專題一 初中數學教學目標的設計

1、專題一 初中數學教學目標的設計教學目標與教學指導隨著中國基礎教育課程改革的深入，一個適合時代需要的全新教學正在形成和發(fā)展，幾乎所有的數學教師都在接受新的教學理念，充分認識到數學課程應該突出基礎性、普及性和發(fā)展性。數學教育應該面向全體學生，實現“人人都學有價值的數學，人人都能獲得必需的數學，不同的人在數學上得到不同的發(fā)展。”數學教學活動已經不再是單純的知識傳授，而是由現實生活情境引入，并通過活潑生動的數學活動，激發(fā)學生學習的積極性，使他們在自主探索的過程中真正理解和掌握基本的數學知識和技能、數學思想方法、培養(yǎng)他們發(fā)現問題、分析問題、解決問題的能力。課堂是傳道、授業(yè)、解惑的地方，是智慧火花相互碰撞

2、的場所，是實施課改的主要陣地。新的課程理念如何在課堂的教學過程中完美體現，教師如何真正地考慮到學生思維的發(fā)展等問題，已經成為亟待解決的問題。我們就此進行了一些探索、小結，選編了部分經典案例，并結合教材的內容給予了恰當的分析與點評。希望能幫一線教師解決些許教學中出現的問題。初中數學教學目標的設計是網絡課程的第一部分，它包括四個部分。第一節(jié)讓教師從整體上認識數學課程目標，使之理解“教”與“學”間的關系如何體現在數學課程目標中，理解義務教育階段學生數學學習的四個數學知識領域“數與代數”、“空間與圖形”、“統計與概率”、“實踐與綜合應用”在“三維”的角度對總體目標“四個領域”的具體內涵。第二、三、四節(jié)

3、選取了有代表性的案例，從“知識與技能”、“數學思考”、“解決問題”、“情感與態(tài)度”四個方面進行了詳細的評述，使教師更加深刻的理解如何在課堂教學中實現這四個目標。其中，“知識與技能”目標與過去的教學大綱中僅僅呈現的結果性目標不同，在標準中首次被賦予了“過程”的含義，即必須讓學生在數學學習活動中去“經歷過程”；“過程性目標”不要讓學生“知其然，不知其所以然”，也不要讓學生經歷、體驗探索的過程，沒有正確性的結論呈現?！扒楦袘B(tài)度價值觀”這一目標度的把握至關重要。教學不僅要有情感、態(tài)度的體現，還要有數學價值觀的滲透，讓學生認識到現實生活與數學知識之間存在著緊密的聯系。第二節(jié)知識性目標的內容及其設計一知識

4、與技能性目標的內容“知識與技能”向來是數學課程與數學教學的一個核心問題,實施新數學課程后，數學中的基礎知識與基本技能（簡稱“雙基”）仍然是學生學習的重點。但需要重新思考的是：在當今這個科技信息社會中，新數學課程中的“雙基”還是不是以往那種形式化、規(guī)范化的概念與定理、法則的表述和運用，以及快速、準確地從事復雜的數值計算、代數運算技能和多種類型、多種套路的解題技巧？學生還應不應該花費時間和精力去牢固掌握基礎知識和基本技能？回答是肯定的，但是我們對“雙基”的認識也要與時俱進，一些多年以來被看重的“基礎知識”、“基本技能”已不再成為今天或者未來學生數學學習的重點。例如，大數目的數值計算、復雜的有理數混

5、合運算與復雜的代數運算技巧、一些圖形性質的證明技巧等。相反，一些以往未受關注的知識、技能或數學思維方法卻應當成為學生必須掌握的“基礎知識”、“基本技能”，即“雙基”的內涵發(fā)生了變化。例如，使用計算器處理數據的技能，利用計算器進行有理數混合運算的技能，通過網絡收集信息的技能，有關制作統計圖表的技能，獲取與處理統計數據并根據所得的結果進行推斷的技能，對變化過程中變量之間變化規(guī)律的把握與運算的意識等，都應該成為新的“雙基”內容。二知識與技能性目標的設計如何在課堂教學中完成“知識與技能” 性目標的設計？下面我們來看一些具體的案例。1概念教學案例 案例1-1：有趣的游戲有理數的加減混合運算 有理數的加減

6、混合運算的知識技能目標識記：有理數加減法法則.理解：有理數加減法法則，省略加號、括號；變“減”為“加”；同號結合，建立初步的數感.運用：能正確使用有理數加減法法則進行運算.“有理數的加減混合運算” 是北師大版數學七年級上冊第二章第六節(jié)的內容，是有理數學習中的傳統內容。它既是對“有理數的加法”、“有理數的減法”的深入學習，又是熟練掌握有理數的乘法、除法、乘方及混合運算的前提條件。其具體的教學過程分為如下幾個方面：首先通過撲克牌游戲引入有理數的加減運算；然后在運算的過程中總結出規(guī)律；最后通過變換游戲規(guī)則和變式來應用所學的知識。其具體教學過程如下：教學過程有理數的加減混合運算 1.ppt師：我們用一

