關(guān)于數(shù)學新課程中教材編寫的理論透視與建議

1、關(guān)于數(shù)學新課程中教材編寫的理論透視與建議 華東師范大學課程與教學研究博士研究生 呂林海 200062 任何改革的目的都是為了革故鼎新、促進發(fā)展。數(shù)學課程改革也不外乎于此。自從教育部頒布了全日制義務(wù)教育數(shù)學課程標準（實驗稿）與高中新課程標準之后，呼應(yīng)著標準的各類實驗教材紛至沓來或即將“顯露嬌容”，中國的數(shù)學教育撲面迎來了可喜的改革春風。但是，當數(shù)學課程改革闊步向前的時候，我認為，此時此刻，以一種冷靜的態(tài)度，反思得失、改進弊端、跟蹤完善就顯得尤為必要。特別是，就學術(shù)界對標準、對教材等所發(fā)出的相當多的批評聲音而言，也應(yīng)做理性分析，辨析其中所存在的諸多合理觀點，并敢于吸納、反思、融合、交流，只有這樣，

2、才能促進我國的數(shù)學教育事業(yè)健康、合理地向前發(fā)展。就目前而言，大批新版實驗教材在經(jīng)歷了第一輪試用之后，即將進入修改與完善階段；而高中新教材也正處在緊鑼密鼓的編寫過程之中。本文無意對新課程、新教材的編寫提出什么方向性的指示，只是想從一個數(shù)學教育理論研究者的視角對教材編寫提出一些理論層面的剖析與建議，希望能為這事關(guān)中國數(shù)學教育大局的艱巨事業(yè)獻計獻策，貢獻自己的微薄力量?；蛟S其中的論題也涉及到了不同聲音之間的交鋒點，但從另一個意義上說，對這些大家尚具爭議的問題，深入探究總比一味回避或許更具深刻的發(fā)展內(nèi)涵。1、 教材結(jié)構(gòu)的二位一體數(shù)學教材的結(jié)構(gòu)化問題不容忽視。首先，就數(shù)學學科本身的特點而言，演繹性的結(jié)構(gòu)

3、體系本身就彰顯了數(shù)學所獨具的魅力。從大的方面看，整個數(shù)學的結(jié)構(gòu)本身就表現(xiàn)為相互聯(lián)系、縱橫交錯的幾個分支核心領(lǐng)域；從小的方面看，結(jié)構(gòu)則表現(xiàn)為每個分支領(lǐng)域中的基本概念、基本原理及其相互聯(lián)系。放眼數(shù)學發(fā)展的歷史，赫赫有名的幾何原本與數(shù)學原本早已成為數(shù)學結(jié)構(gòu)化、脈絡(luò)化的典范型著作。這更是清晰有力地佐證了數(shù)學學科系統(tǒng)演繹的特色取向。所以說，如果新課程教材本身的結(jié)構(gòu)體系不清晰甚或根本就不具備結(jié)構(gòu)，那么這在一定意義上將降低教材的數(shù)學品位，限制學生對數(shù)學的理解及至在數(shù)學上的發(fā)展。其次，有關(guān)學習心理學的研究已經(jīng)得出下面的觀點1，專家較之于新手的過人之處在于，專家的知識不僅僅是相關(guān)領(lǐng)域的事實和公式的羅列，相反它是

4、圍繞著核心概念或“大觀點“（big ideas）組織的，這些概念和觀點引導他們?nèi)ニ伎甲约旱念I(lǐng)域。從這個意義上說，讓學生掌握這個學科的各個層次上的各種結(jié)構(gòu)，是促進其有效學習的重要條件，并且學生大腦內(nèi)部數(shù)學知識結(jié)構(gòu)的質(zhì)量決定了其今后思維的深度與廣度。心理學家齊（Chi,1981）通過研究也曾指出2，“知道得越多”意味著在記憶中擁有的概念模塊就越多，界定模塊的關(guān)系或特征也越多，模塊間的聯(lián)系以及有效提取相關(guān)模塊的方法和在問題解決情景中應(yīng)用這些信息單位的步驟也越多。這些研究也不斷啟示我們，要盡可能以數(shù)學教材中的脈絡(luò)結(jié)構(gòu)為中介，支撐著學生大腦內(nèi)部的數(shù)學結(jié)構(gòu)的生成與發(fā)展?，F(xiàn)今很多版本的實驗教科書的一個較大問

