百年前的國際數(shù)學(xué)家大會與希爾伯特的問題

1、百年前的國際數(shù)學(xué)家大會與希爾伯特的問題21世紀(jì)第一次國際數(shù)學(xué)家大會馬上就要在北京召開了 ,它將給本世紀(jì)的數(shù)學(xué)開展帶來些什么？能像20世紀(jì)的第一次國際數(shù)學(xué)家大會那樣左右數(shù)學(xué)開展的方向嗎？一個世紀(jì)前的那次數(shù)學(xué)家大會之所以永載史冊 ,完全是因為一個人 ,因為他的一個報告希爾伯特David Hilbert和他的?數(shù)學(xué)問題?。1900年 ,希爾伯特在巴黎召開的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會上提出了他著名的23個數(shù)學(xué)問題。在隨后的半個世紀(jì)中 ,許多世界一流的數(shù)學(xué)頭腦都圍著它們轉(zhuǎn)。其情形正如另一位非常著名的數(shù)學(xué)家外爾H. Weyl所說：“希爾伯特吹響了他的魔笛 ,成群的老鼠紛紛跟著他躍進(jìn)了那條河。這也難怪 ,他所提出

2、的問題都那么清晰、那么易懂 ,其中一些有趣得令許多外行都躍躍欲試 ,而且解決其中任意一個 ,或者在任意一個問題上有重大突破 ,立即就能名滿天下我國的陳景潤就因為在解決希爾伯特第8個問題即素數(shù)問題 ,包括黎曼猜測、哥德巴赫猜測等上有重大奉獻(xiàn)而為世人所側(cè)目。人們在總結(jié)二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的開展 ,尤其是二十世紀(jì)上半葉數(shù)學(xué)的開展時 ,通常都以希爾伯特所提的問題為航標(biāo)。其實這些問題絕大局部業(yè)已存在 ,并不是希爾伯特首先提出來的。但他站在更高的層面 ,用更鋒利、更簡單的方式重新提出了這些問題 ,并指出了其中許多問題的解決方向。數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的問題是極多的 ,究竟哪些更重要、更根本？做出這樣的選擇需要敏銳的洞察力。為

3、什么希爾伯特能如此目光如炬？數(shù)學(xué)史家、中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員、?希爾伯特數(shù)學(xué)王國中的亞歷山大?一書的譯者袁向東先生和李文林 先生合譯認(rèn)為 ,這是因為希爾伯特是數(shù)學(xué)王國中的亞歷山大！數(shù)學(xué)家可分為兩類 ,一類擅長解決數(shù)學(xué)中的難題 ,另一類擅長對現(xiàn)有狀況做出理論總結(jié) ,兩大類中又均可細(xì)分為一流、二流、三流。希爾伯特兩者兼長 ,幾乎走遍了現(xiàn)代數(shù)學(xué)所有前沿陣地 ,在多個差異很大的數(shù)學(xué)分支中都留下了他那顯赫的名字 ,對數(shù)學(xué)開展的大背景了如指掌 ,對所提及的許多問題都有深入的研究 ,是數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的“王。為什么希爾伯特要在大會上總結(jié)數(shù)學(xué)的根本問題 ,而不像常人一樣宣講自己的某項成果？袁向東告訴記

4、者 ,這和另一位數(shù)學(xué)巨匠龐加萊(Henri Poincaré)有關(guān) ,龐加萊在1897年舉行的第一屆國際數(shù)學(xué)家大會上做的是應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的報告。他們兩人是當(dāng)時國際數(shù)學(xué)界中的雙子星座 ,均為領(lǐng)袖級人物 ,當(dāng)然也存在一定的競爭心理既然龐加萊講述的是自己對物理、數(shù)學(xué)關(guān)系的一般看法 ,那么希爾伯特就為純粹數(shù)學(xué)做一些辯護(hù)。龐加萊是法國人 ,希爾伯特是德國人 ,法、德兩國有世仇 ,所以他們之間的競爭還帶上了一種國與國競爭的味道。雖然他們兩人非常尊重對方 ,這一點在他們身上表達(dá)得不明顯 ,但他們的學(xué)生和老師常常這樣看。希爾伯特的老師克萊茵Felix Klein就是一個民族感非常強(qiáng)的人 ,他非常強(qiáng)調(diào)德