7、副撲克牌來做一個游戲：其中J代表11，Q代表12，K代表13 ，A代表1； 黑色牌表示正數，紅色牌表示負數，隨機的抽取幾張撲克牌，先依次記下各張撲克牌所表示的有理數，再在各個數之間添上加號或者減號和括號，然后迅速的計算出結果。首先我們抽取兩張牌，并添上加號和括號，即算加法；現在我們抽取三張牌，并添上減號和括號，即算減法；現在我們抽取四張牌，并算加法；現在我們抽取四張牌，并算減法。教學過程有理數的加減混合運算 2.ppt在游戲過程中，教師不斷的啟發(fā)學生想到了什么，發(fā)現了什么，得到了怎么樣的規(guī)律。學生在輕松、愉樂的課堂環(huán)境中感悟到不同顏色、不同大小的撲克牌間存在著一定的運算規(guī)則；在合作、交流的基礎

8、上，認識逐漸得到提升，進而總結出以下規(guī)律：師：通過以上游戲，你 發(fā)現了什么？有什么 想法？快把你算得又快又準的技巧或想法與其他 同伴交流、討論吧！師：別忘了，把你們的發(fā)現告訴我喲！如果能整理成簡明的文字，就更好了。規(guī)律一 省略加號、括號。即如果是加法，在書寫計算式時，加號可以省略，同時括號也省略不寫。即把式子寫成省略加號、括號和的式子。規(guī)律二 變“減”為“加”。即如果是減法，先把減法轉變?yōu)榧臃ㄟ\算，然后省略加號、括號再計算。規(guī)律三 同號結合。即根據加法運算律，先把整數、負數分別結合在一起相加。教學過程有理數的加減混合運算 3.ppt師：我們將游戲規(guī)則改為：紅色牌、黑色牌仍分別表示負數、正數，抽

9、到黑色牌則加上牌上的數字，抽到紅色牌則減去牌上的數字。師：實際上我們是在進行有理數的加減混合運算.用前面的規(guī)律與同伴做這個游戲吧。自己估計能得多少分：1把18（+12）+（9）（6）寫成省略加號和的形式是（ ）A181296 B18129+6C18+（12）+（9）+6 D18+12962計算（5）（+3）+（9）（7 ）+0.5所得結果是（ ）A10.5 B9.5 C8.5 D23.53小明存折中有450元，取出80元，又存入150元后存款余額為（ ）A520元 B680元 C380元 D220元443+（18）（25）（+16）= 532.74+1820+32.748= 6176+54+2

10、53= （每題10分，共60分）7礦井下A、B、C三處的標高分別是37.4米，129.8米，問A點比B點高多少？ B點比C點高多少？ C點比A點高多少？（20分）8小明從離甲地西面2千米的A地出發(fā)，向西走了6千米到達B地，接著再向東走了10千米到達C地，問小明這時在甲地的東面還是西面，距甲地多少千米?（20分）案例分析對于環(huán)節(jié)一，課的開始教師把有趣的撲克牌游戲引入課堂，展開了以學生自主學習為中心的教學，這極大的激發(fā)了學生學習的熱情和積極性，活躍了課堂氣氛，使傳統、單一的有理數加減混合運算法則的教學變得生動、活潑。有理數加法、減法的法則在游戲中反復運用，從而為有理數加減混合運算知識技能目標的實現

11、奠定了堅實的基礎。在環(huán)節(jié)二中，對“知識與技能”目標的學習，不能單從是否記住或者掌握的層面來判斷，其中很重要的一點是學生是否真正理解了這些知識或技能背后所隱含的數學意義。傳統的“概念教學”對知識掌握主要集中在學生能否記住概念的定義，能否從給出的幾個選項中選擇出一個有關這個概念正確例子，或者在幾個相近概念之間區(qū)別出符合條件的某個概念。新課程對“概念教學”遠不僅于此。課標中對概念真正的理解意味著：學生能夠自己舉出一定數量的有關這一概念的正例和反例；能夠在幾個相近概念之間比較彼此的異同，并且認識到在這些差異上不同的概念所對應的不同解釋；能夠將概念從文字的表述轉換成符號的、圖像的、口頭的描述或表示。在課

12、的最后，教師通過變式訓練，即改變游戲規(guī)則，讓學生進一步認識到撲克牌的加減運算實質上就是有理數的加減混合運算；通過適當的課堂練習加強、鞏固有理數加減的運算法則。最終實現有理數加減混合運算的知識技能目標。 案例1-2：生動的課件有理數的乘法 有理數的乘法的知識技能目標識記：有理數乘法法則.理解：有理數乘法法則，兩個有理數相乘，積的符號和絕對值如何確定，建立初步的數感.運用：能正確使用有理數乘法法則進行乘法運算.案例分析“有理數乘法”是繼“有理數的加減混合運算”、“水位的變化”之后的又一個重要學習內容，在教科書的編排中，它有著承上啟下的作用。在教學過程中，必須要解決3個難點：如何自然地引入帶有負數的

