[高考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)]對稱問題分類探析

1、高考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)對稱問題分類探析對稱問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一 ,在高考數(shù)學(xué)試題中常出現(xiàn)一些構(gòu)思新穎解法靈活的對稱問題 ,為使對稱問題的知識系統(tǒng)化 ,本文特作以下歸納。一、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)或直線對稱點(diǎn)問題1、設(shè)點(diǎn)P(x ,y)關(guān)于點(diǎn)(a ,b)對稱點(diǎn)為P(x ,y) ,x=2a-x由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：y=2b-y2、點(diǎn)P(x ,y)關(guān)于直線L：Ax+By+C=O的對稱點(diǎn)為x=x-(Ax+By+C)P(x ,y)那么y=y-(AX+BY+C)事實(shí)上：PPL及PP的中點(diǎn)在直線L上 ,可得：Ax+By=-Ax-By-2C解此方程組可得結(jié)論。(-)=-1(B0)特別地 ,點(diǎn)P(x ,y)關(guān)于1、x軸和y軸的對

2、稱點(diǎn)分別為(x ,-y)和(-x ,y)2、直線x=a和y=a的對標(biāo)點(diǎn)分別為(2a-x ,y)和(x ,2a-y)3、直線y=x和y=-x的對稱點(diǎn)分別為(y ,x)和(-y ,-x)例1光線從A(3 ,4)發(fā)出后經(jīng)過直線x-2y=0反射 ,再經(jīng)過y軸反射 ,反射光線經(jīng)過點(diǎn)B(1 ,5) ,求射入y軸后的反射線所在的直線方程。解：如圖 ,由公式可求得A關(guān)于直線x-2y=0的對稱點(diǎn)A(5 ,0) ,B關(guān)于y軸對稱點(diǎn)B為(-1 ,5) ,直線AB的方程為5x+6y-25=0C(0 ,)直線BC的方程為：5x-6y+25=0二、曲線關(guān)于點(diǎn)或直線的對稱曲線問題求曲線F(x ,y)=0關(guān)于點(diǎn)或直線的對稱曲

3、線方程時 ,只須將曲線F(x ,y)=O上任意一點(diǎn)(x ,y)關(guān)于點(diǎn)或直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)替換方程F(x ,y)=0中相應(yīng)的作稱即得 ,由此我們得出以下結(jié)論。1、曲線F(x ,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a ,b)的對稱曲線的方程是F(2a-x ,2b-y)=02、曲線F(x ,y)=0關(guān)于直線Ax+By+C=0對稱的曲線方程是F(x-(Ax+By+C) ,y-(Ax+By+C)=0特別地 ,曲線F(x ,y)=0關(guān)于(1)x軸和y軸對稱的曲線方程分別是F(x ,-y)和F(-x ,y)=0(2)關(guān)于直線x=a和y=a對稱的曲線方程分別是F(2a-x ,y)=0和F(x ,2a-y)=0(3)關(guān)于直線y=x

4、和y=-x對稱的曲線方程分別是F(y ,x)=0和F(-y ,-x)=0除此以外還有以下兩個結(jié)論：對函數(shù)y=f(x)的圖象而言 ,去掉y軸左邊圖象 ,保存y軸右邊的圖象 ,并作關(guān)于y軸的對稱圖象得到y(tǒng)=f(|x|)的圖象;保存x軸上方圖象 ,將x軸下方圖象翻折上去得到y(tǒng)=|f(x)|的圖象。例2(全國高考試題)設(shè)曲線C的方程是y=x3-x。將C沿x軸y軸正向分別平行移動t ,s單位長度后得曲線C1：1)寫出曲線C1的方程2)證明曲線C與C1關(guān)于點(diǎn)A( ,)對稱。(1)解知C1的方程為y=(x-t)3-(x-t)+s(2)證明在曲線C上任取一點(diǎn)B(a ,b) ,設(shè)B1(a1 ,b1)是B關(guān)于A的

5、對稱點(diǎn) ,由a=t-a1 ,b=s-b1 ,代入C的方程得：s-b1=(t-a1)3-(t-a1)b1=(a1-t)3-(a1-t)+sB1(a1 ,b1)滿足C1的方程B1在曲線C1上 ,反之易證在曲線C1上的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)在曲線C上曲線C和C1關(guān)于a對稱我們用前面的結(jié)論來證：點(diǎn)P(x ,y)關(guān)于A的對稱點(diǎn)為P1(t-x ,s-y) ,為了求得C關(guān)于A的對稱曲線我們將其坐標(biāo)代入C的方程 ,得：s-y=(t-x)3-(t-x)y=(x-t)3-(x-t)+s此即為C1的方程 ,C關(guān)于A的對稱曲線即為C1。三、曲線本身的對稱問題曲線F(x ,y)=0為(中心或軸)對稱曲線的充要條件是曲線F(

6、x ,y)=0上任意一點(diǎn)P(x ,y)(關(guān)于對稱中心或?qū)ΨQ軸)的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)替換曲線方程中相應(yīng)的坐標(biāo)前方程不變。例如拋物線y2=-8x上任一點(diǎn)p(x ,y)與x軸即y=0的對稱點(diǎn)p(x ,-y) ,其坐標(biāo)也滿足方程y2=-8x ,y2=-8x關(guān)于x軸對稱。例3方程xy2-x2y=2x所表示的曲線：A、關(guān)于y軸對稱B、關(guān)于直線x+y=0對稱C、關(guān)于原點(diǎn)對稱D、關(guān)于直線x-y=0對稱解：在方程中以-x換x ,同時以-y換y得(-x)(-y)2-(-x)2(-y)=-2x ,即xy2-x2y=2x方程不變曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。函數(shù)圖象本身關(guān)于直線和點(diǎn)的對稱問題我們有如下幾個重要結(jié)論：1、函數(shù)f(x)定義