5、意志數(shù)學(xué)的開展 ,想讓國際數(shù)學(xué)界變成橢圓以前是圓形 ,圓心為巴黎；現(xiàn)在他想讓自己所在的哥廷根市也成為世界數(shù)學(xué)的中心 ,使數(shù)學(xué)世界變成有兩個圓心的橢圓。在希爾伯特及其親密朋友閔可夫斯基(Hermann Minkowski)的幫助下 ,克萊茵實現(xiàn)了自己的目標(biāo)1900年時 ,希爾伯特就已經(jīng)和法國最偉大的數(shù)學(xué)家龐加萊齊名 ,而克萊茵本人和馬上就要來到哥廷根的閔可夫斯基也是極有影響的數(shù)學(xué)家。事實上 ,他們在德國號稱“無敵三教授。從一個例子可以想見他們的魅力。某天 ,在談及拓?fù)鋵W(xué)著名定理四色定理時 ,閔可夫斯基突然靈機(jī)一動 ,于是對滿堂的學(xué)生說：“這條定理還沒有得到證明 ,因為到目前為止還只有一些三流數(shù)學(xué)

6、家對它進(jìn)行過研究。現(xiàn)在由我來證明它。然后他拿起粉筆當(dāng)場證明這條定理。這堂課結(jié)束后 ,他還沒有證完。下堂課他繼續(xù)證 ,這樣一直持續(xù)了幾周。最后 ,在一個陰雨的早晨 ,他一走上講臺天空就出現(xiàn)了一道霹靂?！袄咸煲脖晃业陌谅づ?,他說 ,“我的證明也是不完全的。該定理直到1994年才用計算機(jī)證明出來。1912年 ,龐加萊逝世。世界數(shù)學(xué)的中心進(jìn)一步向哥廷根偏移 ,數(shù)學(xué)界似乎又變成了一個圓不過圓心換成了哥廷根。此時 ,哥廷根學(xué)派的名聲如日中天 ,在數(shù)學(xué)青年中流行的口號是“打起你的鋪蓋 ,到哥廷根去！一個世紀(jì)過去了 ,希爾伯特所列的那23個問題約有一半問題已經(jīng)解決 ,其余一半的大多數(shù)也都有重大進(jìn)展。但希

7、爾伯特本人沒有解決其中的任意一個。有人問他 ,為什么他不去解決自己所提的問題 ,譬如說費馬大定理？費馬是在一頁書的空白處寫下該定理的 ,他同時宣稱自己已經(jīng)想出了一個美妙的證法 ,但可惜的是空白區(qū)不夠大 ,寫不下了。希爾伯特的答復(fù)同樣幽默：“我不想殺掉這只會下金蛋的母雞德國一企業(yè)家建了一個基金會獎勵第一個解決費馬大定律者 ,希爾伯特時任該基金會的主席 ,每年利用該項基金的利息請優(yōu)秀學(xué)者去哥廷根講學(xué) ,所以對他而言 ,費馬大定律者是只會下金蛋的母雞。費馬大定律直到2019年才被解決。這個工作可讓學(xué)生分組負(fù)責(zé)收集整理,登在小黑板上,每周一換。要求學(xué)生抽空抄錄并且閱讀成誦。其目的在于擴(kuò)大學(xué)生的知識面,

8、引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會,熱愛生活,所以內(nèi)容要盡量廣泛一些,可以分為人生、價值、理想、學(xué)習(xí)、成長、責(zé)任、友誼、愛心、探索、環(huán)保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以積累40多那么材料。如果學(xué)生的腦海里有了眾多的鮮活生動的材料,寫起文章來還用亂翻參考書嗎?單靠“死記還不行,還得“活用,姑且稱之為“先死后活吧。讓學(xué)生把一周看到或聽到的新鮮事記下來,摒棄那些假話套話空話,寫出自己的真情實感,篇幅可長可短,并要求運用積累的成語、名言警句等,定期檢查點評,選擇優(yōu)秀篇目在班里朗讀或展出。這樣,即穩(wěn)固了所學(xué)的材料,又鍛煉了學(xué)生的寫作能力,同時還培養(yǎng)了學(xué)生的觀察能力、思維能力等等,到達(dá)“一石多鳥的效果。在列出23個問題之前 ,希爾伯特已經(jīng)是國際數(shù)學(xué)界公認(rèn)的領(lǐng)軍人物 ,已經(jīng)在數(shù)學(xué)的諸多領(lǐng)域取得多項重要成果。他的其它奉獻(xiàn) ,譬如他的公理化主張、形式主義設(shè)想、?幾何根底?一書等等 ,都對20世紀(jì)數(shù)學(xué)的開展有著深遠(yuǎn)的影響。要練說 ,得練看?？磁c說是統(tǒng)一的 ,看不準(zhǔn)就難以說得好