13、乘法；怎么樣體現負負得正的合理性與必要性；怎么樣說明有理數與1和0相乘的結果。教學過程有理數的乘法 片斷一該教師注重課堂引入，不受限于教科書中的問題情境，以多媒體動畫的形式演示蝸牛爬行狀況，并提出了以下四個問題：（1）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分鐘后它在什么位置？（2）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分鐘后它在什么位置？（3）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分鐘前它在什么位置？（4）如果蝸牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分鐘前它在什么位置？學生從熟悉的正數乘法解決實際問題中感受到數學知識不是空洞、抽象、枯燥的；逐漸體驗帶負數乘法的探索過程；自然地加深了對

14、引入負數必要性的認識。教師有效地突破了“有理數乘法”教學中第一個難關5。為了達到“理解有理數乘法法則”的教學目標，教師盡而又提出“有理數包括正數、0、負數，兩個有理數相乘，有哪幾種情況”及“怎么樣進行兩個有理數的乘法運算”的問題。有理數的乘法 片斷二教師對學生回答的問題進行總結、整理，最后得出了：（1）兩個數相乘，同號得正，異號得負，絕對值相乘.（2）任何數與0相乘，積仍為0.說明：有理數相乘，先確定積的符號，再確定積的絕對值.學生在教師創(chuàng)設的情境中不斷探索，在連續(xù)的問題中不斷建構并最終完成“有理數乘法法則”知識目標的學習。有理數的乘法 片斷三課堂小結和思考是本設計的另一亮點。教師通過“本節(jié)課

15、我們學習了哪些知識？你有哪些收獲？”的提問，首先能夠了解學生本節(jié)課掌握知識的大體情況；其次在梳理問題時使學生知識系統化；最后及時調整教學方法和進度。盡管這個環(huán)節(jié)如此重要，但仍未引起更多教師的重視。案例分析學生從熟悉的正數乘法解決實際問題中感受到數學知識不是空洞、抽象、枯燥的；逐漸體驗帶負數乘法的探索過程；自然地加深了對引入負數必要性的認識。教師有效地突破了“有理數乘法”教學中第一個難關4。為了達到“理解有理數乘法法則”的教學目標，教師進而又提出第3個問題：有理數包括正數、0、負數，兩個有理數相乘，有哪幾種情況？怎么樣進行兩個有理數的乘法運算？并讓學生進行概括、應用。在課的最后，教師讓學生進行小

16、結。通過問題“本節(jié)課我們學習了哪些知識？你有哪些收獲？”的提問，首先能夠了解學生本節(jié)課掌握知識的大體情況；其次在梳理問題時使學生知識系統化；最后及時調整教學方法和進度。盡管這個環(huán)節(jié)如此重要，但仍未引起更多教師的重視?！坝欣頂档募訙p混合運算”、“有理數的乘法”教學，在性質上都屬于概念教學，實施起來卻存在一定的困難。要想較好的達成課標中所述的知識技能目標，教師在教學設計上一定要深思熟慮，有所創(chuàng)新。概念教學一般有兩種設計方案：一是按照“概念-法則(定理)-應用”的程序設置。實際這上構成了“預備知識-基本定理-基本理論的應用”的單元教學結構形式。這樣的教學枯燥乏味，教師在臺上不停的講，學生在臺下拼命的

17、記，下課以后離開筆記本，什么都不記得。另一種是按照“情境-規(guī)律總結-應用”的程序設置。實際上這不僅讓學生掌握了基礎知識和應用技能，還加強了學生數學思維方法和創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。在具體的情境中，學生從數學的角度提出問題、理解問題、體驗問題解決，并感受到學習成功的喜悅，建立自信心，從而積極參與數學學習活動，激發(fā)強烈的求知欲。2知識應用過程教學案例特別值得注意的是，標準中的“知識與技能”目標與過去的教學大綱中僅僅呈現的結果性目標不同，首次出現了過程性目標，在這里，“過程”被賦予了更為深刻的含義過程本身就是一個課程目標，即首先必須讓學生在數學學習活動中去“經歷過程”，這是學生進行數學學習活動，獲得知識與技

18、能的必要前提。在我們以往的數學教學中，比較熟悉或者能夠把握的都是知識與技能目標，因為它是一種教師和學生都“看得見、摸得著”的結果性目標，而過程性目標有一點“摸不著邊”的感覺。經過了一段較長時間的活動，學生似乎沒學到什么“實質性”的東西，只是在“操作、思考、交流”。例如對“平均數”、“中位數”、“眾數”的掌握，不應僅停留在給定數據的“平均數”、“中位數”、“眾數”的計算層面，更重要的是能根據實際問題選擇恰當的統計量來描述數據，并作出正確的判斷。知識與技能性目標的教學中，過程真的如此重要嗎？我們應當如何理解它的意義與重要性，如何處理學生掌握這些基本知識和基本技能及在新情境中的靈活運用之間的矛盾呢，