5、題可能還是在于教材中數(shù)學知識的脈絡(luò)結(jié)構(gòu)不甚清晰，這或許是下一步教科書修訂與改進工作的重點方面。但筆者認為，進一步地，我們必須關(guān)注兩種類型的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)：專家所認定與接受的結(jié)構(gòu)以及學生所能建構(gòu)的結(jié)構(gòu)。關(guān)注兩者之間的差異直接關(guān)系到教材是否真正以學生的經(jīng)驗、認知、理解與發(fā)展為本，是否真正指向?qū)W生深層的數(shù)學發(fā)展。例如，傳統(tǒng)教材在高中一年級段，總是在學習完了函數(shù)一章后就轉(zhuǎn)向立體幾何的學習，并將數(shù)列內(nèi)容安排在高中二年級階段中；而在筆者所翻閱到的一個新版本教材中（在此不便具體提及），教材編寫者為了能體現(xiàn)內(nèi)容的延續(xù)性與結(jié)構(gòu)化，把立體幾何內(nèi)容安排在高中二年級階段，試圖與平面解析幾何構(gòu)成一個較為完整的幾何版塊，同

6、時將數(shù)列內(nèi)容前移至高中一年級的函數(shù)內(nèi)容之后，也試圖通過函數(shù)的學習支撐對數(shù)列內(nèi)容的理解（數(shù)列可以在另一種意義上理解為函數(shù)），這些都是專家、教材編寫者甚至教師所認定與接受的結(jié)構(gòu)。可據(jù)使用了該新教材的一線教師反映，就數(shù)列內(nèi)容的學習而言，學生并沒有因內(nèi)容前移而在理解上增強，甚至學習的效果還不如使用傳統(tǒng)教材。他們普遍認為，很多學生在學習完了函數(shù)內(nèi)容之后，突然引入，會出現(xiàn)很多事先想不到的思維及理解上的困難，并非我們所想象的是一種知識間的自然促進與延伸。這個來自一線的例子也充分說明了，專業(yè)人員所認同的數(shù)學結(jié)構(gòu)并非與學生所能理解、所能習得的結(jié)構(gòu)完全一致，兩者甚至存有相當大的偏差。筆者認為，新教材編寫應(yīng)當在理清

7、教材本身的邏輯結(jié)構(gòu)（專家、編寫者以及教師認同的結(jié)構(gòu)）的同時，要對學生所能理解的結(jié)構(gòu)進行深入研究，力圖使學生能清晰而正確地內(nèi)化與理解數(shù)學本身的特有結(jié)構(gòu)，從而使學生經(jīng)驗到的結(jié)構(gòu)與專家認同的客觀結(jié)構(gòu)達到二位一體的統(tǒng)一。2、學生經(jīng)驗的有效提升弗萊登塔爾曾說過：“數(shù)學是系統(tǒng)化了的常識?！比绻麖慕逃饬x進一步思考這句話，我們又可說：“學生習得的數(shù)學是系統(tǒng)化了的學生常識（或經(jīng)驗）?！碧貏e是就義務(wù)教育階段的數(shù)學教材的編寫來說，通過各種情境引入活動、任務(wù)，讓學生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學模型并進行解釋與應(yīng)用的過程，從而導出概念、定理與法則，其作用就在于提升學生的經(jīng)驗，使之連續(xù)地向形式的、抽象的數(shù)學知識的轉(zhuǎn)變。

8、應(yīng)該說，新課程、新教材在這一方面所給予的充分關(guān)注，體現(xiàn)了理念與實踐上的極大進步，而且，來自一線的教學實踐也充分證明了，構(gòu)筑在學生已有生活經(jīng)驗與生命體驗基礎(chǔ)之上的數(shù)學課程大大激發(fā)了學生“做數(shù)學”的熱情，數(shù)學課變得更生動、更活潑，更能引發(fā)學生的興趣了。另一方面，數(shù)學的確是扎根并溯源于現(xiàn)實世界的，但是，不斷抽象、不斷形式化的數(shù)學并非靜止地、固化地停留于經(jīng)驗層面上，而是以層級躍遷的方式不斷邁向“形式上的抽象與思維中的具體”，換句話說，越發(fā)形式化的數(shù)學實際上表現(xiàn)出越來越深刻的、越來越強有力的對真實世界的解釋力與索引力。再進一步看，人之所以要不斷學習，那是因為通過學習可以持續(xù)地改造經(jīng)驗、掌握規(guī)律、提升效率