7、線為R ,a為常數(shù) ,假設(shè)對任意xR ,均有f(a+x)=f(a-x) ,那么y=f(x)的圖象關(guān)于x=a對稱。這是因?yàn)閍+x和a-x這兩點(diǎn)分別列于a的左右兩邊并關(guān)于a對稱 ,且其函數(shù)值相等 ,說明這兩點(diǎn)關(guān)于直線x=a對稱 ,由x的任意性可得結(jié)論。例如對于f(x)假設(shè)tR均有f(2+t)=f(2-t)那么f(x)圖象關(guān)于x=2對稱。假設(shè)將條件改為f(1+t)=f(3-t)或f(t)=f(4-t)結(jié)論又如何呢?第一式中令t=1+m那么得f(2+m)=f(2-m);第二式中令t=2+m ,也得f(2+m)=f(2-m) ,所以仍有同樣結(jié)論即關(guān)于x=2對稱 ,由此我們得出以下的更一般的結(jié)論：2、函數(shù)

8、f(x)定義域?yàn)镽 ,a、b為常數(shù) ,假設(shè)對任意xR均有f(a+x)=f(b-x) ,那么其圖象關(guān)于直線x=對稱。我們再來探討以下問題：假設(shè)將條件改為f(2+t)=-f(2-t)結(jié)論又如何呢?試想如果2改成0的話得f(t)=-f(t)這是奇函數(shù) ,圖象關(guān)于(0 ,0)成中心對稱 ,現(xiàn)在是f(2+t)=-f(2-t)造成了平移 ,由此我們猜測 ,圖象關(guān)于M(2 ,0)成中心對稱。如圖 ,取點(diǎn)A(2+t ,f(2+t)其關(guān)于M(2 ,0)的對稱點(diǎn)為A(2-x ,-f(2+x)-f(2+X)=f(2-x)A的坐標(biāo)為(2-x ,f(2-x)顯然在圖象上圖象關(guān)于M(2 ,0)成中心對稱。假設(shè)將條件改為f

9、(x)=-f(4-x)結(jié)論一樣 ,推廣至一般可得以下重要結(jié)論：死記硬背是一種傳統(tǒng)的教學(xué)方式,在我國有悠久的歷史。但隨著素質(zhì)教育的開展,死記硬背被作為一種僵化的、阻礙學(xué)生能力開展的教學(xué)方式,漸漸為人們所摒棄;而另一方面,老師們又為提高學(xué)生的語文素養(yǎng)煞費(fèi)苦心。其實(shí),只要應(yīng)用得當(dāng),“死記硬背與提高學(xué)生素質(zhì)并不矛盾。相反,它恰是提高學(xué)生語文水平的重要前提和根底。唐宋或更早之前 ,針對“經(jīng)學(xué)“律學(xué)“算學(xué)和“書學(xué)各科目 ,其相應(yīng)傳授者稱為“博士 ,這與當(dāng)今“博士含義已經(jīng)相去甚遠(yuǎn)。而對那些特別講授“武事或講解“經(jīng)籍者 ,又稱“講師?！敖淌诤汀爸叹瓰閷W(xué)官稱謂。前者始于宋 ,乃“宗學(xué)“律學(xué)“醫(yī)學(xué)“武學(xué)等科目

10、的講授者；而后者那么于西晉武帝時代即已設(shè)立了 ,主要協(xié)助國子、博士培養(yǎng)生徒?！爸淘诠糯粌H要作入流的學(xué)問 ,其教書育人的職責(zé)也十清楚晰。唐代國子學(xué)、太學(xué)等所設(shè)之“助教一席 ,也是當(dāng)朝打眼的學(xué)官。至明清兩代 ,只設(shè)國子監(jiān)國子學(xué)一科的“助教 ,其身價不謂顯赫 ,也稱得上朝廷要員。至此 ,無論是“博士“講師 ,還是“教授“助教 ,其今日教師應(yīng)具有的根本概念都具有了。3、f(X)定義域?yàn)镽 ,a、b為常數(shù) ,假設(shè)對任意xR均有f(a+x)=-f(b-x) ,那么其圖象關(guān)于點(diǎn)M( ,0)成中心對稱。語文課本中的文章都是精選的比擬優(yōu)秀的文章,還有不少名家名篇。如果有選擇循序漸進(jìn)地讓學(xué)生背誦一些優(yōu)秀篇目、精彩段落,對提高學(xué)生的水平會大有裨益?，F(xiàn)在,不少語文教師在分析課文時,把文章解體的支離破碎,總在文章的技巧方面下功夫。結(jié)果教師費(fèi)力,學(xué)生頭疼。分析完之后,學(xué)生收效甚微,沒過幾天便忘的一干二凈。造成這種事倍功半的為難局面的關(guān)鍵就是對文章讀的不熟。常言道“書讀百遍,其義自見,如果有目的、有方案地引導(dǎo)學(xué)生反復(fù)閱讀課文,或細(xì)讀、默讀、跳讀,或聽讀、范讀、輪讀、分角色朗讀,學(xué)生便可以在讀中自然領(lǐng)悟文章