19、北師大版數學八年級下冊第五章第四節(jié)方差內容的教學案例或許能給以啟示。 案例1-3：豐富的情境數據的波動：方差 方差的知識技能目標識記：刻畫數據離散程度的三個統計量極差、方差、標準差的意義及計算.理解：三個度量的特點及能借助計算器求出相應的數值.運用：從收集數據的過程中獲取有用信息，并在具體問題情境中對數據盡可能清晰、有效地描述和分析，最終作出合理的決策.為培養(yǎng)新人，孫教練要從甲、乙兩名跨攔運動員中選取一名隊員作為重點培養(yǎng)對象，假設你是教練，根據他們平時比賽成績會選擇哪史隊員呢？表中是他們5次在相同情況下的比賽成績.（單位：秒）12345甲隊員14541447145414431452乙隊員145

20、21447145014531448師：現在小組開始討論這個問題.話音剛落，各小組就進入了積極的討論中.小組一：我們組選的是甲隊員。因為甲隊員在第四次的比賽中跑得最快，跑了1443秒.小組二：我們組是算了甲、乙兩名隊員的平均成績，都是14.5秒。因為平均值一樣，所以我們就要看哪名隊員的成績比較穩(wěn)定一些。乙隊員的成績與平均值接近，所以應該選乙隊員參加比賽.小組三：我們認為暫時都不選.因為甲、乙兩隊員的成績目前都是一樣的，沒有辦法看出兩隊員哪一個好，應該再做一次比試，進行一次綜合性的評判。這樣才能更好的選出哪個隊員適合比賽.三個小組的學生在經過激烈的討論后都發(fā)表了各自的意見。每個小組都各有道理，使得

21、同學們急切的想知道究竟誰才是真正的入選隊員。在這個現實的情境當中，通過圖示讓學生直觀地估計兩名隊員的成績，并讓他們初步體會“平均水平”相近時，兩者的離散程度未必相同，從而順理成章的引入刻畫數據離散程度的量度：極差、方差。師：怎樣衡量一組數據的波動大小，進而了解它的穩(wěn)定性.把表中的數據描在圖中，看看你有什么發(fā)現？學：甲隊員的成績比較分散，它的波動比較大；乙隊員的成績比較集中，它的波動比較小。我覺得乙隊員的成績比甲隊員的穩(wěn)定.師：大多數同學通過折線圖正確的表示出甲、乙隊員的成績情況，并得出乙隊員的成績較甲的穩(wěn)定.如果兩組數據差距不是很明顯，那么看圖得到的答案未必準確，我們能不能找到一個數量能描述出

22、這組數據與平均值的差異，并能反應出其波動性的大小呢？生1： .師：大家用計算器計算得出的結果是0.正的偏差和負的偏差相互間抵消了，我們要想辦法來解決這個問題.生2： .（1）師：除了加絕對值能夠使偏差為正，還有什么辦法呢？生： 師：（1）式在統計學中稱為平均差；（2）式在統計學中稱為方差.描述一組數據波動大小用這些都可以，但兩者間又有區(qū)別.這節(jié)課我們來研究方差.為了刻畫一組數據波動的大小，可以采用多種方法.統計學中常采用下面的做法：設有n個數據各數據與它們平均數的差的平方分別是，,我們用它們的平均數，即用來衡量這給數據的波動大小，并把它叫做這組數據的方差，記作.師：既然方差能夠衡量數據波動大小

23、，那么我們觀察公式來考慮下面幾個問題：（1）數據比較分散時，方差值怎樣？（2）數據比較集中時，方差值怎樣？（3）方差大小與數據波動性大小有怎樣的關系？小組討論、交流，交并做出相應的回答“生3：數據分散時，方差大；數據集中時，方差?。环讲钚r，數據波動性小.師：那么我們就得到了結論“方差越大，數據的波動越大，方差越小，數據的波動越小.”在經歷了表示數據離散程度的幾個量度的探索、學習之后，教師又向同學們提出了新的要求。數據的波動：方差 片斷錄像中，同學生列舉了生活中豐富多彩的實例，有些用方差能夠較好的體現數據波動的大小，為結果的判定提供一定的依據，但是有些卻不適用。教師應強調“只有在兩組數據的平均

24、數相等或比較相近時，才用這些量度來比較兩組數據的波動大小，否則要利用變異系數來比較。當然后者不必向學生講解，更不可進行相關的考查”6。案例分析“知識與技能”目標教學已經從“只要結果，不要過程”的認識階段上升到“注重在知識的形成過程(應用過程)中學習知識”的階段?！斑^程”主要是服務于知識的學習，對“過程”的把握有利于對應知識的理解和掌握。本案例中的教師對“方差”教學目標的達成把握得恰到好處，他讓學生了解刻畫數據離散程度的三個量度極差、標準差和方差，借助計算器求出相應的數值，并在具體問題情境中加以應用。由此可見7，“知識與技能”目標教學對第三學段學生已與第一、第二學段學生的要求不同?！皵蹬c代數”知