9、。相應(yīng)地，數(shù)學學習的目的與價值主要就在于提升學生的經(jīng)驗，能利用數(shù)學工具更好地改造自然、處理問題、看待世界。當然，學生的經(jīng)驗也是一個動態(tài)發(fā)展的產(chǎn)物，或許原初所認為的形式化的數(shù)學知識通過持續(xù)學習而成為學生另一層面上的經(jīng)驗了。因此，就教材編寫來說，關(guān)注學生的經(jīng)驗自然沒有錯，但是矯枉過正似也不足取，也即，構(gòu)筑在學生活動與經(jīng)驗基礎(chǔ)上的數(shù)學內(nèi)容，在達到了形式化程度之后，仍然應(yīng)當在形式化的、抽象的層面上繼續(xù)深入，一些數(shù)學所特有的技巧（因式分解、添加輔助線等）與數(shù)學方法、思想（數(shù)形結(jié)合、化歸等）也是應(yīng)當讓學生掌握、領(lǐng)會的，因為這些都是真正體現(xiàn)數(shù)學韻味、顯露數(shù)學精髓的地方，盡管是抽象的，但這種抽象卻是可以連續(xù)地

10、追溯到學生的經(jīng)驗源頭的，并且是以一種脈絡(luò)結(jié)構(gòu)的方式與其他知識緊密耦合的，因此學生是能夠深刻理解與感悟的。所以說，教材編寫中經(jīng)常耳聞的數(shù)學內(nèi)容的形式化取向與經(jīng)驗化取向，看似是兩種矛盾的觀點與立場，但深入研究可以發(fā)現(xiàn)，將兩者自然地融合應(yīng)當是合理、恰切的做法。3、知識境脈的全面理解諸多新版教材在為新知識的學習提供活動情境方面下了很大工夫，從對傳統(tǒng)教材編寫以及教學中的“掐頭、去尾、燒中段”等缺陷的改進而言，新教材在這方面應(yīng)當說向前邁進了一大步。但如果再進一步深入分析，就可以發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)的數(shù)學新知識都只是鑲嵌在一些學生熟悉的生活情境、經(jīng)驗背景之中，而且，往往通過生活情境與經(jīng)驗背景引入了新的數(shù)學知識之后

11、，就要么不再向數(shù)學形式上的縱深邁進（將原來很多數(shù)學內(nèi)部的知識、技巧與方法沖淡），要么回歸原來的封閉訓練、強化練習，這其中體現(xiàn)了很多對數(shù)學知識本質(zhì)的片面認識與理解。可以從以下幾個方面來分析。首先，情境一詞來源于英語中的“context”，但目前在國內(nèi)比較公認的翻譯應(yīng)為“境脈”，亦即情境脈絡(luò)。它既包含知識的產(chǎn)生與應(yīng)用所依托的外部環(huán)境（如前面提到的生活情境、經(jīng)驗背景），但也包含知識本身的起源、發(fā)展所置身于（Situated）的縱向的、橫向的內(nèi)在邏輯與相互聯(lián)系。從這個意義上說，諸多教材的編寫只是部分地強調(diào)了知識的情境（外部的生活的、社會的聯(lián)系）這一個方面，而忽略了數(shù)學知識從溯源到發(fā)展過程中的復雜交織的

