利不被耗盡而且每個時間周期內(nèi)都有所收獲，要求：每當(dāng)砍伐掉一棵樹木，就在原地補種上一棵幼苗，從而使得森林中樹木的總數(shù)保持不變。如果各砍伐周期相同，試確定最優(yōu)砍伐周期，并給出一種方案，使得在維持每個砍伐周期都有收獲的前提下，去砍伐樹木，使被砍伐的樹木獲得最大的經(jīng)濟效益。第23題出租車調(diào)價問題：受國際原油

49、價格持續(xù)上漲影響, 經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)，國家發(fā)改委通知, 自2006年3月26日起將汽油和柴油出廠價格每噸分別提高300元和200元。福建省的汽油和柴油零售基準(zhǔn)價每噸分別提高250元和150元。太原市93號汽油每升上調(diào)0.21元，調(diào)價后為每升4.47元。國家發(fā)改委提高成品油價格的消息發(fā)布后，一些地方迅速做出反應(yīng)。在油價走高的背景下，全國出租車價格漲聲一片。國家發(fā)改委要求各地建立出租車運價與油價的聯(lián)動機制，今后按照聯(lián)動機制調(diào)整運價。目前北京、上海已經(jīng)建立了出租車運價與油價的聯(lián)動機制。以上海市為例，在2006年4月17日召開的出租車運價油價聯(lián)動機制聽證會上公布了兩個公式，運價油價聯(lián)動機制今后將通過兩個公

50、式來操作。第一個公式用于調(diào)整出租車起步費。按照這個公式，如果油價平均提高一元，根據(jù)前期調(diào)研，單車每天消耗汽油43.75升，日均載客34次，代入公式，每車起步價需要提高1.29元；第二個公式用于調(diào)整超過起步價后的出租車公里單價。按照這個公式，如果油價每升平均提高1元，每車每天行駛350公里、載客率61%、起步價外公里占總公里數(shù)的64%，與公里油耗無關(guān)的加價計時等營運附加收入系數(shù)0.15，計算后可以發(fā)現(xiàn)每公里運價需要提高0.27元。從2006年5月11日起，上海市區(qū)出租車起租價提高1元，由3公里10元調(diào)整為3公里11元；超起租里程每公里運價提高0.10元，由2元調(diào)整為2.10元。據(jù)測算，此番調(diào)價后

51、，上海市區(qū)出租車每車每月將增收1400元左右。此前每月給每輛出租車820元的補貼從6月起取消。同時上海將對出租車駕駛員降低現(xiàn)有承包指標(biāo)(份子錢)，并予以規(guī)范?？紤]以下問題：（1）根據(jù)以上信息給出上海市出租車運價和油價聯(lián)動機制的兩個計算公式。（2） 分析這兩個計算公式的合理性。（3） 根據(jù)太原市出租車運營的實際情況，這兩個計算公式是否適合作為太原市出租車運價油價聯(lián)動機制？如不適合，給出適合太原市出租車運營的實際情況的運價油價聯(lián)動機制。根據(jù)計算公式給出太原市出租車運價調(diào)整方案。        

52、60;                                                 

53、60;           第24題鋪路問題：準(zhǔn)備在A地與B地之間修建一條地下管線，B地位于A地正南面20km和正東30km交匯處，它們之間有東西走向巖石帶。地下管線的造價與地質(zhì)特點有關(guān)，下圖給出了整個地區(qū)的大致地質(zhì)情況，顯示可分為三條沿東西方向的地質(zhì)帶，其寬度分別為：沙土地質(zhì)帶寬C1，沙石地質(zhì)帶寬C2，巖石地質(zhì)帶寬C3。在給定三種地質(zhì)條件上每千米的修建費用的情況如下：（圖略）地質(zhì)條件沙土沙石巖石   費用(萬元/千米)8   

54、;12   28   寬度（千米）   6   3    2試解決以下幾個問題：(1) 圖中直線AB顯然是路徑最短的，但不一定最便宜；而路徑ARSB過巖石和沙石的路徑最短，但是否是最好的路徑呢？試建立一個數(shù)學(xué)模型，確定最便宜的管線鋪設(shè)路線。(2) 鋪設(shè)管線時，如果要求管線轉(zhuǎn)彎時，角度至少為 ，確定最便宜的管線鋪設(shè)路線。(3) 鋪設(shè)管線時，如果要求管線必須通過位于沙石地質(zhì)帶或巖石地質(zhì)帶中的某一已知點P（位于A地正南面10km和正東20km

55、交匯處）時，確定最便宜的鋪設(shè)路線。                                               &

56、#160;                第25題體能測試時間安排：某校按照教學(xué)計劃安排各班學(xué)生進行體能測試，以了解學(xué)生的身體狀況。測試包括身高與體重、立定跳遠、肺活量、握力和臺階試驗共5個項目，均由電子儀器自動測量、記錄并保存信息。該校引進身高與體重測量儀器3臺，立定跳遠、肺活量測量儀器各1臺，握力和臺階試驗測量儀器各2臺。身高與體重、立定跳遠、肺活量、握力4個項目每臺儀器每個學(xué)生的平均測試（包括學(xué)生的轉(zhuǎn)換）時間分別為10秒、20秒、

57、20秒、15秒，臺階試驗每臺儀器一次測試5個學(xué)生，需要3分30秒。每個學(xué)生測試每個項目前要錄入個人信息，即學(xué)號，平均需時5秒。儀器在每個學(xué)生測量完畢后學(xué)號將自動后移一位，于是如果前后測試的學(xué)生學(xué)號相連，就可以省去錄入時間，而同一班學(xué)生的學(xué)號是相連的。學(xué)校安排每天的測試時間為8：0012：10與13：3016：45兩個時間段。5項測試都在最多容納150個學(xué)生的小型場所進行，測試項目沒有固定的先后順序。參加體能測試的各班人數(shù)見附表。學(xué)校要求同一班的所有學(xué)生在同一時間段內(nèi)完成所有項目的測試，并且在整個測試所需時間段數(shù)最少的條件下，盡量節(jié)省學(xué)生的等待時間。請你用數(shù)學(xué)符號和語言表述各班測試時間安排問題，給出該數(shù)學(xué)問題的算法，盡量用清晰、直觀的圖表形式為學(xué)校工作人員及各班學(xué)生表示出測試時間的安排計劃，并且說明該計劃怎樣滿足學(xué)校的上述要求和條件。最后，請對學(xué)校以后的體能測試就以下方面提出建議，并說明理由：如引進各項測量儀器的數(shù)量；測試場所的人員容量；一個班的學(xué)生是否需要分成幾個組進行測試等。附表 參加體能測試的各班人數(shù)