25、識學習的重點是為了解相關概念的由來，理解相應運算的算理并能夠熟練地進行運算，同時能夠從事探索數量關系和變化規(guī)律的活動，并能夠掌握有關的數學模型(代數式、方程、函數等)；“空間與圖形”知識學習的重點則是學習用不同的方法(操作、變換、作圖、論證等)研究與表達幾何體(圖形)的有關性質和基本關系，掌握用平面直角坐標系表述物體位置關系的方法；“統計與概率”知識學習的重點是完整地經歷數據的處理過程收集、整理和分析數據，并根據分析結果作出推斷，學會計算一些事件發(fā)生的概率的方法。 第三節(jié)過程性目標的內容及其設計一過程性目標的內容“過程性目標”在第一節(jié)做了詳細的解釋，它是“數學思考”、“解決問題”結合，它注重的

26、是學生學習能力的培養(yǎng)，即發(fā)現問題、解決問題能力，數學推理能力、表達能力的培養(yǎng)。學生學習能力的提高必須建立在對數學認識的基礎上，這不僅僅包括一些概念和技能，還包括調查和推理的方法，交流的手段以及對數學知識來龍去脈的理解。也就是說，學生在數學學習中需要經歷探索、推測或猜想，以及運用有效的推理去解決有關數學問題的過程。在傳統的數學教學中，學生解決問題的策略性知識是與例題結合在一起的，對于具體的策略是如何幫助學生思考問題的卻是很少教授，只有少數學生能通過反思來獲得有關這方面的知識。二過程性目標的設計我們的教學往往讓學生去記憶現成的知識，有意無意地壓縮了學生對學習知識、發(fā)現問題、解決問題的過程，造成學生

27、“知其然，不知其所以然”。建構主義學習理論認為，數學學習不是一個被動的接受過程，而是一個主動的建構過程，即通過內部認識結構與周圍環(huán)境之間的相互作用來建構真知。中學數學教學中有很多課例可為學生提供思考、探索知識的機會，以下給出幾個優(yōu)秀的案例供大家參考。1發(fā)現問題和解決問題的教學案例 案例1-4：探索規(guī)律 發(fā)現問題：與同伴交流，探索日歷中所框的9個數中，中間數與余下的其他若干數的和的倍數關系是什么？案例引入的目的是讓學生體驗“分類”處理問題的過程，在學習代數式表示數量關系的基礎上，嘗試用合并同類項、去括號等法則驗證所得到的規(guī)律。提出問題和解決問題：讓學生思考，日歷圖的套色方框中的9個數與該方框正中

28、間的數有什么關系？這些關系在任何一年任何一個月都成立嗎？你有什么依據？這些問題對部分同學來說，存在一定的難度，但是，教師應該鼓勵有興趣的學生在課后繼續(xù)解決。根據學生回答問題、掌握知識的具體情況提出以下問題：日歷圖的套色方框中的9個數與該方框正中間的數有什么關系？這些關系在任何一年任何一個月都成立嗎？你有什么依據？這些問題對部分同學來說，存在一定的難度，但是，教師應該鼓勵有興趣的學生在課后繼續(xù)解決。案例分析本節(jié)的活動充分發(fā)揮學生的主體作用，利用日歷創(chuàng)設的實際情境，激發(fā)學生的學習興趣，使課堂充滿生機。通過對數學內部和外部簡單關系的探索，讓學生在進行實際操作、收集、分析數據、表示規(guī)律，并用規(guī)律進行計

29、算和推測的過程中，初步學會用字母與代數式表示事物之間的數量關系或變化規(guī)律；通過解決問題，發(fā)展符號感，增長學生對知識價值的認識，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識、合作精神和實踐能力。2數學推理能力的教學案例 案例1-5：探索規(guī)律 將一張長方形的紙對折可得到一條折痕繼續(xù)對折，對折時每次折痕與上次的折痕保持平行.連續(xù)對折六次后，可以得到幾條折痕？如果對折10次呢？對折n次呢？長期以來，中學數學教學一直強調教學的嚴謹性，過分渲染邏輯推理的重要性而忽視了生動活潑的合情推理，使人們誤認為數學就是一門純粹的演繹科學。波利亞等數學教育家認為，演繹推理是確定的、可靠的；合情推理則帶有一定的風險性，而在數學中合情推理的應用于與

30、演繹推理一樣廣泛。標準要求學生“能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數學猜想，并進一步尋求證據、給出證明或舉出反例。”培養(yǎng)學生的推理思維習慣是形成數學直覺，發(fā)展數學思維，獲得數學發(fā)現的基本素質，教師在教學中既要強調思維的嚴密性，結果的正確性，也要重視思維的直覺探索性和發(fā)現性，充分發(fā)揮課堂教學的作用，通過幾何、數與代數、概率與統計、實踐與綜合應用等教學活動來訓練：第一，創(chuàng)設情境，引導學生觀察。推理并非盲目的、漫無邊際的胡亂猜想，它是以數學中某些已知事實為基礎，通過選擇恰當的復習結構材料創(chuàng)設情境，引導學生觀察。歐拉曾說過：“數學這門學科，需要觀察，還需要實驗?！庇^察是人們認識客觀世界的門戶，觀察可以