12、脈絡(luò)聯(lián)系。比如，對于數(shù)的學習與理解，新版教材還是過于關(guān)注從生活情境引入，讓學生逐步學會與理解自然數(shù)、負數(shù)、分數(shù)、有理數(shù)等，但筆者認為，除此之外，數(shù)的知識還包括數(shù)學內(nèi)部數(shù)系的擴張線索（從自然數(shù)到有理數(shù)、到實數(shù)、到復數(shù)的發(fā)展主脈絡(luò)）是什么，以及數(shù)系擴展真正的內(nèi)部動因是什么，其又與其他哪些數(shù)學知識的發(fā)展緊密相連等等，這些都是數(shù)學知識產(chǎn)生發(fā)展的脈絡(luò)，也是賦予數(shù)學知識以生長活性的境脈性知識，并且其對學生真正理解數(shù)、認識數(shù)，從而感悟數(shù)學的文化，具有重要的意義。其次，知識境脈是動態(tài)發(fā)展、不斷豐富完善的，而非固化的背景結(jié)構(gòu)，這種動態(tài)發(fā)展與不斷豐富有助于學習者以一種螺旋式的、周期性的方式形成對相關(guān)知識的更加深刻

13、的認識、理解與感悟。比如，對于一次函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)內(nèi)容的理解，學生開始還是通過生活情境引入概念，初步地、簡單地理解“隨自變量的改變，函數(shù)值也發(fā)生改變”這一本質(zhì)，隨著坐標系的引入（一個新的知識境脈），函數(shù)知識又可與直線方程、拋物線方程的知識聯(lián)系起來，一個函數(shù)方程的解又對應(yīng)于曲線上的點坐標，兩個函數(shù)方程的公共解又對應(yīng)于兩條曲線的交點坐標，此時學生對函數(shù)知識的理解也因為境脈的豐富而逐漸加深，再隨著圓錐曲線、圓、復平面、極坐標等等大量相關(guān)內(nèi)容的引入與學習之后，幾乎處處都需要用到函數(shù)知識，在這樣一種連續(xù)運用、反復聯(lián)系的過程中，函數(shù)所置身于（situated）的境脈愈加豐富與精細，從而學生對函數(shù)的理解

14、也愈加深刻與完善?？傊?，從內(nèi)在的脈絡(luò)結(jié)構(gòu)來說，數(shù)學是一個相互聯(lián)系、緊密交織的整體，其內(nèi)在的脈絡(luò)與聯(lián)系應(yīng)當在教材中盡可能體現(xiàn)出來，教材應(yīng)當成為學生反思與提升經(jīng)驗的中介，以幫助他們在感受與理解一種結(jié)構(gòu)化的相互聯(lián)系的數(shù)學的同時，促進其經(jīng)驗的不斷飛躍。第三，教材中構(gòu)建豐富數(shù)學境脈的目的與功用是促進學生的“數(shù)學化”過程，亦即數(shù)學教育的重點不是在一個封閉系統(tǒng)中學習數(shù)學，而是讓他們在一種積極的活動，一種數(shù)學化的過程中學習數(shù)學，這個“數(shù)學化”的過程必須是學習者自己主動完成的，而不是任何外界強加的3。新教材力圖在這個方面有所突破與改進，但筆者認為，如何更加完整全面理解“數(shù)學化”，對下一步教材的改進頗有裨益。在此

15、，限于篇幅，筆者給出著名數(shù)學教育家特萊弗斯（Treffers）與弗萊登塔爾對數(shù)學化的一番解釋，供大家細究與品味，“數(shù)學化思想應(yīng)分解為兩大類，即橫向的數(shù)學化與縱向的數(shù)學化，橫向數(shù)學化指的是學生面對的數(shù)學工具能夠幫助他們組織和解決真實生活中的某個問題；縱向數(shù)學化是對數(shù)學系統(tǒng)本身進行重組的過程”4，“橫向數(shù)學化包括從真實生活走進符號世界，而縱向數(shù)學化是指在符號世界中進行移動”5。其實透過這一解釋，我們應(yīng)該能夠理解數(shù)學化與數(shù)學境脈之間的某種內(nèi)在的深刻聯(lián)系，而在教材編寫中準確、深刻地對其把握就顯得尤為重要了。 4、數(shù)學文化的自然滲透新數(shù)學課程標準（義務(wù)教育階段和高中階段）中明確地提出了，“數(shù)學是人類的一