31、調動學生的各種感官，在已有知識的基礎上產生聯想，通過觀察還可以減少猜想的盲目性。同時，觀察力也是人的一種重要能力，所以在教學中要給學生必要的時間和空間進行觀察，培養(yǎng)良好的觀察習慣，提高觀察力。如下述例題:按下圖方式擺放餐桌和椅子：(1)1張餐桌可坐6人，2張餐桌可坐 人.(2)按上圖方式繼續(xù)排列餐桌，完成下表：桌子張數3456n可坐人數第二，精心設計實驗，激發(fā)學生的思維。高斯曾提到過，他的許多定理都是靠實驗、歸納發(fā)現的，證明只是補充的手段。在數學教學中，正確地恰到好處地應用數學實驗，也是當前實施素質教育的需要。著名的數學教育家波利亞曾指出：“數學有兩個側面，一方面是歐幾里德式的嚴謹科學，從這方

32、面看，數學像是一門系統的演繹科學；但是另一方面，在創(chuàng)造過程中的數學更像是一門實驗性的歸納科學，”從這一點上講，數學實驗對激發(fā)學生的創(chuàng)新思維有著不可低估的作用。數學理論的抽象性，通常都有某種“直觀”的想法為背景。作為教師，就應該通過實驗，把這種直觀的背景顯現出來，幫助學生抓住其本質，了解它的變形和發(fā)展及其它問題的聯系。數學實驗是幫助學生理解和鞏固數學知識的一種有效方法。學生在實驗時要將課本知識與眼前現實結合起來，將實驗中獲得的感性認識，通過抽象思維得到對概念、定理的深入理解。第三，仔細設計問題，激發(fā)學生猜想。數學猜想是數學研究中合情的推理，是數學證明的前提。只有對數學問題的猜想，才會激發(fā)學生解決

33、問題的興趣，啟迪學生的創(chuàng)造思維，從而發(fā)現問題、解決問題。數學猜想是在已有數學知識和數學事實的基礎上，對求知量及其規(guī)律做出的似真判斷，是科學假說在數學的體現，它一旦得到論證便上升為數學理論。牛頓有一句名言：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現。”數學家通過“提出問題分析問題檢驗證明”，開拓新領域，創(chuàng)立新理論。在中學數學教學中，許多命題的發(fā)現、性質的得出、思路的形成和方法的創(chuàng)造，都可以通過數學猜想而得到。通過猜想不僅有利于學生牢固地掌握知識，也有利于培養(yǎng)他們的推理能力。第四，利用類比探討，加深知識理解。類比推理是思維過程中由特殊到特殊的推理，是合情推理的主要形式之一，類比是對知識進行理線串點的一種

34、手法。對于相互有聯系的命題進行類比分析，有利于學生對問題的更深層次的認識，更有利于學生對問題規(guī)律的探尋。以問題和條件，題型結構或題設結論為思維起點，應用類比的方法，分析其與已有的認知結構中具有的相似特征，然后猜想其解題思維上的類似之處，從而解決問題。第五，利用數學歸納，鞏固從特殊到一般的思維。歸納推理是思維過程中從特殊到一般的推理，也是合情推理的主要形式之一。勾股定理的發(fā)現都是應用歸納推理的典型例證。在學習運用歸納的過程中，學生才不斷地體會到“分析”、“假設”、“結論”等多種數學環(huán)節(jié)。此外，用數學歸納法來證題，也有助于訓練學生用數學符號表達自己的數學思想。第六，利用演繹證明，揭露蘊涵性質。演繹

35、推理又稱論證推理，是思維過程中從一般到特殊的推理，其前提和結論間具有蘊涵關系，是必然性推理。它的每一步推理都是可靠的、無可置疑和終決的，因而可以用來肯定數學知識，建立嚴格的數學體系。把一般結果應用到特殊中，能為歸納、類比等得到的猜想加以證實，從而培養(yǎng)學生的推理能力。邏輯推理和合情推理是數學思維的兩翼，兩者相輔相成，互相補充，缺一不可。從功能上來看，邏輯推理是論證的手段，合情推理是“發(fā)現”的工具；從階段上來看，合情推理是邏輯推理的前奏，邏輯推理是合情推理的升華；邏輯推理能力越強，合情推理就越活躍，推理結果也越可靠，因此也可以說邏輯推理是合情推理的基礎。正如數學教育大師玻利亞所說：“我們靠論證推理

36、來肯定我們的數學知識，而靠合情推理來為我們的猜想提供依據?！毖堇[法被廣泛用來建立定理命題和證明推論的正確性，先前已證明的結論、事先做出的假設或設定的概念等都可以直接用來推證新的結論。應當指出培養(yǎng)學生的演繹推理能力不僅要注意層次性，而且要關注學生的差異性。如“用火柴棒按下圖方式搭三角形”的第二問，并不是每個學生在教師的引導下都能夠總結出規(guī)律的。用火柴棒按下圖方式搭三角形：(1)填寫下表：三角形個數12345火柴棒根數(2)照這樣的規(guī)律搭下去，搭n個這樣的三角形需要多少根火柴棒？要使每一個學生都能體會證明的必要性，從而使學習演繹推理成為學生的自覺要求，克服“為了證明而證明的盲目性；又要注意推理論證

37、量的控制，以及要求的有序、適度”。 第四節(jié)情感態(tài)度性目標的內容及其設計標準中設立了“情感與態(tài)度”目標，明確提出通過數學學習讓學生在情感、態(tài)度價值觀等方面也能得到充分發(fā)展，并強調指出“情感與態(tài)度”不是數學知識教學的“副產品”，而其本身就是數學教學的重要目標。在數學教學過程中，學生的情感、態(tài)度、價值觀等方面的發(fā)展并不是在學到一些具體的概念、法則、公式以后就能自然形成的，它貫穿于整個數學教學活動過程之中，它的實現需要長期地月累。一旦形成，將使學生受益無窮。標準對數學課程中的“情感與態(tài)度”目標的內涵進行了具體的闡述8：1能積極參與數學學習活動，對數學有好奇心和求知欲現代數學論認為：數學源于生活，又運用

38、于生活，生活中充滿數學，數學教育寓于生活實際。有意識地引導學生溝通生活中的具體問題與有關數學問題的聯系，借助學生熟悉的生活實際中的具體事例，激發(fā)學生學習數學的求知欲，能夠幫助學生更好的理解和掌握數學基礎知識，并運用所學的數學知識去解決實際生活中的數學問題。因此，好奇心、求知欲是學生學習數學的原動力。如果一個學生喪失了學習數學的興趣，他就有可能厭倦，甚至放棄數學學習。數學教學主要可以從以下兩個方面來激發(fā)學生的好奇心與求知欲：一是在數學教學的課堂活動具有多樣性及趣味性。 案例1-6：一次函數圖像的應用 師：今天我們學習的新課內容是一次函數圖像的應用。同學們都很喜歡運動，這幾張圖片都是些什么運動呢？

39、生：足球。師：中國男足在世界上的排名是怎么樣的呢？這有一張，我想就一目了然了。人們總對自己的智力發(fā)展非常關注，由這張智商與年齡的走勢曲線圖我們是不是可以發(fā)現很多信息。哪個年齡階段人的智商最高？ 生：17歲。 師：哪個年齡階段是增長最快的？生：11到17歲。師：上述數據廣泛出現在我們的生活中，滲透到我們生活中的每個角落。在這些圖表、圖像中蘊涵了豐富的信息。從紛繁的信息中捕捉收集、加工處理所需的信息，是新世紀對我們每一個同學提出的基本要求。那么，本節(jié)課咱們就學習一次函數圖像的應用。 案例分析實踐表明教師在教學中滲透數學的社會性，尋找教材與現實生活的聯系，使得數學內容變成富有現實性、生動性，有助于激

40、發(fā)學生的積極性。只有基于學生生活經驗的學習，才能帶來學生更大的學習熱情。誠然，這些能引起學生的數學學習興趣，但是這種興趣只是表面的、淺層次的，并且隨著學生年齡的增長逐漸消失。教師要想學生積極參與數學學習活動，保持對數學的好奇心和求知欲還要通過以下途徑，即通過展示數學自身的無窮魅力來促使學生愿意親近數學、了解數學、談論數學、學習數學。 案例1-7：簡單的圖案設計首先老師向同學們展示了一幅幅的圖案：考考你的眼力 有一群躲躲閃閃的隱形人。他們把身體藏起來不讓人看見，只肯半遮半掩在下圖中露出一條腿來。數數看，在圖中共能看到多少條腿？這些圖案迅速喚起了學生的注意，從內心感受到這些圖案的神秘，有效地激發(fā)了

41、他們的求知欲“這些美麗的圖案是怎么樣畫出來的”？“這些圖案里的奧妙是什么”？其次，充分利用動畫的優(yōu)勢，將靜態(tài)的圖案動態(tài)化，在動態(tài)的演示中，讓學生感受圖形的平移，從而自然引入對圖形平移的繼續(xù)探索學習。正如布魯納所說：“學習的最好刺激，就是對學習材料的興趣?！卑咐治霰竟?jié)教材的教學目標有三個，一是讓學生體會平移的方法，二是讓學生會利用平移的方法設計圖形，三是讓學生在參與活動的過程中，發(fā)現數學學習的趣味性。三個目標的實現，都需要讓學生在操作中體驗探索。本節(jié)課的老師考慮到學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經驗，在教學中充分放手，自主操作探索，加深了他們對數學知識的理解。由于放得恰當，操作充分，教師的“引”

42、與學生的“探”有機結合，整個教學過程生動活潑，富有個性。 案例1-8：實際問題與反比例函數 師：今天早晨在吃早點的時候，我想打開筒蓋，但是未能如愿。你們有辦法嗎？生：把它撬開。師：說到這個，我為同學們準備了改錐，一只長一點，一只短一點，都可以完成此任務。如果讓你們選的話，會選擇哪一只呢？生：長的。師：為什么呢？師1：撬開蓋子的力量是不變的，用長改錐的力量比較小。師：從物理學的角度我們可以看得出來，能否從數學的角度來解釋這樣一個規(guī)律呢？咱們今天就進行具體的探討。這就是我們這節(jié)課的主要內容：實際問題與反比例函數。案例分析如何去把握情感態(tài)度目標中“對數學有好奇心和求知欲”的教學，我們認為要注意以下兩