16、種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分”6，“要體現(xiàn)數(shù)學的文化價值”7等，因此，如何在新教材中體現(xiàn)新課程的這一理念，就成為有關(guān)教材編寫的重要課題。在此，筆者試提出如下幾點看法與建議：（1）從學生的角度而言，數(shù)學文化是通過感悟獲得的，而不是依憑認知、邏輯等就可直接習得的。而對內(nèi)蘊于數(shù)學知識深處的文化力量、文化魅力、文化精髓的感悟首先必須要建立在學習者對相關(guān)知識及其境脈聯(lián)系的深刻理解的基礎(chǔ)上，只有通過他們的不斷生成的、不斷加深的理解，學習者才可能自然地、漸進性地孕育出對數(shù)學文化的真正領(lǐng)悟。在這個意義上，教材編寫要以學習者為中心，關(guān)注其理解的不斷發(fā)展，在知識安排的縱橫序列以及相互

17、聯(lián)系等方面多加思量與考慮。（2） 正因為學生理解與感悟數(shù)學是一種自然滲透、逐步深化的過程，所以教材編寫時要對教材的結(jié)構(gòu)體系慎重把握，最不可取的就是把知識孤立、零散地分割開來，最終只讓學生學到了一個個孤立的知識點，卻無法學到縱橫相互聯(lián)系的知識結(jié)構(gòu)與網(wǎng)絡(luò)，當然這也無法使學生最終獲得對數(shù)學上的理性觀的升華直至感悟。而與此同時，在教材編寫中，同樣值得加以關(guān)注就是在教材中要滲透數(shù)學觀的培養(yǎng)，這包括在知識點的引入上關(guān)注“它是怎么來的？它在數(shù)學上的意義是什么？它與其他知識的關(guān)聯(lián)是什么？它對于解決外部世界的問題上起到什么作用，或者它在解決數(shù)學內(nèi)部問題上起到什么作用？”等等，在知識點學完之后，在教材中要引導學生

18、反思“我是如何通過經(jīng)驗生成新知識的？對于該知識，我理解了什么？還有什么不太理解？還有什么值得自己去做進一步開放性的探索？”等等，只有不斷地在教材體現(xiàn)、滲透對數(shù)學觀的關(guān)注，強調(diào)學生對數(shù)學本身認識以及理解的有意識反思，才有可能在真正意義上將數(shù)學的文化品質(zhì)注入學生的心靈深處。（3）教材編寫要對教師的專業(yè)發(fā)展水平、數(shù)學觀念的提升給予更多的關(guān)注。很難想象，一個業(yè)務(wù)素質(zhì)不高、對數(shù)學的認識本身就存有偏誤的教師能以一種循循善誘、充滿文化感召力的方式引導學生體察一種意蘊深刻、充滿美感的模式化數(shù)學。波利亞曾經(jīng)說過這么一段話：“數(shù)學的聲譽令人懷疑，它是專業(yè)課程中最不受歡迎的一門未來的教師在小學畢業(yè)時變得憎惡數(shù)學了當

19、他們回到小學執(zhí)教時又教出痛恨數(shù)學的下一代?！?由此可見，教師潛在的數(shù)學觀對學生如何認識數(shù)學、理解數(shù)學以及感受數(shù)學具有重要的影響。那么就新教材的編寫而言，建議同時配套編寫教師輔助用書，在其中滲透新教材的新理念，并分析介紹教材中知識的脈絡(luò)結(jié)構(gòu)、核心思想、學生活動建議、具體評價建議等各個具體方面，這樣才有助于教師更深刻地把握教材的內(nèi)涵。與此同時，應(yīng)在更深層的意義上把提高教師的專業(yè)素養(yǎng)與數(shù)學理解放在重要的位置上，當然，這牽扯到平常的教研活動、評課聽課活動、教師日常進修活動等，暫不屬于本文探討的范圍之中。5、小結(jié)本文從教材結(jié)構(gòu)、學生經(jīng)驗、知識境脈、數(shù)學文化四個視角探析新課程下的數(shù)學教材的編寫，應(yīng)當說，這四個方面是有著內(nèi)在的緊密關(guān)聯(lián)的，只是出于分析上的深入與清晰，才分開加以闡述。數(shù)學教材不是數(shù)學知識點的簡單組合、堆砌與疊加，而是應(yīng)該在深入思考結(jié)構(gòu)、經(jīng)驗、境脈以及文化等四個核心要素之后，著力在教材內(nèi)部構(gòu)筑各個要素之間的動態(tài)的平衡態(tài)勢，從這個意義上說，編出一套好的教材的確是既有難度、但更是意義非凡的艱巨事業(yè)