43、點：*聯系實際取材，讓學生欣賞數學美教學當中，無論是對本課情境中取自于現實生活的圖案的研究學習，還是課后的練習都讓學生感受到數學源于生活，用于生活，這樣學生才能感覺得到數學就在自己身邊，是有源之水，有本之木。當學生意識到數學存在于現實生活中，并且將數學與生活聯系起來，才能體會到數學的應用價值，學生學習數學的積極性才能真正被激發(fā)，數學學習的意義才能真正體現。* 多種教學手段巧妙運用，相得益彰將課本、黑板、電腦等多種媒體有機結合，巧妙地應用于教學全過程。操作作為一個主旋律縈繞于本節(jié)課的教學之中；在交流時，平移的方法抓住一條邊、幾個點，進行平移，也就是剛體變換的方法又利用計算機在重點處閃現，給學生一

44、個直觀的感受，這比用語言描述要直觀得多、簡捷得多；圖案的美、平移方法的引入也是充分利用計算機展示。每一種教學手段運用得恰如其分，才能有效地突破教學重難點，達成教學目標。2在數學學習活動中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志，建立自信心在以往的數學教學中，關于“克服困難的自信心、意志力”的培養(yǎng)，存在一些片面的認識。我們更多強調的是數學學習的艱苦性，認為在數學學習過程中唯有通過人為地給學生制造解題中的困難與障礙，才能培養(yǎng)他們克服困難的自信心、意志力，如數學練習中人為的編造了不少繁、難、偏、怪的問題。理論與實踐證明，許多學生在這樣的學習過程中認為“數學學習是一種痛苦”，對數學學習喪失了信心，更談不上具

45、備克服學習過程中遇到困難的意志力。在培養(yǎng)學生“克服困難的自信心、意志力”方面，我們應當向學生提供具有挑戰(zhàn)性的問題，使他們有機會經歷確困難的活動；讓他們在從事這些活動的過程中有獲得或是解決了相關問題，或是找到了解決問題的有效思路，或是得到了對問題進一步理解的成功體驗。 案例1-9：一次函數圖像的應用 例3 柴油機在工作時油箱中的余油量Q(千克)，與工作時間t(小時)成一次函數關系。當工作開始時油箱中有油40千克，工作1小時后，油箱中余油35千克。(1) 寫出余油量Q與時間t的函數關系式；(2)如何根據解析式畫出本函數的圖像？生1：Q=40-5t師：這位女生有什么不同意見？生2：我覺得tS。師：為

46、什么呢？生3：因為油箱中最多有40千克油，最多用8個小時。師：兩位同學非常好，這涉及到一次函數的應用。能不能根據解析式，畫出本函數的圖像？回憶一下，畫函數圖像有幾個步驟？生：列表、描點、連線。師：如果是你，你會選擇哪兩個點描呢？生：與y軸的交點(0,40),與x軸的交點(8,0)。師：這個函數圖像是一個包含兩端點的線段，我們通過實際應用列出了函數解析式，然后畫出圖像。如果反過來，給你函數圖像，你能從圖像中收獲什么信息？例4 某種摩托車油箱最多可儲油10升，裝滿油后，油箱中的剩余油量y (升)與摩托車行駛路程x (千米)之間的關系如圖所示：師：從左圖中，你能發(fā)現什么？生4：這個油箱可供摩托車行駛

47、500千米。它的圖像到了500千米的時候是0升。生5：行駛路程x是自變量，而剩余油量y是因變量。師：根據圖像回答下列問題：1一箱汽油可供摩托車行駛多少千米？2摩托車每行駛100千米消耗多少升汽油？3油箱中的剩余油量小于1升時，摩托車自動報警。行駛多少千米后，摩托車將自動報警？生：1可供行駛500千米。2消耗2升汽油。師：你們是怎么得出2升的呢？生6：我是在x軸上找到100，這個點對應上去的縱坐標是8，總油量是10，所以10-8=2升。師：有沒有第二種方法？難道我們都用這位同學的方法嗎？當摩托車行駛200千米時，用了4升，那么100千米就用了2升。當摩托車行駛300、400時都可以用這種方法解決。生：3行駛450千米是摩托車自動報警。生7：從函數圖像上看，當摩托車行駛500千米時，油箱中沒有油料，那么當當摩托車行駛450千米時，油箱中就剩1升油料。師：我們可以通過橫坐標描點求出縱坐標，也可以通過縱坐標描點求出橫坐標。這樣我們就會識圖了。案例分析數學學習的過程是一種艱苦的腦力勞動，當學生在教師的指導下，經過自己的努力探索，無論是加深了對某個定理的理解，還是解決一道難題或是新穎巧妙的解法，往往激動不已，充滿成功的幸福情感。數學的學習過程需要同學之間互相幫助，團結協作，使學生體驗到溫暖、友情。所以，教